9.1: Secuencias

Objetivos de aprendizaje

• Encuentra la fórmula para el término general de una secuencia.
• Calcular el límite de una secuencia si existe.
• Determinar la convergencia o divergencia de una secuencia dada.

En esta sección, introducimos secuencias y definimos lo que significa que una secuencia converja o diverja. Mostramos cómo encontrar límites de secuencias que convergen, a menudo mediante el uso de las propiedades de límites para funciones discutidas anteriormente. Cerramos esta sección con el Teorema de Convergencia Monótona, una herramienta que podemos utilizar para demostrar que ciertos tipos de secuencias convergen.

Terminología de Secuencias

Para trabajar con este nuevo tema, necesitamos algunos términos y definiciones nuevos. Primero, una secuencia infinita es una lista ordenada de números de la forma

\[a_1,a_2,a_3,…,a_n,….\nonumber \]

Cada uno de los números de la secuencia se llama término. El símbolo\(n\) se llama la variable índice para la secuencia. Usamos la notación

\[\{a_n\}^∞_{n=1},\nonumber \]

o simplemente\(\{a_n\}\), para denotar esta secuencia. Se usa una notación similar para los conjuntos, pero una secuencia es una lista ordenada, mientras que un conjunto no está ordenado. Debido a que\(a_n\) existe un número particular para cada entero positivo\(n\), también podemos definir una secuencia como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos.

Consideremos la lista infinita y ordenada

\[2,4,8,16,32,….\nonumber \]

Esta es una secuencia en la que los términos primero, segundo y tercero están dados por\(a_1=2, a_2=4,\) y probablemente se\(a_3=8.\) puede ver que los términos en esta secuencia tienen el siguiente patrón:

\[a_1=2^1,\,a_2=2^2,\,a_3=2^3,\,a_4=2^4 \text{ and } a_5=2^5.\nonumber \]

Suponiendo que este patrón continúe, podemos escribir el\(n^{\text{th}}\) término en la secuencia mediante la fórmula explícita\(a_n=2^n.\) Usando esta notación, podemos escribir esta secuencia como

\[\{2^n\}^∞_{n=1}\nonumber \]

o

\[\{2^n\}.\nonumber \]

Alternativamente, podemos describir esta secuencia de una manera diferente. Dado que cada término es el doble del término anterior, esta secuencia puede definirse recursivamente expresando el\(n^{\text{th}}\) término\(a_n\) en términos del término anterior\(a_{n−1}\). En particular, podemos definir esta secuencia como la secuencia\(\{a_n\}\) donde\(a_1=2\) y para todos\(n≥2\), cada término a se define por la relación de recurrencia

\[a_n=2a_{n−1}. \nonumber \]

Definición: secuencia infinita

Una secuencia infinita\(\{a_n\}\) es una lista ordenada de números de la forma

\(a_1,\,a_2,\,…,\,a_n,\,….\)

El subíndice\(n\) se llama la variable índice de la secuencia. Cada número\(a_n\) es un término de la secuencia. A veces las secuencias se definen mediante fórmulas explícitas, en cuyo caso\(a_n=f(n)\) para alguna función\(f(n)\) se define sobre los enteros positivos. En otros casos, las secuencias se definen mediante el uso de una relación de recurrencia. En una relación de recurrencia, se da explícitamente un término (o más) de la secuencia, y los términos subsiguientes se definen en términos de términos anteriores en la secuencia.

Tenga en cuenta que el índice no tiene que comenzar en\(n=1\) sino que podría comenzar con otros enteros. Por ejemplo, una secuencia dada por la fórmula explícita\(a_n=f(n)\) podría comenzar en\(n=0\), en cuyo caso la secuencia sería

\[a_0,\,a_1,\,a_2,….\nonumber \]

De igual manera, para una secuencia definida por una relación de recurrencia, el término\(a_0\) puede darse explícitamente, y los términos\(a_n\) para\(n≥1\) pueden definirse en términos de\(a_{n−1}\). Dado que una secuencia\(\{a_n\}\) tiene exactamente un valor por cada entero positivo\(n\), se puede describir como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Como resultado, tiene sentido discutir la gráfica de una secuencia. La gráfica de una secuencia\(\{a_n\}\) consta de todos los puntos\((n,a_n)\) para todos los enteros positivos n. La figura muestra la gráfica de\({2^n}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Los puntos trazados son una gráfica de la secuencia {\(2^n\)}.

Dos tipos de secuencias ocurren a menudo y se les dan nombres especiales: secuencias aritméticas y secuencias geométricas. En una secuencia aritmética, la diferencia entre cada par de términos consecutivos es la misma. Por ejemplo, considere la secuencia

\[3,\,7,\,11,\,15,1\,9, \,\ldots\nonumber \]

Se puede ver que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es\(4\). Suponiendo que este patrón continúa, esta secuencia es una secuencia aritmética. Se puede describir usando la relación de recurrencia

\[\begin{cases}a_1=3\\a_n=a_{n−1}+4, \text{ for }\ n≥2\end{cases}.\nonumber \]

Tenga en cuenta que

\[a_2=3+4\nonumber \]

\[a_3=3+4+4=3+2⋅4\nonumber \]

\[a_4=3+4+4+4=3+3⋅4.\nonumber \]

Por lo tanto, la secuencia también se puede describir usando la fórmula explícita

\[a_n=3+4(n−1)=4n−1.\nonumber \]

En general, una secuencia aritmética es cualquier secuencia de la forma\(a_n=cn+b.\)

En una secuencia geométrica, la relación de cada par de términos consecutivos es la misma. Por ejemplo, considere la secuencia

\[2,\,−\dfrac{2}{3},\,\dfrac{2}{9},\,−\dfrac{2}{27},\,\dfrac{2}{81},….\nonumber \]

Vemos que la relación de cualquier término con respecto al término anterior es\(−\dfrac{1}{3}\). Suponiendo que este patrón continúe, esta secuencia es una secuencia geométrica. Se puede definir recursivamente como

\[ a_1=2\nonumber \]

\[a_n=−\dfrac{1}{3}⋅a_{n−1}, \text{ for }\ n≥2.\nonumber \]

Alternativamente, ya que

\[ \begin{align*} a_2 &=−\dfrac{1}{3}⋅2 \\[4pt] a_3 &=\left(−\dfrac{1}{3}\right)\left(−\dfrac{1}{3}\right)(2)=\left(−\dfrac{1}{3}\right)^2⋅2 \\[4pt] a_4 &= \left(−\dfrac{1}{3}\right)\left(−\dfrac{1}{3}\right)\left(−\dfrac{1}{3}\right)(2)=\left(−\dfrac{1}{3}\right)^3⋅2,\end{align*} \nonumber \]

vemos que la secuencia se puede describir usando la fórmula explícita

\[a_n=2 \left(−\dfrac{1}{3}\right)^{n−1}.\nonumber \]

La secuencia\(\{2^n\}\) que discutimos anteriormente es una secuencia geométrica, donde se encuentra la relación de cualquier término con respecto al término anterior\(2\). En general, una secuencia geométrica es cualquier secuencia de la forma\(a_n=cr^n\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Finding Explicit Formulas

Para cada una de las siguientes secuencias, encuentre una fórmula explícita para el\(n^{\text{th}}\) término de la secuencia.

