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# 7.3: Sustitución trigonométrica

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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##### Objetivos de aprendizaje

En esta sección, exploramos integrales que contienen expresiones de la forma$$\sqrt{a^2−x^2}$$$$\sqrt{a^2+x^2}$$, y$$\sqrt{x^2−a^2}$$, donde los valores de$$a$$ son positivos. Ya hemos encontrado y evaluado integrales que contienen algunas expresiones de este tipo, pero muchas siguen siendo inaccesibles. La técnica de sustitución trigonométrica resulta muy útil a la hora de evaluar estas integrales. Esta técnica utiliza la sustitución para reescribir estas integrales como integrales trigonométricas.

## Integrales que involucran$$\sqrt{a^2−x^2}$$

Antes de desarrollar una estrategia general para integrales que contengan$$\sqrt{a^2−x^2}$$, considere la integral$$\displaystyle ∫\textstyle\sqrt{9−x^2}dx.$$ Esta integral no puede ser evaluada utilizando ninguna de las técnicas que hemos discutido hasta ahora. No obstante, si hacemos la sustitución$$x=3\sin θ$$, tenemos$$dx=3\cos θ \, dθ.$$ Después de sustituir en la integral, tenemos

$∫\sqrt{9−x^2}\,dx=∫\textstyle\sqrt{ 9−(3\sin θ)^2}\cdot 3\cos θ \,dθ. \nonumber$

Después de simplificar, tenemos

$∫\sqrt{ 9−x^2}\,dx=∫ 9\textstyle\sqrt{1−\sin^2θ}\cdot\cos θ \, dθ. \nonumber$

Dejando$$1−\sin^2θ=\cos^2θ,$$ que ahora tengamos

$∫\sqrt{ 9−x^2}\,dx=∫ 9\textstyle\sqrt{\cos^2θ}\cos θ \, dθ. \nonumber$

Suponiendo que$$\cos θ≥0$$, tenemos

$∫\textstyle\sqrt{ 9−x^2}\,dx=∫ 9\cos^2θ \, dθ. \nonumber$

En este punto, podemos evaluar la integral utilizando las técnicas desarrolladas para integrar potencias y productos de funciones trigonométricas. Antes de completar este ejemplo, echemos un vistazo a la teoría general detrás de esta idea.

Para evaluar integrales que involucren$$\sqrt{a^2−x^2}$$, hacemos la sustitución$$x=a\sin θ$$ y$$dx=a\cos θ$$. Para ver que esto realmente tiene sentido, considere el siguiente argumento: El dominio de$$\sqrt{a^2−x^2}$$ es$$[−a,a]$$. Así,

$−a≤x≤a. \nonumber$

En consecuencia,

$−1≤\dfrac{x}{a}≤1. \nonumber$

Dado que el rango de$$\sin x$$ más$$[−(π/2),π/2]$$ es$$[−1,1]$$, hay un ángulo único$$θ$$ satisfactorio$$−(π/2)≤θ≤π/2$$ para que$$\sin θ=x/a$$, o equivalentemente, para que$$x=a\sin θ$$. Si sustituimos$$x=a\sin θ$$ en$$\sqrt{a^2−x^2}$$, obtenemos

\ [\ begin {align*}\ sqrt {a^2−x^2} &=\ sqrt {a^2− (a\ sin θ) ^2} & &\ text {Dejar} x=a\ sin θ\ texto {donde} −\ dfrac {π} {2} ≤θ≤\ dfrac {π} {2}.\\ [4pt]
& &\ texto {Simplificar.}\\ [4pt]
&=\ sqrt {a^2−a^2\ sen ^2θ} & &\ text {Factor de salida} a^2.\\ [4pt]
&=\ sqrt {a^2 (1−\ sin^2θ)} & &\ text {Sustituto} 1−\ sin^2x=\ cos^2x.\\ [4pt]
&=\ sqrt {a^2\ cos^2θ} & &\ text {Toma la raíz cuadrada.}\\ [4pt]
&=|a\ cos θ|\\ [4pt]
&=a\ cos\ θ final {alinear*}\]

