5.3: Medición en Geometría Hiperbólica

En esta sección, desarrollamos una noción de distancia en el plano hiperbólico. Si alguien está parado en el punto\(p\) y quiere llegar al punto\(q\text{,}\) debería poder decir hasta dónde está llegar, sea cual sea la ruta que se tome.

La fórmula de distancia se deriva siguiendo el enfoque dado en el texto\(30\) de la Sección de Boas [2]. Primero enumeramos las características que nuestra función de distancia debería tener, y usamos la notación que\(d_H(p,q)\) representa la distancia hiperbólica de\(p\) a\(q\) en el plano hiperbólico\(\mathbb{D}\text{.}\)

1. La distancia entre\(2\) distintos puntos debe ser positiva.
2. El camino más corto entre\(2\) puntos debe estar en la línea hiperbólica que los conecta.
3. Si\(p,q\text{,}\) y\(r\) son tres puntos en una línea hiperbólica con\(q\) entre los otros dos entonces\(d_H(p,q) + d_H(q,r) = d_H(p,r)\text{.}\)
4. La distancia debe conservarse por transformaciones en\(\cal H\text{.}\) (Un balde de almuerzo no debe encogerse si se mueve a otra mesa.) En otras palabras, la fórmula de distancia debe satisfacer\[d_H(p,q) = d_H(T(p),T(q))\] para cualquier punto\(p\) y\(q\) en\(\mathbb{D}\text{,}\) y cualquier transformación\(T\) en\({\cal H}\text{.}\)
5. En el límite para distancias pequeñas, la distancia hiperbólica debe ser proporcional a la distancia euclidiana.

Quizás la menos obvia de las características enumeradas es la última. Un tema de este texto es que localmente, en pequeñas escalas, la geometría no euclidiana se comporta de manera muy similar a la geometría euclidiana. Un segmento pequeño en el plano hiperbólico se aproxima al primer orden por un segmento euclidiano. Los triángulos hiperbólicos pequeños parecen triángulos euclidianos y los ángulos hiperbólicos corresponden a los ángulos euclidianos; la fórmula de distancia hiperbólica encajará con este tema.

Para encontrar la función distancia, comience con la distancia de un punto desde el origen. Dado un punto\(z\) en\(\mathbb{D}\text{,}\) rotar alrededor de\(0\) manera que\(z\) se envía al punto\(x = |z|\) en el eje real positivo.

Podemos encontrar una línea hiperbólica\(L\) sobre la cual\(x\) se refleja al origen. Tal línea hiperbólica se construye en la prueba del Teorema\(5.1.1\). Recordemos, la línea\(L\) está en el círculo centrada en\(x^*\) (el punto simétrico\(x\) con respecto a a\(\mathbb{S}^1_\infty\)) que pasa por los puntos en los que se\(\mathbb{S}^1_\infty\) cruza el círculo con diámetro\(0x^*\text{.}\) Let\(x + h\) ser un punto cercano\(x\) en el eje real positivo, y supongamos que\(x + h\) se invierte hasta el punto\(w\text{,}\) como se representa en la Figura\(5.3.1\). Se puede mostrar (en Ejercicio\(5.3.1\)) que

\[ w = \frac{-h}{1 - x^2 - hx}\text{.} \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Reflejo del plano hiperbólico enviando\(x\) hacia\(0\) y\(x+h\) hacia\(w\text{.}\) (Copyright; autor vía fuente)

Si la distancia va a ser preservada por transformaciones en\({\cal H}\text{,}\)

\[ d_H(x,x+h) = d_H(0,w) \tag{1}\text{.} \]

Además,\(0, x\text{,}\) y\(x+h\) están todos en la misma línea hiperbólica (el eje real), por lo que suponiendo\(h > 0\)

\[ d_H(0,x)+d_H(x,x+h) = d_H(0,x+h) \tag{2}\text{.} \]

Para\(x \in \mathbb{R}\) definir la función\(d(x) = d_H(0,x)\) que es la distancia hiperbólica del origen.\(x\) Entonces (2) y (1) se pueden combinar para dar

\[ d(x+h)-d(x)=d(w)\text{.} \]

