7.3: Sustitución trigonométrica

Objetivos de aprendizaje

• Resolver problemas de integración que involucran la raíz cuadrada de una suma o diferencia de dos cuadrados.

En esta sección, exploramos integrales que contienen expresiones de la forma$\sqrt{a^2−x^2}$$\sqrt{a^2+x^2}$, y$\sqrt{x^2−a^2}$, donde los valores de$a$ son positivos. Ya hemos encontrado y evaluado integrales que contienen algunas expresiones de este tipo, pero muchas siguen siendo inaccesibles. La técnica de sustitución trigonométrica resulta muy útil a la hora de evaluar estas integrales. Esta técnica utiliza la sustitución para reescribir estas integrales como integrales trigonométricas.

Integrales que involucran$\sqrt{a^2−x^2}$

Antes de desarrollar una estrategia general para integrales que contengan$\sqrt{a^2−x^2}$, considere la integral$\displaystyle ∫\textstyle\sqrt{9−x^2}dx.$ Esta integral no puede ser evaluada utilizando ninguna de las técnicas que hemos discutido hasta ahora. No obstante, si hacemos la sustitución$x=3\sin θ$, tenemos$dx=3\cos θ \, dθ.$ Después de sustituir en la integral, tenemos

$$∫\sqrt{9−x^2}\,dx=∫\textstyle\sqrt{ 9−(3\sin θ)^2}\cdot 3\cos θ \,dθ. \nonumber$$

Después de simplificar, tenemos

$$∫\sqrt{ 9−x^2}\,dx=∫ 9\textstyle\sqrt{1−\sin^2θ}\cdot\cos θ \, dθ. \nonumber$$

Dejando$1−\sin^2θ=\cos^2θ,$ que ahora tengamos

$$∫\sqrt{ 9−x^2}\,dx=∫ 9\textstyle\sqrt{\cos^2θ}\cos θ \, dθ. \nonumber$$

Suponiendo que$\cos θ≥0$, tenemos

$$∫\textstyle\sqrt{ 9−x^2}\,dx=∫ 9\cos^2θ \, dθ. \nonumber$$

En este punto, podemos evaluar la integral utilizando las técnicas desarrolladas para integrar potencias y productos de funciones trigonométricas. Antes de completar este ejemplo, echemos un vistazo a la teoría general detrás de esta idea.

Para evaluar integrales que involucren$\sqrt{a^2−x^2}$, hacemos la sustitución$x=a\sin θ$ y$dx=a\cos θ$. Para ver que esto realmente tiene sentido, considere el siguiente argumento: El dominio de$\sqrt{a^2−x^2}$ es$[−a,a]$. Así,

$$−a≤x≤a. \nonumber$$

En consecuencia,

$$−1≤\dfrac{x}{a}≤1. \nonumber$$

Dado que el rango de$\sin x$ más$[−(π/2),π/2]$ es$[−1,1]$, hay un ángulo único$θ$ satisfactorio$−(π/2)≤θ≤π/2$ para que$\sin θ=x/a$, o equivalentemente, para que$x=a\sin θ$. Si sustituimos$x=a\sin θ$ en$\sqrt{a^2−x^2}$, obtenemos

\ [\ begin {align*}\ sqrt {a^2−x^2} &=\ sqrt {a^2− (a\ sin θ) ^2} & &\ text {Dejar} x=a\ sin θ\ texto {donde} −\ dfrac {π} {2} ≤θ≤\ dfrac {π} {2}.\\ [4pt]
& &\ texto {Simplificar.}\\ [4pt]
&=\ sqrt {a^2−a^2\ sen ^2θ} & &\ text {Factor de salida} a^2.\\ [4pt]
&=\ sqrt {a^2 (1−\ sin^2θ)} & &\ text {Sustituto} 1−\ sin^2x=\ cos^2x.\\ [4pt]
&=\ sqrt {a^2\ cos^2θ} & &\ text {Toma la raíz cuadrada.}\\ [4pt]
&=|a\ cos θ|\\ [4pt]
&=a\ cos\ θ final {alinear*}\]

