1.4: Límites de un solo lado
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Introducimos el concepto de límite suavemente, aproximando sus valores gráfica y numéricamente. Luego vino la rigurosa definición del límite, junto con un método ciertamente tedioso para evaluarlos. El apartado anterior nos dio herramientas (que llamamos teoremas) que nos permiten computar límites con mayor facilidad. Entre los resultados destacan los hechos de que polinomios y funciones racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas (y sus sumas, productos, etc.) se comportan “bien”. En esta sección definimos rigurosamente lo que queremos decir con “amablemente”.
En la Sección 1.1 exploramos las tres formas en que los límites de las funciones no existieron:
- La función se aproximó a diferentes valores desde la izquierda y la derecha,
- La función crece sin ataduras, y
- La función oscila.
En esta sección exploramos en profundidad los conceptos detrás de #1 introduciendo el límite unilateral. Comenzamos con definiciones formales que son muy similares a la definición del límite dada en la Sección 1.2, pero la notación es ligeramente diferente yx≠c "" se sustituye por "x<c" o "”x>c.
Definición 2: Límites de un solo lado
Límite izquierdo
DejarI ser un intervalo abierto que contienec, y dejarf ser una función definida enI, excepto posiblemente enc. El límite def(x), cuando sexc aproxima desde la izquierda, esL, o, el límite izquierdo—mano def atc esL, denotado por
limx→c−f(x)=L,
significa que dada algunaϵ>0, existeδ>0 tal que para todosx<c, si|x−c|<δ, entonces|f(x)−L|<ϵ.
Límite derecho
DejarI ser un intervalo abierto que contienec, y dejarf ser una función definida enI, excepto posiblemente enc. El límite def(x), a medida quex sec aproxima desde la derechaL, es, o, el límite de la mano derecha def atc esL, denotado por
limx→c+f(x)=L,
significa que dada algunaϵ>0, existeδ>0 tal que para todosx>c, si|x−c|<δ, entonces|f(x)−L|<ϵ.
Prácticamente hablando, al evaluar un límite de la izquierda, consideramos solo valores dex “a la izquierda de”c, es decir, dóndex<c. La notación ciertamente imperfectax→c− se utiliza para implicar que miramos los valores dex a la izquierda dec. La notación no tiene nada que ver con valores positivos o negativos de cualquierax oc. Una afirmación similar se sostiene para evaluar los límites de la mano derecha; ahí consideramos solo valores dex a la derecha dec, es decir,x>c. Podemos usar los teoremas de secciones anteriores para ayudarnos a evaluar estos límites; simplemente restringimos nuestra visión a un lado dec.
Practicamos evaluar los límites de la mano izquierda y derecha mediante una serie de ejemplos.
Ejemplo 17: Evaluación de límites unilaterales
Dejarf(x)={x0≤x≤13−x1<x<2, como se muestra en la Figura 1.21. Encuentra cada uno de los siguientes:
- limx→1−f(x)
- limx→1+f(x)
- limx→1f(x)
- f(1)
- limx→0+f(x)
- f(0)
- limx→2−f(x)
- f(2)
FIGURE 1.21: Una gráfica def en el Ejemplo 17.
Solución
Para estos problemas, es probable que la ayuda visual de la gráfica sea más efectiva para evaluar los límites que utilizarla af sí misma. Por lo tanto nos referiremos a menudo a la gráfica.
- Al igual quex va a 1 desde la izquierda, vemos quef(x) se acerca al valor de 1. Por lo tantolimx→1−f(x)=1.
- Al igual quex va a 1 desde la derecha, vemos quef(x) se acerca al valor de 2. Recordemos que no importa que ahí haya un “círculo abierto”; estamos evaluando un límite, no el valor de la función. Por lo tantolimx→1+f(x)=2.
- El límite def comox se acerca al 1 no existe, como se discute en el primer apartado. La función no se acerca a un valor en particular, sino a dos valores diferentes desde la izquierda y la derecha.
- Usando la definición y al mirar la gráfica vemos esof(1)=1.
- Al igual quex va a 0 desde la derecha, vemos que tambiénf(x) se acerca a 0. Por lo tantolimx→0+f(x)=0. Tenga en cuenta que no podemos considerar un límite de la izquierda en 0 yaf que no se define para los valores dex<0.
- Usando la definición y la gráfica,f(0)=0.
- Al igual quex va a 2 desde la izquierda, vemos quef(x) se acerca al valor de 1. Por lo tantolimx→2−f(x)=1.
- La gráfica y la definición de la función muestran que nof(2) está definida.
