5.4: Trigonometría de Área y Triángulo
- Page ID
- 112839
El diferencial de longitud de arco determina un diferencial de área y el área de una región también será una invariante de geometría hiperbólica. El área de una región no cambiará a medida que se mueva alrededor del plano hiperbólico. Expresamos la fórmula del área en términos de coordenadas polares.
Definición: Área de\(R\)
Supongamos que una región\(R\) en\(\mathbb{D}\) se describe en coordenadas polares. El área de\(R\) in\((\mathbb{D},{\cal H})\text{,}\) denotada\(A(R)\text{,}\) viene dada por
\[ A(R) = \iint_R \dfrac{4r}{(1-r^2)^2}dr d\theta\text{.} \]
La integral en esta fórmula es difícil de evaluar directamente en todos los casos menos en los más simples. A continuación se presenta uno de esos casos.
Supongamos que nuestra región está dada por un círculo cuyo radio hiperbólico es\(a\text{.}\) Dado que el área es una invariante, también podemos suponer que el círculo está centrado en el origen. \(x\)Sea el punto en el que el círculo se cruza con el eje real positivo (so\(0 \lt x \lt 1\)), como se muestra a continuación. Luego, por la fórmula de distancia
\[ a = \ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\text{.} \]
Resolviendo para\(x\text{,}\) tenemos
\[ x = \dfrac{e^a - 1}{e^a + 1}\text{.} \]
Esta región circular puede ser descrita en coordenadas polares por\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) y\(0 \leq r \leq x\text{.}\) El área de la región viene dada entonces por la siguiente integral, que calculamos con la\(u\) -sustitución\(u = 1 - r^2\text{:}\)
\ begin {align*} &\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^x\ dfrac {4r} {(1-r^2) ^2} ~drd\ theta\\ & =\ izquierda (\ int_0^ {2\ pi} ~d\ theta\ derecha)\ izquierda (\ int_1^ {1-x^2}\ dfrac {-2} u^2} ~du\ derecha)\\ & = 2\ pi\ izquierda [\ dfrac {2} {u}\ big|_1^ {1-x^2}\ derecha]\\ & = 2\ pi\ izquierda [\ dfrac {2} {1-x^2} - 2\ derecha]\\ & = 4\ pi\ dfrac {x^2} {1-x^2}\ texto {.} \ end {align*}
Reemplazar\(x\) en términos de\(a\) para obtener
\ begin {alinear*} 4\ pi\ dfrac {(e^a - 1) ^2} {(e^a+1) ^2}\ cdot\ dfrac {(e^a+1) ^2} {(e^a+1) ^2 - (e^a- 1) ^2} & = 4\ pi\ dfrac {(e^a - 1) ^2} {4eE ^a}\\ & = 4\ pi\ izquierda (\ dfrac {e^a - 1} {2e^ {a/2}}\ derecha) ^2\\ & = 4\ pi\ izquierda (\ dfrac {e^ {a/2} - e^ {-a/2}} {2}\ derecha) ^2\ text {.} \ end {align*}
Esta última expresión se puede reescribir usando la función sinusoidal hiperbólica, evaluada en\(\dfrac{a}{2}\text{.}\) Investigamos las funciones sinusoidales hiperbólicas y coseno en los ejercicios pero anotamos sus definiciones aquí.
Definición: Función sinusoidal hiperbólica y función coseno hiperbólica
La función sinusoidal hiperbólica, denotada\(\sinh(x)\text{,}\) y la función coseno hiperbólica, denotada\(\cosh(x)\text{,}\) son funciones de números reales definidas por
\[ \sinh(x) = \dfrac{e^x- e^{-x}}{2} \text{ and } \cosh(x)= \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\text{.} \]
La derivación de área en Ejemplo\(5.4.1\) puede resumirse de la siguiente manera.
Teorema\(5.4.1\)
El área de un círculo hiperbólico con radio hiperbólico\(r\) es\(4\pi \sinh^2(\dfrac{r}{2})\text{.}\)
Otras regiones no son tan sencillas de describir en coordenadas polares. Un área importante para nosotros será el área de un triángulo\(\dfrac{2}{3}\) -ideal, la cifra que resulta si dos de los tres vértices de un triángulo hiperbólico se mueven a puntos ideales. Ver Figura\(5.4.1\).
Teorema\(5.4.2\)
El área de un triángulo\(\dfrac{2}{3}\) ideal que tiene un ángulo interior\(\alpha\) es igual a\(\pi - \alpha\text{.}\)
La prueba de este teorema se da en la siguiente sección. La prueba allí hace uso de un modelo diferente para la geometría hiperbólica, el llamado modelo de medio plano superior.
