7.3: Geometría Hiperbólica con Curvatura k < 0

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Podemos hacer el mismo escalado suave del modelo Poincaré de geometría hiperbólica que hicimos en la sección anterior al modelo de disco de geometría elíptica. En particular, para cada número negativo$k \lt 0$ construimos un modelo para geometría hiperbólica con curvatura$k\text{.}$

Definimos el espacio$\mathbb{D}_k$ para que sea el disco abierto de radio$\dfrac{1}{\sqrt{|k|}}$ centrado en el origen en Es$\mathbb{C}\text{.}$ decir,$\mathbb{D}_k$ consiste$z$ en todo en$\mathbb{C}$ tal que$|z| \lt \dfrac{1}{\sqrt{|k|}}\text{.}$ En esta configuración, el círculo en el infinito es el círculo límite$|z| = \dfrac{1}{\sqrt{|k|}}\text{.}$

El grupo${\cal H}_k$ está formado por todas las transformaciones de Möbius que se envían$\mathbb{D}_k$ a sí mismo. La geometría$(\mathbb{D}_k,{\cal H}_k)$ con$k \lt 0$ se denomina geometría hiperbólica con curvatura$k\text{.}$ Empujando analogía con el caso elíptico, podemos definir el grupo de transformaciones para que conste de todas las transformaciones de Möbius con esta propiedad: si$z$ y$z^*$ son simétricas con respecto al círculo en el infinito entonces$T(z)$ y también$T(z^*)$ son simétricos con respecto al círculo en el infinito. Señalando que el punto simétrico$z$ con respecto a este círculo es$\displaystyle z^* = \dfrac{1}{|k|\overline{z}} = -\dfrac{1}{k\overline{z}}\text{,}$ sacamos la conclusión satisfactoria de que$T \in {\cal H}_k$ si y sólo si lo siguiente sostiene:

\[ \text{if}~z^* = -\dfrac{1}{k\overline{z}}~~ \text{then}~~ T(z^*) =-\dfrac{1}{k\overline{T(z)}}\text{.} \]

Así, el grupo${\cal H}_k$ en el caso hiperbólico se ha definido precisamente como el grupo${\cal S}_k$ en el caso elíptico. Además, se puede demostrar que las transformaciones en${\cal H}_k$ tienen la forma

\[ T(z) = e^{i\theta}\dfrac{z-z_0}{1+k\overline{z_0}z}\text{,} \]

donde$z_0$ es un punto en$\mathbb{D}_k\text{.}$

Las líneas rectas en esta geometría son las clinas en$\mathbb{C}^+$ ortogonal al círculo en el infinito. Por teorema$3.2.3$, una línea recta en$(\mathbb{D}_k,{\cal H}_k)$ es precisamente una clina con la propiedad de que si pasa$z$ entonces pasa por su punto simétrico$\dfrac{-1}{k\overline{z}}\text{.}$

Las fórmulas de longitud de arco y área también se ajustan por el factor de escala, y ahora se ven idénticas a las fórmulas para geometría elíptica con curvatura$k\text{.}$

La longitud del arco de una curva suave$\boldsymbol{r}$ en$\mathbb{D}_k$ es

\[ {\cal L}(\boldsymbol{r}) = \int_a^b \dfrac{2|\boldsymbol{r}^\prime(t)|}{1 + k|\boldsymbol{r}(t)|^2}~dt\text{.} \]

El área de una región$R$ dada en coordenadas polares se calcula mediante la fórmula

\[ A(R) = \iint_R \dfrac{4r}{(1+kr^2)^2}dr d\theta\text{.} \]

Como en el Capítulo 5 cuando$k$ se fijó en$-1$, la fórmula de área es un oso para usar, y se puede convertir a un modelo de medio plano superior para determinar el área de un triángulo$\dfrac{2}{3}$ -ideal en$\mathbb{D}_k\text{.}$ El lector ambicioso podría seguir los métodos de la Sección 5.5 para demostrar que el área de a$\dfrac{2}{3}$ - triángulo ideal en$(\mathbb{D}_k,{\cal H}_k)$ ($k \lt 0$) con ángulo interior$\alpha$ es$-\dfrac{1}{k}(\pi - \alpha)\text{.}$

Con esta fórmula en la mano, podemos derivar el área de cualquier triángulo$\mathbb{D}_k$ en términos de sus ángulos, exactamente como lo hicimos en el Capítulo 5.

