5.5: El modelo de medio plano superior
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El modelo de disco de Poincaré es una forma de representar la geometría hiperbólica, y para la mayoría de los propósitos nos sirve muy bien. Sin embargo, otro modelo, llamado modelo de medio plano superior, facilita algunos cálculos, incluido el cálculo del área de un triángulo.
Definición: Modelo de Medio Plano Superior de Geometría Hiperbólica
El modelo de medio plano superior de geometría hiperbólica tiene espacio\(\mathbb{U}\) que consiste en todos los números complejos\(z\) tales que Im (\(z) \gt 0\text{,}\)y grupo de transformación que\(\cal U\) consiste en todas las transformaciones de Möbius que se envían\(\mathbb{U}\) a sí mismo. El espacio\(\mathbb{U}\) se llama el medio plano superior de\(\mathbb{C}\text{.}\)
El modelo de disco de Poincaré de geometría hiperbólica puede transferirse al modelo de medio plano superior a través de una transformación de Möbius construida a partir de dos inversiones de la siguiente manera:
- Invertir alrededor del círculo\(C\) centrado al\(i\) pasar a través\(-1\) y\(1\) como en la Figura\(5.5.1\).
- Reflexionar sobre el eje real.
Observe que la inversión sobre el círculo\(C\) fija\(-1\) y\(1\), y lleva\(i\) a\(\infty\text{.}\) Dado que la reflexión a través del eje real deja fijos estos puntos de imagen, la composición de las dos inversiones es una transformación de Möbius que lleva el círculo unitario al eje real. El mapa también envía el interior del disco al medio plano superior. Observe además que la transformación de Möbius lleva\(\infty\) por\(-i\text{;}\) lo tanto, por Teorema\(3.5.1\), el mapa puede escribirse como
\[ V(z) = \dfrac{-iz + 1}{z - i}\text{.} \]
Esta transformación de Möbius es la clave para transferir el modelo de disco del plano hiperbólico al modelo de medio plano superior. De hecho, al pisar de un lado a otro entre estos modelos es conveniente adoptar la siguiente convención para esta sección: Dejar\(z\) denotar un punto en\(\mathbb{D}\text{,}\) y\(w\) denotar un punto en el medio plano superior\(\mathbb{U}\text{,}\) como en la Figura\(5.5.2\). Registramos las transformaciones que enlazan los espacios a continuación.
El\(V\) mapeo\(\mathbb{D}\) de transformación de Möbius\(\mathbb{U}\text{,}\) y su inverso\(V^{-1}\text{,}\) están dados por:
\[ w = V(z) = \dfrac{-iz + 1}{z - i} ~~~~\text{and}~~~~z = V^{-1}(w) = \dfrac{iw+1}{w+i}\text{.} \]
Algunas características del modelo de medio plano superior salen a la luz de inmediato. Dado que\(V\) es una transformación de Möbius, conserva clines y ángulos. Esto significa que los puntos ideales en el modelo de disco, es decir, los puntos en el círculo en el infinito, se\(\mathbb{S}^1_\infty\text{,}\) han movido al eje real y que las líneas hiperbólicas en el modelo de disco se han convertido en clines que cruzan el eje real en ángulo recto.
Definir la distancia hiperbólica entre dos puntos\(w_1, w_2\) en el modelo de medio plano superior, denotada como\(d_U(w_1, w_2)\text{,}\) la distancia hiperbólica entre sus preimágenes en el modelo de disco.
Supongamos\(w_1\) y\(w_2\) son dos puntos en\(V\) cuyas pre-imágenes en el disco unitario se encuentran\(z_1\) y\(z_2\text{,}\) respectivamente. Entonces,
\[ d_U(w_1, w_2) = d_H(z_1,z_2) = \ln((z_1, z_2 ; u, v))\text{,} \]
donde\(u\) y\(v\) son los puntos ideales de la línea hiperbólica a través\(z_1\) y\(z_2\text{.}\) Pero, dado que la relación cruzada se conserva bajo transformaciones de Möbius,
\[ d_U(w_1,w_2) = \ln((w_1,w_2; p, q))\text{,} \]
donde\(p,q\) están los puntos ideales de la línea hiperbólica en el medio plano superior a través\(w_1\) y\(w_2\text{.}\) En particular, yendo de\(w_1\) a\(w_2\) nos dirigimos hacia el punto ideal\(p\text{.}\)
Para\(r > s > 0\) calculamos la distancia entre\(ri\) y\(si\) en el modelo de medio plano superior.
La línea hiperbólica a través\(ri\) y\(si\) es el eje imaginario positivo, teniendo puntos ideales\(0\) y\(\infty\text{.}\) Así,
\ begin {align*} d_u (ri, si) & =\ ln ((ri, si; 0,\ infty))\\ & =\ dfrac {ri - 0} {ri -\ infty}\ cdot\ dfrac {si-\ infty} {si-0}\ & =\ ln\ izquierda (\ dfrac {r} {s}\ derecha)\ texto {.} \ end {align*}
Ejemplo\(5.5.2\): The Distance Between Any Two Points.
