7.4: La familia de las geometrías (X, G)
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Existe una fuerte conexión entre la familia\((\mathbb{P}^2_k,{\cal S}_k)\) de geometrías elípticas con curvatura\(k\gt 0\) y la familia\((\mathbb{D}_k,{\cal H}_k)\) de geometrías hiperbólicas con curvatura\(k\lt 0\text{.}\) Las dos familias presentan descripciones idénticas del grupo de transformación, descripciones idénticas de líneas rectas, idénticas fórmulas de longitud de arco y área, así como fórmulas idénticas para el área de un triángulo.
Podemos simbolizar esta conexión con la siguiente descripción de una familia infinita de geometrías, una por cada número real\(k\text{.}\) Esta descripción general nos permitirá expresar elegantemente algunas características importantes comunes a la geometría hiperbólica, euclidiana y elíptica.
Por cada número real\(k\) la geometría\(\boldsymbol{(X_k,G_k)}\) tiene espacio
\[ X_k = \begin{cases} \mathbb{D}_k & \text{ if \(k \lt 0\); } \\ \mathbb{C} & \text{ if \(k = 0\); } \\ \mathbb{P}^2_k & \text{ if \(k \gt 0\), } \end{cases} \]
y grupo de transformaciones\(G_k\) que consiste en todas las transformaciones de Möbius de la forma
\[ T(z) = e^{i\theta}\dfrac{z-z_0}{1+k\overline{z_0}z}\text{,} \]
donde\(\theta \in \mathbb{R}\) y\(z_0\) es un punto en\(X_k\text{.}\) Además, la línea única a través de dos puntos\(p\) y\(q\) en\((X_k,G_k)\) es el cline único a través de los puntos\(p, q\text{,}\) y\(-\dfrac{1}{(k\overline{p})}\text{.}\) Una curva suave\(\boldsymbol{r}:[a,b]\to X_k\) tiene longitud de arco dada por
\[ {\cal L}(\boldsymbol{r}) = \int_a^b \dfrac{2|\boldsymbol{r}^\prime(t)|}{1 + k|\boldsymbol{r}(t)|^2}~dt\text{.} \]
El área de una región polar\(R\) en\((X_k,G_k)\) está dada por
\[ A(R) = \iint_R \dfrac{4r}{(1+kr^2)^2}dr d\theta\text{.} \]
Como hemos visto, estas geometrías se manifiestan de maneras sorprendentemente diferentes. Si\(k \gt 0\text{,}\) la suma de los ángulos de un triángulo debe ser mayor que\(\pi\text{;}\) y si\(k \lt 0\) la suma de los ángulos de un triángulo debe ser menor que\(\pi\text{.}\) Si\(k \gt 0\) el espacio\(X_k = \mathbb{P}^2_k\) tiene área finita; si\(k \lt 0\text{,}\)\(X_k = \mathbb{D}_k\) tiene área infinita. Si\(k \gt 0\) la circunferencia de un círculo con radio\(r\) es menor que\(2\pi r\text{;}\) si\(k \lt 0\) la circunferencia es mayor que\(2\pi r\text{.}\)
¿Y cuándo\(k = 0\text{?}\) podemos verificar que\((X_0,G_0)\) corresponde a la geometría euclidiana, aunque con una métrica escalada? En particular, las líneas en\((X_0,G_0)\) corresponden a las líneas euclidianas (ya\(k = 0\text{,}\)\(-\dfrac{1}{(k\overline{p})} = \infty\text{,}\) que así la línea única a través\(p\) y\(q\) es la línea euclidiana), y cuando\(k = 0\) la longitud del arco es simplemente el doble de la longitud de arco euclidiana habitual. Entonces mientras estamos escalando distancias en geometría\((X_0,G_0)\text{,}\) euclidiana se aplica: los triángulos son triángulos euclidianos y tienen suma de ángulo igual a\(180^{\circ}\text{.}\) Triángulos con un ángulo recto son triángulos rectos euclidianos y satisfacen el teorema de Pitágoras.
Así, tratamos\((X_k,G_k)\) como una gran familia de geometrías. El signo de\(k\) dicta el tipo de geometría que tenemos, y la magnitud de\(k\) dicta el radio del disco en el que modelaremos la geometría (a menos que\(k = 0\) en cuyo caso se encuentre el espacio\(\mathbb{C}\)). Morevoer, la geometría euclidiana\((X_0,G_0)\) marca el borde del cuchillo desde el que nos movemos hacia un mundo hiperbólico que se\(k\) cae por debajo\(0\), y en un mundo elíptico si\(k\) se eleva por encima\(0\).
