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# 9.1E: Ejercicios para la Sección 9.1

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 4, encuentra los primeros seis términos de cada secuencia, empezando por$$n=1$$.

1)$$a_n=1+(−1)^n$$ para$$n≥1$$

Contestar
$$a_n=0$$si$$n$$ es impar y$$a_n=2$$ si$$n$$ es par

2)$$a_n=n^2−1$$ para$$n≥1$$

3)$$a_1=1$$ y$$a_n=a_{n−1}+n$$ para$$n≥2$$

Contestar
$${a_n}={1,3,6,10,15,21,…}$$

4)$$a_1=1, a_2=1$$ y$$a_n+2=a_n+a_{n+1}$$ para$$n≥1$$

5) Encontrar una fórmula explícita para$$a_n$$ dónde$$a_1=1$$ y$$a_n=a_{n−1}+n$$ para$$n≥2$$.

Contestar
$$a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$

6) Encontrar una fórmula$$a_n$$ para el$$n^{\text{th}}$$ término de la secuencia aritmética cuyo primer término es$$a_1=1$$ tal que$$a_{n−1}−a_n=17$$ para$$n≥1$$.

7) Encontrar una fórmula$$a_n$$ para el$$n^{\text{th}}$$ término de la secuencia aritmética cuyo primer término es$$a_1=−3$$ tal que$$a_{n−1}−a_n=4$$ para$$n≥1$$.

Contestar
$$a_n=4n−7$$

8) Encontrar una fórmula$$a_n$$ para el$$n^{\text{th}}$$ término de la secuencia geométrica cuyo primer término es$$a_1=1$$ tal que$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=10$$ para$$n≥1$$.

9) Encontrar una fórmula$$a_n$$ para el$$n^{\text{th}}$$ término de la secuencia geométrica cuyo primer término es$$a_1=3$$ tal que$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1/10$$ para$$n≥1$$.

Contestar
$$a_n=3.10^{1−n}=30.10^{−n}$$

10) Encuentra una fórmula explícita para el$$n^{\text{th}}$$ término de la secuencia cuyos primeros términos son varios$${0,3,8,15,24,35,48,63,80,99,…}.$$ (Pista: Primero agrega uno a cada término.)

11) Encontrar una fórmula explícita para el$$n^{\text{th}}$$ término de la secuencia satisfactoria$$a_1=0$$ y$$a_n=2a_{n−1}+1$$ para$$n≥2$$.

Contestar
$$a_n=2^n−1$$

En los ejercicios 12 y 13, encuentra una fórmula para el término general$$a_n$$ de cada una de las siguientes secuencias.

12)$${1,0,−1,0,1,0,−1,0,…}$$ (Pista: Encuentra dónde$$\sin x$$ toma estos valores)

13)$${1,−1/3,1/5,−1/7,…}$$

Contestar
$$a_n=\dfrac{(−1)^{n−1}}{2n−1}$$

En los ejercicios 14-18, encuentra una función$$f(n)$$ que identifique el$$n^{\text{th}}$$ término$$a_n$$ de las siguientes secuencias definidas recursivamente, como$$a_n=f(n)$$.

14)$$a_1=1$$ y$$a_{n+1}=−a_n$$ para$$n≥1$$

15)$$a_1=2$$ y$$a_{n+1}=2a_n$$ para$$n≥1$$

Contestar
$$f(n)=2^n$$

16)$$a_1=1$$ y$$a_{n+1}=(n+1)a_n$$ para$$n≥1$$

17)$$a_1=2$$ y$$a_{n+1}=(n+1)a_n/2$$ para$$n≥1$$

Contestar
$$f(n)=\dfrac{n!}{2^{n-2}}$$

18)$$a_1=1$$ y$$a_{n+1}=a_n/2^n$$ para$$n≥1$$

En los ejercicios 19 - 22, trazar los primeros$$N$$ términos de la secuencia dada. Indique si la evidencia gráfica sugiere que la secuencia converge o diverge.

19) [T]$$a_1=1, a_2=2$$, y para$$n≥2, a_n=\frac{1}{2}(a_{n−1}+a_{n−2})$$;$$N=30$$

Contestar

Los términos oscilan arriba$$5/3$$ y abajo y parecen converger a$$5/3$$.

20) [T]$$a_1=1, a_2=2, a_3=3$$ y para$$n≥4, a_n=\frac{1}{3}(a_{n−1}+a_{n−2}+a_{n−3}), N=30$$

21) [T]$$a_1=1, a_2=2$$, y para$$n≥3, a_n=\sqrt{a_{n−1}a_{n−2}}; N=30$$

Contestar

Los términos oscilan arriba$$y≈1.57..$$ y abajo y parecen converger a un límite.