Ya que$\cos x≥0$ el$−\dfrac{π}{2}≤θ≤\dfrac{π}{2}$ y$a>0, |a\cos θ|=a\cos θ.$ Podemos ver, a partir de esta discusión, que al hacer la sustitución$x=a\sin θ$, somos capaces de convertir una integral que involucra a un radical en una integral que involucra funciones trigonométricas. Después de evaluar la integral, podemos convertir la solución de nuevo en una expresión que involucra$x$. Para ver cómo hacer esto, comencemos asumiendo eso$0<x<a$. En este caso,$0<θ<\dfrac{π}{2}$. Ya que$\sin θ=\dfrac{x}{a}$, podemos dibujar el triángulo de referencia en la Figura$\PageIndex{1}$ para ayudar a expresar los valores de$\cos θ, \, \tan θ,$ y las funciones trigonométricas restantes en términos de x, se puede demostrar que este triángulo realmente produce los valores correctos de las funciones trigonométricas evaluadas en$θ$ para todos$θ$ satisfactorios$−\dfrac{π}{2}≤θ≤\dfrac{π}{2}$. Es útil observar que la expresión$\sqrt{a^2−x^2}$ en realidad aparece como la longitud de un lado del triángulo. Por último, debe$θ$ aparecer por sí mismo, utilizamos$θ=\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right).$

Figura$\PageIndex{1}$: Un triángulo de referencia puede ayudar a expresar las funciones trigonométricas evaluadas$θ$ en términos de$x$.

La parte esencial de esta discusión se resume en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas: integración de expresiones que involucran$\sqrt{a^2−x^2}$

1. Es una buena idea asegurarse de que la integral no pueda ser evaluada fácilmente de otra manera. Por ejemplo, aunque este método se puede aplicar a integrales de la forma$\displaystyle ∫\dfrac{1}{\sqrt{a^2−x^2}}dx$,$\displaystyle ∫\dfrac{x}{\sqrt{a^2−x^2}}dx,$ y cada una de$\displaystyle ∫x\sqrt{a^2−x^2}\,dx,$ ellas puede integrarse directamente ya sea por fórmula o por una simple$u$ -sustitución.
2. Hacer la sustitución$x=a \sin θ$ y$dx=a\cos θ \,dθ.$ Nota: Esta sustitución rinde$\sqrt{a^2−x^2}=a\cos θ.$
3. Simplifica la expresión.
4. Evaluar la integral utilizando técnicas de la sección sobre integrales trigonométricas.
5. Utilice el triángulo de referencia de la Figura 1 para reescribir el resultado en términos de$x$. También es posible que necesites usar algunas identidades trigonométricas y la relación$θ=\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right).$

El siguiente ejemplo demuestra la aplicación de esta estrategia de resolución de problemas.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Integrating an Expression Involving $\sqrt{a^2−x^2}$

Evaluar

$$∫\sqrt{ 9−x^2}dx. \nonumber$$

Solución

Empezar por hacer las sustituciones$x=3\sin θ$ y$dx=3\cos θ \, dθ.$ Desde$\sin θ=\dfrac{x}{3}$, podemos construir el triángulo de referencia que se muestra en la Figura 2.

Figura$\PageIndex{2}$: Se puede construir un triángulo de referencia para Ejemplo$\PageIndex{1}$.

Así,

$$∫\sqrt{9−x^2}\,dx=∫\sqrt{ 9−(3\sin θ)^2}3\cos θ\,dθ \nonumber$$

Sustituto$x=3\sin θ$ y$dx=3\cos θ \,dθ$.

$=∫\sqrt{ 9(1−\sin^2θ)}\cdot 3\cos θ \, dθ$Simplificar.

$=∫\sqrt{ 9\cos^2θ}\cdot 3\cos θ \, dθ$Sustituto$\cos^2θ=1−\sin^2θ$.

$=∫ 3|\cos θ|3\cos θ \, dθ$Toma la raíz cuadrada.

$=∫ 9\cos^2θ \, dθ$Simplificar. Desde$−\dfrac{π}{2}≤θ≤\dfrac{π}{2},\cos θ≥0$ y$|\cos θ|=\cos θ.$

$=∫ 9\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos(2θ)\right)\,dθ$Utilice la estrategia para integrar un poder par de$\cos θ$.

