1.1: Una introducción a los límites
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Comenzamos nuestro estudio de límites considerando ejemplos que demuestran conceptos clave que se explicarán a medida que avanzamos.
Considera la funcióny=sinxx. ¿Cuándox está cerca del valor 1, qué valor (si lo hay) estáy cerca?
Si bien nuestra pregunta no se forma con precisión (¿qué constituye “cerca del valor 1"?) , la respuesta no parece difícil de encontrar. Uno podría pensar primero en mirar una gráfica de esta función para aproximary los valores apropiados.
Considere la Figura 1, dondey=sinxx se grafica. Para valoresx cercanos a 1, parece quey toma valores cercanos0.85. De hecho, cuandox=1, entoncesy=sin11≈0.84, así tiene sentido que cuandox está “cerca” 1,y será “cerca”0.84.
FIGURE 1.1:sin(x)/x near x=1.
Considera esto nuevamente a un valor diferente parax. ¿Cuándox está cerca de 0, qué valor (si lo hay) estáy cerca? Al considerar la Figura 1.2, se puede ver que parece quey toma valores cercanos1. Pero, ¿qué pasa cuandox=0? Tenemos
y→sin00→"00".
FIGURE 1.2:sin(x)/x near x=0.
La expresión0/0 "" no tiene valor; es indeterminada. Tal expresión no da información sobre lo que está pasando con la función cercana. No podemos averiguar cómoy se comporta cercax=0 para esta función simplemente dejandox=0.
Encontrar un límite implica comprender cómo se comporta una función cerca de un valor particular dex. Antes de continuar, será útil establecer alguna notación. Dejary=f(x); es decir, dejary ser una función dex para alguna funciónf. La expresión “el límite dey comox se acerca a 1" describe un número, a menudo referido comoL, que sey acerca como sex acerca a 1. Escribimos todo esto como
limx→1y=limx→1f(x)=L.
Esta no es una definición completa (que vendrá en la siguiente sección); se trata de una pseudo-definición que nos permitirá explorar la idea de un límite.
Arriba, dondef(x)=sin(x)/x, aproximamos
limx→1sinxx≈0.84 and limx→0sinxx≈1.
(Aproximamos estos límites, de ahí que usemos el símbolo≈ ""”, ya que estamos trabajando con la pseudo-definición de un límite, no con la definición real.)
Una vez que tengamos la verdadera definición de un límite, encontraremos límites analíticamente; es decir, usando exactamente una variedad de herramientas matemáticas. Por ahora, aproximaremos límites tanto gráfica como numéricamente. Graficar una función puede proporcionar una buena aproximación, aunque a menudo no es muy precisa. Los métodos numéricos pueden proporcionar una aproximación más precisa. Ya hemos aproximado los límites gráficamente, por lo que ahora volvemos nuestra atención a las aproximaciones numéricas.
Considerar de nuevolimx→1sin(x)/x. Para aproximar este límite numéricamente, podemos crear una tabla dex yf(x) valores dondex está “cerca” 1. Esto se hace en la Figura 1.3.
FIGURE 1.3: Valores desin(x)/x with x near 1.
Observe que para valores dex cerca1, tenemossin(x)/x cerca0.841. Lax=1 fila está en negrita para resaltar el hecho de que al considerar límites, no nos preocupa el valor de la función en esex valor particular; solo nos preocupan los valores de la función cuandox está cerca de 1.
Ahora aproximadolimx→0sin(x)/x numéricamente. Ya aproximamos el valor de este límite como 1 gráficamente en la Figura 1.2. El cuadro de la Figura 1.4 muestra el valor desin(x)/x para valoresx cercanos a 0. Se muestran diez lugares después del punto decimal para resaltar qué tan cerca de 1 el valor desin(x)/x obtiene comox toma valores muy cercanos a 0. Incluimos lax=0 fila en negrita nuevamente para enfatizar que no nos preocupa el valor de nuestra función atx=0, solo en el comportamiento de la función cerca de 0.
FIGURE 1.4: Valores desin(x)/x with x near 1.
Este método numérico da confianza para decir que 1 es una buena aproximación delimx→0sin(x)/x; es decir,
limx→0sin(x)/x≈1.
Posteriormente podremos demostrar que el límite es exactamente 1.
Consideramos ahora varios ejemplos que nos permiten explorar diferentes aspectos del concepto límite.
FIGURE 1.5: Aproximando gráficamente un límite en el Ejemplo 1.
FIGURE 1.6: Aproximando numéricamente un límite en el Ejemplo 1.
Ejemplo 1: Aproximación al valor de un límite
Utilizar métodos gráficos y numéricos para aproximar
limx→3x2−x−66x2−19x+3.
Solución:
Para aproximar gráficamente el límite, graficar
y=(x2−x−6)/(6x2−19x+3)
en un pequeño intervalo que contiene 3. Para aproximar numéricamente el límite, cree una tabla de valores donde losx valores estén cerca de 3. Esto se hace en las Figuras 1.5 y 1.6, respectivamente.