1. \(−\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},−\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{5},−\dfrac{5}{6},…\)
2. \(\dfrac{3}{4},\dfrac{9}{7},\dfrac{27}{10},\dfrac{81}{13},\dfrac{243}{16},…\).

Solución

a. Primero, tenga en cuenta que la secuencia está alternando de negativa a positiva. Los términos impares en la secuencia son negativos, y los términos pares son positivos. Por lo tanto, el\(n^{\text{th}}\) término incluye un factor de\((−1)^n\). A continuación, considere la secuencia de numeradores\({1,2,3,…}\) y la secuencia de denominadores\({2,3,4,…}\). Podemos ver que ambas secuencias son secuencias aritméticas. El\(n^{\text{th}}\) término en la secuencia de numeradores es\(n\), y el\(n^{\text{th}}\) término en la secuencia de denominadores es\(n+1\). Por lo tanto, la secuencia puede describirse mediante la fórmula explícita

\[a_n=\dfrac{(−1)^nn}{n+1}. \nonumber \]

b. La secuencia de numeradores\(3,9,27,81,243,…\) es una secuencia geométrica. El numerador del\(n^{\text{th}}\) término es\(3^n\) La secuencia de denominadores\(4,7,10,13,16,…\) es una secuencia aritmética. El denominador del\(n^{\text{th}}\) término es\(4+3(n−1)=3n+1.\) Por lo tanto, podemos describir la secuencia por la fórmula explícita\(a_n=\dfrac{3^n}{3n+1.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encontrar una fórmula explícita para el\(n^{\text{th}}\) término de la secuencia\(\left\{\dfrac{1}{5},−\dfrac{1}{7},\dfrac{1}{9},−\dfrac{1}{11},…\right\}.\)

Pista

Los denominadores forman una secuencia aritmética.

Contestar

\(a_n=\dfrac{(−1)^{n+1}}{3+2n}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Defined by Recurrence Relations

Para cada una de las siguientes secuencias definidas recursivamente, encuentre una fórmula explícita para la secuencia.

1. \(a_1=2, a_n=−3a_{n−1}\)para\(n≥2\)
2. \(a_1=\left(\dfrac{1}{2}\right), a_n=a_{n−1}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)para\(n≥2\)

Solución

a. Escribiendo los primeros términos, tenemos

\[ \begin{align*} a_1 &=2 \\[4pt] a_2 &=−3a_1=−3(2)\\[4pt] a_3 &=−3a_2=(−3)^22\\[4pt] a_4 &=−3a_3=(−3)^32.\end{align*}\]

En general,

\(a_n=2(−3)^{n−1}.\)

b. Escriba los primeros términos:

\(a_1=\dfrac{1}{2}\)

\(a_2=a_1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)

\(a_3=a_2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}\)

\(a_4=a_3+\left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{7}{8}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}\).

A partir de este patrón, derivamos la fórmula explícita

\(a_n=\dfrac{2^n−1}{2^n}=1−\dfrac{1}{2^n}\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentra una fórmula explícita para la secuencia definida recursivamente de tal manera que\(a_1=−4\) y\(a_n=a_{n−1}+6\).

Pista

Esta es una secuencia aritmética.

Contestar

\(a_n=6n−10\)

Límite de una Secuencia

Una cuestión fundamental que surge respecto a las secuencias infinitas es el comportamiento de los términos a medida que\(n\) se hace más grande. Dado que una secuencia es una función definida en los enteros positivos, tiene sentido discutir el límite de los términos como\(n→∞\). Por ejemplo, considere las siguientes cuatro secuencias y sus diferentes comportamientos como\(n→∞\) (Figura\(\PageIndex{2}\)):

1. \(\{1+3n\}=\{4,7,10,13,…\}.\)Los términos\(1+3n\) se vuelven arbitrariamente grandes como\(n→∞\). En este caso, decimos que\(1+3n→∞\) como\(n→∞.\)
2. \(\left\{1− \left(\dfrac{1}{2}\right) ^n\right\}=\left\{ \dfrac{1}{2} ,\dfrac{3}{4},\dfrac{7}{8},\dfrac{15}{16}\,…\right\}.\)Los términos\(1−\left(\dfrac{1}{2}\right)^n→1\) como\(n→∞.\)
3. \(\{(−1)^n\}=\{−1,1,−1,1,…\}.\)Los términos alternan pero no se acercan a un solo valor como\(n→∞.\)
4. \(\left\{\dfrac{(−1)^n}{n}\right\}=\left\{−1,\dfrac{1}{2},−\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},…\right\}.\)Los términos también se alternan para esta secuencia, pero\(\dfrac{(−1)^n}{n}→0\) como\(n→∞.\)

Figura\(\PageIndex{2}\): (a) Los términos en la secuencia se vuelven arbitrariamente grandes como\(n→∞\). b) Los términos en el enfoque secuencial\(1\) como\(n→∞\). c) Los términos de la secuencia alternan entre\(1\) y\(−1\) como\(n→∞\). d) Los términos de la secuencia alternan entre valores positivos y negativos pero\(0\) se acercan como\(n→∞\).

A partir de estos ejemplos, vemos varias posibilidades para el comportamiento de los términos de una secuencia como\(n→∞\). En dos de las secuencias, los términos se acercan a un número finito ya que\(n→∞.\) en las otras dos secuencias, los términos no. Si los términos de una secuencia se acercan a un número finito\(L\) como\(n→∞\), decimos que la secuencia es una secuencia convergente y el número real L es el límite de la secuencia. Aquí podemos dar una definición informal.