Un triángulo ideal consta de tres puntos ideales y las tres líneas hiperbólicas que los conectan. Resulta que todos los triángulos ideales son congruentes (un hecho probado en los ejercicios); el conjunto de todos los triángulos ideales es mínimamente invariante en\((\mathbb{D}, {\cal H})\text{.}\)
Cualquier triángulo ideal tiene un área igual a\(\pi\text{.}\)
- Prueba
-
Dado que todos los triángulos ideales son congruentes, supongamos que nuestro triángulo\(\Delta\) es el triángulo ideal que se muestra en la Figura\(5.4.2\).
Pero luego se\(\Delta\) puede dividir en dos triángulos\(\dfrac{2}{3}\) ideales dibujando la línea hiperbólica vertical a\(0\) lo largo del eje imaginario hasta el punto ideal\(i\text{.}\) Cada triángulo\(\dfrac{2}{3}\) -ideal tiene ángulo interior\(\dfrac{\pi}{2}\text{,}\) por lo que\(\Delta\) tiene área\(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2} = \pi\text{.}\)
Es un hecho notable que\(\pi\) es un límite superior para el área de cualquier triángulo en\((\mathbb{D},{\cal H})\text{.}\) Ningún triángulo en\((\mathbb{D},{\cal H})\) puede tener un área tan grande como\(\pi\text{,}\) aunque las longitudes de los lados pueden ser arbitrariamente grandes!
El área de un triángulo hiperbólico en\((\mathbb{D},{\cal H})\) tener ángulos interiores\(\alpha, \beta\text{,}\) y\(\gamma\) es
\[ A = \pi - (\alpha + \beta + \gamma)\text{.} \]
- Prueba
-
Considera Figura\(5.4.3\) que contiene triángulo\(\Delta pqr\text{.}\) Tenemos segmento extendido\(qp\) hasta el punto ideal\(t\text{,}\)\(u\) es un punto ideal de línea\(rq\text{,}\) y\(v\) es un punto ideal de línea\(pr\text{.}\) El área del triángulo ideal\(\Delta tuv\) es\(\pi\text{.}\) Observe que regiones \(R_1\text{,}\)\(R_2\text{,}\)y todos\(R_3\) son triángulos\(\dfrac{2}{3}\) ideales contenidos dentro del triángulo ideal. Considera de\(R_1\text{,}\) quién son los puntos ideales\(u\)\(t\text{,}\) y y cuyo ángulo interior es\(\angle uqt\text{.}\) Dado que la línea a través\(q\) y\(r\) tiene punto ideal\(u\text{,}\) el ángulo interior de\(R_1\) es\(\angle uqt=\pi-\beta\text{.}\) De igual manera,\(R_2\) tiene ángulo interior\(\pi - \alpha\) y \(R_3\)tiene ángulo interior\(\pi - \gamma\text{.}\)
Vamos a\(R\) denotar la región triangular\(\Delta pqr\) cuya área\(A(R)\) queremos calcular. Luego tenemos las siguientes relaciones entre áreas:
\ begin {alinear*}\ pi & = A (R) + A (R_1) + A (R_2) + A (R_3)\\ & = A (R) + [\ pi - (\ pi - (\ pi -\ alpha)] + [\ pi - (\ pi -\ beta)] + [\ pi - (\ pi -\ gamma)]\ texto {.} \ end {align*}
Resolviendo para\(A(R)\text{,}\)
\[ A(R) = \pi - (\alpha + \beta + \gamma)\text{,} \]
y esto completa la prueba.
En la geometría euclidiana, las fórmulas trigonométricas relacionan los ángulos de un triángulo con sus longitudes laterales. También hay fórmulas trigonométricas hiperbólicas.
Supongamos que un triángulo hiperbólico\(\mathbb{D}\) tiene ángulos\(\alpha\text{,}\)\(\beta\text{,}\)\(\gamma\) y longitudes de lado hiperbólico opuestas\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) como se muestra en la Figura\(5.4.4\). Entonces sostienen las siguientes leyes.
- Primera ley hiperbólica de los cosenos.
\[ \cosh(c) = \cosh(a)\cosh(b)-\sinh(a)\sinh(b)\cos(\gamma). \]
- Segunda ley hiperbólica de los cosenos.
\[ \cosh(c) = \dfrac{\cos(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\gamma)}{\sin(\alpha)\sin(\beta)}\text{.} \]
- Ley hiperbólica de los senos.
\[ \dfrac{\sinh(a)}{\sin(\alpha)} = \dfrac{\sinh(b)}{\sin(\beta)}=\dfrac{\sinh(c)}{\sin(\gamma)}\text{.} \]
Las pruebas de estas leyes se dejan como ejercicios para el lector interesado. El siguiente resultado se desprende de la primera ley hiperbólica de los cosenos.