La gráfica muestra que cuandox está cerca de 3, el valor dey está muy cerca0.3. Al considerar valoresx cercanos a 3, vemos quey=0.294 es una mejor aproximación. La gráfica y la tabla implican que
limx→3x2−x−66x2−19x+3≈0.294.
Este ejemplo puede plantear algunas preguntas sobre la aproximación de los límites (y la naturaleza de los propios límites).
- Si una gráfica no produce una aproximación tan buena como una tabla, ¿por qué molestarse con ella?
- ¿Cuántos valores dex en una tabla son “suficientes”? En el ejemplo anterior, ¿podríamos haber usadox=3.001 y encontrado una aproximación fina?
Las gráficas son útiles ya que dan una comprensión visual sobre el comportamiento de una función. A veces una función puede actuar “erráticamente” cerca de ciertosx valores que es difícil de discernir numéricamente pero muy simple gráficamente. Dado que las utilidades gráficas son muy accesibles, tiene sentido hacer un uso adecuado de ellas.
Dado que las tablas y gráficas se utilizan únicamente para aproximar el valor de un límite, no hay una respuesta firme a cuántos puntos de datos son “suficientes”. Incluir lo suficiente para que una tendencia sea clara, y utilizar valores (cuando sea posible) tanto menores como mayores que el valor en cuestión. En el Ejemplo 1, se utilizaron ambos valores menores que y mayores que 3. Si hubiéramos usado solox=3.001, podríamos haber tenido la tentación de concluir que el límite tenía un valor de0.3. Si bien esto no está lejos, podríamos hacerlo mejor. El uso de valores “en ambos lados del 3" nos ayuda a identificar tendencias.
Ejemplo 2: Aproximación al valor de un límite
Aproximar gráfica y numéricamente el límite def(x) como sex acerca a 0, donde
f(x)={x+1x<0−x2+1x>0
Solución:
Nuevamente graficamosf(x) y creamos una tabla de sus valores cercax=0 para aproximarse al límite. Tenga en cuenta que esta es una función definida por partes, por lo que se comporta de manera diferente a cada lado de 0. La Figura 1.7 muestra una gráfica def(x), y a cada lado de 0 parece que losy valores se acercan a 1. Tenga en cuenta que en realidad nof(0) se define, como se indica en la gráfica con el círculo abierto.
FIGURE 1.7: Aproximando gráficamente un límite en el Ejemplo 2.
FIGURE 1.8: Aproximando numéricamente un límite en el Ejemplo 2.
El cuadro que se muestra en la Figura 1.8 muestra valores def(x) para valoresx cercanos a 0. Es claro que comox toma valores muy cercanos a 0,f(x) toma valores muy cercanos a 1. Resulta que si dejamosx=0 para alguna “pieza” def(x), se devuelve 1; esto es significativo y volveremos a esta idea más adelante.
La gráfica y la tabla nos permiten decir esolimx→0f(x)≈1; de hecho, probablemente estamos muy seguros de que equivale a 1.
Identificar cuándo no existen límites
Una función puede no tener un límite para todos los valores dex. Es decir, no podemos decirlimx→cf(x)=L para algunos númerosL para todos los valores dec, pues puede que no haya un número quef(x) se acerque. Hay tres formas en las que un límite puede no existir.
- La funciónf(x) puede acercarse a diferentes valores a cada lado dec.
- La función puede crecer sin límite superior o inferior a medida que sex aproximac.
- La función puede oscilar a medida que sex aproximac.
Exploraremos cada uno de estos a su vez.
Ejemplo 3: Diferentes valores aproximados desde la izquierda y la derecha
Explora por quélimx→1f(x) no existe, dónde
f(x)={x2−2x+3x≤1xx>1
FIGURE 1.9: No observar límite comox→1 en el Ejemplo 3.
FIGURE 1.10: Valores def(x) cercax=1 en el Ejemplo 3.
Solución:
Una gráfica def(x) alrededorx=1 y una tabla se dan las Figuras 1.9 y 1.10, respectivamente. Es claro que a medida quex se acerca al 1,f(x) no parece acercarse a un solo número. En cambio, parece que sef(x) aproxima a dos números diferentes. Al considerar valores dex menos de 1 (acercándose a 1 desde la izquierda), parece quef(x) se acerca a 2; al considerar valoresx mayores a 1 (acercándose a 1 desde la derecha), parece quef(x) se acerca a 1. Reconocer este comportamiento es importante; posteriormente lo estudiaremos con mayor profundidad. Ahora mismo, basta con decir que el límite no existe ya que nof(x) se acerca a un valor como sex acerca al 1.
Ejemplo 4: La función crece sin límite
Explora por quélimx→11/(x−1)2 no existe.
Solución: En las Figuras 1.11 y 1.12f(x)=1/(x−1)2 se dan
una gráfica y una tabla de, respectivamente. Ambos muestran que a medida quex se acerca 1,f(x) crece cada vez más grande.
FIGURE 1.11: No observar límite comox→1 en el Ejemplo 4.
FIGURE 1.12: Valores def(x) cercax=1 en el Ejemplo 4.
Podemos deducir esto por nuestra cuenta, sin la ayuda de la gráfica y la tabla. Six está cerca de 1, entonces(x−1)2 es muy pequeño, y:
1very small number=very large number.