Definición: secuencias convergentes y divergentes

Dada una secuencia\({a_n},\) si los términos a se acercan arbitrariamente a un número finito a\(L\) medida que n se vuelve suficientemente grande, decimos que\(\{a_n\}\) es una secuencia convergente y\(L\) es el límite de la secuencia. En este caso, escribimos

\[\lim_{n→∞}a_n=L. \nonumber \]

Si una secuencia no\(\{a_n\}\) es convergente, decimos que es una secuencia divergente.

De Figura, vemos que los términos en la secuencia\(\left\{1− \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right\}\) se están acercando arbitrariamente a\(1\) medida que\(n\) se vuelve muy grande. Concluimos que\(\left\{1−\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right\}\) es una secuencia convergente y su límite es\(1\). En contraste, a partir de la Figura, vemos que los términos en la secuencia no\(1+3n\) se acercan a un número finito ya que\(n\) se hace mayor. Decimos que\(\{1+3n\}\) es una secuencia divergente.

En la definición informal del límite de una secuencia, utilizamos los términos “arbitrariamente cerca” y “suficientemente grande”. Aunque estas frases ayudan a ilustrar el significado de una secuencia convergente, son algo vagas. Para ser más precisos, ahora presentamos la definición más formal de límite para una secuencia y mostramos estas ideas gráficamente en Figura.

Definición: Convergencia

Una secuencia\(\{a_n\}\) converge a un número real\(L\) si para todos\(ε>0\), existe un entero\(N\) tal que para todos\(n ≥ N\)\(|a_n−L| < ε\). El número\(L\) es el límite de la secuencia y escribimos

\[\lim_{n→∞}a_n = L \text{ or } a_n→L. \nonumber \]

En este caso, decimos que la secuencia\(\{a_n\}\) es una secuencia convergente. Si una secuencia no converge, es una secuencia divergente, y decimos que el límite no existe.

Observamos que la convergencia o divergencia de una secuencia\(\{a_n\}\) depende únicamente de lo que suceda con los términos\(a_n\) como\(n→∞\). Por lo tanto, si\(b_1,b_2,…,b_N\) se coloca un número finito de términos antes de\(a_1\) crear una nueva secuencia

\[b_1,\,b_2,\,…,\,b_N,\,a_1,\,a_2,\,…,\nonumber \]

esta nueva secuencia convergerá si\(\{a_n\}\) converge y diverge si\(\{a_n\}\) diverge. Además, si la secuencia\(\{a_n\}\) converge a\(L\), esta nueva secuencia también convergerá a\(L\).

Figura\(\PageIndex{3}\): A medida que\(n\) aumenta, los términos\(a_n\) se acercan a\(L\). Para los valores de\(n≥N\), la distancia entre cada punto\((n,a_n)\) y la línea\(y=L\) es menor que\(ε\).

Como se definió anteriormente, si una secuencia no converge, se dice que es una secuencia divergente. Por ejemplo, las secuencias\(\{1+3n\}\) y\(\left\{(−1)^n\right\}\) mostradas en la Figura divergen. Sin embargo, diferentes secuencias pueden divergir de diferentes maneras. La secuencia\(\left\{(−1)^n\right\}\) diverge porque los términos se alternan entre\(1\) y\(−1\), pero no se acercan a un valor como\(n→∞\). Por otro lado, la secuencia\(\{1+3n\}\) diverge porque los términos\(1+3n→∞\) como\(n→∞\). Decimos que la secuencia\(\{1+3n\}\) diverge al infinito y escribimos\(\displaystyle \lim_{n→∞}(1+3n)=∞\). Es importante reconocer que esta notación no implica que\(\{1+3n\}\) exista el límite de la secuencia. La secuencia es, de hecho, divergente. Escribir que el límite es infinito se pretende únicamente para proporcionar más información sobre por qué la secuencia es divergente. Una secuencia también puede divergir al infinito negativo. Por ejemplo, la secuencia\(\{−5n+2\}\) diverge al infinito negativo porque\(−5n+2→−∞\) como\(n→−∞\). Escribimos esto como\(\displaystyle \lim_{n→∞}(−5n+2)=→−∞.\)

Debido a que una secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos, podemos usar propiedades de límites de funciones para determinar si una secuencia converge. Por ejemplo, considere una secuencia\(\{a_n\}\) y una función relacionada\(f\) definida en todos los números reales positivos tal que\(f(n)=a_n\) para todos los enteros\(n≥1\). Dado que el dominio de la secuencia es un subconjunto del dominio de\(f\), si\(\displaystyle \lim_{x→∞}f(x)\) existe, entonces la secuencia converge y tiene el mismo límite. Por ejemplo, considere la secuencia\(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) y la función relacionada\(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Dado que la función\(f\) definida en todos los números reales\(x>0\) satisface\(f(x)=\dfrac{1}{x}→0\) as\(x→∞\), la secuencia\(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\) debe satisfacer\(\dfrac{1}{n}→0\) como\(n→∞.\)

Límite de una Secuencia Definida por una Función

Considera una secuencia\(\{a_n\}\) tal que\(a_n=f(n)\) para todos\(n≥1\). Si existe un número real\(L\) tal que

\[\lim_{x→∞}f(x)=L, \nonumber \]

luego\(\{a_n\}\) converge y

\[\lim_{n→∞}a_n=L. \nonumber \]

Podemos utilizar este teorema\(\displaystyle \lim_{n→∞}r^n\) para evaluar\(0≤r≤1\). Por ejemplo, considere la secuencia\(\left\{(1/2)^n\right\}\) y la función exponencial relacionada\(f(x)=(1/2)^x\). Ya que\(\displaystyle \lim_{x→∞}(1/2)^x=0\), concluimos que la secuencia\(\left\{(1/2)^n\right\}\) converge y su límite es\(0\). De igual manera, para cualquier número real\(r\) tal que\(0≤r<1\),\(\displaystyle \lim_{x→∞}r^x=0\), y por lo tanto la secuencia\(\left\{r^n\right\}\) converge. Por otro lado, si, entonces\(r=1\)\(\displaystyle \lim_{x→∞}r^x=1\), y por lo tanto el límite de la secuencia\(\left\{1^n\right\}\) es\(1\). Si\(r>1\),\(\displaystyle \lim_{x→∞}r^x=∞\), y por lo tanto no podemos aplicar este teorema. Sin embargo, en este caso, así como la función\(r^x\) crece sin atarse como\(n→∞\), los términos\(r^n\) en la secuencia se vuelven arbitrariamente grandes como\(n→∞\), y concluimos que la secuencia\(\left\{r^n\right\}\) diverge al infinito si\(r>1\).