Lema$\PageIndex{1}$

En geometría hiperbólica con curvatura$k\text{,}$ el área de un triángulo con ángulos$\alpha, \beta\text{,}$ y$\gamma$ es

\[ A =\dfrac{1}{k}(\alpha+\beta+\gamma -\pi)\text{.} \]

Observando curvatura negativa

Supongamos que estamos ubicados$z$ en un punto de un universo hiperbólico con curvatura$k\text{.}$ Vemos en la distancia una línea hiperbólica$L$ que parece extenderse indefinidamente. Podemos ver intuitivamente el punto$w$ en la línea que está más cerca de nosotros, como se sugiere en la Figura$7.3.1$. Ahora supongamos que miramos por la carretera un poco a un punto$v\text{.}$ Si$v$ está cerca$w$ del ángulo$\angle wzv$ estará cerca de$0$. A medida que$v$ se aleja cada vez más$w\text{,}$ del ángulo crecerá, cada vez más cerca del ángulo$\theta = \angle wzu\text{,}$ donde$u$ se encuentra un punto ideal de la línea$L\text{.}$

Figura$\PageIndex{1}$: El ángulo de paralelismo$\theta$ de un punto$z$ a una línea$L\text{.}$ (Copyright; autor vía fuente)

Un dato curioso sobre la geometría hiperbólica es que este ángulo$\theta\text{,}$ que se llama el ángulo de paralelismo de$\boldsymbol{z}$ a$\boldsymbol{L}$, es una función de$z$'s distancia$d$ a$L\text{.}$ En la Sección 5.4 vimos que$\cosh(d) = \dfrac{1}{\sin(\theta)}$ en$(\mathbb{D},{\cal H})\text{.}$ In particular, se puede deducir la distancia$d$ a la línea$L$ calculando$\theta\text{.}$ No existe tal analogía en la geometría euclidiana. En un mundo euclidiano, si uno mira cada vez más abajo de la línea$L\text{,}$ el ángulo se aproximará$90^{\circ}\text{,}$ sin importar la$d$ distancia de la línea. El siguiente teorema proporciona otra fórmula que relaciona el ángulo de paralelismo con la distancia de un punto a una línea.

Teorema$\PageIndex{1}$: Lobatchevsky's Formula

En geometría hiperbólica con curvatura$k\text{,}$ la distancia hiperbólica$d$ de un punto$z$ a una línea hiperbólica$L$ se relaciona con el ángulo de paralelismo$\theta$ por la fórmula

\[ \tan(\dfrac{\theta}{2}) = e^{-\sqrt{|k|}d}\text{.} \]

Prueba

Para esta prueba, vamos$s = \dfrac{1}{\sqrt{|k|}}\text{.}$ Tenga en cuenta que$s$ es el radio euclidiano del círculo en el infinito en el modelo de disco para geometría hiperbólica con curvatura$k\text{.}$ Dado que los ángulos y líneas y distancias se conservan, asumir$z$ es el origen y$L$ es ortogonal al eje real positivo, cruzándolo en el punto$x$ (con$0 \lt x \lt s$).

Figura$\PageIndex{2}$: Derivando la fórmula de Lobatchevsky. (Copyright; autor vía fuente)

Recordemos la fórmula de medio ángulo

\[ \tan(\dfrac{\theta}{2}) =\dfrac{\tan(\theta)}{\sec(\theta)+1}\text{.} \]

Según la Figura$7.3.2$,$\tan(\theta) = \dfrac{r}{s} \text{,}$ donde$r$ se encuentra el radio euclidiano del círculo que contiene la línea hiperbólica$L\text{.}$ Además,$\sec(\theta) = \dfrac{(x+r)}{s}\text{,}$ así

\[ \tan(\dfrac{\theta}{2}) = \dfrac{r}{x+r+s}\text{.} \label{7.3.8} \]

Podemos expresar$x$ y$r$ en términos de la distancia hiperbólica$d$ de$0$ a$x\text{.}$ En Ejercicio$7.3.2$ demostramos que la distancia hiperbólica de$0$ a$x$ in$(\mathbb{D}_k,{\cal H}_k)$ es

\[ d = s \ln\left(\dfrac{s + x}{s-x}\right) \]

para que

\[ x = s \cdot \dfrac{e^{d/s} - 1}{e^{d/s}+1}\text{.} \]

Expresar$r$ en términos$d$ de expresarlo primero en términos de$x\text{.}$ Note que segmento$x x^*$ es un diámetro del círculo que contiene$L\text{,}$ donde$x^* = \dfrac{-1}{kx}$ está el punto simétrico$x$ con respecto al círculo en el infinito. Así,$r$ es la mitad de la distancia de$x$ a$x^*\text{:}$

\[ r = -\dfrac{1 + kx^2}{2kx}\text{.} \]