Ahora resumimos algunos resultados establecidos en las secciones anteriores y enfatizamos características clave comunes a todos\((X_k,G_k)\text{.}\)
En primer lugar, observamos que la longitud del arco es una función invariante de\((X_k,G_k)\) y que la longitud del arco asegura que el camino más corto de\(p\) a\(q\) in\((X_k,G_k)\) es a lo largo de la línea entre ellos. Hemos discutido estos hechos en los casos\(k = -1,0,1\text{,}\) y el resultado se mantiene para arbitrarios\(k\text{.}\) Entonces, la fórmula de longitud de arco proporciona una métrica en\((X_k,G_k)\text{:}\) Dado\(p,q \in X_k\text{,}\) que\(d_k(p,q)\) definimos que es la longitud del camino más corto de\(p\) a\(q\text{.}\) El círculo en\((X_k,G_k)\) centrado en \(p\)a través\(q\) consiste en todos los puntos en\(X_k\) cuya distancia de\(p\) igual\(d_k(p,q)\text{.}\)
Para todos los números reales\(k\text{,}\)\((X_k,G_k)\) es homogéneo e isotrópico.
- Prueba
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Dado cualquier punto\(p\) en\(X_k\text{,}\) la transformación\(T(z) = \dfrac{z-p}{1+k\overline{p}z}\) en\(G_k\) mapas\(p\) al origen. Entonces todos los puntos en\(X_k\) son congruentes a\(0\text{.}\) Por la estructura de grupo de\(G_k\) ello se deduce que dos puntos cualesquiera en\(X_k\) son congruentes, por lo que la geometría es homogénea.
Para mostrar\((X_k,G_k)\) que es isotrópico consideramos tres casos.
Si\(k \lt 0\) entonces\((X_k,G_k)\) modela geometría hiperbólica en el disco abierto con radio\(s = \dfrac{1}{\sqrt{|k|}}\text{.}\) Como tal,\(G_k\) contiene las clases de transformaciones de Möbius discutidas en el Capítulo 5 y representadas en la Figura\(5.1.3\). En particular, para cualquier punto\(p \in \mathbb{D}_k\text{,}\)\(G_k\) contiene todas las transformaciones elípticas de Möbius que giran alrededor de clines tipo II\(p\) y\(-\dfrac{1}{(k\overline{p})}\text{,}\) el punto simétrico\(p\) con respecto al círculo en el infinito. Estos mapas son precisamente las rotaciones sobre el punto\(p\) en esta geometría: giran puntos\(X_k\) alrededor de los ciclos centrados en\(p\text{.}\)
Si\(k = 0\text{,}\) entonces las transformaciones en\(G_0\) tienen la forma\(T(z)=e^{i\theta}(z-z_0)\text{.}\) Ahora, la rotación por ángulo\(\theta\) alrededor del punto\(p\) en el plano euclidiano viene dada por\(T(z)=e^{i\theta}(z-p)+p\text{.}\) Setting\(z_0 = p-pe^{-i\theta}\) vemos que esta rotación efectivamente vive en\(G_0\text{.}\)
Si\(k \gt 0\) entonces\((X_k,G_k)\) modela geometría elíptica en el plano proyectivo con radio\(s = \dfrac{1}{\sqrt{k}}\text{.}\) Como tal, para cada uno\(p \in X_k\text{,}\)\(G_k\) contiene todas las transformaciones elípticas de Möbius que fijan\(p\) y\(p_a\text{,}\) el punto antípodal\(p\) con respecto al círculo con radio\(s\text{.}\) Dicho mapa gira puntos alrededor de clinas tipo II con respecto a\(p\) y\(p_a\text{.}\) Dado que estas clinas tipo II corresponden a círculos en\(X_k\) centrado en el punto fijo, se deduce que\(G_k\) contiene todas las rotaciones.
Así, para todos\(k \in \mathbb{R}\text{,}\)\((X_k,G_k)\) es isotrópico.
Supongamos que\(k\) es cualquier número real, y tenemos un triángulo en\((X_k,G_k)\) cuyos ángulos están\(\alpha, \beta,\) y\(\gamma\) y cuya área es\(A\text{.}\) Entonces
\[ kA = (\alpha + \beta + \gamma - \pi)\text{.} \]
Prueba de este ordenado resultado ya ha aparecido en piezas (ver Ejercicio\(1.2.2\), Lema\(7.2.2\) y Lema\(7.3.1\)); enfatizamos que esta fórmula de área triangular revela la naturaleza localmente euclidiana de todas las geometrías\((X_k, G_k)\text{:}\) un pequeño triángulo (uno con área cercana a\(0\)) tendrá un suma de ángulo cerca de\(180^{\circ}\text{.}\) Observar también que cuanto más cerca\(|k|\) está de\(0\), cuanto más grande debe ser un triángulo para detectar una suma de ángulo diferente\(180^{\circ}\text{.}\) de Por supuesto, si\(k = 0\) el teorema nos dice que los ángulos de un triángulo euclidiano suman a\(\pi\) radianes.