Resumimos estos resultados respecto a la secuencia geométrica\({r^n}\):

\(r^n→0\)si\(0<r<1\)

\(r^n→1\)si\(r=1\)

\(r^n→∞\)si\(r>1\).

Posteriormente en esta sección consideramos el caso cuando\(r<0\).

Consideramos ahora secuencias un poco más complicadas. Por ejemplo, considere la secuencia\(\left\{(2/3)^n+(1/4)^n\right\}.\) Los términos en esta secuencia son más complicados que otras secuencias que hemos comentado, pero afortunadamente el límite de esta secuencia está determinado por los límites de las dos secuencias\(\left\{(2/3)^n\right\}\) y\(\left\{(1/4)^n\right\}\). Como describimos en las siguientes leyes de límite algebraicas, ya que\(\left\{(2/3)^n\right\}\) y\(\left\{1/4)^n\right\}\) ambas convergen a\(0\), la secuencia\(\left\{(2/3)^n+(1/4)^n\right\}\) converge a\(0+0=0\). Así como pudimos evaluar un límite que involucra una combinación algebraica de funciones\(f\) y\(g\) observando los límites de\(f\) y\(g\) (ver Introducción a los límites), podemos evaluar el límite de una secuencia cuyos términos son combinaciones algebraicas de\(a_n\) y \(b_n\)evaluando los límites de\(\{a_n\}\) y\(\{b_n\}\).

Leyes de Límite Algebraico

Dadas secuencias\(\{a_n\}\)\(\{b_n\}\) y y cualquier número real\(c\), si existen constantes\(A\) y\(B\) tales que\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=A\) y\(\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=B\), entonces

1. \(\displaystyle \lim_{n→∞}c=c\)
2. \(\displaystyle \lim_{n→∞}ca_n=c\lim_{n→∞}a_n=cA\)
3. \(\displaystyle \lim_{n→∞}(a_n±b_n)=\lim_{n→∞}a_n±\lim_{n→∞}b_n=A±B\)
4. \(\displaystyle \lim_{n→∞}(a_n⋅b_n)=\big(\lim_{n→∞}a_n\big)⋅\big(\lim_{n→∞}b_n\big)=A⋅B\)
5. \(\displaystyle \lim_{n→∞}\left(\dfrac{a_n}{b_n}\right)=\dfrac{\lim_{n→∞}a_n}{\lim_{n→∞}b_n}=\dfrac{A}{B}\), siempre\(B≠0\) y cada\(b_n≠0.\)

Prueba

Demostramos la parte iii.

Vamos\(ϵ>0\). Ya que\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=A\), existe un entero positivo constante\(N_1\) tal que para todos\(n≥N_1\). Ya que\(\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=B\), existe una constante\(N_2\) tal que\(|b_n−B|<ε/2\) para todos\(n≥N_2\). Dejar\(N\) ser el más grande de\(N_1\) y\(N_2\). Por lo tanto, para todos\(n≥N\),\(|(a_n+b_n)−(A+B)|≤|a_n−A|+|b_n−B|<\dfrac{ε}{2}+\dfrac{ε}{2}=ε\).

□

Las leyes de límite algebraicas nos permiten evaluar límites para muchas secuencias. Por ejemplo, considere la secuencia\(a_n={\dfrac{1}{n^2}}\). Como se mostró anteriormente,\(\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1}{n}=0\). Del mismo modo, para cualquier entero positivo\(k\), podemos concluir que

\[\lim_{n→∞}\dfrac{1}{n^k}=0. \nonumber \]

En el siguiente ejemplo, hacemos uso de este hecho junto con las leyes de límite para evaluar límites para otras secuencias.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Determining Convergence and Finding Limits

Para cada una de las siguientes secuencias, determine si la secuencia converge o no. Si converge, encuentra su límite.

1. \(\left\{5−\dfrac{3}{n^2}\right\}\)
2. \(\left\{\dfrac{3n^4−7n^2+5}{6−4n^4}\right\}\)
3. \(\left\{\dfrac{2^n}{n^2}\right\}\)
4. \(\left\{\left(1+\dfrac{4}{n}\right)^n\right\}\)

Solución

a. Eso lo sabemos\(\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1}{n}=0\). Utilizando este hecho, concluimos que

\(\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1}{n^2}=\lim_{n→∞}\dfrac{1}{n}.\lim_{n→∞}\dfrac{1}{n}=0.\)

Por lo tanto,

\(\displaystyle \lim_{n→∞}\left(5−\dfrac{3}{n^2}\right)=\lim_{n→∞}5−3\lim_{n→∞}\dfrac{1}{n^2}=5−3.0=5.\)

La secuencia converge y su límite es 5.

b. Al\(n^4\) factorizar el numerador y denominador y usar las leyes de límite anteriores, tenemos

\ [\ begin {alinear*}\ lim_ {n→∞}\ dfrac {3n^4−7n^2+5} {6−4n^4} &=\ lim_ {n→∞}\ dfrac {3−\ dfrac {7} {n^2} +\ dfrac {5} {n^4}} {\ dfrac {6} {n^n^4} −4}\\ [5pt]
&=\ dfrac {\ lim_ {n→∞} (3−\ dfrac {7} {n^2} +\ dfrac {5} {n^4})} {\ lim_ {n→∞} (\ dfrac {6} {n^4} −4)}\\ [5pt]
&=\ dfrac {\ lim_ {n→∞} (3) −\ lim_ {n→∞}\ dfrac {7} {n^2} +\ lim_ {n→∞}\ dfrac {5} {n^4}} {\ lim_ {n→∞}\ dfrac {6} {n^4} −\ lim_ {n→∞} (4)}\\ [5pt]
&=\ dfrac {\ lim_ {n→∞} (3) −7⋅\ lim_ {n→∞}\ dfrac {n→∞} 1} {n^2} +5⋅\ lim_ {n→∞}\ dfrac {1} {n^4}} {6⋅\ lim_ {n→∞}\ dfrac {1} {n^4} −\ lim_ {n→∞} (4)}\\ [5pt]
&=\ dfrac {3−70+50} {60} −4} =−\ dfrac {3} {4}. \ end {alinear*}\]