En un triángulo hiperbólico derecho con longitudes laterales hiperbólicas\(a\)\(b\text{,}\) e hipotenusa\(c\text{,}\)
\[ \cosh(c) = \cosh(a)\cosh(b)\text{.} \]
La segunda ley hiperbólica de los cosenos también conduce a un resultado interesante. En el plano hiperbólico, si nos encontramos en un punto\(z\text{,}\) podemos inferir nuestra distancia\(c\) a un punto\(w\) estimando un cierto ángulo, llamado el ángulo de paralelismo de\(z\) a la línea a\(L\) través de\(w\) que es perpendicular\(zw\text{.}\) al segmento Lo siguiente es un foto de esta escena:
En esta configuración,\(\Delta zwu\) es un triángulo\(\dfrac{1}{3}\) -ideal, y la segunda ley hiperbólica de los cosenos se aplica con\(\gamma = 0\) y\(\beta = \dfrac{\pi}{2}\) para producir el siguiente resultado.
Supongamos\(z\) y\(w\) son puntos en\(\mathbb{D}\text{,}\) y\(L\) es una línea hiperbólica a través de\(w\) que es perpendicular al segmento hiperbólico\(zw\text{.}\) Supongamos además que\(u\) es un punto ideal de\(L\text{.}\) Let\(\alpha = \angle wzu\) y\(c = d_H(z,w)\text{.}\) Entonces
\[ \cosh(c) = \dfrac{1}{\sin(\alpha)}\text{.} \]
El ángulo de paralelismo se persigue más en la Sección 7.4.
Supongamos que se deja caer una nave bidimensional en\(\mathbb{D}\text{.}\) ¿Qué vería el piloto? ¿Cómo se movería la nave? ¿Cómo describiría el piloto al mundo? ¿Todos los puntos son equivalentes en este mundo? ¿Podría el piloto averiguar si el universo se adhiere a la geometría hiperbólica en lugar de, digamos, a la geometría euclidiana?
Recordemos lo que sabemos sobre la geometría hiperbólica. En primer lugar, dos puntos cualesquiera en el plano hiperbólico son congruentes, por lo que la geometría es homogénea. El piloto no pudo distinguir entre dos puntos cualesquiera, geométricamente.
Segundo, el camino más corto entre dos puntos es la línea hiperbólica entre ellos, por lo que la luz viajaría a lo largo de estas líneas hiperbólicas, asumiendo que la luz sigue a la geodésica. La línea de visión del piloto seguiría a lo largo de estas líneas, y la nave se movería a lo largo de estas líneas para volar lo más rápido posible desde\(p\) hasta\(q\text{,}\) asumir que no hay campos molestos de asteroides que bloqueen el camino. Para observar una galaxia en un punto\(q\) desde el punto\(p\) (como en el diagrama de abajo), el piloto apuntaría un telescopio en dirección a la línea\(L\text{,}\) a lo largo de la cual viaja la luz de la galaxia para llegar al telescopio.
Con una métrica bien definida, podemos decir más. El piloto verá el plano hiperbólico como infinito y sin límites. En teoría, el piloto puede hacer una órbita de radio arbitrario alrededor de un asteroide ubicado en cualquier parte del espacio.
Para probar la geometría hiperbólica, quizás el piloto pueda recurrir a triángulos. Los ángulos de un triángulo en el plano hiperbólico suman menos que\(180^{\circ}\text{,}\) pero solo notablemente así para triángulos suficientemente grandes. En nuestro modelo de disco de geometría hiperbólica, podemos observar fácilmente esta deficiencia de ángulo. En la siguiente figura, triángulo\(\Delta zuw\) tiene suma de ángulo alrededor\(130^{\circ}\text{,}\) y\(\Delta pqr\) tiene suma de ángulo de aproximadamente\(22^{\circ}\text{!}\) Si un intrépido explorador\(2\) -D podría trazar un triángulo tan grande depende de la cantidad de terreno que pudiera cubrir en relación con el tamaño de su universo. Tendremos más que decir sobre tales cosas en los Capítulos 7 y 8.
En pocas palabras, los cuadrados hiperbólicos no existen. De hecho, no existen figuras de cuatro lados con cuatro ángulos rectos, si asumimos que los lados son segmentos hiperbólicos. Si tal figura existiera, su suma angular sería\(2\)\(\pi\text{.}\) Pero tal figura podría dividirse a lo largo de una diagonal en dos triángulos cuya suma total de ángulos debe ser entonces\(2\pi\) también. Esto quiere decir que uno de los triángulos tendría suma angular al menos lo\(\pi\text{,}\) cual no puede suceder.