Supongamos que un polígono\((n \geq 3)\) de\(n\) lados convexos\((X_k,G_k)\) tiene ángulos interiores\(\alpha_i\) para\(i = 1, 2, \ldots, n\text{.}\) El área\(A\) del\(n\) -gon está relacionada con sus ángulos interiores por
\[ kA = \bigg(\sum_{i=1}^n\alpha_i\bigg) - (n-2)\pi\text{.} \]
- Prueba
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Un\(n\) -gon convexo se puede dividir en\(n-2\) triángulos como en la Figura\(7.4.1\). Observe que el área del\(n\) -gon es igual a la suma de las áreas de estos triángulos.
Figura\(\PageIndex{1}\): Dividir un\(n\) -gon en\(n-2\) triángulos en el caso\(n = 8\text{.}\) (Copyright; autor vía fuente) Por teorema\(7.4.2\), el área\(A_i\) del triángulo\(i\) th\(\Delta_i\) se relaciona con su suma angular por
\[ kA_i = (\sum \text{angles in } \Delta_i) - \pi\text{.} \]
Por lo tanto,
\ begin {alinear*} kA & =\ suma_ {i=1} ^ {n-2} kA_i\\ & =\ suma_ {i=1} ^ {n-2} (\ suma\ texto {ángulos en}\ delta_i -\ pi)\ texto {.} \ end {alinear*}
Ahora, la suma total del ángulo de los\(n-2\) triángulos es igual a la suma del ángulo interior del\(n\) -gon, por lo que se deduce que
\[ kA = \bigg(\sum_{i=1}^n \alpha_i \bigg) - (n-2)\pi\text{.} \]
Esto completa la prueba.
Supongamos\(k \in \mathbb{R}\text{,}\)\(s = \dfrac{1}{\sqrt{|k|}}\) y\(0 \lt x \lt s\) es un número real (si\(k = 0\text{,}\) simplemente asumimos\(0 \lt x\)). En\((X_k,G_k)\text{,}\) el círculo centrado a\(0\) través\(x\) tiene área
\[ \dfrac{4\pi x^2}{1+kx^2}\text{.} \]
- Prueba
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Considera el círculo centrado en el origen que pasa por el punto\(x\) en el eje real positivo, donde\(0 \lt x \lt s\text{.}\) La región circular coincide con el rectángulo polar\(0 \lt \theta \lt 2\pi\) y\(0 \lt r \lt x\text{,}\) así el área viene dada por
\[ \int_0^{2\pi} \int_0^x \dfrac{4r}{(1+kr^2)^2}dr d\theta\text{.} \]
Evaluar esta integral da el resultado, y los detalles se dejan como ejercicio.
Supongamos\(k \in \mathbb{R}\text{,}\) y tenemos un triángulo rectángulo geodésico en\((X_k,G_k)\) cuyas piernas tienen longitud\(a\) y\(b\) y cuya hipotenusa tiene longitud\(c\text{.}\) Entonces
\[ A(c)=A(a)+A(b)-\dfrac{k}{2\pi}A(a)A(b)\text{,} \]
donde\(A(r)\) denota el área de un círculo con radio\(r\) medido en\((X_k,G_k)\text{.}\)
- Prueba
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¡Supongamos\(k \in \mathbb{R}\text{.}\) Si\(k = 0\) la ecuación se reduce a\(c^2 = a^2 + b^2\text{,}\) lo que es cierto por el Teorema de Pitágoras\(1.2.1\)! De lo contrario, asumir\(k \neq 0\) y dejar\(s = \dfrac{1}{\sqrt{|k|}}\text{,}\) como de costumbre. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que nuestro triángulo rectángulo está definido por los puntos\(z = 0\text{,}\)\(p = x\text{,}\) y\(q = yi\text{,}\) donde\(0 \lt x,y \lt s\text{.}\) Por construcción, las patas\(zp\) y\(zq\) son segmentos euclidianos, y\(\angle pzq\) es correcto.