Ya que$$\cos x≥0$$ el$$−\dfrac{π}{2}≤θ≤\dfrac{π}{2}$$ y$$a>0, |a\cos θ|=a\cos θ.$$ Podemos ver, a partir de esta discusión, que al hacer la sustitución$$x=a\sin θ$$, somos capaces de convertir una integral que involucra a un radical en una integral que involucra funciones trigonométricas. Después de evaluar la integral, podemos convertir la solución de nuevo en una expresión que involucra$$x$$. Para ver cómo hacer esto, comencemos asumiendo eso$$0<x<a$$. En este caso,$$0<θ<\dfrac{π}{2}$$. Ya que$$\sin θ=\dfrac{x}{a}$$, podemos dibujar el triángulo de referencia en la Figura$$\PageIndex{1}$$ para ayudar a expresar los valores de$$\cos θ, \, \tan θ,$$ y las funciones trigonométricas restantes en términos de x, se puede demostrar que este triángulo realmente produce los valores correctos de las funciones trigonométricas evaluadas en$$θ$$ para todos$$θ$$ satisfactorios$$−\dfrac{π}{2}≤θ≤\dfrac{π}{2}$$. Es útil observar que la expresión$$\sqrt{a^2−x^2}$$ en realidad aparece como la longitud de un lado del triángulo. Por último, debe$$θ$$ aparecer por sí mismo, utilizamos$$θ=\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right).$$

La parte esencial de esta discusión se resume en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

##### Estrategia de resolución de problemas: integración de expresiones que involucran$$\sqrt{a^2−x^2}$$
1. Es una buena idea asegurarse de que la integral no pueda ser evaluada fácilmente de otra manera. Por ejemplo, aunque este método se puede aplicar a integrales de la forma$$\displaystyle ∫\dfrac{1}{\sqrt{a^2−x^2}}dx$$,$$\displaystyle ∫\dfrac{x}{\sqrt{a^2−x^2}}dx,$$ y cada una de$$\displaystyle ∫x\sqrt{a^2−x^2}\,dx,$$ ellas puede integrarse directamente ya sea por fórmula o por una simple$$u$$ -sustitución.
2. Hacer la sustitución$$x=a \sin θ$$ y$$dx=a\cos θ \,dθ.$$ Nota: Esta sustitución rinde$$\sqrt{a^2−x^2}=a\cos θ.$$
3. Simplifica la expresión.
4. Evaluar la integral utilizando técnicas de la sección sobre integrales trigonométricas.
5. Utilice el triángulo de referencia de la Figura 1 para reescribir el resultado en términos de$$x$$. También es posible que necesites usar algunas identidades trigonométricas y la relación$$θ=\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right).$$

El siguiente ejemplo demuestra la aplicación de esta estrategia de resolución de problemas.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Integrating an Expression Involving $$\sqrt{a^2−x^2}$$

Evaluar

$∫\sqrt{ 9−x^2}dx. \nonumber$

Solución

Empezar por hacer las sustituciones$$x=3\sin θ$$ y$$dx=3\cos θ \, dθ.$$ Desde$$\sin θ=\dfrac{x}{3}$$, podemos construir el triángulo de referencia que se muestra en la Figura 2.

Así,

$∫\sqrt{9−x^2}\,dx=∫\sqrt{ 9−(3\sin θ)^2}3\cos θ\,dθ \nonumber$

Sustituto$$x=3\sin θ$$ y$$dx=3\cos θ \,dθ$$.

$$=∫\sqrt{ 9(1−\sin^2θ)}\cdot 3\cos θ \, dθ$$Simplificar.

$$=∫\sqrt{ 9\cos^2θ}\cdot 3\cos θ \, dθ$$Sustituto$$\cos^2θ=1−\sin^2θ$$.

$$=∫ 3|\cos θ|3\cos θ \, dθ$$Toma la raíz cuadrada.

$$=∫ 9\cos^2θ \, dθ$$Simplificar. Desde$$−\dfrac{π}{2}≤θ≤\dfrac{π}{2},\cos θ≥0$$ y$$|\cos θ|=\cos θ.$$

$$=∫ 9\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos(2θ)\right)\,dθ$$Utilice la estrategia para integrar un poder par de$$\cos θ$$.