Divide ambos lados por\(h\) para obtener

\[ \frac{d(x+h)-d(x)}{h}=\frac{d(w)}{h}\text{.} \]

A medida\(h \to 0\) que obtenemos

\[ d^\prime(x) = \lim_{h \to 0} \frac{d(w)}{h}\text{.} \]

Ahora interrumpimos esta derivación con un punto importante. En el límite para pequeños\(w\text{,}\) la distancia hiperbólica de\(w\) desde\(0\),\(d(w)\text{,}\) es proporcional a la distancia euclidiana\(|w - 0| = |w|\text{.}\) Dado que\(w\) es la imagen de\(x+h\) debajo de la inversión y\(x\) se invierte a\(0\), se deduce que\(w \to 0\) como\(h \to 0\text{.}\) Entonces, asumimos que

\[ \lim_{h \to 0} \frac{d(w)}{|w|} = k \]

para alguna constante\(k\text{.}\) Siguiendo convención, establecemos la constante de proporcionalidad a\(k = 2\text{,}\) ya que esto hace que las fórmulas de longitud y área se vean muy bien más adelante. Ahora, volvamos a la derivación.

\ begin {align*} d^\ prime (x) & =\ lim_ {h\ a 0}\ frac {d (w)} {h}\\ & =\ lim_ {h\ a 0}\ frac {d (w)} {|w|}\ frac {|w|} {h}\\ & =\ lim_ {h\ a 0}\ bigg [2\ cpunto\ frac {h} {(1-x^2-hx) h}\ bigg]\\ & =\ frac {2} {1-x^2}\ texto {.} \ end {align*}

Para volver a la función de distancia\(d(x)\) integramos:

\ begin {alinear*}\ int\ frac {2} {1-x^2} ~dx & =\ int\ bigg (\ frac {1} {1-x} +\ frac {1} {1+x}\ bigg) ~dx\ tag {parcial~fracciones}\\ & = -\ ln (1-x) +\ ln (1+x)\ d (x) & =\ ln\ izquierda (\ frac {1+x} {1-x}\ derecha)\ text {,}\ end {align*}

por lo que llegamos a la siguiente fórmula de distancia.

La distancia hiperbólica desde\(0\) to \(z\).

La distancia hiperbólica\(0\) de un punto\(z\) en\(\mathbb{D}\) es

\[ d_H(0,z) = \ln\left(\frac{1+|z|}{1-|z|}\right)\text{.} \]

Observe que si\(z\) pulgadas su camino hacia\(\mathbb{D}\) afuera hacia el círculo en el infinito (es decir,\(|z| \to 1\)), la distancia hiperbólica de\(0\) a se\(z\) acerca\(\infty\text{.}\) Esto es algo bueno. Pensando en los postulados de Euclides, esta noción de distancia satisface uno de nuestros requisitos fundamentales: Se puede producir un segmento hiperbólico a cualquier longitud finita.

Para llegar a una fórmula de distancia general\(d_H(p,q)\text{,}\) observa algo curioso. La línea hiperbólica a través\(0\) y\(x\) tiene puntos ideales\(-1\) y\(1\). Además, la expresión\(\dfrac{(1+x)}{(1-x)}\) corresponde a la relación cruzada de los puntos\(0\text{,}\)\(x\text{,}\)\(1\), y\(-1\). En particular,

\[ (0,x;1,-1) = \frac{0 - 1}{0 + 1}\cdot \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{1 + x}{1 - x}\text{.} \]

Por lo tanto,

\[ d_H(0,x) = \ln((0,x;1,-1))\text{.} \]

Ahora podemos derivar una fórmula de distancia general, asumiendo la invarianza de distancia bajo transformaciones en\({\cal H}\text{.}\) Hay una transformación\(T\) en\({\cal H}\) que lleva\(p\) al origen y\(q\) a algún punto en el eje real positivo, llamar a este punto\(x\) (ver Figura \(5.3.2\)). Por lo tanto,