Para encontrar la distancia entre dos puntos cualesquiera\(w_1\) y\(w_2\) en primero\(\mathbb{U}\text{,}\) construimos un mapa en el modelo de medio plano superior que mueve estos dos puntos al eje imaginario positivo. Para construir este mapa, trabajamos a través del modelo de disco Poincaré.
Por la transformación\(V^{-1}\) enviamos\(w_1\) y\(w_2\)\(\mathbb{D}\text{.}\) volvemos a Dejamos\(z_1 = V^{-1}(w_1)\) y\(z_2 = V^{-1}(w_2)\text{.}\) Entonces, deja\(S(z) = e^{i\theta}\dfrac{z-z_1}{1-\overline{z_1}z}\) ser la transformación en\((\mathbb{D},{\cal H})\) que envía\(z_1\) a\(0\) con\(\theta\) elegido cuidadosamente para que\(z_2\) se envíe al imaginario positivo eje. De hecho,\(z_2\) se envía al punto\(ki\) donde\(k = |S(z_2)| = |S(V^{-1}(w_2))|\) (y\(0 \lt k \lt 1\)). Entonces, aplicando\(V\) a la situación,\(0\) se envía a\(i\) y\(ki\) se envía a\(\dfrac{1+k}{1-k}i\text{.}\) Así,\(V \circ S \circ V^{-1}\) envía\(w_1\) a\(i\) y\(w_2\) a\(\dfrac{1+k}{1-k}i\text{,}\) donde por el ejemplo anterior se conoce la distancia entre los puntos:
\[ d_U(w_1,w_2) = \ln(1+k) - \ln(1-k)\text{.} \]
Describir\(k\) en términos de\(w_1\) y\(w_2\) se deja para el lector aventurero. No es necesario que lo persigamos aquí.
Ahora derivamos el diferencial de longitud de arco hiperbólico para el modelo de medio plano superior trabajando una vez más a través del modelo de disco. Recordemos que el diferencial de longitud de arco en el modelo de disco es
\[ ds = \dfrac{2|dz|}{1-|z|^2}\text{.} \]
Ya que\(z = V^{-1}(w) = \dfrac{iw+1}{w+i}\) podemos elaborar el diferencial de longitud de arco en términos de\(dw\text{.}\) Tendremos que tomar la derivada de una expresión compleja, lo cual se puede hacer igual que si se tratara de una expresión valorada real. Aquí vamos:
\ begin {align*} ds & =\ dfrac {2|dz|} {1-|z|^2}\\ & =\ dfrac {2|d\ bigg (\ dfrac {iw+1} {w+i}\ bigg) |} {1-\ big|\ dfrac {iw+1} {w+i}\ big|^2}\ tag {iw+1} {w+i}\ big|^2}\ tag {iw+1} {w+i}\ big|^2} =\ dfrac {iw+1} {w+i} $}\\ & =\ dfrac {2|i (w+i) dw- (iw+1) dw|} {|w+i|^2}\ big/\ bigg [1-\ dfrac {|iw+1 |^2} {|w+i|^2}\ bigg]\ tag {regla}\\ & =\ dfrac {4|dw|} {|w+i|^2-|iw+1 |^2 }\\ & =\ dfrac {4|dw|} {(w+i) (\ overline {w} -i) - (iw+1) (-i\ overline {w} +1)}\\ & =\ dfrac {4|dw|} {2i (\ overline {w} -w)}\\ & =\ dfrac {|dw|} {{} (w)}\ texto {.} \ end {align*}
Esto nos lleva a la siguiente definición:
Definición: Longitud de una curva suave
La longitud de una curva suave\(\boldsymbol{r}(t)\) para\(a \leq t \leq b\) en el modelo de medio plano superior\((\mathbb{U},{\cal U})\text{,}\) denotado\({\cal L}(\boldsymbol{r})\text{,}\) viene dada por
\[ {\cal L}(\boldsymbol{r}) = \int_a^b \dfrac{|\boldsymbol{r}^\prime(t)|}{\text{Im}(\boldsymbol{r}(t))}~dt\text{.} \]
Ejemplo\(5.5.3\): The Length of a Curve.