$$=\dfrac{9}{2}θ+\dfrac{9}{4}\sin(2θ)+C$$Evaluar la integral.

$$=\dfrac{9}{2}θ+\dfrac{9}{4}(2\sin θ\cos θ)+C$$

Sustituto$$\sin(2θ)=2\sin θ\cos θ$$.

$$=\dfrac{9}{2}\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+\dfrac{9}{2}⋅\dfrac{x}{3}⋅\dfrac{\sqrt{9−x^2}}{3}+C$$Sustituto$$\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)=θ$$ y$$\sin θ=\frac{x}{3}$$. Usa el triángulo de referencia para ver eso$$\cos θ=\dfrac{\sqrt{9−x^2}}{3}$$ y haz esta sustitución. Simplificar.

$$=\dfrac{9}{2}\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+\dfrac{x\sqrt{9−x^2}}{2}+C.$$Simplificar.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Integrating an Expression Involving $$\sqrt{a^2−x^2}$$

Evaluar

$∫\dfrac{\sqrt{4−x^2}}{x}dx. \nonumber$

Solución

Primero hacer las sustituciones$$x=2\sin θ$$ y$$dx=2\cos θ\,dθ$$. Ya que$$\sin θ=\dfrac{x}{2}$$, podemos construir el triángulo de referencia que se muestra en la Figura$$\PageIndex{3}$$.

Así,

$$∫\dfrac{\sqrt{4−x^2}}{x}dx=∫\dfrac{\sqrt{4−(2\sin θ)^2}}{2\sin θ}2\cos θ \, dθ$$Sustituto$$x=2\sin θ$$ y$$dx=2\cos θ\,dθ.$$

$$=∫\dfrac{2\cos^2θ}{\sin θ}\,dθ$$Sustituir$$\cos^2θ=1−\sin^2θ$$ y simplificar.

$$=∫\dfrac{2(1−\sin^2θ)}{\sin θ}\,dθ$$Sustituto$$\cos^2θ=1−\sin^2θ$$.

$$=∫ (2\csc θ−2\sin θ)\,dθ$$Separe el numerador, simplifique y use$$\csc θ=\dfrac{1}{\sin θ}$$.

$$=2 \ln |\csc θ−\cot θ|+2\cos θ+C$$Evaluar la integral.

$$=2 \ln \left|\dfrac{2}{x}−\dfrac{\sqrt{4−x^2}}{x}\right|+\sqrt{4−x^2}+C.$$Utilice el triángulo de referencia para reescribir la expresión en términos de$$x$$ y simplificar.

En el siguiente ejemplo, vemos que a veces tenemos una opción de métodos.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: Integrating an Expression Involving $$\sqrt{a^2−x^2}$$ Two Ways

Evaluar$$∫ x^3\sqrt{1−x^2}dx$$ dos formas: primero usando la sustitución$$u=1−x^2$$ y luego usando una sustitución trigonométrica.

Método 1

Vamos$$u=1−x^2$$ y por lo tanto$$x^2=1−u$$. Así,$$du=−2x\,dx.$$ en este caso, la integral se convierte

$$∫ x^3\sqrt{1−x^2}\,dx=−\dfrac{1}{2}∫ x^2\sqrt{1−x^2}(−2x\,dx)$$Hacer la sustitución.

$$=−\dfrac{1}{2}∫ (1−u)\sqrt{u}\,du$$Expandir la expresión.

$$=−\dfrac{1}{2}∫(u^{1/2}−u^{3/2})\,du$$Evaluar la integral.

$$=−\dfrac{1}{2}(\dfrac{2}{3}u^{3/2}−\dfrac{2}{5}u^{5/2})+C$$Reescribir en términos de x.