Por otro lado, no hay obstrucción física para que un explorador bidimensional realice el siguiente recorrido en el plano hiperbólico: Comenzando en un punto como\(p\) en la Figura\(5.4.5\), diríjase por una línea en cierta dirección para\(a\) unidades, gire a la derecha (\(90^{\circ}\)) y continúe en una línea para \(a\)más unidades, luego gire nuevamente a la derecha y continúe en una línea\(a\) unidades, y luego gire a la derecha una vez más y continúe en una línea para\(a\) unidades. Vamos a\(q\) denotar el punto en el que el explorador llega al final de este viaje. En el plano euclidiano,\(q\) será igual\(p\text{,}\) porque el viaje traza una plaza construida a partir de segmentos de línea. Sin embargo, este no es el caso en\((\mathbb{D},{\cal H})\) (aunque si nos conectamos\(p\) y\(q\) con una línea hiperbólica obtenemos un pentágono geodésico con (¡al menos) tres ángulos rectos!). En los ejercicios, investigamos la distancia entre\(p\) y\(q\) en función de la longitud\(a\text{.}\)
Sin embargo, podemos construir una figura de cuatro lados que se asemeje mucho a un rectángulo, si dejamos caer el requisito de que las patas sean segmentos de línea hiperbólica.
A través de cualquier punto\(0 \lt a \lt 1\) del eje real positivo, podemos construir una línea hiperbólica\(L_1\) a través\(a\) de la cual es perpendicular al eje real. También construir una línea hiperbólica\(L_2\) a través\(-a\) de la cual sea perpendicular al eje real. Ahora elija un punto\(z\)\(L_1\) y construya el arco clino\(C_1\) a través\(z, 1\) y\(-1\text{.}\) También construya el arco cline\(C_2\) a través\(\overline{z}, 1\) y\(-1\text{.}\) Esto crea una figura de cuatro lados, que llamamos un bloque. Afirmamos que cada ángulo en la figura es correcto, y que los lados opuestos tienen igual longitud. Además,\(z\) y se\(a\) puede elegir para que los cuatro lados tengan la misma longitud. Esta figura no es un rectángulo, sin embargo, en el sentido de que no los cuatro lados son segmentos hiperbólicos. Los arcos\(C_1\) y no\(C_2\) son líneas hiperbólicas.
Si bien los cuadrados no existen en el plano hiperbólico, podemos construir polígonos regulares en ángulo recto con más de cuatro lados usando segmentos de línea hiperbólicos. De hecho, por cada triple de números reales positivos\((a,b,c)\) podemos construir un hexágono en ángulo recto en el plano hiperbólico con longitudes laterales alternas\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\text{.}\) animamos al lector a trabajar cuidadosamente a través de la construcción de este hexágono en la prueba del Teorema\(5.4.6\). Utilizamos todas nuestras construcciones hiperbólicas para llegar allí.
Para cualquier triple\((a,b,c)\) de números reales positivos existe un hexágono en ángulo recto\((\mathbb{D},{\cal H})\) con longitudes laterales alternas\(a, b,\) y\(c\text{.}\) Además, todos los hexágonos en ángulo recto con longitudes laterales alternas\(a, b,\) y\(c\) son congruentes.
- Prueba
-
Demostramos la existencia de un hexágono en ángulo recto con vértices\(v_0, v_1, \ldots, v_5\) tales que\(d_H(v_0,v_1) = a, d_H(v_2,v_3) = b\text{,}\) y\(d_H(v_4,v_5) = c\text{.}\)
Figura\(\PageIndex{7}\): Construyendo un hexágono derecho en el plano hiperbólico que tiene longitudes laterales alternas\((a,b,c)\text{.}\) (Copyright; author via source) Primero, deja\(v_0\) ser el origen en el plano hiperbólico, y colocarlo\(v_1\) en el eje real positivo para que\(d_H(v_0,v_1)= a\text{.}\) Nótese que
\[ v_1 = \dfrac{e^a - 1}{e^a+1}\text{.} \]
A continuación, construir la línea hiperbólica\(A\) perpendicular al eje real en el punto\(v_1\text{.}\) Esta línea es parte de la clina que tiene diámetro\(v_1v_1^*\text{.}\)
Escoja cualquier punto de la línea\(v_2\)\(A\text{.}\) En aras de la argumentación, supongamos que\(v_2\) se encuentra por encima del eje real, como en la Figura 5.4.20.