$=\dfrac{9}{2}θ+\dfrac{9}{4}\sin(2θ)+C$Evaluar la integral.

$=\dfrac{9}{2}θ+\dfrac{9}{4}(2\sin θ\cos θ)+C$

Sustituto$\sin(2θ)=2\sin θ\cos θ$.

$=\dfrac{9}{2}\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+\dfrac{9}{2}⋅\dfrac{x}{3}⋅\dfrac{\sqrt{9−x^2}}{3}+C$Sustituto$\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)=θ$ y$\sin θ=\frac{x}{3}$. Usa el triángulo de referencia para ver eso$\cos θ=\dfrac{\sqrt{9−x^2}}{3}$ y haz esta sustitución. Simplificar.

$=\dfrac{9}{2}\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+\dfrac{x\sqrt{9−x^2}}{2}+C.$Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Integrating an Expression Involving $\sqrt{a^2−x^2}$

Evaluar

$$∫\dfrac{\sqrt{4−x^2}}{x}dx. \nonumber$$

Solución

Primero hacer las sustituciones$x=2\sin θ$ y$dx=2\cos θ\,dθ$. Ya que$\sin θ=\dfrac{x}{2}$, podemos construir el triángulo de referencia que se muestra en la Figura$\PageIndex{3}$.

Figura$\PageIndex{3}$: Se puede construir un triángulo de referencia para Ejemplo$\PageIndex{2}$.

Así,

$∫\dfrac{\sqrt{4−x^2}}{x}dx=∫\dfrac{\sqrt{4−(2\sin θ)^2}}{2\sin θ}2\cos θ \, dθ$Sustituto$x=2\sin θ$ y$dx=2\cos θ\,dθ.$

$=∫\dfrac{2\cos^2θ}{\sin θ}\,dθ$Sustituir$\cos^2θ=1−\sin^2θ$ y simplificar.

$=∫\dfrac{2(1−\sin^2θ)}{\sin θ}\,dθ$Sustituto$\cos^2θ=1−\sin^2θ$.

$=∫ (2\csc θ−2\sin θ)\,dθ$Separe el numerador, simplifique y use$\csc θ=\dfrac{1}{\sin θ}$.

$=2 \ln |\csc θ−\cot θ|+2\cos θ+C$Evaluar la integral.

$=2 \ln \left|\dfrac{2}{x}−\dfrac{\sqrt{4−x^2}}{x}\right|+\sqrt{4−x^2}+C.$Utilice el triángulo de referencia para reescribir la expresión en términos de$x$ y simplificar.

En el siguiente ejemplo, vemos que a veces tenemos una opción de métodos.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Integrating an Expression Involving $\sqrt{a^2−x^2}$ Two Ways

Evaluar$∫ x^3\sqrt{1−x^2}dx$ dos formas: primero usando la sustitución$u=1−x^2$ y luego usando una sustitución trigonométrica.

Método 1

Vamos$u=1−x^2$ y por lo tanto$x^2=1−u$. Así,$du=−2x\,dx.$ en este caso, la integral se convierte

$∫ x^3\sqrt{1−x^2}\,dx=−\dfrac{1}{2}∫ x^2\sqrt{1−x^2}(−2x\,dx)$Hacer la sustitución.

$=−\dfrac{1}{2}∫ (1−u)\sqrt{u}\,du$Expandir la expresión.

$=−\dfrac{1}{2}∫(u^{1/2}−u^{3/2})\,du$Evaluar la integral.

$=−\dfrac{1}{2}(\dfrac{2}{3}u^{3/2}−\dfrac{2}{5}u^{5/2})+C$Reescribir en términos de x.