$$=−\dfrac{1}{3}(1−x^2)^{3/2}+\dfrac{1}{5}(1−x^2)^{5/2}+C.$$

Método 2

Vamos$$x=\sin θ$$. En este caso,$$dx=\cos θ \, dθ.$$ Usando esta sustitución, tenemos

$$∫ x^3\sqrt{1−x^2}dx=∫ \sin^3θ\cos^2θ \, dθ$$

$$=∫ (1−\cos^2θ)\cos^2θ\sin θ \, dθ$$$$u=\cos θ$$Dejé.Así,$$du=−\sin θ \, dθ.$$

$$=∫ (u^4−u^2)\,du$$

$$=\dfrac{1}{5}u^5−\dfrac{1}{3}u^3+C$$Sustituto$$\cos θ=u.$$

$$=\dfrac{1}{5}\cos^5θ−\dfrac{1}{3}\cos^3θ+C$$Usa un triángulo de referencia para ver eso$$\cos θ=\sqrt{1−x^2}.$$

$$=\dfrac{1}{5}(1−x^2)^{5/2}−\dfrac{1}{3}(1−x^2)^{3/2}+C.$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Reescribir la integral$$\displaystyle ∫\dfrac{x^3}{\sqrt{25−x^2}}\,dx$$ usando la sustitución trigonométrica apropiada (no evaluar la integral).

Pista

Sustituto$$x=5\sin θ$$ y$$dx=5\cos θ \, dθ.$$

Responder

$$\displaystyle ∫ 125\sin^3θ \, dθ$$

## Integración de expresiones que involucran$$\sqrt{a^2+x^2}$$

Para integrales que contengan$$\sqrt{a^2+x^2}$$, primero consideremos el dominio de esta expresión. Ya que$$\sqrt{a^2+x^2}$$ se define para todos los valores reales de$$x$$, restringimos nuestra elección a aquellas funciones trigonométricas que tienen un rango de todos los números reales. Por lo tanto, nuestra elección se limita a seleccionar cualquiera$$x=a\tan θ$$ o$$x=a\cot θ$$. Cualquiera de estas sustituciones funcionaría realmente, pero la sustitución estándar es$$x=a\tan θ$$ o, de manera equivalente,$$\tan θ=x/a$$. Con esta sustitución, hacemos el supuesto de que$$−(π/2)<θ<π/2$$, para que también tengamos$$θ=\tan^{−1}(x/a).$$ El procedimiento para utilizar esta sustitución se esboza en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

##### Estrategia de resolución de problemas: integración de expresiones que involucran$$\sqrt{a^2+x^2}$$
1. Verifique si la integral puede ser evaluada fácilmente usando otro método. En algunos casos, es más conveniente utilizar un método alternativo.
2. Sustituto$$x=a\tan θ$$ y$$dx=a\sec^2θ \, dθ.$$ Esta sustitución rinde$$\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+(a\tan θ)^2}=\sqrt{a^2(1+\tan^2θ)}=\sqrt{a^2sec^2θ}=|a\sec θ|=a\sec θ.$$ (Desde$$−\dfrac{π}{2}<θ<\dfrac{π}{2}$$ y$$\sec θ>0$$ sobre este intervalo,$$|a\sec θ|=a\sec θ$$.)
3. Simplifica la expresión.
4. Evaluar la integral utilizando técnicas de la sección sobre integrales trigonométricas.
5. Utilice el triángulo de referencia de la Figura$$\PageIndex{4}$$ para reescribir el resultado en términos de$$x$$. También es posible que necesites usar algunas identidades trigonométricas y la relación$$θ=\tan^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right)$$. (Nota: El triángulo de referencia se basa en el supuesto de que$$x>0$$; sin embargo, las relaciones trigonométricas producidas a partir del triángulo de referencia son las mismas que las relaciones para las cuales$$x≤0$$.)
##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$: Integrating an Expression Involving $$\sqrt{a^2+x^2}$$

Evaluar$$\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$$ y verificar la solución diferenciando.

Solución

Empezar con la sustitución$$x=\tan θ$$ y$$dx=sec^2θ\,dθ$$. Ya que$$\tan θ=x$$, dibuje el triángulo de referencia en la Figura$$\PageIndex{5}$$.