A continuación, construir la línea hiperbólica\(B\) perpendicular a\(A\) en el punto\(v_2\text{.}\) Esta línea es parte de la clina a través\(v_2\) y\(v_2^*\) con el centro en la línea tangente a\(A\) at\(v_2\text{.}\)
A continuación, construir el punto\(v_3\) en línea\(B\) que está a una\(b\) distancia de\(v_2\text{.}\) Este punto se encuentra cruzando\(B\) con el círculo hiperbólico centrado en\(v_2\) con radio\(b\text{.}\) (Para construir este círculo, primero encontramos el escalar de\(k\) manera que el distancia hiperbólica entre\(kv_2\) y\(v_2\) es\(b\text{.}\))
A continuación, dibuje la perpendicular\(C\) a la línea\(B\) en\(v_3\text{.}\)
Luego construimos la perpendicular común de\(C\) y el eje imaginario, llamar a esta perpendicular\(D\text{.}\) Construimos esta perpendicular común de la siguiente manera. Primero encontramos los dos puntos\(p\) y\(q\) simétricos a ambos\(C\) y al eje imaginario (ver Teorema\(3.2.7\)). Los puntos\(p\) y\(q\) vivirán en el círculo al infinito. La perpendicular común de\(C\) y el eje imaginario será la clina pasante\(p\) y\(q\) eso también es una línea hiperbólica (es decir, ortogonal al círculo en el infinito).
Si\(C\) y el eje imaginario se cruzan, no existe tal perpendicular (piense en ángulos triangulares), así que\(v_2\) arrástrelo\(v_1\) hasta que estas líneas no se crucen. Después construir\(D\) como en el párrafo anterior. Dejar\(v_4\) y\(v_5\) ser los puntos de intersección de\(D\) con\(C\) y el eje imaginario, respectivamente.
Esta construcción nos da un hexágono en ángulo recto tal que\(d_H(v_0,v_1) = a\) y también\(d_H(v_2,v_3) = b\text{.}\) queremos\(d_H(v_4,v_5) = c\text{.}\) Notar que esta última distancia es una función de la posición del vértice\(v_2\) en la línea A. Como\(v_2\) va\(A\) a lo largo de\(v_1\) hay un punto más allá del cual ya\(D\) no existe, y como\(v_2\) va\(A\) a lo largo del círculo en el infinito, la longitud del segmento\(v_4v_5\) adquiere todos los valores reales positivos. Entonces, por el teorema del valor intermedio, hay algún punto en el que el segmento tiene longitud\(c\text{.}\) Finalmente, todos los hexágonos en ángulo recto con longitudes laterales alternas\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\) son congruentes con el que se acaba de construir porque se conservan los ángulos, las líneas hiperbólicas y las distancias bajo transformaciones en\({\cal H}\text{.}\)
Mostramos que si uno inscribe un círculo en cualquier triángulo ideal, sus puntos de tangencia forman un triángulo equilátero con longitudes laterales iguales a\(2\ln(\varphi)\) donde\(\varphi\) está la proporción áurea\(\dfrac{(1+\sqrt{5})}{2}\text{.}\)
Dado que todos los triángulos ideales son congruentes, elegimos uno que sea conveniente para trabajar. Considera el triángulo ideal con puntos ideales\(-1\)\(1\), y\(i\text{.}\)
La línea hiperbólica se\(L_1\) une\(-1\) y\(i\) es parte del círculo\(C_1\) con radio\(1\) centrado en\(-1+i\text{.}\) La línea hiperbólica que\(L_2\) une\(i\) y\(1\) es parte del círculo\(C_2\) con radio\(1\) centrado en\(1+i\text{.}\) Let \(C\)denotan el círculo con radio\(2\) centrado en\(-1+2i\text{,}\) como se muestra a continuación.
La inversión acerca\(C\) da una reflexión hiperbólica de\(\mathbb{D}\) que se mapea\(L_1\) sobre el eje real. En efecto, el círculo\(C_1\text{,}\) ya que pasa por el centro de\(C\text{,}\) se mapea a una línea - el eje real, de hecho. Además, la reflexión hiperbólica a través del eje imaginario se\(L_1\) mapea en\(L_2\text{.}\) Let\(c\) be el punto de intersección de estas dos líneas hiperbólicas de reflexión, como se muestra en la imagen. El círculo hiperbólico con centro hiperbólico\(c\) que pasa por el origen será tangente al eje real, y así inscribirá el triángulo ideal. Deja que los puntos de tangencia\(L_2\) sean\(L_1\) y sean\(p\) y\(q\text{,}\) respectivamente.