\ begin {alinear*} D_h (p, q) & = D_h (T (p), T (q))\ tag {invariancia de distancia}\\ & = D_h (0, x)\\ & =\ ln ((0, x; 1, -1))\\ & =\ ln ((p, q; u, v))\ tag {invarianza de relación cruzada}\ texto,}\ end {alinear*}

donde\(u\) y\(v\) son los puntos ideales de la línea hiperbólica a través\(p\) y\(q\text{.}\) Para ser precisos,\(u\) es el punto ideal hacia el que te dirigirías a medida que pasabas de\(p\) a\(q\text{,}\) y\(v\) es el punto ideal hacia el que te dirigirías a medida que pasabas de\(q\) a \(p\text{.}\)

Figura\(\PageIndex{2}\): Para encontrar la distancia entre\(p\) y primero\(q\text{,}\) podemos transformarnos\(p\) hacia\(0\) y\(q\) hacia el eje real positivo. (Copyright; autor vía fuente)

Subsección A: Fórmula de trabajo para\(\mathbf{d_H(p,q)}\)

Se puede calcular la distancia hiperbólica entre\(p\) y\(q\) encontrando primero los puntos ideales\(u\) y\(v\) de la línea hiperbólica a través\(p\)\(q\) y luego usando la fórmula\(d_H(p,q)=\ln((p,q;u,v))\text{.}\) En la práctica, encontrar coordenadas para estos puntos ideales puede ser difícil tarea, y a menudo es más sencillo calcular la distancia entre puntos moviendo primero uno de ellos al origen. (Este enfoque más sencillo utiliza el hecho de que la distancia hiperbólica se conserva bajo transformaciones en\(\cal H\text{.}\) Este hecho se probará en breve.)

Una transformación en la\({\cal H}\) que envía\(p\) a\(0\) tiene la forma

\[ T(z) = \frac{z-p}{1-\overline{p}z}\text{.} \]

El mapa\(T\) envía\(q\) a algún otro punto,\(T(q)\text{,}\) en\(\mathbb{D}\text{.}\) Suponiendo de nuevo que\(T\) conserva la distancia, se deduce que\(d_H(p,q) = d_H(0,T(q))\text{,}\) y

\[ d_H(p,q) = \ln\left(\frac{1+|T(q)|}{1-|T(q)|}\right)\text{.} \]

Hacer la sustitución nos\(\displaystyle T(q) = \frac{q-p}{1-\overline{p}q}\) proporciona la siguiente fórmula de trabajo para la distancia hiperbólica entre dos puntos.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dados dos puntos\(p\) y\(q\) en\(\mathbb{D}\text{,}\) la distancia hiperbólica entre ellos es

\[ d_H(p,q) = \ln\left[\frac{|1-\overline{p}q|+|q-p|}{|1-\overline{p}q|-|q-p|}\right]\text{.} \]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The Distance Between Two Points

Por ejemplo, supongamos\(p = \dfrac{1}{2}i\text{,}\)\(q = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i\text{,}\)\(z = .95e^{i5\pi/6}\) y\(w=-.95\text{.}\) Entonces\(d_H(p,q) \approx 1.49\) unidades, mientras\(d_H(z,w) \approx 4.64 \) unidades.

El diferencial de longitud de arco

Ahora que podemos calcular la distancia entre dos puntos en el plano hiperbólico, volvemos nuestra atención a medir la longitud de cualquier camino que nos lleve de\(p\) a\(q\text{.}\)

Definición: Curva suave

Una curva suave es un mapa diferenciable de un intervalo de números reales al plano

\[ \boldsymbol{r}: [a,b] \to \mathbb{C} \]

tal que\(\boldsymbol{r}^\prime(t)\) existe para todos\(t\) y nunca es igual\(0\text{.}\)

En el espíritu de este texto, escribimos\(\boldsymbol{r}(t) = x(t) + i y(t)\text{,}\) en cuyo caso\(\boldsymbol{r}^\prime(t) = x^\prime(t) + iy^\prime(t)\text{.}\)

Recordemos que en el cálculo primero aproximamos la longitud euclidiana de una curva suave\(\boldsymbol{r}(t) = x(t) + iy(t)\) dada sumando las contribuciones de pequeños segmentos de línea recta que tienen longitud euclidiana