Así,

\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ dfrac {dx} {\ sqrt {1+x^2}} &=∫\ dfrac {\ seg^2θ} {\ seg θ} dθ & &\ text {Sustituto} x=\ tan θ\ texto {y} dx=\ seg^2θ\, dθ.\\ [4pt]
& &\ texto {Esta sustitución hace}\ sqrt {1+x^2} =\ seg θ. \ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=∫\ sec θ\, dθ & &\ text {Evalúa la integral.}\\ [4pt]
&=\ ln |\ sec θ+\ tan θ|+C & &\ text {Usa el triángulo de referencia para expresar el resultado en términos de} x.\\ [4pt]
&=\ ln |\ sqrt {1+x^2} +xx|+C\ final {alinear*}\)

Para verificar la solución, diferencie:

$$\dfrac{d}{dx}\Big( \ln |\sqrt{1+x^2}+x|\Big)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}⋅\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+1\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}⋅\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Ya que$$\sqrt{1+x^2}+x>0$$ para todos los valores de$$x$$, podríamos reescribir$$\ln |\sqrt{1+x^2}+x|+C= \ln (\sqrt{1+x^2}+x)+C$$, si se desea.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$: Evaluating $$∫\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$$ Using a Different Substitution

Utilice la sustitución$$x=\sinh θ$$ para evaluar$$\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Solución

Porque$$\sinh θ$$ tiene un rango de todos los números reales, y$$1+\sinh^2θ=\cosh^2θ$$, también podemos usar la sustitución$$x=\sinh θ$$ para evaluar esta integral. En este caso,$$dx=\cosh θ \,dθ.$$ Consecuentemente,

\ (\ displaystyle\ begin {alinear*} ∫\ dfrac {dx} {\ sqrt {1+x^2}} &=∫\ dfrac {\ cosh θ} {\ sqrt {1+\ sinh^2θ}} dθ &\ texto {Sustituto} x=\ sinh θ\ texto {y} dx=\ cosh θ\, dθ.\\ [4pt]
& & &\ text {Sustituto} 1+\ sinh^2θ=\ cosh^2θ.\\ [4pt]
&=∫\ dfrac {\ cosh θ} {\ sqrt {\ cosh^2θ}} dθ & amp; &\ text {Desde}\ sqrt {\ cosh^2θ} =|\ cosh θ|\\ [4pt]
&=∫\ dfrac {\ cosh θ} {|\ cosh θ|} dθ & & |\ cosh θ|=\ cosh θ\ text {since}\ cosh θ>0\ text {para todos} θ.\\ [4pt]
=∫\ dfrac {\ cosh θ} {\ cosh θ} dθ & &\ text {Simplificar.}\\ [4pt]
&=∫ 1\, dθ & & \ text {Evalúa la integral.}\\ [4pt]
&=θ+C & &\ text {Desde} x=\ sinh θ,\ text {sabemos} θ=\ sinh^ {−1} x.\\ [4pt]
&=\ sinh^ {−1} x+C.\ end {align*}\)

Análisis

Esta respuesta se ve bastante diferente de la respuesta obtenida usando la sustitución$$x=\tan θ.$$ Para ver que las soluciones son las mismas, establecer$$y=\sinh^{−1}x$$. Así,$$\sinh y=x.$$ a partir de esta ecuación obtenemos:

$\dfrac{e^y−e^{−y}}{2}=x. \nonumber$

Después de multiplicar ambos lados por$$2e^y$$ y reescribir, esta ecuación se convierte en:

$e^{2y}−2xe^y−1=0. \nonumber$

Utilice la ecuación cuadrática para resolver$$e^y$$:

$e^y=\dfrac{2x±\sqrt{4x^2+4}}{2}. \nonumber$

Simplificando, tenemos:

$e^y=x±\sqrt{x^2+1}. \nonumber$

Ya que$$x−\sqrt{x^2+1}<0$$, debe ser el caso que$$e^y=x+\sqrt{x^2+1}$$. Así,

$y= \ln (x+\sqrt{x^2+1}). \nonumber$

Por último, obtenemos

$\sinh^{−1}x= \ln (x+\sqrt{x^2+1}). \nonumber$

Después hacemos la observación final de que, desde$$x+\sqrt{x^2+1}>0,$$

$\ln (x+\sqrt{x^2+1})= \ln ∣\sqrt{1+x^2}+x∣, \nonumber$

vemos que los dos métodos diferentes produjeron soluciones equivalentes.