Observe cómo los límites de la izquierda y la derecha eran diferentes enx=1. Esto, por supuesto, hace que el límite no exista. El siguiente teorema establece lo que es bastante intuitivo: el límite existe precisamente cuando los límites izquierdo y derecho son iguales.
Teorema 7: Límites y Límites unilaterales
Letf Ser una función definida en un intervalo abiertoI que contienec. Entonceslimx→cf(x)=L si, y sólo si,limx→c−f(x)=Landlimx→c+f(x)=L.
La frase “si, y sólo si” significa que las dos declaraciones son equivalentes: ambas son verdaderas o ambas falsas. Si el límite es igualL, entonces la mano izquierda y derecha limitan ambos igualesL. Si el límite no es igual aL, entonces al menos uno de los límites izquierdo y derecho no es igual aL (puede que ni siquiera exista).
Una cosa a considerar en los Ejemplos 17 - 20 es que el valor de la función puede/puede no ser igual al valor o valores de sus límites izquierda/derecha, aun cuando estos límites estén de acuerdo.
Ejemplo 18: Evaluación de los límites de una función definida por partes
Dejarf(x)={2−x0<x<1(x−2)21<x<2, como se muestra en la Figura 1.22. Evalúe lo siguiente.
- limx→1−f(x)
- limx→1+f(x)
- limx→1f(x)
- f(1)
- limx→0+f(x)
- f(0)
- limx→2−f(x)
- f(2)
FIGURE 1.22: Una gráficaf del Ejemplo 18.
Solución
Nuevamente evaluaremos cada uno utilizando tanto la definiciónf de como su gráfica.
- A medida quex se acerca a 1 desde la izquierda, vemos que sef(x) acerca a 1. Por lo tantolimx→1−f(x)=1.
- A medida quex se acerca a 1 desde la derecha, vemos que de nuevof(x) se acerca a 1. Por lo tantolimx→1+f(x)=1.
- El límite def como sex acerca a 1 existe y es 1, ya que sef acerca a 1 tanto desde la derecha como desde la izquierda. Por lo tantolimx→1f(x)=1.
- f(1)no está definido. Obsérvese que 1 no está en el dominio def como lo define el problema, que se indica en la gráfica por un círculo abierto cuandox=1.
- Al igual quex va a 0 desde la derecha,f(x) se acerca a 2. Entonceslimx→0+f(x)=2.
- f(0)no se define como no0 está en el dominio def.
- Al igual quex va a 2 desde la izquierda,f(x) se acerca a 0. Entonceslimx→2−f(x)=0.
- f(2)no se define como 2 no está en el dominio def.
Ejemplo 19: Evaluación de los límites de una función definida por partes
Dejarf(x)={(x−1)20≤x≤2,x≠11x=1, como se muestra en la Figura 1.23. Evalúe lo siguiente.
- limx→1−f(x)
- limx→1+f(x)
- limx→1f(x)
- f(1)
FIGURE 1.23: Graficandof en el Ejemplo 19.
Es claro al mirar la gráfica que tanto los límites de la izquierda como de la derecha def, como sex acerca a 1, es 0. De esta manera también queda claro que el límite es 0; es decir,limx→1f(x)=0. También se afirma claramente quef(1)=1.
Ejemplo 20: Evaluación de los límites de una función definida por partes
Dejarf(x)={x20≤x≤12−x1<x≤2, como se muestra en la Figura 1.24. Evalúe lo siguiente.
- limx→1−f(x)
- limx→1+f(x)
- limx→1f(x)
- f(1)
FIGURE 1.24: Graficandof en el Ejemplo 20.
Solución
De la definición de la función y su gráfica queda claro que todos los siguientes son iguales:
limx→1−f(x)=limx→1+f(x)=limx→1f(x)=f(1)=1.
En los Ejemplos 17 - 20 nos pidieron que encontráramos amboslimx→1f(x) yf(1). Considera la siguiente tabla:
limx→1f(x)f(1)Example 17does not exist1Example 181not definedExample 1901Example 2011
Sólo en el Ejemplo 20 existen y están de acuerdo tanto la función como el límite. Esto parece “agradable”; de hecho, parece “normal”. De hecho, se trata de una situación importante que exploramos en la siguiente sección, titulada “Continuidad”. En resumen, una función continua es aquella en la que cuando una función se acerca a un valor comox→c (es decir, cuándolimx→cf(x)=L), realmente alcanza ese valor enc. Tales funciones se comportan muy bien ya que son muy predecibles.