\ begin {align*}\ Delta s & = |\ negridsymbol {r} (t+\ Delta t) -\ negridsymbol {r} (t) |\\ & =\ sqrt {[x (t +\ Delta t) - x (t)] ^2 + [y (t +\ Delta t) - y (t)] ^2}\\ & =\ sqrt {\ bigg [\ frac {x (t +\ Delta t) - x (t)} {\ Delta t}\ bigg] ^2 +\ bigg [\ frac {y (t +\ Delta t) - y (t)} {\ Delta t}\ bigg] ^2} |\ Delta t|\ text {.} \ end {align*}

A medida\(\Delta t \to 0\) que obtenemos el diferencial euclidiano de longitud de arco

\[ ds = \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}~dt\text{,} \]

que puede expresarse como

\[ ds = |\boldsymbol{r}^\prime(t)|~dt\text{.} \]

Por ejemplo, podemos calcular la circunferencia (euclidiana) de un círculo con radio de la\(a\) siguiente manera. Considerar\(\boldsymbol{r}: [0, 2\pi] \to \mathbb{C}\) por\(\boldsymbol{r}(t) = a \cos(t) + i a \sin(t)\text{.}\) Este mapa traza un círculo de radio\(a\) centrado en el origen. Para encontrar la longitud de esta curva, que denotamos como\({\cal L}(\boldsymbol{r})\text{,}\) computar la integral

\ begin {align*} {\ cal L} (\ negridsymbol {r}) & =\ int_0^ {2\ pi} |\ negrilla {r} ^\ prime (t) |~dt\\ & =\ int_0^ {2\ pi} |-a\ sin (t) + i a\ cos (t) |~dt\\ & =\ int_0^ {2\ pi}\ sqrt {a^2\ sin^2 (t) + a^2\ cos^2 (t)} ~dt\\ & =\ int_0^ {2\ pi} a ~dt\\ & = 2\ pi a\ text {.} \ end {align*}

En el plano hiperbólico, podemos deducir el diferencial de longitud de arco por un argumento similar. Supongamos que\(\boldsymbol{r}\) es una curva suave en\(\mathbb{D}\) dada por\(\boldsymbol{r}(t) = x(t) + iy(t)\text{,}\) para\(a \leq t \leq b\text{.}\) Uno puede aproximarse a la longitud de una pequeña porción de la curva, digamos de\(\boldsymbol{r}(t)\) a\(\boldsymbol{r}(t + \Delta t)\text{,}\) por la distancia hiperbólica entre estos dos puntos,\(d_H(\boldsymbol{r}(t), \boldsymbol{r}(t + \Delta t))\text{.}\) Para calcular esta distancia, primero enviamos el punto \(\boldsymbol{r}(t)\)a 0 por la transformación

\[ T(z) = \dfrac{z-\boldsymbol{r}(t)}{1-\overline{\boldsymbol{r}(t)}z}\text{,} \]

para que

\[ d_H(\boldsymbol{r}(t),\boldsymbol{r}(t+\Delta t)) = \ln[1 + |T(\boldsymbol{r}(t+\Delta t))|]-\ln[1 - |T(\boldsymbol{r}(t+\Delta t))|]\text{.} \]

Para llegar a un diferencial de longitud de arco, queremos dejar que se\(\Delta t\) acerque\(0\). A medida que esto sucede,\(T(\boldsymbol{r}(t+\Delta t))\) se acerca\(T(\boldsymbol{r}(t))\text{,}\) que es 0. Del cálculo también sabemos que\(\ln(1+x) \approx x\) por\(x\) muy cerca de 0. Así, para pequeños\(\Delta t\text{,}\) tenemos