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$: Finding an Arc Length

Encuentra la longitud de la curva$$y=x^2$$ a lo largo del intervalo$$[0,\dfrac{1}{2}]$$.

Solución

Porque$$\dfrac{dy}{dx}=2x$$, la longitud del arco viene dada por

$∫^{1/2}_0\sqrt{1+(2x)^2}dx=∫^{1/2}_0\sqrt{1+4x^2}dx. \nonumber$

Para evaluar esta integral, utilice la sustitución$$x=\dfrac{1}{2}\tan θ$$ y$$dx=\tfrac{1}{2}\sec^2θ \, dθ$$. También necesitamos cambiar los límites de la integración. Si$$x=0$$, entonces$$θ=0$$ y si$$x=\dfrac{1}{2}$$, entonces$$θ=\dfrac{π}{4}.$$ Así,

$$∫^{1/2}_0\sqrt{1+4x^2}dx=∫^{π/4}_0\sqrt{1+\tan^2θ}\cdot \tfrac{1}{2}\sec^2θ \, dθ$$Después de la sustitución,$$\sqrt{1+4x^2}=\sec θ$$. (Sustituir$$1+\tan^2θ=\sec^2θ$$ y simplificar.)

$$=\tfrac{1}{2}∫^{π/4}_0\sec^3θ \, dθ$$Derivamos esta integral en el apartado anterior.

$$=\tfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}\sec θ\tan θ+ \dfrac{1}{2}\ln |\sec θ+\tan θ|)∣^{π/4}_0$$Evaluar y simplificar.

$$=\tfrac{1}{4}(\sqrt{2}+ \ln (\sqrt{2}+1)).$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Reescribir$$\displaystyle ∫ x^3\sqrt{x^2+4}dx$$ mediante el uso de una sustitución que implica$$\tan θ$$.

Pista

Uso$$x=2\tan θ$$ y$$dx=2\sec^2θ \, dθ.$$

Responder

$∫ 32\tan^3θ\sec^3θ \, dθ \nonumber$

## Integración de expresiones que involucran$$\sqrt{x^2−a^2}$$

El dominio de la expresión$$\sqrt{x^2−a^2}$$ es$$(−∞,−a]∪[a,+∞)$$. Así, ya sea$$x\le −a$$ o$$x\ge a.$$ Por lo tanto,$$\dfrac{x}{a}≤−1$$ o$$\dfrac{x}{a}≥1$$. Dado que estos intervalos corresponden al rango de$$\sec θ$$ en el conjunto$$[0,\dfrac{π}{2})∪(\dfrac{π}{2},π]$$, tiene sentido usar la sustitución$$\sec θ=\dfrac{x}{a}$$ o, equivalentemente,$$x=a\sec θ$$, dónde$$0≤θ<\dfrac{π}{2}$$ o$$\dfrac{π}{2}<θ≤π$$. La sustitución correspondiente para$$dx$$ es$$dx=a\sec θ\tan θ \, dθ$$. El procedimiento para usar esta sustitución se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

##### Estrategia de resolución de problemas: Integrales que involucran$$\sqrt{x^2−a^2}$$
1. Verifique si la integral no puede ser evaluada usando otro método. Si es así, tal vez deseemos considerar la posibilidad de aplicar una técnica alternativa.
2. Sustituto$$x=a\sec θ$$ y$$dx=a\sec θ\tan θ \, dθ$$. Esta sustitución rinde$\sqrt{x^2−a^2}=\sqrt{(a\sec θ)^2−a^2}=\sqrt{a^2(\sec^2θ-1)}=\sqrt{a^2\tan^2θ}=|a\tan θ|. \nonumber$ Para$$x≥a, |a\tan θ|=a\tan θ$$ y para$$x≤−a, |a\tan θ|=−a\tan θ.$$
3. Simplifica la expresión.
4. Evaluar la integral utilizando técnicas de la sección sobre integrales trigonométricas.
5. Utilice los triángulos de referencia de la Figura$$\PageIndex{6}$$ para reescribir el resultado en términos de$$x$$.
6. También es posible que necesites usar algunas identidades trigonométricas y la relación$$θ=\sec^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right)$$. (Nota: Necesitamos ambos triángulos de referencia, ya que los valores de algunas de las relaciones trigonométricas son diferentes dependiendo de si$$x>a$$ o$$x<−a$$.)
##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$: Finding the Area of a Region