$=−\dfrac{1}{3}(1−x^2)^{3/2}+\dfrac{1}{5}(1−x^2)^{5/2}+C.$

Método 2

Vamos$x=\sin θ$. En este caso,$dx=\cos θ \, dθ.$ Usando esta sustitución, tenemos

$∫ x^3\sqrt{1−x^2}dx=∫ \sin^3θ\cos^2θ \, dθ$

$=∫ (1−\cos^2θ)\cos^2θ\sin θ \, dθ$$u=\cos θ$Dejé.Así,$du=−\sin θ \, dθ.$

$=∫ (u^4−u^2)\,du$

$=\dfrac{1}{5}u^5−\dfrac{1}{3}u^3+C$Sustituto$\cos θ=u.$

$=\dfrac{1}{5}\cos^5θ−\dfrac{1}{3}\cos^3θ+C$Usa un triángulo de referencia para ver eso$\cos θ=\sqrt{1−x^2}.$

$=\dfrac{1}{5}(1−x^2)^{5/2}−\dfrac{1}{3}(1−x^2)^{3/2}+C.$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Reescribir la integral$\displaystyle ∫\dfrac{x^3}{\sqrt{25−x^2}}\,dx$ usando la sustitución trigonométrica apropiada (no evaluar la integral).

Pista

Sustituto$x=5\sin θ$ y$dx=5\cos θ \, dθ.$

Responder

$\displaystyle ∫ 125\sin^3θ \, dθ$

Integración de expresiones que involucran$\sqrt{a^2+x^2}$

Para integrales que contengan$\sqrt{a^2+x^2}$, primero consideremos el dominio de esta expresión. Ya que$\sqrt{a^2+x^2}$ se define para todos los valores reales de$x$, restringimos nuestra elección a aquellas funciones trigonométricas que tienen un rango de todos los números reales. Por lo tanto, nuestra elección se limita a seleccionar cualquiera$x=a\tan θ$ o$x=a\cot θ$. Cualquiera de estas sustituciones funcionaría realmente, pero la sustitución estándar es$x=a\tan θ$ o, de manera equivalente,$\tan θ=x/a$. Con esta sustitución, hacemos el supuesto de que$−(π/2)<θ<π/2$, para que también tengamos$θ=\tan^{−1}(x/a).$ El procedimiento para utilizar esta sustitución se esboza en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas: integración de expresiones que involucran$\sqrt{a^2+x^2}$

1. Verifique si la integral puede ser evaluada fácilmente usando otro método. En algunos casos, es más conveniente utilizar un método alternativo.
2. Sustituto$x=a\tan θ$ y$dx=a\sec^2θ \, dθ.$ Esta sustitución rinde$\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+(a\tan θ)^2}=\sqrt{a^2(1+\tan^2θ)}=\sqrt{a^2sec^2θ}=|a\sec θ|=a\sec θ.$ (Desde$−\dfrac{π}{2}<θ<\dfrac{π}{2}$ y$\sec θ>0$ sobre este intervalo,$|a\sec θ|=a\sec θ$.)
3. Simplifica la expresión.
4. Evaluar la integral utilizando técnicas de la sección sobre integrales trigonométricas.
5. Utilice el triángulo de referencia de la Figura$\PageIndex{4}$ para reescribir el resultado en términos de$x$. También es posible que necesites usar algunas identidades trigonométricas y la relación$θ=\tan^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right)$. (Nota: El triángulo de referencia se basa en el supuesto de que$x>0$; sin embargo, las relaciones trigonométricas producidas a partir del triángulo de referencia son las mismas que las relaciones para las cuales$x≤0$.)

Figura$\PageIndex{4}$: Se puede construir un triángulo de referencia para expresar las funciones trigonométricas evaluadas$θ$ en términos de$x$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Integrating an Expression Involving $\sqrt{a^2+x^2}$

Evaluar$\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ y verificar la solución diferenciando.

Solución

Empezar con la sustitución$x=\tan θ$ y$dx=sec^2θ\,dθ$. Ya que$\tan θ=x$, dibuje el triángulo de referencia en la Figura$\PageIndex{5}$.

Figura$\PageIndex{5}$: El triángulo de referencia para Ejemplo$\PageIndex{4}$.

