5: Geometría Hiperbólica

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La geometría hiperbólica se puede modelar de muchas maneras diferentes. Nos centraremos aquí en el modelo de disco Poincaré, desarrollado por Henri Poincaré (1854-1912) alrededor de 1880. Poincaré hizo un trabajo notable en matemáticas, aunque en realidad nunca fue profesor de matemáticas. Estaba particularmente interesado en la relación entre las matemáticas, la física y la psicología. Comenzó a estudiar la geometría no euclidiana en detalle después de que apareciera en su estudio de dos disciplinas aparentemente no relacionadas: las ecuaciones diferenciales y la teoría de números. ¹Poincaré tomó la opinión de Klein de que las geometrías son generadas por conjuntos y grupos de transformaciones sobre ellas. Consideramos un segundo modelo de geometría hiperbólica, el modelo de medio plano superior, en la Sección 5.5.

5.1: El Modelo de Disco Poincaré
5.2: Figuras de Geometría Hiperbólica
El grupo de transformación euclidiana, E, que consiste en todas las rotaciones y traslaciones (euclidianas), es generado por reflexiones sobre las líneas euclidianas. De igual manera, las transformaciones en H son generadas por reflexiones hiperbólicas, que son inversiones sobre clinos que intersectan el círculo unitario en ángulo recto. Esto sugiere que estos clinos deberían ser las líneas de geometría hiperbólica.
5.3: Medición en Geometría Hiperbólica
En esta sección desarrollamos una noción de distancia en el plano hiperbólico.
5.4: Trigonometría de Área y Triángulo
El diferencial de longitud de arco determina un diferencial de área y el área de una región también será una invariante de geometría hiperbólica. El área de una región no cambiará a medida que se mueva alrededor del plano hiperbólico.
5.5: El modelo de medio plano superior
El modelo de disco de Poincaré es una forma de representar la geometría hiperbólica, y para la mayoría de los propósitos nos sirve muy bien. Sin embargo, otro modelo, llamado modelo de medio plano superior, facilita algunos cálculos, incluido el cálculo del área de un triángulo.

Notas

1. Consulte el capítulo de Arthur Miller en [13] para una discusión sobre los diversos intereses de Poincaré.