Encuentra el área de la región entre la gráfica$$f(x)=\sqrt{x^2−9}$$ y el eje x en el intervalo$$[3,5].$$

Solución

Primero, esboce una gráfica aproximada de la región descrita en el problema, como se muestra en la siguiente figura.

Podemos ver que la zona es$$A=∫^5_3\sqrt{x^2−9}dx$$. Evaluar esta integral definida, sustituta$$x=3\sec θ$$ y$$dx=3\sec θ\tan θ \, dθ$$. También debemos cambiar los límites de la integración. Si$$x=3$$, entonces$$3=3\sec θ$$ y por lo tanto$$θ=0$$. Si$$x=5$$, entonces$$θ=\sec^{−1}(\dfrac{5}{3})$$. Después de hacer estas sustituciones y simplificar, tenemos

Área$$=∫^5_3\sqrt{x^2−9}dx$$

$$=∫^{\sec^{−1}(5/3)}_09\tan^2θ\sec θ \, dθ$$Uso$$\tan^2θ=\sec^2θ - 1.$$

$$=∫^{\sec^{−1}(5/3)}_09(\sec^2θ−1)\sec θ \, dθ$$Ampliar.

$$=∫^{\sec^{−1}(5/3)}_09(\sec^3θ−\sec θ)\,dθ$$Evaluar la integral.

$$=(\dfrac{9}{2} \ln |\sec θ+\tan θ|+\dfrac{9}{2}\sec θ\tan θ)−9 \ln |\sec θ+\tan θ|∣^{\sec^{−1}(5/3)}_0$$Simplificar.

$$=\dfrac{9}{2}\sec θ\tan θ−\dfrac{9}{2} \ln |\sec θ+\tan θ|∣^{\sec^{−1}(5/3)}_0$$Evaluar. Uso$$\sec(\sec^{−1}\dfrac{5}{3})=\dfrac{5}{3}$$ y$$\tan(\sec^{−1}\dfrac{5}{3})=\dfrac{4}{3}.$$

$$=\dfrac{9}{2}⋅\dfrac{5}{3}⋅\dfrac{4}{3}−\dfrac{9}{2} \ln ∣\dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}∣−(\dfrac{9}{2}⋅1⋅0−\dfrac{9}{2} \ln |1+0|)$$

$$=10−\dfrac{9}{2} \ln 3$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Evaluar$∫\dfrac{dx}{\sqrt{x^2−4}}. \nonumber$ Supongamos que$$x>2.$$

Pista

Sustituto$$x=2\sec θ$$ y$$dx=2\sec θ\tan θ \, dθ.$$

Responder

$\ln |\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sqrt{x^2−4}}{2}|+C \nonumber$

## Conceptos clave

• Para integrales que involucren$$\sqrt{a^2−x^2}$$, use la sustitución$$x=a\sin θ$$ y$$dx=a\cos θ \, dθ.$$
• Para integrales que involucren$$\sqrt{a^2+x^2}$$, use la sustitución$$x=a\tan θ$$ y$$dx=a\sec^2θ \, dθ$$.
• Para integrales que involucren$$\sqrt{x^2−a^2}$$, sustituyan$$x=a\sec θ$$ y$$dx=a\sec θ\tan θ \,dθ$$.

## Glosario

sustitución trigonométrica
una técnica de integración que convierte una integral algebraica que contiene expresiones de la forma$$\sqrt{a^2−x^2}$$$$\sqrt{a^2+x^2}$$, o$$\sqrt{x^2−a^2}$$ en una integral trigonométrica

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