7.2E: Ejercicios para la Sección 7.2

Rellene el espacio en blanco para hacer una declaración verdadera.

1)\(\sin^2x+\) _______\( =1\)

Contestar

\(\cos^2x\)

2)\(\sec^2x−1=\) _______

Contestar

\(\tan^2x\)

Utilizar una identidad para reducir la potencia de la función trigonométrica a una función trigonométrica elevada a la primera potencia.

3)\(\sin^2x=\) _______

Contestar

\(\dfrac{1−\cos(2x)}{2}\)

4)\(\cos^2x=\) _______

Contestar

\(\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\)

Evaluar cada una de las siguientes integrales por\(u\) -sustitución.

5)\(\displaystyle ∫\sin^3x\cos x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\sin^3x\cos x\,dx \quad = \quad \frac{\sin^4x}{4}+C\)

6)\(\displaystyle ∫\sqrt{\cos x}\sin x\,dx\)

7)\(\displaystyle ∫\tan^5(2x)\sec^2(2x)\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\tan^5(2x)\sec^2(2x)\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{12}\tan^6(2x)+C\)

8)\(\displaystyle ∫\sin^7(2x)\cos(2x)\,dx\)

9)\(\displaystyle ∫\tan(\frac{x}{2})\sec^2(\frac{x}{2})\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\tan(\frac{x}{2})\sec^2(\frac{x}{2})\,dx \quad = \quad \tan^2(\frac{x}{2})+C\)

10)\(\displaystyle ∫\tan^2x\sec^2x\,dx\)

Calcular las siguientes integrales utilizando las pautas para integrar potencias de funciones trigonométricas. Use un CAS para verificar las soluciones. (Nota: Algunos de los problemas se pueden hacer utilizando técnicas de integración aprendidas anteriormente.)

11)\(\displaystyle ∫\sin^3x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\sin^3x\,dx \quad = \quad −\frac{3\cos x}{4}+\tfrac{1}{12}\cos(3x)+C=−\cos x+\frac{\cos^3x}{3}+C\)

12)\(\displaystyle ∫\cos^3x\,dx\)

13)\(\displaystyle ∫\sin x\cos x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\sin x\cos x\,dx \quad = \quad −\tfrac{1}{2}\cos^2x+C\)

14)\(\displaystyle ∫\cos^5x\,dx\)

15)\(\displaystyle ∫\sin^5x\cos^2x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\sin^5x\cos^2x\,dx \quad = \quad −\frac{5\cos x}{64}−\tfrac{1}{192}\cos(3x)+\tfrac{3}{320}\cos(5x)−\tfrac{1}{448}\cos(7x)+C\)

16)\(\displaystyle ∫\sin^3x\cos^3x\,dx\)

17)\(\displaystyle ∫\sqrt{\sin x}\cos x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\sqrt{\sin x}\cos x\,dx \quad = \quad \tfrac{2}{3}(\sin x)^{3/2}+C\)

18)\(\displaystyle ∫\sqrt{\sin x}\cos^3x\,dx\)

19)\(\displaystyle ∫\sec x\tan x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\sec x\tan x\,dx \quad = \quad \sec x+C\)

20)\(\displaystyle ∫\tan(5x)\,dx\)

21)\(\displaystyle ∫\tan^2x\sec x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\tan^2x\sec x\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}\sec x\tan x−\tfrac{1}{2}\ln(\sec x+\tan x)+C\)

22)\(\displaystyle ∫\tan x\sec^3x\,dx\)

23)\(\displaystyle ∫\sec^4x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\sec^4x\,dx \quad = \quad \frac{2\tan x}{3}+\tfrac{1}{3}\sec^2 x\tan x=\tan x+\frac{\tan^3x}{3}+C\)

24)\(\displaystyle ∫\cot x\,dx\)

25)\(\displaystyle ∫\csc x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\csc x\,dx \quad = \quad −\ln|\cot x+\csc x|+C\)

26)\(\displaystyle ∫\frac{\tan^3x}{\sqrt{\sec x}}\,dx\)

Para los ejercicios 27 - 28, encuentra una fórmula general para las integrales.

27)\(\displaystyle ∫\sin^2ax\cos ax\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\sin^2ax\cos ax\,dx \quad = \quad \frac{\sin^3(ax)}{3a}+C\)

28)\(\displaystyle ∫\sin ax\cos ax\,dx.\)

Utilice las fórmulas de doble ángulo para evaluar las integrales en los ejercicios 29 - 34.

29)\(\displaystyle ∫^π_0\sin^2x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^π_0\sin^2x\,dx \quad = \quad \frac{π}{2}\)

30)\(\displaystyle ∫^π_0\sin^4 x\,dx\)

31)\(\displaystyle ∫\cos^2 3x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\cos^2 3x\,dx \quad = \quad \frac{x}{2}+\tfrac{1}{12}\sin(6x)+C\)

32)\(\displaystyle ∫\sin^2x\cos^2x\,dx\)

33)\(\displaystyle ∫\sin^2x\,dx+∫\cos^2x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫\sin^2x\,dx+∫\cos^2x\,dx \quad = \quad x+C\)

34)\(\displaystyle ∫\sin^2 x\cos^2(2x)\,dx\)

Para los ejercicios 35 - 43, evaluar las integrales definidas. Exprese las respuestas en forma exacta siempre que sea posible.