22) [T]$$a_1=1, a_2=2, a_3=3$$, y para$$n≥4, a_n=\sqrt{a_{n−1}a_{n−2}a_{n−3}}; N=30$$

En los ejercicios 23 a 16, supongamos eso$$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=1,$$$$\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=−1$$, y$$0<−b_n<a_n$$ para todos$$n$$.

Utilizando esta información, evaluar cada uno de los siguientes límites, declarar que el límite no existe, o declarar que no hay suficiente información para determinar si el límite existe.

23)$$\displaystyle \lim_{n→∞}3a_n−4b_n$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{n→∞}3a_n−4b_n \quad = \quad 7$$

24)$$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{1}{2}b_n−\frac{1}{2}a_n$$

25)$$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n+b_n}{a_n−b_n}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n+b_n}{a_n−b_n} \quad = \quad 0$$

26)$$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n−b_n}{a_n+b_n}$$

En los ejercicios 27 - 30, encuentra el límite de cada una de las siguientes secuencias, utilizando la regla de L'Hôpital cuando corresponda.

27)$$\dfrac{n^2}{2^n}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{n→∞} \dfrac{n^2}{2^n} \quad = \quad 0$$

28)$$\dfrac{(n−1)^2}{(n+1)^2}$$

29)$$\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{n→∞} \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \quad = \quad 1$$

30)$$n^{1/n}$$ (Pista:$$n^{1/n}=e^{\frac{1}{n}\ln n})$$

En los ejercicios 31 - 37, indique si cada secuencia está delimitada y si eventualmente es monótona, creciente o decreciente.

31)$$n/2^n, n≥2$$

Contestar
acotado, decreciente para$$n≥1$$

32)$$\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$$

33)$$\sin n$$

Contestar

34)$$\cos(n^2)$$

35)$$n^{1/n}, \quad n≥3$$

Contestar

36)$$n^{−1/n}, \quad n≥3$$

37)$$\tan n$$

Contestar

En los ejercicios 38 - 39, determinar si la secuencia dada tiene un límite. Si lo hace, encuentra el límite.

38)$$a_1=\sqrt{2}, a_2=\sqrt{2\sqrt{2}}. a_3=\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$$ etc.

39)$$a_1=3, a_n=\sqrt{2a_{n−1}}, n=2,3,….$$

Contestar
$$a_n$$es decreciente y delimitado por debajo por$$2$$. El límite a debe$$a=\sqrt{2a}$$ satisfacerlo$$a=2$$, independientemente del valor inicial.

Usa el Teorema de Squeeze para encontrar el límite de cada secuencia en los ejercicios 40 - 43.

40)$$n\sin(1/n)$$

41)$$\dfrac{\cos(1/n)−1}{1/n}$$

Contestar
$$0$$

42)$$a_n=\dfrac{n!}{n^n}$$

43)$$a_n=\sin n \sin(1/n)$$

Contestar
$$0$$desde$$|\sin x|≤|x|$$ y$$|\sin x|≤1$$ así$$−\dfrac{1}{n}≤a_n≤\dfrac{1}{n})$$.

Para las secuencias en los ejercicios 44 y 45, graficar los primeros$$25$$ términos de la secuencia y establecer si la evidencia gráfica sugiere que la secuencia converge o diverge.

44) [T]$$a_n=\sin n$$

45) [T]$$a_n=\cos n$$

Contestar

La gráfica oscila y sugiere que no hay límite.

En los ejercicios 46 - 52, determinar el límite de la secuencia o mostrar que la secuencia diverge. Si converge, encuentra su límite.

46)$$a_n=\tan^{−1}(n^2)$$

47)$$a_n=(2n)^{1/n}−n^{1/n}$$

Contestar
$$n^{1/n}→1$$y$$2^{1/n}→1,$$ así$$a_n→0$$

48)$$a_n=\dfrac{\ln(n^2)}{\ln(2n)}$$

49)$$a_n=\left(1−\frac{2}{n}\right)^n$$

Contestar
Ya que$$(1+1/n)^n→e$$, uno tiene$$(1−2/n)^n≈(1+k)^{−2k}→e^{−2}$$ como$$k→∞.$$

50)$$a_n=\ln\left(\dfrac{n+2}{n^2−3}\right)$$

51)$$a_n=\dfrac{2^n+3^n}{4^n}$$

Contestar
$$2^n+3^n≤2⋅3^n$$y$$3^n/4^n→0$$ como$$n→∞$$, a fin$$a_n→0$$ de$$n→∞.$$

52)$$a_n=\dfrac{(1000)^n}{n!}$$

53)$$a_n=\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}$$

Contestar
$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=n!/(n+1)(n+2)⋯(2n) =\dfrac{1⋅2⋅3⋯n}{(n+1)(n+2)⋯(2n)}<1/2^n$$. En particular,$$a_{n+1}/a_n≤1/2$$, así$$a_n→0$$ como$$n→∞$$.