La secuencia converge y su límite es\(−3/4\).

c. Considerar la función relacionada\(f(x)=2^x/x^2\) definida en todos los números reales\(x>0\). Desde\(2^x→∞\) y\(x^2→∞\) como\(x→∞\), aplicar la regla de L'Hôpital y escribir

\ [\ begin {align*}\ lim_ {x→∞}\ dfrac {2^x} {x^2} &=\ lim_ {x→∞}\ dfrac {2^x\ ln2} {2x} &\ text {Toma las derivadas del numerador y denominador.}\\ [5pt]
&=\ lim_ {x→∞}\ dfrac {2^^x (\ ln2) ^2} {2} &\ text {Toma de nuevo las derivadas.}\\ [5pt]
&=∞. \ end {alinear*}\]

Se concluye que la secuencia diverge.

d. Considerar la función\(f(x)=\left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x\) definida en todos los números reales\(x>0\). Esta función tiene la forma indeterminada\(1^∞\) como\(x→∞.\) Let

\(\displaystyle y=\lim_{x→∞}\left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x\).

Ahora tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, obtenemos

\(\displaystyle \ln(y)=\ln\left[\lim_{x→∞}\left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x\right]\).

Dado que la función\(f(x)=\ln(x)\) es continua en su dominio, podemos intercambiar el límite y el logaritmo natural. Por lo tanto,

\(\displaystyle \ln(y)=\lim_{x→∞}\left[\ln\left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x\right]\).

Usando propiedades de logaritmos, escribimos

\(\displaystyle \lim_{x→∞}\left[\ln\left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x\right]=\lim_{x→∞}x\ln\left(1+\dfrac{4}{x}\right)\).

Dado que el lado derecho de esta ecuación tiene la forma indeterminada\(∞⋅0\), reescribirla como fracción para aplicar la regla de L'Hôpital. Escribir

\(\displaystyle \lim_{x→∞}x\ln\left(1+\dfrac{4}{x}\right)=\lim_{x→∞}\dfrac{\ln\left(1+4/x\right)}{1/x}\).

Dado que el lado derecho está ahora en la forma indeterminada 0/0, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Concluimos que

\(\displaystyle \lim_{x→∞}\dfrac{\ln(1+4/x)}{1/x}=\lim_{x→∞}\dfrac{4}{1+4/x}=4.\)

Por lo tanto,\(\ln(y)=4\) y\(y=e^4\). Por lo tanto\(\displaystyle \lim_{x→∞}\left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x=e^4\), ya que, podemos concluir que la secuencia\(\left\{\left(1+\dfrac{4}{n}\right)^n\right\}\) converge a\(e^4\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Considerar la secuencia\(\left\{(5n^2+1)/e^n\right\}.\) Determinar si la secuencia converge o no. Si converge, encuentra su límite.

Pista

Usa la regla de L'Hôpital.

Contestar

La secuencia converge, y su límite es\(0\)

Recordemos que si\(f\) es una función continua a un valor\(L\), entonces\(f(x)→f(L)\) como\(x→L\). Esta idea se aplica también a las secuencias. Supongamos que una secuencia\(a_n→L\), y una función\(f\) es continua en\(L\). Entonces\(f(a_n)→f(L)\). Esta propiedad a menudo nos permite encontrar límites para secuencias complicadas. Por ejemplo, considere la secuencia\(\sqrt{5−\dfrac{3}{n^2}}\). Del Ejemplo a. conocemos la secuencia\(5−\dfrac{3}{n^2}→5\). Dado que\(\sqrt{x}\) es una función continua en\(x=5\),

\[\lim_{n→∞}\sqrt{5−\dfrac{3}{n^2}}=\sqrt{\lim_{n→∞}(5−\dfrac{3}{n^2})}=\sqrt{5}.\nonumber \]

Funciones continuas definidas en secuencias convergentes

Consideremos una secuencia\(\{a_n\}\) y supongamos que existe un número real\(L\) tal que la secuencia\(\{a_n\}\) converja a\(L\). Supongamos que\(f\) es una función continua en\(L\). Entonces existe un entero\(N\) tal que\(f\) se define en todos los valores y para\(n≥N\), y la secuencia\(\{f(a_n)\}\) converge a\(f(L)\) (Figura\(\PageIndex{4}\)).

Figura\(\PageIndex{4}\): Porque\(f\) es una función continua como el\(a_1,\,a_2,\,a_3,\,…\) enfoque de entradas\(L\), el\(f(a_1),\,f(a_2),\,f(a_3),\,…\) enfoque de salidas\(f(L)\).

Prueba

Dejar\(ϵ>0.\) Desde\(f\) es continuo en\(L\), existe\(δ>0\) tal que\(|f(x)−f(L)|<ε\) si\(|x−L|<δ\). Dado que la secuencia\(\{a_n\}\) converge a\(L\), existe\(N\) tal que\(|a_n−L|<δ\) para todos\(n≥N\). Por lo tanto, para todos\(n≥N\),\(|a_n−L|<δ\), lo que implica\(|f(a_n)−f(L)|<ε\). Se concluye que la secuencia\(\{f(a_n)\}\) converge a\(f(L)\).

□

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Limits Involving Continuous Functions Defined on Convergent Sequences

Determinar si la secuencia\(\left\{\cos(3/n^2)\right\}\) converge. Si converge, encuentra su límite.

Solución:

Dado que la secuencia\(\left\{3/n^2\right\}\) converge\(0\) y\(\cos x\) es continua en\(x=0\), podemos concluir que la secuencia\(\left\{\cos(3/n^2)\right\}\) converge y

\(\displaystyle \lim_{n→∞}\cos\left(\dfrac{3}{n^2}\right)=\cos 0=1.\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Determinar si la secuencia\(\left\{\sqrt{\dfrac{2n+1}{3n+5}}\right\}\) converge. Si converge, encuentra su límite.

Pista

Considera la secuencia\(\left\{\dfrac{2n+1}{3n+5}\right\}.\)

Contestar

La secuencia converge, y su límite es\(\sqrt{2/3}\).

Otro teorema que involucra límites de secuencias es una extensión del Teorema de Squeeze para los límites discutidos en Introducción a los límites.

