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# 7.2E: Ejercicios para la Sección 7.2

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Rellene el espacio en blanco para hacer una declaración verdadera.

1)$$\sin^2x+$$ _______$$=1$$

Contestar
$$\cos^2x$$

2)$$\sec^2x−1=$$ _______

Contestar
$$\tan^2x$$

Utilizar una identidad para reducir la potencia de la función trigonométrica a una función trigonométrica elevada a la primera potencia.

3)$$\sin^2x=$$ _______

Contestar
$$\dfrac{1−\cos(2x)}{2}$$

4)$$\cos^2x=$$ _______

Contestar
$$\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$$

Evaluar cada una de las siguientes integrales por$$u$$ -sustitución.

5)$$\displaystyle ∫\sin^3x\cos x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\sin^3x\cos x\,dx \quad = \quad \frac{\sin^4x}{4}+C$$

6)$$\displaystyle ∫\sqrt{\cos x}\sin x\,dx$$

7)$$\displaystyle ∫\tan^5(2x)\sec^2(2x)\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\tan^5(2x)\sec^2(2x)\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{12}\tan^6(2x)+C$$

8)$$\displaystyle ∫\sin^7(2x)\cos(2x)\,dx$$

9)$$\displaystyle ∫\tan(\frac{x}{2})\sec^2(\frac{x}{2})\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\tan(\frac{x}{2})\sec^2(\frac{x}{2})\,dx \quad = \quad \tan^2(\frac{x}{2})+C$$

10)$$\displaystyle ∫\tan^2x\sec^2x\,dx$$

Calcular las siguientes integrales utilizando las pautas para integrar potencias de funciones trigonométricas. Use un CAS para verificar las soluciones. (Nota: Algunos de los problemas se pueden hacer utilizando técnicas de integración aprendidas anteriormente.)

11)$$\displaystyle ∫\sin^3x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\sin^3x\,dx \quad = \quad −\frac{3\cos x}{4}+\tfrac{1}{12}\cos(3x)+C=−\cos x+\frac{\cos^3x}{3}+C$$

12)$$\displaystyle ∫\cos^3x\,dx$$

13)$$\displaystyle ∫\sin x\cos x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\sin x\cos x\,dx \quad = \quad −\tfrac{1}{2}\cos^2x+C$$

14)$$\displaystyle ∫\cos^5x\,dx$$

15)$$\displaystyle ∫\sin^5x\cos^2x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\sin^5x\cos^2x\,dx \quad = \quad −\frac{5\cos x}{64}−\tfrac{1}{192}\cos(3x)+\tfrac{3}{320}\cos(5x)−\tfrac{1}{448}\cos(7x)+C$$

16)$$\displaystyle ∫\sin^3x\cos^3x\,dx$$

17)$$\displaystyle ∫\sqrt{\sin x}\cos x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\sqrt{\sin x}\cos x\,dx \quad = \quad \tfrac{2}{3}(\sin x)^{3/2}+C$$

18)$$\displaystyle ∫\sqrt{\sin x}\cos^3x\,dx$$

19)$$\displaystyle ∫\sec x\tan x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\sec x\tan x\,dx \quad = \quad \sec x+C$$

20)$$\displaystyle ∫\tan(5x)\,dx$$

21)$$\displaystyle ∫\tan^2x\sec x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\tan^2x\sec x\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}\sec x\tan x−\tfrac{1}{2}\ln(\sec x+\tan x)+C$$

22)$$\displaystyle ∫\tan x\sec^3x\,dx$$

23)$$\displaystyle ∫\sec^4x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\sec^4x\,dx \quad = \quad \frac{2\tan x}{3}+\tfrac{1}{3}\sec^2 x\tan x=\tan x+\frac{\tan^3x}{3}+C$$

24)$$\displaystyle ∫\cot x\,dx$$

25)$$\displaystyle ∫\csc x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\csc x\,dx \quad = \quad −\ln|\cot x+\csc x|+C$$

26)$$\displaystyle ∫\frac{\tan^3x}{\sqrt{\sec x}}\,dx$$

Para los ejercicios 27 - 28, encuentra una fórmula general para las integrales.

27)$$\displaystyle ∫\sin^2ax\cos ax\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\sin^2ax\cos ax\,dx \quad = \quad \frac{\sin^3(ax)}{3a}+C$$

28)$$\displaystyle ∫\sin ax\cos ax\,dx.$$

Utilice las fórmulas de doble ángulo para evaluar las integrales en los ejercicios 29 - 34.

29)$$\displaystyle ∫^π_0\sin^2x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^π_0\sin^2x\,dx \quad = \quad \frac{π}{2}$$

30)$$\displaystyle ∫^π_0\sin^4 x\,dx$$

31)$$\displaystyle ∫\cos^2 3x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\cos^2 3x\,dx \quad = \quad \frac{x}{2}+\tfrac{1}{12}\sin(6x)+C$$

32)$$\displaystyle ∫\sin^2x\cos^2x\,dx$$

33)$$\displaystyle ∫\sin^2x\,dx+∫\cos^2x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫\sin^2x\,dx+∫\cos^2x\,dx \quad = \quad x+C$$

34)$$\displaystyle ∫\sin^2 x\cos^2(2x)\,dx$$

Para los ejercicios 35 - 43, evaluar las integrales definidas. Exprese las respuestas en forma exacta siempre que sea posible.