Así,

\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ dfrac {dx} {\ sqrt {1+x^2}} &=∫\ dfrac {\ seg^2θ} {\ seg θ} dθ & &\ text {Sustituto} x=\ tan θ\ texto {y} dx=\ seg^2θ\, dθ.\\ [4pt]
& &\ texto {Esta sustitución hace}\ sqrt {1+x^2} =\ seg θ. \ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=∫\ sec θ\, dθ & &\ text {Evalúa la integral.}\\ [4pt]
&=\ ln |\ sec θ+\ tan θ|+C & &\ text {Usa el triángulo de referencia para expresar el resultado en términos de} x.\\ [4pt]
&=\ ln |\ sqrt {1+x^2} +xx|+C\ final {alinear*}\)

Para verificar la solución, diferencie:

$\dfrac{d}{dx}\Big( \ln |\sqrt{1+x^2}+x|\Big)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}⋅\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+1\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}⋅\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$

Ya que$\sqrt{1+x^2}+x>0$ para todos los valores de$x$, podríamos reescribir$\ln |\sqrt{1+x^2}+x|+C= \ln (\sqrt{1+x^2}+x)+C$, si se desea.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Evaluating $∫\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ Using a Different Substitution

Utilice la sustitución$x=\sinh θ$ para evaluar$\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}.$

Solución

Porque$\sinh θ$ tiene un rango de todos los números reales, y$1+\sinh^2θ=\cosh^2θ$, también podemos usar la sustitución$x=\sinh θ$ para evaluar esta integral. En este caso,$dx=\cosh θ \,dθ.$ Consecuentemente,

\ (\ displaystyle\ begin {alinear*} ∫\ dfrac {dx} {\ sqrt {1+x^2}} &=∫\ dfrac {\ cosh θ} {\ sqrt {1+\ sinh^2θ}} dθ &\ texto {Sustituto} x=\ sinh θ\ texto {y} dx=\ cosh θ\, dθ.\\ [4pt]
& & &\ text {Sustituto} 1+\ sinh^2θ=\ cosh^2θ.\\ [4pt]
&=∫\ dfrac {\ cosh θ} {\ sqrt {\ cosh^2θ}} dθ & amp; &\ text {Desde}\ sqrt {\ cosh^2θ} =|\ cosh θ|\\ [4pt]
&=∫\ dfrac {\ cosh θ} {|\ cosh θ|} dθ & & |\ cosh θ|=\ cosh θ\ text {since}\ cosh θ>0\ text {para todos} θ.\\ [4pt]
=∫\ dfrac {\ cosh θ} {\ cosh θ} dθ & &\ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=∫ 1\, dθ & & \ text {Evalúa la integral.}\\ [4pt]
&=θ+C & &\ text {Desde} x=\ sinh θ,\ text {sabemos} θ=\ sinh^ {−1} x.\\ [4pt]
&=\ sinh^ {−1} x+C.\ end {align*}\)

Análisis

Esta respuesta se ve bastante diferente de la respuesta obtenida usando la sustitución$x=\tan θ.$ Para ver que las soluciones son las mismas, establecer$y=\sinh^{−1}x$. Así,$\sinh y=x.$ a partir de esta ecuación obtenemos:

$$\dfrac{e^y−e^{−y}}{2}=x. \nonumber$$

Después de multiplicar ambos lados por$2e^y$ y reescribir, esta ecuación se convierte en:

$$e^{2y}−2xe^y−1=0. \nonumber$$

Utilice la ecuación cuadrática para resolver$e^y$:

$$e^y=\dfrac{2x±\sqrt{4x^2+4}}{2}. \nonumber$$

Simplificando, tenemos:

$$e^y=x±\sqrt{x^2+1}. \nonumber$$

Ya que$x−\sqrt{x^2+1}<0$, debe ser el caso que$e^y=x+\sqrt{x^2+1}$. Así,

$$y= \ln (x+\sqrt{x^2+1}). \nonumber$$

Por último, obtenemos

$$\sinh^{−1}x= \ln (x+\sqrt{x^2+1}). \nonumber$$

Después hacemos la observación final de que, desde$x+\sqrt{x^2+1}>0,$

$$\ln (x+\sqrt{x^2+1})= \ln ∣\sqrt{1+x^2}+x∣, \nonumber$$

vemos que los dos métodos diferentes produjeron soluciones equivalentes.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Finding an Arc Length

Encuentra la longitud de la curva$y=x^2$ a lo largo del intervalo$[0,\dfrac{1}{2}]$.