El punto se\(q\) puede encontrar analíticamente como el punto de intersección de círculos\(C\) y\(C_2\text{.}\) Trabajando hacia fuera, uno encuentra\(q = \dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5}i\text{.}\) Así,
\ begin {align*} d_H (0, q) & =\ ln\ bigg (\ dfrac {1+|q|} {1-|q|}\ bigg)\\ bigg)\\ & =\ ln\ bigg (\ dfrac {1+\ dfrac {1} {\ sqrt {5}}} {1-\ dfrac {1} {\ sqrt {5}}\ bigg)\\ & =\ ln\ bigg (\ dfrac {\ sqrt {5} +1} {\ sqrt {5} -1}\ bigg)\\\ & =\ ln\ bigg (\ dfrac {(\ sqrt {5} +1) ^2} {(\ sqrt {5} -1) (\ sqrt {5} +1)}\ bigg)\\ & = ln\ bigg (\ dfrac {(\ sqrt {5} +1) ^2} {4} \ bigg)\\ & =\ ln (\ varphi^2)\\ & =2\ ln (\ varphi)\ text {.} \ end {align*}
Ejercicios
Propiedades de\(\sinh(x) = (e^x-e^{-x})/2\) y\(\cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2\).
- Verifica eso\(\sinh(0) = 0\) y\(\cosh(0) = 1\text{.}\)
- Verifica eso\(\dfrac{d}{dx}[\sinh(x)]=\cosh(x)\) y\(\dfrac{d}{dx}[\cosh(x)]=\sinh(x)\text{.}\)
- Verifica que\(\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\text{.}\)
- Verifica que las expansiones de la serie de potencia para\(\cosh(x)\) y\(\sinh(x)\) son\ begin {align*}\ cosh (x) & =1+\ dfrac {x^2} {2} +\ dfrac {x^4} {4!} +\ cdots\\\ sinh (x) & =x+\ dfrac {x^3} {3!} +\ dfrac {x^5} {5!} +\ cdots\ texto {.} \ end {align*}
Demostrar que la circunferencia de un círculo hiperbólico que tiene radio hiperbólico\(r\) es\(C = 2\pi \sinh(r)\text{.}\)
El plano hiperbólico se ve euclidiana en pequeñas escalas.
- Demostrar
\[ \lim_{r \to 0^+} \dfrac{4\pi\sinh^2(\dfrac{r}{2})}{\pi r^2} = 1 \text{.} \]
Así, para pequeños\(r\text{,}\) la fórmula euclidiana para el área de un círculo es una buena aproximación al área verdadera de un círculo en el plano hiperbólico. - Demostrar
\[ \lim_{r \to 0^+}\dfrac{2\pi \sinh(r)}{2\pi r}=1\text{.} \]
Así, para pequeños\(r\text{,}\) la fórmula euclidiana para la circunferencia de un círculo es una buena aproximación a la circunferencia verdadera de un círculo en el plano hiperbólico.
Demostrar que todos los triángulos ideales son congruentes en geometría hiperbólica.
- Pista
-
Demostrar que cualquier triángulo ideal es congruente con aquel cuyos puntos ideales son\(1\),\(i\text{,}\) y\(-1\) (ver Figura\(5.4.2\)).
Un intrépido recaudador de impuestos vive en un país en el plano hiperbólico. Para fines de recolección, el país se divide en cuadrículas triangulares. El coleccionista se encarga de la recolección en un triángulo teniendo ángulos\(12^\circ\text{,}\)\(32^\circ\text{,}\) y\(17^\circ\text{.}\) ¿Cuál es el área del triángulo del coleccionista? ¿Se puede\(\mathbb{D}\) subdividir todo el espacio en un número finito de triángulos?
Considera el triángulo hiperbólico con vértices en\(0\),\(\dfrac{1}{2}\text{,}\) y\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i\text{.}\) Calcula el área de este triángulo determinando el ángulo en cada vértice.
- Pista
-
Para determinar el ángulo en un vértice puede ser conveniente moverlo al origen a través de una transformación apropiada en\(\cal H\text{.}\)
Recordemos el bloque construido en Ejemplo\(5.4.3\). Demostrar que los cuatro ángulos son\(90^\circ\text{,}\) y que para cualquier elección de lados\(z\text{,}\) opuestos tienen igual longitud hiperbólica.
Encontrar una fórmula para el área de un\(n\) -gon, compuesta por segmentos de línea\(n\) hiperbólicos en términos de sus ángulos\(n\) interiores\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\text{.}\)
- Pista
-
Descomponer el\(n\) -gon en triángulos.