El método de Newton busca aproximar una solución$$f(x)=0$$ que comience con una aproximación inicial$$x_0$$ y defina sucesivamente una secuencia$$x_{n+1}=x_n−\dfrac{f(x_n)}{f′(x_n)}$$. Para la elección dada de$$f$$ y$$x_0$$, escriba la fórmula para$$x_{n+1}$$. Si la secuencia parece converger, dé una fórmula exacta para la solución$$x$$, luego identifique el límite$$x$$ exacto a cuatro decimales y el más pequeño$$n$$ tal que$$x_n$$ concuerde con$$x$$ hasta cuatro decimales.

54) [T]$$f(x)=x^2−2,\quad x_0=1$$

55) [T]$$f(x)=(x−1)^2−2,\quad x_0=2$$

Contestar
\ (x_ {n+1} =x_n− ((x_n−1) ^2−2) /2 (x_n−1);\;
x=1+\ sqrt {2},\; x≈2.4142,\; n=5\)

56) [T]$$f(x)=e^x−2, \quad x_0=1$$

57) [T]$$f(x)=\ln x−1,\quad x_0=2$$

Contestar
\ (x_ {n+1} =x_n−x_n (\ ln (x_n) −1);\;
x=e,\; x≈2.7183,\; n=5\)

58) [T] Supongamos que comienza con un litro de vinagre y elimina repetidamente$$0.1$$ L, reemplaza con agua, mezcla y repite.

a. Encontrar una fórmula para la concentración después de$$n$$ los pasos.

b. ¿Después de cuántos pasos contiene la mezcla menos que$$10\%$$ vinagre?

59) [T] Un lago contiene inicialmente$$2000$$ peces. Supongamos que ante la ausencia de depredadores u otras causas de remoción, la población de peces aumenta$$6\%$$ cada mes. Sin embargo, teniendo en cuenta todas las causas, los$$150$$ peces se pierden cada mes.

a. Explique por qué la población de peces después de$$n$$ meses es modelada por$$P_n=1.06P_{n−1}−150$$ con$$P_0=2000$$.

b. ¿Cuántos peces habrá en el estanque después de un año?

Contestar
a. Sin pérdidas, la población obedecería$$P_n=1.06P_{n−1}$$. La resta de$$150$$ cuentas por pérdidas de peces.
b. Después de$$12$$ meses, tenemos$$P_{12}≈1494.$$

60) [T] Una cuenta bancaria gana$$5\%$$ intereses compuestos mensualmente. Supongamos que inicialmente$$1000$$ se deposita en la cuenta, pero que$$10$$ se retira cada mes.

a. Demostrar que el monto en la cuenta después de$$n$$ meses es$$A_n=(1+.05/12)A_{n−1}−10; \; A_0=1000.$$

b. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta tras$$1$$ año?

c. ¿La cantidad aumenta o disminuye?

d. Supongamos que en vez de$$10$$, se retira una cantidad fija de$$d$$ dólares cada mes. Encuentra un valor de$$d$$ tal manera que el monto en la cuenta después de cada mes permanezca$$1000$$.

e. ¿Qué sucede si$$d$$ es mayor que esta cantidad?

61) [T] Un estudiante obtiene un préstamo universitario de$$10,000$$ a una tasa porcentual anual de$$6\%,$$ mensual compuesto.

a. si el estudiante realiza pagos$$100$$ mensuales, ¿cuánto debe el estudiante después de$$12$$ meses?

b. ¿Después de cuántos meses se pagará el préstamo?

Contestar
a. El estudiante debe$$9383$$ después de$$12$$ meses.
b. El préstamo se pagará en su totalidad después de$$139$$ meses o once años y medio.

62) [T] Considerar una serie que combine crecimiento geométrico y disminución aritmética. Vamos$$a_1=1$$. Fijar$$a>1$$ y$$0<b<a$$. Establecer$$a_{n+1}=a.a_n−b.$$ Encontrar una fórmula para$$a_{n+1}$$ en términos de$$a_n, a$$, y$$b$$ y una relación entre$$a$$ y$$b$$ tal que$$a_n$$ converja.