35)$$\displaystyle ∫^{2π}_0\cos x\sin 2x\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^{2π}_0\cos x\sin 2x\,dx \quad = \quad 0$$

36)$$\displaystyle ∫^π_0\sin 3x\sin 5x\,dx$$

37)$$\displaystyle ∫^π_0\cos(99x)\sin(101x)\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^π_0\cos(99x)\sin(101x)\,dx \quad = \quad 0$$

38)$$\displaystyle ∫^π_{−π}\cos^2(3x)\,dx$$

39)$$\displaystyle ∫^{2π}_0\sin x\sin(2x)\sin(3x)\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^{2π}_0\sin x\sin(2x)\sin(3x)\,dx \quad = \quad 0$$

40)$$\displaystyle ∫^{4π}_0\cos(x/2)\sin(x/2)\,dx$$

41)$$\displaystyle ∫^{π/3}_{π/6}\frac{\cos^3x}{\sqrt{\sin x}}\,dx$$ (Redondear esta respuesta a tres decimales.)

Contestar
$$\displaystyle ∫^{π/3}_{π/6}\frac{\cos^3x}{\sqrt{\sin x}}\,dx \quad \approx \quad 0.239$$

42)$$\displaystyle ∫^{π/3}_{−π/3}\sqrt{\sec^2x−1}\,dx$$

43)$$\displaystyle ∫^{π/2}_0\sqrt{1−\cos(2x)}\,dx$$

Contestar
$$\displaystyle ∫^{π/2}_0\sqrt{1−\cos(2x)}\,dx \quad = \quad \sqrt{2}$$

44) Encontrar el área de la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones$$y=\sin x,\, y=\sin^3x,\, x=0,$$ y$$x=\frac{π}{2}.$$

45) Encontrar el área de la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones$$y=\cos^2x,\, y=\sin^2x,\, x=−\frac{π}{4},$$ y$$x=\frac{π}{4}.$$

Contestar
$$A = 1 \,\text{unit}^2$$

46) Una partícula se mueve en línea recta con la función de velocidad$$v(t)=\sin(ωt)\cos^2(ωt).$$ Encuentra su función de posición$$x=f(t)$$ si$$f(0)=0.$$

47) Encuentra el valor promedio de la función$$f(x)=\sin^2x\cos^3x$$ a lo largo del intervalo$$[−π,π].$$

Contestar
$$0$$

Para los ejercicios 48 - 49, resolver las ecuaciones diferenciales.

48)$$\dfrac{dy}{\,dx}=\sin^2x.$$ La curva pasa a través del punto$$(0,0).$$

49)$$\dfrac{dy}{dθ}=\sin^4(πθ)$$

Contestar
$$f(x) = \dfrac{3θ}{8}−\tfrac{1}{4π}\sin(2πθ)+\tfrac{1}{32π}\sin(4πθ)+C$$

50) Encuentra la longitud de la curva$$y=\ln(\csc x),\, \text{for}\,\tfrac{π}{4}≤x≤\tfrac{π}{2}.$$

51) Encuentra la longitud de la curva$$y=\ln(\sin x),\, \text{for}\,\tfrac{π}{3}≤x≤\tfrac{π}{2}.$$

Contestar
$$s = \ln(\sqrt{3})$$

52) Encontrar el volumen generado al girar la curva$$y=\cos(3x)$$ alrededor del$$x$$ eje -eje, para$$0≤x≤\tfrac{π}{36}.$$

Para los ejercicios 53 - 54, usa esta información: El producto interno de dos funciones$$f$$ y$$g$$ más$$[a,b]$$ se define por$$\displaystyle f(x)⋅g(x)=⟨f,g⟩=∫^b_af⋅g\,dx.$$ Dos funciones distintas$$f$$ y$$g$$ se dice que son ortogonales si$$⟨f,g⟩=0.$$

53) Mostrar que$${\sin(2x),\, \cos(3x)}$$ son ortogonales a lo largo del intervalo$$[−π,\, π]$$.

Contestar
$$\displaystyle ∫^π_{−π}\sin(2x)\cos(3x)\,dx=0$$

54) Evaluar$$\displaystyle ∫^π_{−π}\sin(mx)\cos(nx)\,dx.$$

55) Integrar$$y′=\sqrt{\tan x}\sec^4x.$$

Contestar
$$\displaystyle y = \int \sqrt{\tan x}\sec^4x \, dx \quad = \quad \tfrac{2}{3}\left(\tan x\right)^{3/2} + \tfrac{2}{7}\left(\tan x\right)^{7/2}+C= \tfrac{2}{21}\left(\tan x\right)^{3/2}\left[ 7 + 3\tan^2 x \right]+C$$

Por cada par de integrales en los ejercicios 56 - 57, determinar cuál es más difícil de evaluar. Explica tu razonamiento.

56)$$\displaystyle ∫\sin^{456}x\cos x\,dx$$ o$$\displaystyle ∫\sin^2x\cos^2x\,dx$$

57)$$\displaystyle ∫\tan^{350}x\sec^2x\,dx$$ o$$\displaystyle ∫\tan^{350}x\sec x\,dx$$

Contestar
La segunda integral es más difícil porque la primera integral es simplemente un tipo$$u$$ de sustitución.

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