\ begin {align*} d_H (\ negridsymbol {r} (t),\ negridsymbol {r} (t+\ Delta t)) &\ approx |T (\ negridsymbol {r} (t+\ Delta t)) | + |T (\ negritas {r} (t+\ Delta t)) |\\ & =2\ cdot\ izquierda|\ frac\ negritasímbolo {r} (t+\ Delta t) -\ negridsymbol {r} (t)} {1 -\ overline {\ negritasímbolo {r} (t)}\ negridsymbol {r} (t+\ Delta t)}\ derecha|\\ & =2\ cdot\ frac {\ izquierda|\ frac {\ negrita {r} (t+\ Delta t) -\ negrita {r} (t)} {\ Delta t}\ derecha|} {|1 -\ overline {\ negrita {r} (t)}\ negrita {r} (t+\ Delta t) |}\ cdot |\ Delta t |\ texto {.} \ end {align*}

Ahora, como va\(\Delta t \to 0\text{,}\) el numerador en el cociente anterior\(|\boldsymbol{r}^\prime(t)|\) y el denominador va a\(1 - |\boldsymbol{r}(t)|^2\text{,}\) y llegamos al siguiente diferencial hiperbólico de longitud de arco.

Definición: Longitud de\(r\)

Si\(\boldsymbol{r}: [a,b] \to \mathbb{D}\) es una curva suave en el plano hiperbólico, defina la longitud de\(\boldsymbol{r}\),\({\cal L}(\boldsymbol{r})\text{,}\) denotada como

\[ {\cal L}(\boldsymbol{r}) = \int_a^b \frac{2}{1 - |\boldsymbol{r}(t)|^2}~|\boldsymbol{r}^\prime(t)|dt\text{.} \]

Se puede comprobar inmediatamente que la distancia hiperbólica entre dos puntos en\(\mathbb{D}\) corresponde a la longitud del segmento de línea hiperbólica que los conecta.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

La longitud del arco definida anteriormente es una invariante de la geometría hiperbólica. Es decir, si\(\boldsymbol{r}\) es una curva suave en\(\mathbb{D}\text{,}\) y\(T\) es cualquier transformación en\(\cal H\text{,}\) entonces\({\cal L}(\boldsymbol{r}) = {\cal L}(T(\boldsymbol{r}))\text{.}\)

La prueba de este teorema se deja como ejercicio. Se puede probar que las reflexiones hiperbólicas también conservan la longitud del arco. Esto no debería sorprender, dada la construcción de la fórmula de distancia al inicio de esta sección. Aún así, uno puede probar este hecho a partir de nuestra definición de longitud de arco (Ejercicio\(5.3.6\)). Así, todas las reflexiones hiperbólicas y todas las transformaciones en\(\cal H\) son isometrías hiperbólicas: conservan la distancia hiperbólica entre puntos en\(\mathbb{D}\text{.}\)

Otra consecuencia de la invarianza de distancia, cuando se aplica a rotaciones hiperbólicas, es la siguiente:

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Todos los puntos de un círculo hiperbólico centrados en\(p\) son equidistantes de\(p\text{.}\)

Prueba

Supongamos\(u\) y\(v\) están en el mismo círculo hiperbólico centrado en Es\(p\text{.}\) decir, estos puntos están en la misma clina tipo II con respecto a\(p\) y\(p^*\text{,}\) así existe una rotación hiperbólica que fija\(p\) y mapea\(u\) a\(v\text{.}\) Así,\(d_H(p,u) = d_H(T(p),T(u)) = d_H(p,v)\text{.}\) Se sigue que dos puntos cualesquiera en el círculo hiperbólico centrado en\(p\) son equidistantes de\(p\text{.}\)

Ahora estamos en condiciones de argumentar que en el plano hiperbólico, el camino más corto (geodésico) conecta dos puntos\(p\) y\(q\) es a lo largo de la línea hiperbólica a través de ellos.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Las líneas hiperbólicas son geodésicas; es decir, el camino más corto entre dos puntos\((\mathbb{D},{\cal H})\) es a lo largo del segmento hiperbólico entre ellas.

Croquis de Prueba

Primero argumentamos que lo geodésico desde\(0\) hasta un punto\(c\) en el eje real positivo es el eje real en sí.

Supongamos que\(\boldsymbol{r}(t) = x(t) + iy(t)\) for\(a \leq t \leq b\text{,}\) es una curva suave arbitraria de\(0\) a\(c\) (so\(\boldsymbol{r}(a) = 0\) y\(\boldsymbol{r}(b) = c\)).