Let\(a = d_k(z,p), b = d_k(z,q),\) y\(c = d_k(p,q)\text{.}\) Por Lema\(7.4.1\),
\[ A(a) = \dfrac{4\pi x^2}{1+kx^2},~~{\text and}~~A(b) = \dfrac{4\pi y^2}{1+ky^2}\text{.} \]
Para encontrar primero\(A(c)\text{,}\) encontramos\(d_k(p,q)\text{.}\) Por invarianza de distancia,
\[ d_k(p,q)=d_k(0,|T(q)|)\text{,} \]
donde\(T(z) = \dfrac{z - p}{1+k\overline{p}z}\text{.}\) Let\(t = |T(q)| =\dfrac{|yi-x|}{|1+kxyi|}\text{,}\) que es un número real.
Ahora bien,\(A(c)\) es el área de un círculo con radio\(c\text{,}\) y el círculo centrado a\(0\) través\(t\) tiene este radio, entonces
\[ A(c) = \dfrac{4\pi t^2}{1+kt^2}\text{.} \]
Usando el hecho de\(t^2 = \dfrac{x^2+y^2}{1 + k^2x^2y^2}\text{,}\) que ahora se puede verificar por sustitución directa que
\[ A(c) = A(a) + A(b)-\dfrac{k}{2\pi}A(a)A(b)\text{.} \]
Si bien hemos demostrado el teorema, se siente un poco como que nos hemos perdido la mejor parte: el descubrimiento de la relación. Para más sobre esto, animamos al lector a consultar [20].
Supongamos que un error bidimensional en\((X_k,G_k)\) camina por una línea para\(a \gt 0\) unidades, gira a la izquierda\(90^{\circ}\text{,}\) y camina sobre una línea para otras\(a\) unidades, creando así un triángulo rectángulo con patas de igual longitud. Dejar\(c\) denotar la hipotenusa de este triángulo. El siguiente diagrama representa una ruta de este tipo, en cada uno de los tres tipos de geometría. Por conveniencia, asumimos que el viaje comienza en el origen y avanza primero por el eje real positivo.
Resulta que el valor de\(c\) como función de\(a\) puede revelar la curvatura\(k\) de la geometría. Si\(k = 0\) el teorema de Pitágoras nos dice que\(c^2 = 2a^2\text{.}\) Por\(k \lt 0\text{,}\) la ley hiperbólica de los cosenos (Ejercicio\(7.3.4\)) nos dice que\(\cosh(\sqrt{|k|} c) = \cosh^2(\sqrt{|k|}a)\text{.}\) Para\(k \gt 0\text{,}\) la ley elíptica de los cosenos (Ejercicio\(7.2.5\)) nos dice que\(\cos(\sqrt{k} c) = \cos^2(\sqrt{k}a)\text{.}\) Podemos resolver cada una de estas ecuaciones para\(c\text{,}\) usar el hecho de que\(a\) y\(c\) son positivos, para darnos\(c\) en función de\(a\) y la curvatura\(k\text{.}\) Hemos trazado estas funciones para\(k = -1,0,1\) abajo. Cuando\(k \lt 0\) la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo es ligeramente más larga que la predicha por la fórmula euclidiana (el teorema de Pitágoras); cuando\(k \gt 0\) la longitud es menor que la longitud predicha por la fórmula euclidiana.
Cerramos resumiendo fórmulas de medición para estas geometrías. Salvo el caso\(k=0\) estas fórmulas fueron comprobadas en los ejercicios del previoius dos secciones. El caso\(k=0\) se aborda en Ejercicio\(7.4.1\).
Supongamos\(k \in \mathbb{R}\text{,}\)\(s = \dfrac{1}{\sqrt{|k|}}\) y\(0 \lt x \lt s\) es un número real (con la convención que si simplemente\(k = 0\) requerimos\(0 \lt x\)).