Construyendo un octágono hiperbólico con ángulos interiores\(45^\circ\). Dejar\(r\) ser un número real tal que\(0 \lt r \lt 1\text{.}\) Los ocho puntos\(v_k = re^{i\frac{\pi}{4}k}\) para\(k = 0,1,\cdots, 7\) determinar un octágono regular en el plano hiperbólico, como se muestra en la Figura\(5.4.8\). Tenga en cuenta que\(v_0\) es\(r\text{.}\) el número real El ángulo interior de cada esquina es una función de\(r\text{.}\) Encontramos el valor\(r\) para el cual es el ángulo interior\(45^\circ\text{.}\)
- Demostrar que el centro del círculo que contiene la línea hiperbólica a través\(v_0\) y\(v_1\) es
\[ z_0 = \dfrac{1+r^2}{2r}+\dfrac{1+r^2}{2r}\tan(\dfrac{\pi}{8})i \text{.} \]
- Dejar\(b = \dfrac{1+r^2}{2r}\) ser el punto medio del segmento\(v_0v_0^*\) y mostrar que\(\angle v_0 z_0 b = \dfrac{\pi}{8}\) precisamente cuando los ángulos interiores del octágono iguales\(\dfrac{\pi}{4}\text{.}\)
- Usando\(\Delta v_0 b z_0\) y parte (b), muestran que los ángulos interiores del octágono son iguales\(\dfrac{\pi}{4}\) precisamente cuando
\[ \tan(\dfrac{\pi}{8}) = \dfrac{|b-v_0|}{|z_0 - b|} = \dfrac{\dfrac{1+r^2}{2r}-r}{\dfrac{1+r^2}{2r}\cdot \tan(\dfrac{\pi}{8})}\text{.} \]
- Resolver la ecuación en (c)\(r\) para obtener\(r = (\dfrac{1}{2})^{(\frac{1}{4})}\text{.}\)
- Pista
-
Para la parte (a), tenga en cuenta que el centro\(z_0\) está en la bisectriz perpendicular del segmento euclidiano así\(v_0v_0^*\) como en la bisectriz perpendicular del segmento euclidiano\(v_0 v_1\text{.}\)
Figura\(\PageIndex{8}\): Construyendo un octágono con ángulos interiores iguales a\(45^\circ\text{.}\) (Copyright; autor vía fuente)
Supongamos que construimos un\(n\) -gon regular en el plano hiperbólico a partir de los puntos de esquina\(r, re^{\frac{1}{n}2\pi i},\)\(re^{\frac{2}{n}2\pi i}\text{,}\)\(\cdots, re^{\frac{n-1}{n}2\pi i}\) donde\(0 \lt r \lt 1\text{.}\) Calcular la longitud hiperbólica de cualquiera de sus lados.
Demostrar la primera ley hiperbólica de los cosenos completando los siguientes pasos.
- Demostrar que para cualquier número real positivo\(x\) y\(y\text{,}\)
\[ \cosh(\ln(\dfrac{x}{y})) = \dfrac{x^2+y^2}{2xy}~\text{ and }~\sinh(\ln(\dfrac{x}{y})) = \dfrac{x^2-y^2}{2xy}\text{.} \]
- Dados dos puntos\(p\) y\(q\) en\(\mathbb{D}\text{,}\) let\(c = d_H(p,q)\text{.}\) Usa la fórmula de distancia hiperbólica del Teorema\(5.3.1\) y la parte (a) para mostrar
\[ \cosh(c) = \dfrac{(1+|p|^2)(1+|q|^2)-4\text{Re}(p\overline{q})}{(1-|p|^2)(1-|q|^2)}\text{.} \]
- Ahora supongamos que nuestro triángulo tiene un vértice en el origen, y un punto en el eje real positivo. En particular, supongamos\(p = r\) (\(0\lt r\lt 1\)) y\(q = ke^{i\gamma}\) (\(0\lt k\lt 1\)), con ángulos\(\alpha, \beta, \gamma\) y longitudes laterales hiperbólicas\(a,b,\) y\(c\) como en la Figura\(5.4.9\).
Figura\(5.4.9\): Triángulo hiperbólico con una esquina en el origen y una pata en el eje real positivo. (Copyright; autor vía fuente) Mostrar
\[ \cosh(a) = \dfrac{1+r^2}{1-r^2}~~;~~\sinh(a) = \dfrac{2r}{1-r^2}\text{;} \]
\[ \cosh(b) = \dfrac{1+k^2}{1-k^2}~~;~~\sinh(b) = \dfrac{2k}{1-k^2}\text{.} \]
- Demostrar que para el triángulo en la parte (c),
\[ \cosh(c) = \cosh(a)\cosh(b)-\sinh(a)\sinh(b)\cos(\gamma)\text{.} \]
- Explica por qué esta fórmula funciona para cualquier triángulo en\(\mathbb{D}\text{.}\)
En este ejercicio probamos la ley hiperbólica de los senos. Asumimos que nuestro triángulo es como en la Figura\(5.4.10\). Así,\(q = ke^{i\gamma}\) para algunos\(0 \lt k \lt 1\) y\(p = r\) para algún número real\(0 \lt r \lt 1\text{.}\) Supongamos además que el círculo que contiene lado\(c\) tiene centro\(z_0\) y radio euclidiano que\(R\text{,}\) se muestra en la figura, y ese\(m_q\) es el punto medio del segmento\(qq^*\) y\(m_p\) es el punto medio del segmento\(pp^*\text{,}\) para que\(\Delta z_0m_qq\) y\(\Delta pm_pz_0\) sean triángulos rectos.
