9.3E: Ejercicios para la Sección 9.3

Problemas de prueba de divergencia

Considera la secuencia para cada serie en los ejercicios 1 - 14, si aplica la prueba de divergencia, ya sea estado que\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\) no existe o encuentra\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\). Si no se aplica la prueba de divergencia, exponer por qué.

1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ \dfrac{n}{n+2}\)

2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{n}{5n^2−3}\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0\). No se aplica la Prueba de Divergencia.

3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{n}{\sqrt{3n^2+2n+1}}\)

4)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n+1)(n−1)}{(n+1)^2}\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=2\). Por lo que la serie diverge por la Prueba\(n^{\text{th}}\) -Término para Divergencia.

5)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n+1)^{2n}}{(3n^2+1)^n}\)

6)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{2^n}{3^{n/2}}\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=∞\)(no existe). Por lo que la serie diverge por la Prueba\(n^{\text{th}}\) -Término para Divergencia.

7)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{2^n+3^n}{10^{n/2}}\)

8)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞e^{−2/n}\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=1.\)Por lo que la serie diverge por la Prueba\(n^{\text{th}}\) -Término para Divergencia.

9)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\cos n\)

10)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\tan n\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n\)no existe. Por lo que la serie diverge por la Prueba\(n^{\text{th}}\) -Término para Divergencia.

11)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1−\cos^2(1/n)}{\sin^2(2/n)}\)

12)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left(1−\dfrac{1}{n}\right)^{2n}\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=1/e^2.\)Por lo que la serie diverge por la Prueba\(n^{\text{th}}\) -Término para Divergencia.

13)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{\ln n}{n}\)

14)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{(\ln n)^2}{\sqrt{n}}\)

Contestar

\(\displaystyle \lim_{n→∞}a_n=0.\)No se aplica la Prueba de Divergencia.

\(p\)-Problemas de la serie y problemas de pruebas integrales

En los ejercicios 15 - 20, indiquen si converge la\( p\) serie dada.

15)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n}}\)

16)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n\sqrt{n}}\)

Contestar

La serie converge, ya que\( p=3/2>1\).

17)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\)

18)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt[3]{n^4}}\)

Contestar

La serie converge, ya que\( p=4/3>1.\)

19)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^e}{n^π}\)

20)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n^π}{n^{2e}}\)

Contestar

La serie converge, ya que\( p=2e−π>1.\)

En los ejercicios 21 - 27, utilice la prueba integral para determinar si convergen las siguientes sumas.

21)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n+5}}\)

22)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt[3]{n+5}}\)

Contestar

La serie diverge por la Prueba Integral ya que se\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{(x+5)^{1/3}}\) puede demostrar que diverge.

23)\(\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{1}{n\ln n}\)

24)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{1+n^2}\)

Contestar

La serie diverge por la Prueba Integral ya que se\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{x}{1+x^2}\,dx\) puede demostrar que diverge.

25)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{e^n}{1+e^{2n}}\)

26)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2n}{1+n^4}\)

Contestar

La serie converge por la Prueba Integral ya que\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{2x}{1+x^4}\,dx\) converge.

27)\(\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{1}{n\ln^2n}\)

Exprese las sumas en los ejercicios 28 - 31 como\( p\) -series y determine si cada uno converge.

28)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^{−\ln n}\)\(\quad\Big(\) Insinuación:\( 2^{−\ln n}=\dfrac{1}{n^{\ln 2}}.\Big)\)

Contestar

\( 2^{−\ln n}=1/n^{\ln 2}.\)Ya que\(p=\ln 2<1\), esta serie diverge por la prueba\( p\) -series.

29)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞3^{−\ln n}\)\(\quad\Big(\) Insinuación:\( 3^{−\ln n}=\dfrac{1}{n^{\ln 3}}.\Big)\)

30)\(\displaystyle \sum_{n=1}^n2^{−2\ln n}\)

Contestar

\( 2^{−2\ln n}=1/n^{2\ln 2}.\)Ya que\(p = 2\ln 2−1<1\), esta serie diverge por la prueba\( p\) -series.