Solución

Porque$\dfrac{dy}{dx}=2x$, la longitud del arco viene dada por

$$∫^{1/2}_0\sqrt{1+(2x)^2}dx=∫^{1/2}_0\sqrt{1+4x^2}dx. \nonumber$$

Para evaluar esta integral, utilice la sustitución$x=\dfrac{1}{2}\tan θ$ y$dx=\tfrac{1}{2}\sec^2θ \, dθ$. También necesitamos cambiar los límites de la integración. Si$x=0$, entonces$θ=0$ y si$x=\dfrac{1}{2}$, entonces$θ=\dfrac{π}{4}.$ Así,

$∫^{1/2}_0\sqrt{1+4x^2}dx=∫^{π/4}_0\sqrt{1+\tan^2θ}\cdot \tfrac{1}{2}\sec^2θ \, dθ$Después de la sustitución,$\sqrt{1+4x^2}=\sec θ$. (Sustituir$1+\tan^2θ=\sec^2θ$ y simplificar.)

$=\tfrac{1}{2}∫^{π/4}_0\sec^3θ \, dθ$Derivamos esta integral en el apartado anterior.

$=\tfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}\sec θ\tan θ+ \dfrac{1}{2}\ln |\sec θ+\tan θ|)∣^{π/4}_0$Evaluar y simplificar.

$=\tfrac{1}{4}(\sqrt{2}+ \ln (\sqrt{2}+1)).$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Reescribir$\displaystyle ∫ x^3\sqrt{x^2+4}dx$ mediante el uso de una sustitución que implica$\tan θ$.

Pista

Uso$x=2\tan θ$ y$dx=2\sec^2θ \, dθ.$

Responder

$$∫ 32\tan^3θ\sec^3θ \, dθ \nonumber$$

Integración de expresiones que involucran$\sqrt{x^2−a^2}$

El dominio de la expresión$\sqrt{x^2−a^2}$ es$(−∞,−a]∪[a,+∞)$. Así, ya sea$x\le −a$ o$x\ge a.$ Por lo tanto,$\dfrac{x}{a}≤−1$ o$\dfrac{x}{a}≥1$. Dado que estos intervalos corresponden al rango de$\sec θ$ en el conjunto$[0,\dfrac{π}{2})∪(\dfrac{π}{2},π]$, tiene sentido usar la sustitución$\sec θ=\dfrac{x}{a}$ o, equivalentemente,$x=a\sec θ$, dónde$0≤θ<\dfrac{π}{2}$ o$\dfrac{π}{2}<θ≤π$. La sustitución correspondiente para$dx$ es$dx=a\sec θ\tan θ \, dθ$. El procedimiento para usar esta sustitución se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas: Integrales que involucran$\sqrt{x^2−a^2}$

1. Verifique si la integral no puede ser evaluada usando otro método. Si es así, tal vez deseemos considerar la posibilidad de aplicar una técnica alternativa.
2. Sustituto$x=a\sec θ$ y$dx=a\sec θ\tan θ \, dθ$. Esta sustitución rinde $$\sqrt{x^2−a^2}=\sqrt{(a\sec θ)^2−a^2}=\sqrt{a^2(\sec^2θ-1)}=\sqrt{a^2\tan^2θ}=|a\tan θ|. \nonumber$$ Para$x≥a, |a\tan θ|=a\tan θ$ y para$x≤−a, |a\tan θ|=−a\tan θ.$
3. Simplifica la expresión.
4. Evaluar la integral utilizando técnicas de la sección sobre integrales trigonométricas.
5. Utilice los triángulos de referencia de la Figura$\PageIndex{6}$ para reescribir el resultado en términos de$x$.
6. También es posible que necesites usar algunas identidades trigonométricas y la relación$θ=\sec^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right)$. (Nota: Necesitamos ambos triángulos de referencia, ya que los valores de algunas de las relaciones trigonométricas son diferentes dependiendo de si$x>a$ o$x<−a$.)