- En\((X_k,G_k)\text{,}\) la distancia de 0 a\(x\) está dada por
\[ d_k(0,x) = \begin{cases}s \ln\bigg(\dfrac{s+x}{s-x}\bigg) & \text{ if \(k \lt 0\); } \\ 2x & \text{ if \(k=0\); } \\ 2s \arctan(\dfrac{x}{s}) & \text{if \(k \gt 0\).} \end{cases} \]
- Un círculo con radio\(r\) medido en\((X_k,G_k)\) tiene área\(A(r)\) dada por
\[ A(r) = \begin{cases} 4\pi s^2 \sinh^2(\dfrac{r}{2s})& \text{ if \(k \lt 0\); } \\ \pi r^2 & \text{ if \(k=0\); } \\ 4\pi s^2 \sin^2(\frac{r}{2s}) & \text{if \(k \gt 0\),} \end{cases} \]
- Un círculo con radio\(r\) medido en\((X_k,G_k)\) tiene circunferencia\(C(r)\) dada por
\[ C(r) = \begin{cases}2\pi s \sinh(\dfrac{r}{s}) & \text{ if \(k \lt 0\); } \\ 2\pi r & \text{ if \(k=0\); } \\ 2\pi s \sin(\dfrac{r}{s}) & \text{if \(k \gt 0\).} \end{cases} \]
Ejercicios
Verifique que las fórmulas de medición en\((X_k,G_k)\) sean correctas cuando\(k = 0\text{.}\) En particular, muestre eso\(d_0(0,x)=2x\) para cualquiera\(x \gt 0\) en el eje real, y que un círculo con radio\(r\) medido en\((X_0,G_0)\) tiene área\(A(r) = \pi r^2\) y circunferencia\(C(r)=2\pi r\text{.}\)
Completar el comprobante de Lemma\(7.4.1\).
Supongamos que un intrépido equipo de exploradores bidimensionales se propone determinar cuál geometría\(2\) -dimensional es la suya. Sus cosmólogos les han dicho que el mundo es homogéneo, isotrópico, y métrico, por lo que creen que la geometría de su universo está modelada por\((X_k,G_k)\) para algún número real\(k\text{.}\) Miden cuidadosamente los ángulos y el área de un triángulo. Encuentran los ángulos para ser\(29.2438^{\circ}\text{,}\)\(73.4526^{\circ}\text{,}\) y\(77.2886^{\circ}\text{,}\) y el área es\(8.81\) km\(^2\text{.}\) ¿Qué geometría es la suya? ¿Cuál es la curvatura de su universo?
Demostrar que en\((X_k,G_k)\) la derivada de área con respecto a\(r\) es circunferencia:\(\dfrac{d}{dr}[A(r)]=C(r)\text{.}\)
Supongamos que un error bidimensional en\((X_k,G_k)\) rastrea la ruta del triángulo rectángulo de 0 a\(p\) como se representa en Ejemplo\(7.4.1\). Argumentan que para un valor dado de\(a\text{,}\) la hipotenusa hiperbólica la longitud excede la longitud de la hipotenusa euclidiana, la cual excede la longitud de la hipotenusa elíptica.
- Insinuación
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Se podría probar que para todos\(k\text{,}\) cuándo\(a = 0\text{,}\)\(c = 0\)\(\dfrac{dc}{da}\vert_{a=0}=\sqrt{2}\text{;}\) y luego mostrar que for\(a \gt 0\text{,}\)\(\dfrac{d^2 c}{da^2}\) es positivo para valores negativos de\(k\text{,}\) y es negativo para valores positivos de\(k\text{.}\)
Supongamos un equipo de exploradores bidimensionales que viven en\(8\) unidades de\((X_k,G_k)\) viajes a lo largo de una línea. Después giran a la derecha (\(90^{\circ}\)) y viajan\(8\) unidades por una línea. En este punto encuentran que son\(12\) unidades desde su punto de partida. ¿Qué tipo de geometría se aplica a su universo? ¿Pueden determinar el valor de\(k\) a partir de esta medición? Si es así, ¿qué es?
Repita el ejercicio anterior utilizando las\(a = 8\) unidades de medidas y\(c = 11.2\) unidades.
Supongamos que un equipo de exploradores bidimensionales que viven en se\((X_k,G_k)\) encuentra en el punto\(p\text{.}\) Viajan\(8\) unidades a lo largo de una línea a un punto\(z\text{,}\) gire a la derecha (\(90^{\circ}\)) y recorren otras\(8\) unidades a lo largo de una línea hasta el punto\(q\text{.}\) En este punto miden\(\angle pqz =.789\) radianes. ¿Qué tipo de geometría se aplica a su universo? ¿Pueden determinar el valor de\(k\) a partir de esta medición? Si es así, ¿qué es?
Supongamos que un equipo de exploradores bidimensionales que viven en\((X_k,G_k)\) ataduras a uno de sus equipos a\(18\) una línea se revuelve largo (un scramble es la unidad estándar para medir la longitud en este mundo, y\(24\) revuelve equivale a un tubablast). Ellos balancean al voluntario en círculo, y aunque se ríe maniáticamente, es capaz de grabar con confianza que viajó\(113.4\) scrambles. Asumiendo que estas medidas son correctas, ¿qué tipo de geometría se aplica a su universo? ¿Pueden determinar el valor de\(k\) a partir de estas mediciones? Si es así, ¿qué es?