35)\(\displaystyle ∫^{2π}_0\cos x\sin 2x\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^{2π}_0\cos x\sin 2x\,dx \quad = \quad 0\)

36)\(\displaystyle ∫^π_0\sin 3x\sin 5x\,dx\)

37)\(\displaystyle ∫^π_0\cos(99x)\sin(101x)\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^π_0\cos(99x)\sin(101x)\,dx \quad = \quad 0\)

38)\(\displaystyle ∫^π_{−π}\cos^2(3x)\,dx\)

39)\(\displaystyle ∫^{2π}_0\sin x\sin(2x)\sin(3x)\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^{2π}_0\sin x\sin(2x)\sin(3x)\,dx \quad = \quad 0\)

40)\(\displaystyle ∫^{4π}_0\cos(x/2)\sin(x/2)\,dx\)

41)\(\displaystyle ∫^{π/3}_{π/6}\frac{\cos^3x}{\sqrt{\sin x}}\,dx\) (Redondear esta respuesta a tres decimales.)

Contestar

\(\displaystyle ∫^{π/3}_{π/6}\frac{\cos^3x}{\sqrt{\sin x}}\,dx \quad \approx \quad 0.239\)

42)\(\displaystyle ∫^{π/3}_{−π/3}\sqrt{\sec^2x−1}\,dx\)

43)\(\displaystyle ∫^{π/2}_0\sqrt{1−\cos(2x)}\,dx\)

Contestar

\(\displaystyle ∫^{π/2}_0\sqrt{1−\cos(2x)}\,dx \quad = \quad \sqrt{2}\)

44) Encontrar el área de la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones\(y=\sin x,\, y=\sin^3x,\, x=0,\) y\(x=\frac{π}{2}.\)

45) Encontrar el área de la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones\(y=\cos^2x,\, y=\sin^2x,\, x=−\frac{π}{4},\) y\(x=\frac{π}{4}.\)

Contestar

\(A = 1 \,\text{unit}^2\)

46) Una partícula se mueve en línea recta con la función de velocidad\(v(t)=\sin(ωt)\cos^2(ωt).\) Encuentra su función de posición\(x=f(t)\) si\( f(0)=0.\)

47) Encuentra el valor promedio de la función\(f(x)=\sin^2x\cos^3x\) a lo largo del intervalo\([−π,π].\)

Contestar

\(0\)

Para los ejercicios 48 - 49, resolver las ecuaciones diferenciales.

48)\(\dfrac{dy}{\,dx}=\sin^2x.\) La curva pasa a través del punto\((0,0).\)

49)\(\dfrac{dy}{dθ}=\sin^4(πθ)\)

Contestar

\(f(x) = \dfrac{3θ}{8}−\tfrac{1}{4π}\sin(2πθ)+\tfrac{1}{32π}\sin(4πθ)+C\)

50) Encuentra la longitud de la curva\(y=\ln(\csc x),\, \text{for}\,\tfrac{π}{4}≤x≤\tfrac{π}{2}.\)

51) Encuentra la longitud de la curva\(y=\ln(\sin x),\, \text{for}\,\tfrac{π}{3}≤x≤\tfrac{π}{2}.\)

Contestar

\(s = \ln(\sqrt{3})\)

52) Encontrar el volumen generado al girar la curva\(y=\cos(3x)\) alrededor del\(x\) eje -eje, para\( 0≤x≤\tfrac{π}{36}.\)

Para los ejercicios 53 - 54, usa esta información: El producto interno de dos funciones\(f\) y\(g\) más\([a,b]\) se define por\(\displaystyle f(x)⋅g(x)=⟨f,g⟩=∫^b_af⋅g\,dx.\) Dos funciones distintas\(f\) y\(g\) se dice que son ortogonales si\(⟨f,g⟩=0.\)

53) Mostrar que\({\sin(2x),\, \cos(3x)}\) son ortogonales a lo largo del intervalo\([−π,\, π]\).

Contestar

\(\displaystyle ∫^π_{−π}\sin(2x)\cos(3x)\,dx=0\)

54) Evaluar\(\displaystyle ∫^π_{−π}\sin(mx)\cos(nx)\,dx.\)

55) Integrar\(y′=\sqrt{\tan x}\sec^4x.\)

Contestar

\(\displaystyle y = \int \sqrt{\tan x}\sec^4x \, dx \quad = \quad \tfrac{2}{3}\left(\tan x\right)^{3/2} + \tfrac{2}{7}\left(\tan x\right)^{7/2}+C= \tfrac{2}{21}\left(\tan x\right)^{3/2}\left[ 7 + 3\tan^2 x \right]+C\)

Por cada par de integrales en los ejercicios 56 - 57, determinar cuál es más difícil de evaluar. Explica tu razonamiento.

56)\(\displaystyle ∫\sin^{456}x\cos x\,dx\) o\(\displaystyle ∫\sin^2x\cos^2x\,dx\)

57)\(\displaystyle ∫\tan^{350}x\sec^2x\,dx\) o\(\displaystyle ∫\tan^{350}x\sec x\,dx\)

Contestar

La segunda integral es más difícil porque la primera integral es simplemente un tipo\(u\) de sustitución.