- Verificar que los ángulos del triángulo\(\alpha\) y\(\beta\) corresponden a los ángulos\(\angle m_qz_0q\) y\(\angle pz_0m_p\text{,}\) respectivamente.
- Observe eso\(\sin(\alpha) = \dfrac{|m_q-q|}{R}\) y\(\sin(\beta) = \dfrac{|m_p-p|}{R}.\) Verifique eso\(|m_q-q| = \dfrac{\frac{1}{k} - k}{2} = \dfrac{1 - k^2}{2k}\) y aquello\(|m_p-p| = \dfrac{1-r^2}{2r}\text{.}\)
- Verificar que
\[ \dfrac{\sinh(a)}{\sin(\alpha)} = \dfrac{\sinh(b)}{\sin(\beta)}\text{.} \]
- Explicar por qué podemos concluir que para cualquier triángulo hiperbólico en\(\mathbb{D}\text{,}\)
\[ \dfrac{\sinh(a)}{\sin(\alpha)} = \dfrac{\sinh(b)}{\sin(\beta)}=\dfrac{\sinh(c)}{\sin(\gamma)}\text{.} \]
Demostrar la segunda ley de los cosenos hiperbólicos.
- Contestar
-
Este resultado se desprende de reiteradas aplicaciones de la primera ley y del uso judicial de las dos identidades\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) y\(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\text{.}\)
Recordemos el viaje en Ejemplo\(5.4.3\) en el que un bicho recorre un camino que trazaría una plaza en el plano euclidiano. Por conveniencia, asumimos que el punto de partida\(p\) es tal que el primer giro a la derecha de\(90^{\circ}\) ocurre\(x\) en el punto del eje real positivo y el segundo giro ocurre en el origen. (Esto quiere decir que\(x = \dfrac{(e^a-1)}{(e^a+1)}\text{.}\)) La tercera esquina debe ocurrir entonces en\(xi\text{.}\) Hemos reproducido el viaje con un poco más de detalle en la Figura\(5.4.11\). En este ejercicio, hacemos uso de trigonometría triangular hiperbólica para medir algunas características de este viaje desde\(p\) hasta\(q\) en términos de la longitud\(a\) de cada tramo.
- Determinar la distancia hiperbólica entre\(p\) y el origen (esquina dos del viaje). En particular, mostrar que\(\cosh(d_H(0,p)) = \cosh^2(a)\text{.}\) Tenga en cuenta que si este viaje se hubiera hecho en el plano euclidiano, la distancia correspondiente sería\(\sqrt{2}a\text{.}\) ¿Cómo se comparan estas distancias para pequeños valores positivos de\(a\text{?}\) Está\(\cosh^2(a)\) cerca\(\cosh(\sqrt{2}a)\text{?}\)
- Vamos\(\theta = \angle x0p\text{.}\) Mostrar eso\(\tan(\theta) = \dfrac{1}{\cosh(a)}\text{.}\) ¿Cuál es el ángulo correspondiente si este viaje se realiza en el plano euclidiano? ¿Qué\(\theta\) enfoque como\(a \to 0^+\text{?}\)
- Demostrar que\(\angle x0p = \angle 0px\text{.}\)
- Demostrar que\(\cosh(d_H(p,q)) = \cosh^4(a)[1-\sin(2\theta)]+\sin(2\theta)\text{.}\)
- Deja\(\alpha = \angle q p 0\text{,}\)\(b = d_H(0,p)\) y\(c = d_H(p,q)\text{.}\) muestra eso
\[ \sin(\alpha) = \dfrac{\sinh(b)}{\sinh(c)}\cos(2\theta). \]
- Determinar el área del pentágono encerrada por el trayecto si, después de llegar\(q\) volvemos a\(p\) lo largo de la geodésica. En particular, mostrar que el área de este pentágono es igual\(\dfrac{3\pi}{2}-2(\theta+\alpha)\text{.}\) ¿Cuál es el área correspondiente si el viaje se hubiera hecho en el plano euclidiano?
- ¿Cambiaría alguna de estas mediciones si iniciáramos en un punto diferente en el plano hiperbólico y/o nos dirigimos en una dirección diferente inicialmente a las de la Figura\(5.4.11\)?