Teorema de Squeeze para secuencias

Considerar secuencias\(\{a_n\}, \, \{b_n\},\) y\(\{c_n\}\). Supongamos que existe un entero\(N\) tal que

\(a_n≤b_n≤c_n\)para todos\(n≥N.\)

Si existe un número real\(L\) tal que

\[\lim_{n→∞}a_n=L=\lim_{n→∞}c_n, \nonumber \]

luego\(\{b_n\}\) converge y\(\displaystyle \lim_{n→∞}b_n=L\) (Figura\(\PageIndex{5}\)).

Figura\(\PageIndex{5}\): Cada término bn satisface\(a_n≤b_n≤c_n\) y las secuencias\(\{a_n\}\) y\(\{c_n\}\) convergen al mismo límite, por lo que la secuencia\(\{b_n\}\) debe converger al mismo límite también.

Prueba

Dejar\(ε>0.\) Dado que la secuencia\(\{a_n\}\) converge a\(L\), existe un entero\(N_1\) tal que\(|a_n−L|<ε\) para todos\(n≥N_1\). Del mismo modo, ya que\(\{c_n\}\) converge a\(L\), existe un entero\(N_2\) tal que\(|c_n−L|<ε\) para todos\(n≥N_2\). Por supuesto, existe un entero\(N\) tal que\(a_n≤b_n≤c_n\) para todos\(n≥N\). Dejar\(M\) ser el más grande de\(N_1,\, N_2\), y\(N\). Debemos demostrarlo\(|b_n−L|<ε\) para todos\(n≥M\). Para todos\(n≥M\),

\[−ε<−|a_n−L|≤a_n−L≤b_n−L≤c_n−L≤|c_n−L|<ε\nonumber \]

Por lo tanto,\(−ε<b_n−L<ε,\) y concluimos que\(|b_n−L|<ε\) para todos\(n≥M\), y concluimos que la secuencia\({b_n}\) converge a\(L\).

□

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Using the Squeeze Theorem

Usa el Teorema de Squeeze para encontrar el límite de cada una de las siguientes secuencias.

1. \(\left\{\dfrac{\cos\, n}{n^2}\right\}\)
2. \(\left\{\left(−\dfrac{1}{2}\right)^n\right\}\)

Solución

a. Ya que\(−1≤\cos n≤1\) para todos los enteros\(n\), tenemos

\(−\dfrac{1}{n^2} ≤ \dfrac{\cos n}{n^2}≤\dfrac{1}{n^2}.\)

Desde\(−1/n^2→0\) y\(1/n^2→0\), concluimos eso\(\cos n/n^2→0\) también.

b. desde

\(−\dfrac{1}{2^n} ≤ \left(−\dfrac{1}{2}\right)^n ≤ \dfrac{1}{2^n}\)

para todos los enteros positivos\(n, \, −1/2^n→0\) y\(1/2^n→0,\) podemos concluir que\((−1/2)^n→0.\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentra\(\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{2n−\sin\, n}{n}.\)

Pista

Usa el hecho de que\(−1≤\sin n≤1.\)

Contestar

\(2\)

Usando la idea de Ejemplo\(\PageIndex{5}\) b concluimos que\(r^n→0\) para cualquier número real r tal que\(−1<r<0.\) If\(r<−1\), la secuencia\({r^n}\) diverge porque los términos oscilan y llegan a ser arbitrariamente grandes en magnitud. Si\(r=−1\), la secuencia\({r^n}={(−1)^n}\) diverge, como se discutió anteriormente. Aquí hay un resumen de las propiedades de las secuencias geométricas.

\(r^n→0 \text{ if } |r|<1\)

\(r^n→1\text{ if } r=1\)

\(r^n→∞\text{ if } r>1\)

\(\left\{r^n\right\} \text{ diverges if } r≤−1\)

Secuencias acotadas

Ahora dirigimos nuestra atención a uno de los teoremas más importantes que involucran secuencias: el Teorema de Convergencia Monótona. Antes de afirmar el teorema, necesitamos introducir cierta terminología y motivación. Comenzamos definiendo lo que significa que una secuencia sea acotada.

Definición: Secuencias unidas

Una secuencia\(\{a_n\}\) está delimitada arriba si existe un número real\(M\) tal que

\(a_n≤M\)

para todos los enteros positivos\(n\).

Una secuencia\(\{a_n\}\) se limita a continuación si existe un número real\(m\) tal que

\(m≤a_n\)

para todos los enteros positivos\(n\).

Una secuencia\(\{a_n\}\) es una secuencia delimitada si está delimitada arriba y delimitada por debajo.

Si una secuencia no está delimitada, es una secuencia no delimitada.

Por ejemplo, la secuencia\(\{1/n\}\) está delimitada arriba porque\(1/n≤1\) para todos los enteros positivos\(n\). También está acotada a continuación porque\(1/n≥0\) para todos los enteros positivos\(n\). Por lo tanto,\(\{1/n\}\) es una secuencia acotada. Por otro lado, considere la secuencia\(\left\{2^n\right\}\). Porque\(2^n≥2\) para todos\(n≥1\), la secuencia está delimitada a continuación. Sin embargo, la secuencia no está delimitada arriba. Por lo tanto,\(\left\{2^n\right\}\) es una secuencia no acotada.

Ahora discutimos la relación entre la amplitud y la convergencia. Supongamos que\(\{a_n\}\) una secuencia no tiene límites. Entonces no está delimitado arriba, o no delimitado por debajo, o ambos. En cualquier caso, hay términos y que son arbitrariamente grandes en magnitud a medida que\(n\) se hace más grande. En consecuencia, la secuencia\(\{a_n\}\) no puede converger. Por lo tanto, estar acotado es una condición necesaria para que una secuencia converja.

Las secuencias convergentes están delimitadas

Si una secuencia\(\{a_n\}\) converge, entonces es acotada.

Tenga en cuenta que una secuencia que está delimitada no es una condición suficiente para que una secuencia converja. Por ejemplo, la secuencia\(\left\{(−1)^n\right\}\) está acotada, pero la secuencia diverge porque la secuencia oscila entre\(1\) y\(−1\) y nunca se acerca a un número finito. Ahora discutimos una condición suficiente (pero no necesaria) para que una secuencia acotada converja.