63) [T] La representación binaria$$x=0.b_1b_2b_3...$$ de un número$$x$$ entre$$0$$ y se$$1$$ puede definir de la siguiente manera. Deja$$b_1=0$$ si$$x<1/2$$ y$$b_1=1$$ si$$1/2≤x<1.$$ Let$$x_1=2x−b_1$$. Que$$b_2=0$$ si$$x_1<1/2$$ y$$b_2=1$$ si$$1/2≤x<1$$. Dejar$$x_2=2x_1−b_2$$ y en general,$$x_n=2x_{n−1}−b_n$$ y$$b_{n−}1=0$$ si$$x_n<1/2$$ y$$b_{n−1}=1$$ si$$1/2≤x_n<1$$. Encuentra la expansión binaria de$$1/3$$.

Contestar
$$b_1=0, x_1=2/3, b_2=1, x_2=4/3−1=1/3,$$por lo que el patrón se repite, y$$1/3=0.010101….$$

64) [T] Encontrar una aproximación para$$π$$, establecer$$a_0=\sqrt{2+1}, a_1=\sqrt{2+a_0}$$, y, en general,$$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$$. Por último, establecer$$p_n=3.2^n\sqrt{2−a_n}$$. Encuentra los primeros diez términos de$$p_n$$ y compara los valores con$$π$$.

Para los dos ejercicios siguientes, asuma que tienes acceso a un programa informático o fuente de Internet que puede generar una lista de ceros y unos de cualquier longitud deseada. Los generadores de números pseudo-aleatorios (PRNG) juegan un papel importante en la simulación del ruido aleatorio en sistemas físicos al crear secuencias de ceros y unos que aparecen como el resultado de voltear una moneda repetidamente. Uno de los tipos más simples de PRNG define recursivamente una secuencia de$$N$$ números enteros de aspecto aleatorio$$a_1,a_2,…,a_N$$ fijando dos enteros especiales$$(K$$$$M$$ y dejando$$a_{n+1}$$ ser el resto después de$$K.a_n$$ dividirlos en$$M$$, luego crea una secuencia de bits de ceros y unos cuya $$n^{\text{th}}$$término$$b_n$$ es igual a uno si$$a_n$$ es impar e igual a cero si$$a_n$$ es par. Si los bits$$b_n$$ son pseudo-aleatorios, entonces el comportamiento de su promedio$$(b_1+b_2+⋯+b_N)/N$$ debería ser similar al comportamiento de los promedios de bits realmente generados aleatoriamente.

65) [T] Comenzando con$$K=16,807$$ y$$M=2,147,483,647$$, usando diez valores iniciales diferentes de$$a_1$$, computar secuencias de bits$$b_n$$ hasta$$n=1000,$$ y comparar sus promedios con diez secuencias generadas por un generador de bits aleatorios.

Contestar
Para los valores iniciales$$a_1=1, a_2=2,…, a_1=10,$$ los promedios de bits correspondientes calculados por el método indicado son$$0.5220, 0.5000, 0.4960, 0.4870, 0.4860, 0.4680, 0.5130, 0.5210, 0.5040,$$ y$$0.4840$$. Aquí un ejemplo de diez promedios correspondientes de cadenas de$$1000$$ bits generados por un generador de números aleatorios: No$$0.4880, 0.4870, 0.5150, 0.5490, 0.5130, 0.5180, 0.4860, 0.5030, 0.5050, 0.4980.$$ hay patrón real en ninguno de los tipos de promedio. Los promedios generados por números aleatorios oscilan entre$$0.4860$$ y$$0.5490$$, un rango de$$0.0630$$, mientras que los promedios de bits de PRNG calculados oscilan entre$$0.4680$$ y$$0.5220$$, un rango de$$0.0540.$$

66) [T] Encuentra los primeros$$1000$$ dígitos de$$π$$ usar ya sea un programa de computadora o un recurso de Internet. Crea una secuencia de bits$$b_n$$ dejando$$b_n=1$$ si el$$n^{\text{th}}$$ dígito de$$π$$ es impar y$$b_n=0$$ si el$$n^{\text{th}}$$ dígito de$$π$$ es par. Calcule el valor promedio de$$b_n$$ y el valor promedio de$$d_n=|b_{n+1}−b_n|, n=1,...,999.$$ ¿La secuencia$$b_n$$ parece aleatoria? ¿Las diferencias entre elementos sucesivos de$$b_n$$ aparecen aleatorias?

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