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# 1: Límites

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Cálculo significa “un método de cálculo o razonamiento”. Cuando se calcula el impuesto sobre las ventas de una compra, se emplea un cálculo simple. Cuando uno encuentra el área de una forma poligonal rompiéndola en un conjunto de triángulos, uno está usando otro cálculo. Demostrar un teorema en geometría emplea otro cálculo más. A pesar de los maravillosos avances en matemáticas que habían tenido lugar en la primera mitad del siglo XVII, matemáticos y científicos estaban muy conscientes de lo que no podían hacer. (Esto es cierto incluso hoy.) En particular, dos conceptos importantes eludieron el dominio de los grandes pensadores de esa época: área y tasas de cambio.

• El área parece bastante inocua; áreas de círculos, rectángulos, paralelogramos, etc., son temas estándar de estudio para los estudiantes de hoy tal como lo eran entonces. Sin embargo, no se pudieron calcular las áreas de formas arbitrarias, aunque el límite de la forma pudiera describirse exactamente.
• Las tasas de cambio también fueron importantes. Cuando un objeto se mueve a una velocidad constante de cambio, entonces “distancia = velocidad de$$\times$$ tiempo”. Pero, ¿y si la tasa no es constante? ¿Aún se puede calcular la distancia? O bien, si se conoce la distancia, ¿podemos descubrir la tasa de cambio?

Resulta que estos dos conceptos estaban relacionados. A dos matemáticos, Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz, se les atribuye la formulación independiente de un sistema de computación que resolvió los problemas anteriores y mostró cómo estaban conectados. Su sistema de razonamiento era “un” cálculo. Sin embargo, a medida que se afianzó el poder y la importancia de su descubrimiento, se hizo conocido por muchos como “el” cálculo. Hoy en día, generalmente acortamos esto para discutir el “cálculo”. El fundamento del “cálculo” es el límite. Es una herramienta para describir un comportamiento particular de una función. Este capítulo inicia nuestro estudio del límite aproximando su valor gráfica y numéricamente. Después de una definición formal del límite, se establecen propiedades que hacen manejable “encontrar límites”. Una vez entendido el límite, entonces se pueden abordar los problemas de área y tasas de cambio.

• 1.1: Una introducción a los límites
El fundamento del “cálculo” es el límite. Es una herramienta para describir un comportamiento particular de una función. Este capítulo inicia nuestro estudio del límite aproximando su valor gráfica y numéricamente. Después de una definición formal del límite, se establecen propiedades que hacen manejable “encontrar límites”. Una vez entendido el límite, entonces se pueden abordar los problemas de área y tasas de cambio.
• 1.2: Definición Épsilon-Delta de un límite
En esta sección se introduce la definición formal de un límite. Muchos se refieren a esto como “el épsilon—delta”, definición, refiriéndose a las letras y δ del alfabeto griego.
• 1.3: Encontrar Límites Analíticamente
Reconociendo que las pruebas -δ son engorrosas, esta sección da una serie de teoremas que nos permiten encontrar límites de manera mucho más rápida e intuitiva. Uno de los principales resultados de esta sección afirma que muchas funciones que utilizamos regularmente se comportan de una manera muy agradable, predecible. En la siguiente sección le damos un nombre a este comportamiento agradable; etiquetamos tales funciones como continuas. Definir ese término requerirá que volvamos a mirar qué es un límite y qué hace que los límites no existan.
• 1.4: Límites de un solo lado
El apartado anterior nos dio herramientas (que llamamos teoremas) que nos permiten computar límites con mayor facilidad. Entre los resultados destacan los hechos de que polinomios y funciones racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas (y sus sumas, productos, etc.) se comportan “bien”. En esta sección definimos rigurosamente lo que queremos decir con “amablemente”.