Reemplazando$k$ con$-\dfrac{1}{s^2}\text{,}$ tenemos

\[ r=\dfrac{s^2-x^2}{2x}\text{.} \]

Uno comprueba que después de escribir$x$ en términos de$d\text{,}$$r$ es dado por

\[ r = \dfrac{2se^{d/s}}{e^{2d/s}-1}\text{.} \]

Sustituir esta expresión por$r$ en la ecuación etiquetada ($\ref{7.3.8}$) en esta prueba, y después de una dosis de simplificación satisfactoria se obtiene el resultado deseado:

\[ \tan(\dfrac{\theta}{2}) = e^{-d/s}\text{.} \]

Ya que$s = \dfrac{1}{\sqrt{|k|}}$ esto completa la prueba.

Parallax

Si una estrella está relativamente cerca de la Tierra, entonces a medida que la Tierra se mueve en su órbita anual alrededor del Sol, la estrella parecerá moverse en relación con el telón de fondo de las estrellas más distantes. En la imagen idealizada que sigue,$e_1$ y$e_2$ denotan la posición de la Tierra en puntos opuestos de su órbita, y la estrella$s$ es ortogonal al plano de la órbita terrestre. Al ángulo$p$ se le llama paralaje, y en un universo euclidiano,$p$ determina la distancia de la estrella al Sol,$D\text{,}$ por la ecuación$D = \dfrac{d}{\tan(p)}\text{,}$ donde$d$ está la distancia de la Tierra al Sol.

$im-parallax.svg$

Podemos determinar$p$ por observación, y$d$ es el radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol ($d$es de unos$8.3$ minutos luz.) En la práctica,$p$ es bastante pequeño, por lo que una fórmula de trabajo es$D = \dfrac{d}{p}\text{.}$ La primera medición precisa del paralaje fue registrada en$1837$ por Friedrich Bessel ($1784$-$1846$). Encontró el paralaje estelar de segundos de$0.3$ arco (segundo$1$ arco$= \dfrac{1}{3600}^{\circ}$) para la estrella$61$ Cygni, que puso a la estrella a unos$10.5$ años luz de distancia.

Si vivimos en un universo hiperbólico con curvatura$k\text{,}$ un paralaje detectado pone un límite sobre cuán curvo puede ser el universo. Considera Figura$7.3.3$. Como antes,$e_1$ y$e_2$ representan la posición de la Tierra en puntos opuestos de su órbita, de manera que la distancia entre ellos sea$2d\text{,}$ o aproximadamente$16.6$ luz-minutos. Supongamos que la estrella$s$ está en el eje real positivo y hemos detectado un paralaje$p\text{,}$ para que ese ángulo$\angle e_2se_1 = 2p\text{.}$

Figura$\PageIndex{3}$: Un paralaje detectado en un universo hiperbólico pone un límite en su curvatura. (Copyright; autor vía fuente)

El ángulo$\alpha = \angle e_1e_2s$ en la Figura$7.3.3$ es menor que el ángulo de paralelismo$\theta = \angle e_1e_2u\text{.}$ Observando que$\tan(x)$ es una función creciente y aplicando la fórmula de Lobatchevsky se deduce que

\[ \tan(\dfrac{\alpha}{2}) \lt \tan(\dfrac{\theta}{2}) = e^{-\sqrt{|k|}2d}\text{.} \]

Podemos resolver esta desigualdad para$|k|\text{:}$

\ begin {align*}\ tan (\ dfrac {\ alpha} {2}) &\ lt e^ {-\ sqrt {|k|} 2d} &\\\ ln (\ tan (\ dfrac {\ alpha} {2})) &\ lt -\ sqrt {|k|} 2d &\ ln (x) ~\ text {está aumentando}\\\ bigg [d\ frac {\ ln (\ tan (\ dfrac {\ alpha} {2}))} {2d}\ bigg] ^2 & > |k|. & x^2~\ text {está disminuyendo para} ~x\ lt 0\ end {align*}

Para obtener un límite para$|k|$ en términos de$p\text{,}$ nota que$\alpha \approx \dfrac{\pi}{2} - 2p$ (los triángulos utilizados en el paralaje estelar no tienen desviación angular detectable de$180^{\circ}$), entonces

\[ |k| \lt \left[\dfrac{\ln(\tan(\dfrac{\pi}{4}-p))}{2d}\right]^2\text{.} \]

Observamos que para los valores de$p$ near$0$, la expresión$\ln(\tan(\dfrac{\pi}{4}-p))$ tiene aproximación lineal igual a$-2p\text{,}$ lo que un límite de trabajo para el$k\text{,}$ que apareció en el$1900$ artículo de Schwarzschild [27], es$|k| \lt (\dfrac{p}{d})^2\text{.}$