Considera una secuencia acotada\(\{a_n\}\). Supongamos que la secuencia\(\{a_n\}\) va en aumento. Es decir,\(a_1≤a_2≤a_3….\) ya que la secuencia va en aumento, los términos no son oscilantes. Por lo tanto, hay dos posibilidades. La secuencia podría divergir hasta el infinito, o podría converger. Sin embargo, como la secuencia está acotada, está delimitada arriba y la secuencia no puede divergir hasta el infinito. Concluimos que\(\{a_n\}\) converge. Por ejemplo, considere la secuencia

\[\left\{\dfrac{1}{2},\,\dfrac{2}{3},\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{4}{5},\,…\right\}. \nonumber \]

Dado que esta secuencia va en aumento y delimitada por encima, converge. A continuación, considere la secuencia

\[\left\{2,\,0,\,3,\,0,\,4,\,0,\,1,\,−\dfrac{1}{2},\,−\dfrac{1}{3},\,−\dfrac{1}{4},\,…\right\}. \nonumber \]

A pesar de que la secuencia no va en aumento para todos los valores de\(n\), vemos eso\(−1/2<−1/3<−1/4<⋯\). Por lo tanto, a partir del octavo término,\(a_8=−1/2\), la secuencia va en aumento. En este caso, decimos que la secuencia finalmente va en aumento. Dado que la secuencia está delimitada arriba, converge. También es cierto que si una secuencia está disminuyendo (o eventualmente disminuyendo) y acotada por debajo, también converge.

Definición

Una secuencia\(\{a_n\}\) va en aumento para todos\(n≥n_0\) si

\(a_n≤a_{n+1}\)para todos\(n≥n_0\).

Una secuencia\(\{a_n\}\) es decreciente para todos\(n≥n_0\) si

\(a_n ≥ a_{n+1}\)para todos\(n≥n_0\).

Una secuencia\(\{a_n\}\) es una secuencia monótona para todos\(n≥n_0\) si está aumentando para todos\(n≥n_0\) o disminuyendo para todos\(n≥n_0\).

Ahora tenemos las definiciones necesarias para afirmar el Teorema de Convergencia Monótona, que da una condición suficiente para la convergencia de una secuencia.

Definición: Teorema de convergencia monótona

Si\(\{a_n\}\) es una secuencia acotada y existe un entero positivo\(n_0\) tal que\(\{a_n\}\) es monótona para todos\(n≥n_0\), entonces\(\{a_n\}\) converge.

La prueba de este teorema está fuera del alcance de este texto. En cambio, proporcionamos una gráfica para mostrar intuitivamente por qué este teorema tiene sentido (Figura\(\PageIndex{6}\)).

Figura\(\PageIndex{6}\): Dado que la secuencia\(\{a_n\}\) va en aumento y delimitada arriba, debe converger.

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo se puede utilizar el Teorema de Convergencia Monótona para probar la convergencia de una secuencia.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Using the Monotone Convergence Theorem

Para cada una de las siguientes secuencias, utilice el Teorema de Convergencia Monotona para mostrar la secuencia converge y encontrar su límite.

1. \(\left\{\dfrac{4^n}{n!}\right\}\)
2. \(\{a_n\}\)definido recursivamente de tal manera que
   
   \(a_1=2\) y\(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}\) para todos\(n≥2.\)

Solución

a. Escribiendo los primeros términos, vemos que

\(\left\{\dfrac{4^n}{n!}\right\}=\left\{4,\,8,\,\dfrac{32}{3},\,\dfrac{32}{3},\,\dfrac{128}{15},\,…\right\}.\)

Al principio, los términos aumentan. No obstante, después del tercer mandato, los términos disminuyen. De hecho, los términos disminuyen para todos\(n≥3\). Podemos mostrar esto de la siguiente manera.

\(a_{n+1}=\dfrac{4^{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{4}{n+1}⋅\dfrac{4^n}{n!}=\dfrac{4}{n+1}⋅a_n≤a_n\)si\(n≥3.\)

Por lo tanto, la secuencia es decreciente para todos\(n≥3\). Además, la secuencia está delimitada a continuación por\(0\) porque\(4n/n!≥0\) para todos los enteros positivos\(n\). Por tanto, por el Teorema de Convergencia Monótona, la secuencia converge.

Para encontrar el límite, utilizamos el hecho de que la secuencia converge y deja\(\displaystyle L=\lim_{n→∞}a_n\). Ahora tenga en cuenta esta importante observación. Considerar\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}\). Desde

\(\{a_{n+1}\}=\{a_2,\,a_3,\,a_4,\,…\},\)

la única diferencia entre las secuencias\(\{a_{n+1}\}\) y\(\{a_n\}\) es que\(\{a_{n+1}\}\) omite el primer término. Dado que un número finito de términos no afecta a la convergencia de una secuencia,

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}=\lim_{n→∞}a_n=L.\)

Combinando este hecho con la ecuación

\(a_{n+1}=\dfrac{4}{n+1}a_n\)

y tomando el límite de ambos lados de la ecuación

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}=\lim_{n→∞}\dfrac{4}{n+1}a_n\),

podemos concluir que

\(L=0⋅L=0.\)

b. Redactar los primeros términos,

\(\left\{2,\,\dfrac{5}{4},\,\dfrac{41}{40},\,\dfrac{3281}{3280},\,…\right\}.\)

podemos conjeturar que la secuencia es decreciente y delimitada por debajo por\(1\). Para demostrar que la secuencia está delimitada a continuación por\(1\), podemos demostrar que

\(\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}≥1.\)

Para mostrar esto, primero reescribe

\(\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}=\dfrac{a^2_n+1}{2a_n}\).

Ya que\(a_1>0\) y\(a_2\) se define como una suma de términos positivos,\(a_2>0.\) Del mismo modo, todos los términos\(a_n>0\). Por lo tanto,

\(\dfrac{a^2n+1}{2a_n}≥1\)

si y solo si

\(a^2_n+1≥2a_n\).

Reescribiendo la desigualdad\(a^2_n+1≥2a_n\) como\(a^2_n−2a_n+1≥0\), y usando el hecho de que

\(a^2_n−2a_n+1=(a_n−1)^2≥0\)

porque el cuadrado de cualquier número real no es negativo, podemos concluir que

\(\dfrac{a^n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}≥1.\)

Para demostrar que la secuencia está disminuyendo, debemos demostrarlo\(a_{n+1}≤a_n\) para todos\(n≥1\). Ya que\(1≤a^2_n\), de ello se deduce que

\(a^2_n+1≤2a^2_n\).

Dividiendo ambos lados por\(2a_n\), obtenemos

\(\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}≤a_n.\)

Utilizando la definición de\(a_{n+1}\), concluimos que

\(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n}≤a_n\).