Para encontrar la longitud de la curva horizontal\(\boldsymbol{r}(t) = t + ki\) para\(a \leq t \leq b\text{,}\) anotar eso\(\boldsymbol{r}^\prime(t) = 1\) y\(\text{ Im}(\boldsymbol{r}(t)) = k\text{.}\) Así,
\[ {\cal L}(\boldsymbol{r}) = \int_a^b \dfrac{1}{k}~dt = \dfrac{b-a}{k}\text{.} \]
Del diferencial de longitud de arco\(ds = \dfrac{dw}{\text{Im}(w)}\) viene el diferencial de área:
Definición: Área de una Región
En el modelo\((\mathbb{U},{\cal U})\) de medio plano superior de geometría hiperbólica, el área de una región\(R\) descrita en coordenadas cartesianas, denotada\(A(R)\text{,}\) viene dada por
\[ A(R) = \iint_R \dfrac{1}{y^2}~dxdy\text{.} \]
Ejemplo\(5.5.4\): The Area of a \(\dfrac{2}{3}\)-Ideal Triangle.
Supongamos que\(w \in \mathbb{U}\) está en el círculo unitario, y considera el triángulo\(\dfrac{2}{3}\) -ideal\(1w\infty\) como se muestra en la imagen.
En particular, supongamos que el ángulo interior a\(w\) es de\(\alpha\text{,}\) manera que\(w = e^{i(\pi-\alpha)}\) donde\(0 \lt \alpha \lt \pi\text{.}\)
El área de este triángulo\(\dfrac{2}{3}\) ideal es así
\ begin {alinear*} A & =\ int_ {\ cos (\ pi -\ alpha)} ^1\ int_ {\ sqrt {1-x^2}} ^\ infty\ dfrac {1} {y^2} ~dydx\\ & =\ int_ {\ cos (\ pi -\ alfa)} ^1\ dfrac {1} {\ sqrt {1-x^2}} ~dx\ texto {.} \ end {align*}
Con la substitución trigonométrica\(\cos(\theta) = x\text{,}\) para que\(\sqrt{1-x^2} = \sin(\theta)\) y\(-\sin(\theta)d\theta = dx\text{,}\) la integral se convierta
\ begin {align*} & =\ int_ {\ pi -\ alpha} ^0\ dfrac {-\ sin (\ theta)} {\ sin (\ theta)} ~d\ theta\\ & =\ pi -\ alpha\ text {.} \ end {align*}
Resulta que cualquier triángulo\(\dfrac{2}{3}\) -ideal es congruente con uno de la forma\(1w\infty\) donde\(w\) está en la mitad superior del círculo unitario (Ejercicio\(5.5.3\)), y dado que nuestras transformaciones preservan ángulos y área, hemos demostrado la fórmula de área para un triángulo\(\dfrac{2}{3}\) -ideal.
Teorema\(5.5.1\)
El área de un triángulo\(\dfrac{2}{3}\) ideal que tiene un ángulo interior\(\alpha\) es igual a\(\pi - \alpha\text{.}\)
Ejercicios
¿Qué pasa con los horociclos cuando transferimos el modelo de disco de geometría hiperbólica al modelo de medio plano superior?
¿Qué aspecto tienen las rotaciones hiperbólicas en el modelo de disco sobre el modelo de medio plano superior? ¿Qué pasa con las traducciones hiperbólicas?
Dar una descripción explícita de una transformación que toma un triángulo arbitrario\(\dfrac{2}{3}\) -ideal en el medio plano superior a uno con puntos ideales\(1\)\(\infty\) y un vértice interior en la mitad superior del círculo unitario.
Determine el área de la región “triangular” que se muestra a continuación. ¿Cuál es la imagen de esta región bajo\(V^{-1}\) en el modelo de disco de geometría hiperbólica? ¿Por qué este resultado no contradice el Teorema\(5.4.4\)?
Otro tipo de bloque. Considere la figura de cuatro lados que\((\mathbb{D},{\cal H})\) se muestra\(pqst\) en el siguiente diagrama. Esta cifra está determinada por dos horociclos\(C_1\)\(C_2\text{,}\) y dos líneas hiperbólicas\(L_1\) y\(L_2\) todas comparten el mismo punto ideal. Tenga en cuenta que las líneas son ortogonales a los horociclos, de manera que cada ángulo en la figura de cuatro lados es\(90^{\circ}\text{.}\)
- Por rotación sobre el origen si es necesario, supongamos que el punto ideal común es\(i\) y usa el mapa\(V\) para transferir la figura al medio plano superior. Cómo se ve la figura transferida en\(\mathbb{U}\text{?}\) Responder partes (b) - (d) mediante el uso de esta versión transferida de la figura.
- Demostrar que las longitudes hiperbólicas de los lados\(pq\) y\(st\) son iguales.
- Dejar\(c\) igualar la longitud hiperbólica de la pierna\(pt\) a lo largo del horociclo de mayor radio\(C_1\text{,}\) y dejar que\(d\) iguale la longitud hiperbólica de la pierna\(sq\) en\(C_2\text{.}\) Mostrar que\(c = e^x d\) dónde\(x\) está la longitud común que se encuentra en la parte (b).
- Demostrar que el área de la figura de cuatro lados es\(c - d\text{.}\)