31)\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞n3^{−2\ln n}\)

En los ejercicios 32 - 35, utilice la estimación\(\displaystyle R_N≤∫^∞_Nf(t)\,dt\) para encontrar un límite para el resto\(\displaystyle R_N=\sum_{n=1}^∞a_n−\sum_{n=1}^Na_n\) donde\( a_n=f(n).\)

32)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{n^2}\)

Contestar

\(\displaystyle R_{1000}≤∫^∞_{1000}\frac{dt}{t^2}=\lim_{b\to ∞}−\frac{1}{t}\bigg|^b_{1000}=\lim_{b\to ∞}\left(−\frac{1}{b}+\frac{1}{1000}\right)=0.001\)

33)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{n^3}\)

34)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{1000}\frac{1}{1+n^2}\)

Contestar

\(\displaystyle R_{1000}≤∫^∞_{1000}\frac{dt}{1+t^2}=\lim_{b\to ∞} \left(\tan^{−1}b−\tan^{−1}(1000)\right)=π/2−\tan^{−1}(1000)≈0.000999\)

35)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{100}\frac{n}{2^n}\)

[T] En los ejercicios 36 - 40, encontrar el valor mínimo de\( N\) tal que la estimación del resto\(\displaystyle ∫^∞_{N+1}f(x)\,dx<R_N<∫^∞_N f(x)\,dx\) garantice que las\(\displaystyle \sum_{n=1}^Na_n\) estimaciones\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n,\) exactas dentro del error dado.

36)\( a_n=\dfrac{1}{n^2},\) error\( <10^{−4}\)

Contestar

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{dx}{x^2}=1/N,\;\text{for}\;N>10^4\)

37)\( a_n=\dfrac{1}{n^{1.1}},\) error\( <10^{−4}\)

38)\( a_n=\dfrac{1}{n^{1.01}},\) error\( <10^{−4}\)

Contestar

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{dx}{x^{1.01}}=100N^{−0.01},\;\text{for}\;N>10^{600}\)

39)\( a_n=\dfrac{1}{n\ln^2n},\) error\( <10^{−3}\)

40)\( a_n=\dfrac{1}{1+n^2},\) error\( <10^{−3}\)

Contestar

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{dx}{1+x^2}=π/2−\tan^{−1}(N),\;\text{for}\;N>\tan(π/2−10^{−3})≈1000\)

En los ejercicios 41 - 45, encuentra un valor de\( N\) tal que\( R_N\) sea menor que el error deseado. Calcular la suma correspondiente\(\displaystyle \sum_{n=1}^Na_n\) y compararla con la estimación dada de la serie infinita.

41)\( a_n=\dfrac{1}{n^{11}},\) error\( \displaystyle <10^{−4}, \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^{11}}=1.000494…\)

42)\( a_n=\dfrac{1}{e^n},\) error\(\displaystyle <10^{−5}, \sum_{n=1}^∞\frac{1}{e^n}=\frac{1}{e−1}=0.581976…\)

Contestar

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\frac{dx}{e^x}=e^{−N},\;\text{for}\;N>5\ln(10),\)bien si\(\displaystyle N=12;\sum_{n=1}^{12}e^{−n}=0.581973....\) Estimación está de\( 1/(e−1)\) acuerdo con cinco decimales.

43)\( a_n=\dfrac{1}{e^{n^2}},\) error\(\displaystyle <10^{−5}, \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{e^{n^2}}=0.40488139857…\)

44)\( a_n=\dfrac{1}{n^4},\) error\(\displaystyle <10^{−4}, \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^4}=\frac{π^4}{90}=1.08232...\)

Contestar

\(\displaystyle R_N<∫^∞_N\dfrac{dx}{x^4}=4/N^3,\;\text{for}\;N>(4.10^4)^{1/3},\)bien si\( N=35\);\(\displaystyle \sum_{n=1}^{35}\dfrac{1}{n^4}=1.08231….\) Estimar está de acuerdo con la suma a cuatro decimales.

45)\( a_n=\dfrac{1}{n^6}\), error\(\displaystyle <10^{−6}, \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^6}=\frac{π^6}{945}=1.01734306...,\)

46) Encontrar el límite a partir\( n→∞\) de\( \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+⋯+\dfrac{1}{2n}\). \(\quad\Big(\)Pista: Comparar con\(\displaystyle ∫^{2n}_n\frac{1}{t}\,dt.\Big)\)

Contestar

\( \ln(2)\)

47) Encontrar el límite a partir\( n→∞\) de\( \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+⋯+\dfrac{1}{3n}\)

Los siguientes ejercicios están destinados a dar un sentido de aplicaciones en las que surjan sumas parciales de las series armónicas.