Supongamos además que eso\(x(t)\) es no decreciente (si nuestro camino retrocede en la\(x\) dirección, afirmamos que el camino no puede ser posiblemente geodésico). Entonces

\[ {\cal L}(\boldsymbol{r}) = \int_a^b\frac{2}{1-[(x(t))^2 + (y(t))^2]}\sqrt{(x^\prime(t))^2 + (y^\prime(t))^2}~dt. \]

El segmento de línea hiperbólico de\(0\) a se\(c\) puede parametrizar\(\boldsymbol{r}_0(t) = x(t) + 0i\) por\(a \leq t \leq b\text{,}\) lo que tiene longitud

\[ {\cal L}(\boldsymbol{r}_0) = \int_a^b\frac{2}{1-[x(t)]^2}\sqrt{(x^\prime(t))^2}~dt\text{.} \]

La curva\(\boldsymbol{r}_0\) es esencialmente la sombra de\(\boldsymbol{r}\) sobre el eje real.

Uno puede comparar los integrands directamente para ver que\({\cal L}(\boldsymbol{r}) \geq {\cal L}(\boldsymbol{r}_0)\text{.}\)

Dado que las transformaciones en\({\cal H}\) preservar la longitud del arco y las líneas hiperbólicas, se deduce que el camino más corto entre dos puntos cualesquiera\(\mathbb{D}\) es a lo largo de la línea hiperbólica a través de ellos.

Corolario\(\PageIndex{2}\)

La función de distancia hiperbólica es una métrica en el plano hiperbólico. En particular, para cualquier punto\(p,q,u\) en\(\mathbb{D}\)

1. \(d_H(p,q) \geq 0\text{,}\)y\(d_H(p,q)=0\) si y solo si\(p = q\text{;}\)
2. \(d_H(p,q) = d_H(q,p)\text{;}\)y
3. \(d_H(p,q)+d_H(q,u) \geq d_H(p,u)\text{.}\)

Prueba

Recordemos nuestra fórmula para la distancia hiperbólica entre dos puntos en Teorema\(5.3.1\):

\[ d_H(p,q) = \ln\left[\frac{|1-\overline{p}q|+|q-p|}{|1-\overline{p}q|-|q-p|}\right]. \]

Esta expresión es siempre no negativa porque el cociente dentro del logaritmo natural siempre es mayor o igual a\(1\). De hecho, la expresión es igual\(1\) (para que la distancia sea igual\(0\)) si y solo si\(p = q\text{.}\)

Obsérvese además que esta fórmula es simétrica. Intercambiando\(p\) y\(q\) deja la distancia sin cambios.

Finalmente, la fórmula de distancia hiperbólica satisface la desigualdad triangular porque las líneas hiperbólicas son geodésicas.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Two Paths From \(\boldsymbol{p}\) to \(\boldsymbol{q}\)

A continuación se\(q = .5+.5i\) muestran dos caminos de\(p = .5i\) a: el segmento hiperbólico (sólido) de\(p\) a\(q\text{,}\) y el camino (discontinuas)\(\boldsymbol{r}\) que parece un segmento euclidiano. ¿Qué camino es más corto?

Podemos calcular la longitud del segmento hiperbólico que conecta\(p\) y\(q\) con la fórmula de distancia del Teorema\(5.3.1\). Esta distancia es de aproximadamente\(1.49\) unidades.