Como nof(x) se acerca a un solo número, concluimos que
limx→11(x−1)2
no existe.
Ejemplo 5: La función oscila
Explora por quélimx→0sin(1/x) no existe.
Solución:
Dos gráficas def(x)=sin(1/x) se dan en las Figuras 1.13. La Figura 1.13 (a) muestraf(x) en el intervalo[−1,1]; observe cómof(x) parece oscilar cercax=0. Se podría pensar que a pesar de la oscilación, a medida que sex acerca a 0,f(x) se acerca a 0. Sin embargo, la Figura 1.13 (b) amplíasin(1/x), sobre el intervalo[−0.1,0.1]. Aquí la oscilación es aún más pronunciada. Finalmente, en la tabla de la Figura 1.13 (c), vemossin(x)/x evaluados para valoresx cercanos a 0. A medida quex se acerca a 0,f(x) no parece acercarse a ningún valor.
FIGURE 1.13: Observando que nof(x)=sin(1/x) tiene límite comox→0 en el Ejemplo 5.
Se puede demostrar que en realidad, a medida que sex acerca a 0,sin(1/x) adquiere todos los valores entre−1 y ¡1 veces infinitas! Debido a esta oscilación,
limx→0sin(1/x)no existe.
Límites de Cocientes de Diferencia
Hemos aproximado los límites de las funciones a medida quex se aproximan a un número determinado. Consideraremos otro tipo importante de límite después de explicar algunas ideas clave.
FIGURE 1.14: Interpretar un cociente diferencial como la pendiente de una línea secante.
Dejarf(x) representar la función de posición, en pies, de alguna partícula que se mueve en línea recta, dondex se mide en segundos. Digamos que cuandox=1, la partícula está en la posición 10 pies, y cuandox=5, la partícula está a 20 pies. Otra forma de expresar esto es decir
f(1)=10 and f(5)=20.
Dado que la partícula viajó 10 pies en 4 segundos, podemos decir que la velocidad promedio de la partícula fue de 2.5 pies/s. Escribimos este cálculo usando un “cociente de diferencias” o, un cociente de diferencia:
f(5)−f(1)5−1=104=2.5ft/s.
Este cociente de diferencia se puede considerar como el familiar “ascenso sobre carrera” que se utiliza para calcular las pendientes de las líneas. De hecho, eso es esencialmente lo que estamos haciendo: dados dos puntos en la gráfica def, estamos encontrando la pendiente de la línea secante a través de esos dos puntos. Ver Figura 1.14.
Ahora considere encontrar la velocidad promedio en otro intervalo de tiempo. De nuevo empezamos enx=1, pero consideramos la posición de la partículah segundos después. Es decir, considere las posiciones de la partícula cuándox=1 y cuándox=1+h. El cociente de diferencia es ahora
f(1+h)−f(1)(1+h)−1=f(1+h)−f(1)h.
Quef(x)=−1.5x2+11.5x; anote esof(1)=10 yf(5)=20, como en nuestra discusión. Podemos calcular este cociente de diferencia para todos los valores deh (¡incluso valores negativos!) exceptoh=0, para entonces obtenemos “0/0”, la forma indeterminada introducida anteriormente. Para todos los valoresh≠0, el cociente de diferencia calcula la velocidad promedio de la partícula a lo largo de un intervalo de tiempo de longitud ah partir dex=1.
Para valores pequeños deh, es decir, valoresh cercanos a 0, obtenemos velocidades promedio en periodos de tiempo muy cortos y calculamos líneas secantes a intervalos pequeños. Ver Figura 1.15. Esto nos lleva a preguntarnos cuál es el límite del cociente de diferencia a medida que seh acerca a 0. Es decir,
limh→0f(1+h)−f(1)h= ?
FIGURE 1.15: Líneas secantes def(x) atx=1 yx=1+h, para reducir los valores deh (es decir,h→0).
Como aún no tenemos una verdadera definición de límite ni un método exacto para calcularlo, nos conformamos con aproximar el valor. Si bien podríamos graficar el cociente de diferencia (donde elx eje -representaríah valores y ely eje representaría valores del cociente de diferencia) nos conformamos con hacer una tabla. Ver Figura 1.16. El cuadro nos da razones para asumir que el valor del límite es de aproximadamente 8.5.
FIGURE 1.16: El cociente de diferencia evaluado a valoresh cercanos a 0.
La comprensión adecuada de los límites es clave para comprender el cálculo. Con límites, podemos lograr cosas matemáticas aparentemente imposibles, como sumar un número infinito de números (y no obtener infinito) y encontrar la pendiente de una línea entre dos puntos, donde los “dos puntos” son en realidad el mismo punto. Estas no son solo curiosidades matemáticas; nos permiten vincular posición, velocidad y aceleración juntas, conectar áreas transversales al volumen, encontrar el trabajo realizado por una fuerza variable, y mucho más.
En la siguiente sección damos la definición formal del límite y comenzamos nuestro estudio de encontrar límites analíticamente. En los siguientes ejercicios, continuamos nuestra introducción y aproximamos el valor de los límites.