a. También están las ecuaciones sin (theta) = la raíz cuadrada de (x^2-a^2) /x, cos (theta) = a/x, y tan (theta) = la raíz cuadrada de (x^2-a^2) /a. El segundo triángulo está en el segundo cuadrante, con la hipotenusa —etiquetada x. La pata horizontal es etiquetada —una y está en el eje x negativo. La pata vertical está etiquetada como la raíz cuadrada de (x^2-a^2). A la derecha del triángulo está la ecuación sec (theta) = x/a, x<-a. También están las ecuaciones sin (theta) = la raíz cuadrada negativa de (x^2-a^2) /x, cos (theta) = a/x, y tan (theta) = la raíz cuadrada negativa de (x^2-a^2) /a." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...2447/7.3.4.png">

Figura$\PageIndex{6}$: Utilizar el triángulo de referencia apropiado para expresar las funciones trigonométricas evaluadas$θ$ en términos de$x$.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Finding the Area of a Region

Encuentra el área de la región entre la gráfica$f(x)=\sqrt{x^2−9}$ y el eje x en el intervalo$[3,5].$

Solución

Primero, esboce una gráfica aproximada de la región descrita en el problema, como se muestra en la siguiente figura.

Figura$\PageIndex{7}$: Calcular el área de la región sombreada requiere evaluar una integral con una sustitución trigonométrica.

Podemos ver que la zona es$A=∫^5_3\sqrt{x^2−9}dx$. Evaluar esta integral definida, sustituta$x=3\sec θ$ y$dx=3\sec θ\tan θ \, dθ$. También debemos cambiar los límites de la integración. Si$x=3$, entonces$3=3\sec θ$ y por lo tanto$θ=0$. Si$x=5$, entonces$θ=\sec^{−1}(\dfrac{5}{3})$. Después de hacer estas sustituciones y simplificar, tenemos

Área$=∫^5_3\sqrt{x^2−9}dx$

$=∫^{\sec^{−1}(5/3)}_09\tan^2θ\sec θ \, dθ$Uso$\tan^2θ=\sec^2θ - 1.$

$=∫^{\sec^{−1}(5/3)}_09(\sec^2θ−1)\sec θ \, dθ$Ampliar.

$=∫^{\sec^{−1}(5/3)}_09(\sec^3θ−\sec θ)\,dθ$Evaluar la integral.

$=(\dfrac{9}{2} \ln |\sec θ+\tan θ|+\dfrac{9}{2}\sec θ\tan θ)−9 \ln |\sec θ+\tan θ|∣^{\sec^{−1}(5/3)}_0$Simplificar.

$=\dfrac{9}{2}\sec θ\tan θ−\dfrac{9}{2} \ln |\sec θ+\tan θ|∣^{\sec^{−1}(5/3)}_0$Evaluar. Uso$\sec(\sec^{−1}\dfrac{5}{3})=\dfrac{5}{3}$ y$\tan(\sec^{−1}\dfrac{5}{3})=\dfrac{4}{3}.$

$=\dfrac{9}{2}⋅\dfrac{5}{3}⋅\dfrac{4}{3}−\dfrac{9}{2} \ln ∣\dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}∣−(\dfrac{9}{2}⋅1⋅0−\dfrac{9}{2} \ln |1+0|)$

$=10−\dfrac{9}{2} \ln 3$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Evaluar $$∫\dfrac{dx}{\sqrt{x^2−4}}. \nonumber$$ Supongamos que$x>2.$

Pista

Sustituto$x=2\sec θ$ y$dx=2\sec θ\tan θ \, dθ.$

Responder

$$\ln |\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sqrt{x^2−4}}{2}|+C \nonumber$$

Conceptos clave

• Para integrales que involucren$\sqrt{a^2−x^2}$, use la sustitución$x=a\sin θ$ y$dx=a\cos θ \, dθ.$
• Para integrales que involucren$\sqrt{a^2+x^2}$, use la sustitución$x=a\tan θ$ y$dx=a\sec^2θ \, dθ$.
• Para integrales que involucren$\sqrt{x^2−a^2}$, sustituyan$x=a\sec θ$ y$dx=a\sec θ\tan θ \,dθ$.

Glosario

sustitución trigonométrica

una técnica de integración que convierte una integral algebraica que contiene expresiones de la forma$\sqrt{a^2−x^2}$$\sqrt{a^2+x^2}$, o$\sqrt{x^2−a^2}$ en una integral trigonométrica