Ejercicios

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Demostrar que para$k \lt 0\text{,}$ cualquier transformación en${\cal H}_k$ tiene la forma

\[ T(z) = e^{i\theta}\dfrac{z-z_0}{1+k\overline{z_0}z}\text{,} \]

donde$\theta$ está cualquier número real y$z_0$ es un punto en$\mathbb{D}_k\text{.}$

Pista: Seguir la derivación de las transformaciones que${\cal H}$ se encuentran en el Capítulo 5.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Asumir$k \lt 0$ y dejar$s = \dfrac{1}{\sqrt{|k|}}\text{.}$ Derivar las siguientes fórmulas de medición en$(\mathbb{D}_k,{\cal H}_k)\text{.}$

La longitud de un segmento de línea desde$0$ hasta$x\text{,}$ donde$0 \lt x \lt s$ es
\[ d_{k}(0,x) = s\ln\left(\dfrac{s+x}{s-x}\right)\text{.} \]
Pista: Evaluar la integral por fracciones parciales.
La circunferencia del círculo centrada en el origen con radio hiperbólico$r$ es$c=2\pi s\sinh(\dfrac{r}{s})\text{.}$
El área del círculo centrada en el origen con radio hiperbólico$r$ es$A = 4\pi s^2 \sinh^2(\dfrac{r}{2s})\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Investiguemos la idea de que las fórmulas hiperbólicas en Ejercicio$7.3.2$ para distancia, circunferencia y área se acercan a las fórmulas euclidianas cuando$k \to 0^-\text{.}$

Demostrar que la distancia hiperbólica$d_{k}(0,x)$ desde$x\text{,}$ donde se$0$$0 \lt x \lt s,$ aproxima$2x$ como$k \to 0^-\text{.}$
Mostrar que la circunferencia hiperbólica de un círculo con radio hiperbólico$r$ se aproxima$2\pi r$ como$k \to 0^-\text{.}$
Demostrar que el área hiperbólica de este círculo se aproxima$\pi r^2$ como$k \to 0^-\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Trigonometría triangular en$(\mathbb{D}_k,{\cal H}_k)\text{.}$

Supongamos que tenemos un triángulo adentro$(\mathbb{D}_k,{\cal H}_k)$ con longitudes$a,b,c$ y ángulos laterales$\alpha, \beta,$ y$\gamma$ como se muestra en la Figura$5.4.4$. Supongamos además que$s = \dfrac{1}{\sqrt{|k|}}\text{.}$

Demostrar la ley hiperbólica de los cosenos en$(\mathbb{D}_k,{\cal H}_k)\text{:}$
\[ \cosh(\dfrac{c}{s})=\cosh(\dfrac{a}{s})\cosh(\dfrac{b}{s})-\sinh(\dfrac{a}{s})\sinh(\dfrac{b}{s})\cos(\gamma)\text{.} \]
Demostrar la ley hiperbólica de los senos en$(\mathbb{D}_k,{\cal H}_k)\text{:}$
\[ \dfrac{\sinh(\dfrac{a}{s})}{\sin(\alpha)}=\dfrac{\sinh(\dfrac{b}{s})}{\sin(\beta)}=\dfrac{\sinh(\dfrac{c}{s})}{\sin(\gamma)}\text{.} \]

Ejercicio$\PageIndex{5}$

A medida que$k \lt 0$ se aproxima$0$, las fórmulas de geometría hiperbólica se$(\mathbb{D}_k,{\cal H}_k)$ acercan a las de la geometría euclidiana. ¿Qué pasa con la fórmula de Lobatchevsky a medida que$k$ se acerca$0$? ¿Cuál debe ser el ángulo de paralelismo$\theta$ en el caso limitante? ¿Es este valor de$\theta$ independiente de$d\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Bessel determinó un paralaje de$p = .3$ segundos de arco para la estrella$61$ Cygni. Convierte este ángulo en radianes y úsalo para estimar un límite para la constante de curvatura$k$ si el universo es hiperbólico. Las unidades para este límite deben ser años luz$^{-2}$ (convertir las unidades para la distancia Tierra-Sol en años luz).

Ejercicio$\PageIndex{7}$

El paralaje más pequeño detectable está determinado por el poder de resolución de nuestros mejores telescopios. Busque en la web para encontrar el paralaje más pequeño detectado hasta la fecha, y utilícelo para estimar un límite en$k$ si el universo es hiperbólico.

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