Por el contrario, considere el camino en\(\mathbb{D}\) correspondiente al segmento de línea euclidiana de\(p\) a\(q\text{.}\) Este camino puede ser descrito por\(\boldsymbol{r}(t) = t + \dfrac{1}{2}i\) para\(0 \leq t \leq \dfrac{1}{2}\text{.}\) Entonces\(\boldsymbol{r}^\prime(t) = 1\) y

\ begin {align*} {\ cal L} (\ negrita {r}) & =\ int_0^ {\ frac {1} {2}}\ frac {2} {1- (t^2+\ frac {1} {4})} dt\\ &\ aprox 1.52\ texto {.} \ end {align*}

No es de sorprender que el segmento hiperbólico\(p\) al que se conecta\(q\) sea un camino más corto\((\mathbb{D},{\cal H})\) que el segmento de línea euclidiana que los conecta.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Perpendicular Bisectors in \((\mathbb{D},{\cal H})\)

Para dos puntos cualesquiera\(p\) y\(q\) en\(\mathbb{D}\text{,}\) podemos construir la bisectriz perpendicular al segmento hiperbólico\(pq\) siguiendo la construcción en geometría euclidiana. Construir tanto el círculo hiperbólico centrado en el\(p\) que pasa a través\(q\) como el círculo hiperbólico centrado en el\(q\) que pasa por\(p\text{.}\) La línea hiperbólica a través de los dos puntos de intersección de estos círculos es la bisectriz perpendicular al segmento\(pq\text{,}\) etiquetado \(L\)en el siguiente diagrama.

Reflexión hiperbólica sobre\(L\) mapas\(p\) hacia\(q\) y\(q\) hacia\(p\text{.}\) Dado que las reflexiones hiperbólicas preservan distancias hiperbólicas, cada punto\(L\) es hiperbólico equidistante de\(p\) y Es\(q\text{.}\) decir, para cada uno\(z\) en\(L\text{,}\)\(d_H(z,p)=d_H(z,q)\text{.}\)

En geometría euclidiana, se utilizan bisectores perpendiculares para construir el círculo a través de tres puntos no colineales. Esta construcción puede descomponerse en geometría hiperbólica. Considera los tres puntos\(p, q\text{,}\) y\(r\) en la Figura\(5.3.3\). Los bisectores perpendiculares correspondientes no se cruzan. No hay ningún punto en\(\mathbb{D}\) hiperbólico equidistante de estos tres puntos. En particular, en geometría hiperbólica, no necesita haber un círculo hiperbólico a través de tres puntos no colineales.

Figura\(\PageIndex{3}\): Tres puntos no colineales no necesitan determinar un círculo en geometría hiperbólica. (Copyright; autor vía fuente)

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos\(0\lt x \lt 1\) y\(L\) es una línea hiperbólica sobre la cual\(x\) se invierte al origen. (Tal inversión se construyó en Teorema\(5.1.1\).) Para un número real\(h\text{,}\) deja\(w\) ser la imagen de\(x+h\) bajo esta inversión. Demostrar que\(w = \dfrac{-h}{1-x^2-hx}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Determinar un punto en\(\mathbb{D}\) cuya distancia hiperbólica del origen sea\(2,003,007.4\) unidades.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Supongamos que\(L\) es cualquier línea hiperbólica, y\(C\) es cualquier cline a través de los puntos ideales de\(L\text{.}\) Para cualquier punto\(z\) en\(L\text{,}\) su distancia perpendicular a\(C\) es la longitud del segmento hiperbólico desde\(z\) hasta\(C\) que se encuentra\(C\) en ángulo recto. Demostrar que la distancia perpendicular de\(C\) a\(L\) es la misma en cada punto de\(L\text{.}\) Pista: Utilice el hecho de que la distancia es una invariante de la geometría hiperbólica.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Determinar la distancia hiperbólica del punto\(p = 0.5\) al punto\(q = 0.25 + 0.5i\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar teorema\(5.3.2\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Los reflejos hiperbólicos preservan la distancia en\((\mathbb{D},{\cal H})\)

1. Utilice la definición de longitud de arco para demostrar que la reflexión hiperbólica sobre el eje real preserva la longitud del arco.
2. Use la parte (a) y el teorema\(5.3.2\) para argumentar que la reflexión hiperbólica sobre cualquier línea hiperbólica preserva la longitud del arco en\((\mathbb{D}, {\cal H})\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Supongamos que\(z_0\) está en el plano hiperbólico y\(r > 0\text{.}\) Probar que el conjunto que\(C\) consiste\(z\) en todos los puntos en\(\mathbb{D}\) tal que\(d_H(z,z_0) = r\) es un círculo euclidiano.