Ya que\(\{a_n\}\) está delimitada por debajo y decreciente, por el Teorema de Convergencia Monótona, converge.

Para encontrar el límite, vamos\(\displaystyle L=\lim_{n→∞}a_n\). Luego usando la relación de recurrencia y el hecho de que\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=\lim_{n→∞}a_{n+1}\), tenemos

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_{n+1}=\lim_{n→∞}(\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{2a_n})\),

y por lo tanto

\(L=\dfrac{L}{2}+\dfrac{1}{2L}\).

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por\(2L\), llegamos a la ecuación

\(2L^2=L^2+1\).

Resolviendo esta ecuación para\(L,\) concluimos que\(L^2=1\), lo que implica\(L=±1\). Dado que todos los términos son positivos, el límite\(L=1\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Considerar la secuencia\(\{a_n\}\) definida recursivamente de tal manera que\(a_1=1\),\(a_n=a_{n−1}/2\). Utilice el Teorema de Convergencia Monótona para mostrar que esta secuencia converge y encuentra su límite.

Pista

Mostrar que la secuencia es decreciente y delimitada a continuación.

Contestar

\(0\).

Definición: Números de Fibonacci

Los números de Fibonacci se definen recursivamente por la secuencia\(\left\{F_n\right\}\) donde\(F_0=0, \, F_1=1\) y para\(n≥2,\)

\(F_n=F_{n−1}+F_{n−2}.\)

Aquí observamos propiedades de los números de Fibonacci.

1. Escribe los primeros veinte números de Fibonacci.

2. Encuentre una fórmula cerrada para la secuencia de Fibonacci siguiendo los siguientes pasos.

a. Considere la secuencia definida recursivamente\({x_n}\) donde\(x_0=c\) y\(x_{n+1}=ax_n\). Demostrar que esta secuencia puede ser descrita por la fórmula cerrada\(x_n=ca^n\) para todos\(n≥0.\)

b. Usando el resultado de la parte a. como motivación, buscar una solución de la ecuación

\(F_n=F_{n−1}+F_{n−2}\)

de la forma\(F_n=cλ^n\). Determinar para qué dos valores\(λ\) permitirán\(F_n\) satisfacer esta ecuación.

c. Considerar las dos soluciones de la parte b.:\(λ_1\) y\(λ_2\). Vamos\(F_n=c_1λ_1^n+c_2λ_2^n\). Utilice las condiciones iniciales\(F_0\) y\(F_1\) para determinar los valores para las constantes\(c_1\)\(c_2\) y escribir la fórmula cerrada\(F_n\).

3. Usa la respuesta en 2 c. para demostrar que

\[\lim_{n→∞}\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.\nonumber \]

El número\(ϕ=(1+\sqrt{5})/2\) se conoce como la proporción áurea (Figura y Figura).

Figura\(\PageIndex{7}\): Las semillas en un girasol presentan patrones espirales curvados hacia la izquierda y hacia la derecha. El número de espirales en cada dirección es siempre un número de Fibonacci, siempre. (crédito: modificación de obra de Esdras Calderán, Wikimedia Commons)

Figura\(\PageIndex{8}\): La proporción de la proporción áurea aparece en muchos ejemplos famosos de arte y arquitectura. El antiguo templo griego conocido como el Partenón fue diseñado con estas proporciones, y la proporción vuelve a aparecer en muchos de los detalles más pequeños. (crédito: modificación de obra por TravelingOtter, Flickr).

Conceptos clave

• Para determinar la convergencia de una secuencia dada por una fórmula explícita\(a_n=f(n)\), utilizamos las propiedades de límites para funciones.
• Si\(\{a_n\}\) y\(\{b_n\}\) son secuencias convergentes que convergen a\(A\) y\(B,\) respectivamente, y\(c\) es cualquier número real, entonces la secuencia\(\{ca_n\} \)\(\{a_n±b_n\}\) converge a\(c\cdot A,\) las secuencias convergen a\(A±B,\) la secuencia\(\{a_n\cdot b_n\}\) converge a\(A⋅B,\) y el secuencia\(\{a_n/b_n\}\) converge a\(A/B,\) proporcionado\(B≠0.\)
• Si una secuencia es acotada y monótona, entonces converge, pero no todas las secuencias convergentes son monótonas.
• Si una secuencia no está acotada, diverge, pero no todas las secuencias divergentes están sin delimitar.
• La secuencia geométrica\(\left\{r^n\right\}\) converge si y sólo si\(|r|<1\) o\(r=1\).

Glosario

secuencia aritmética

una secuencia en la que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es la misma se llama secuencia aritmética

delimitado por encima

una secuencia\(\{a_n\}\) está delimitada arriba si existe una constante\(M\) tal que\(a_n≤M\) para todos los enteros positivos\(n\)

delimitado a continuación

una secuencia\(\{a_n\}\) está delimitada por debajo si existe una constante\(M\) tal que\(M≤a_n\) para todos los enteros positivos\(n\)

secuencia acotada

una secuencia\(\{a_n\}\) está delimitada si existe una constante\(M\) tal que\(|a_n|≤M\) para todos los enteros positivos\(n\)

secuencia convergente

una secuencia convergente es una secuencia\(\{a_n\}\) para la que existe un número real\(L\) tal que\(a_n\) es arbitrariamente cercano a\(L\) siempre y cuando\(n\) sea suficientemente grande

secuencia divergente

una secuencia que no es convergente es divergente

fórmula explícita

una secuencia puede definirse por una fórmula explícita de tal manera que\(a_n=f(n)\)

secuencia geométrica

una secuencia\(\{a_n\}\) en la que la relación\(a_{n+1}/a_n\) es la misma para todos los enteros positivos\(n\) se denomina secuencia geométrica

variable índice

el subíndice utilizado para definir los términos en una secuencia se llama índice

límite de una secuencia

el número real\(L\) al que converge una secuencia se llama el límite de la secuencia

secuencia monótona

una secuencia creciente o decreciente

relación de recurrencia

una relación de recurrencia es una relación en la que un término\(a_n\) en una secuencia se define en términos de términos anteriores en la secuencia

secuencia

una lista ordenada de números del formulario\(a_1,\,a_2,\,a_3,\,…\) es una secuencia

término

el número\(a_n\) en la secuencia\(\{a_n\}\) se llama el\(n^{\text{th}}\) término de la secuencia

secuencia sin límites

una secuencia que no está delimitada se llama unbounded