48) En ciertas aplicaciones de probabilidad, como el denominado estimador Watterson para predecir tasas de mutación en genética poblacional, es importante tener una estimación precisa del número\( H_k=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯+\frac{1}{k})\). Recordemos que\( T_k=H_k−\ln k\) está disminuyendo. Calcular\(\displaystyle T=\lim_{k→∞}T_k\) a cuatro decimales.

\(\quad\Big(\)Pista:\(\displaystyle \frac{1}{k+1}<∫^{k+1}_k\frac{1}{x}\,dx.\Big)\)

Contestar

\( T=0.5772...\)

49) [T] El muestreo completo con reemplazo, a veces llamado problema del coleccionista de cupones, se formula de la siguiente manera: Supongamos que tiene artículos\( N\) únicos en una papelera. En cada paso, se elige un artículo al azar, se identifica y se vuelve a colocar en la papelera. El problema pregunta cuál es el número esperado de pasos\( E(N)\) que se necesitan para dibujar cada elemento único al menos una vez. Resulta que\( E(N)=N.H_N=N\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+⋯+\frac{1}{N}\right)\). Encuentra\( E(N)\) para\( N=10,20,\) y\( 50\).

50) [T] La forma más sencilla de barajar cartas es tomar la carta superior e insertarla en un lugar aleatorio en la baraja, llamada inserción aleatoria superior, y luego repetir. Consideraremos que un mazo se barajará aleatoriamente una vez que se hayan realizado suficientes inserciones aleatorias superiores para que la carta originalmente en la parte inferior haya llegado a la parte superior y luego se haya insertado aleatoriamente. Si el mazo tiene\( n\) cartas, entonces la probabilidad de que la inserción esté por debajo de la carta inicialmente en la parte inferior (llame a esta carta\( B\)) es\( 1/n\). Por lo tanto, el número esperado de inserciones aleatorias superiores antes ya no\( B\) está en la parte inferior es\( n\). Una vez que una carta está debajo\( B\), hay dos lugares debajo\( B\) y la probabilidad de que una carta insertada aleatoriamente caiga por debajo\( B\) es\( 2/n\). El número esperado de inserciones aleatorias superiores antes de que esto suceda es\( n/2\). Las dos cartas que aparecen a continuación\( B\) están ahora en orden aleatorio. Continuando de esta manera, encuentra una fórmula para el número esperado de inserciones aleatorias superiores necesarias para considerar que la baraja se barajó aleatoriamente.

Contestar

El número esperado de inserciones aleatorias para llegar\( B\) a la cima es\( n+n/2+n/3+⋯+n/(n−1).\) Entonces una inserción más\( B\) vuelve a colocar al azar. Así, el número esperado de barajados para aleatorizar la baraja es\( n(1+1/2+⋯+1/n).\)

51) Supongamos que un scooter puede recorrer\( 100\) km en un tanque lleno de combustible. Suponiendo que el combustible pueda ser transferido de un scooter a otro pero que solo pueda transportarse en el tanque, presentar un procedimiento que permita que uno de los scooters recorra\( 100H_N\) km, donde\( H_N=1+1/2+⋯+1/N.\)

52) Demostrar que para que la estimación restante se aplique sobre\( [N,∞)\) ella es suficiente que\( f(x)\) sea decreciente sobre\( [N,∞)\), pero no\( f\) necesita ser decreciente el\( [1,∞).\)

Contestar

Establecer\( b_n=a_{n+N}\) y\( g(t)=f(t+N)\) tal que\( f\) está disminuyendo en\( [t,∞).\)

53) [T] Utilice la estimación restante y la integración por partes para aproximarse\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{e^n}\) dentro de un error menor que\( 0.0001.\)

54) ¿\(\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{1}{n(\ln n)^p}\)Converge si\( p\) es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuál\( p\)?

Contestar

La serie converge para\( p>1\) por prueba integral usando cambio de variable.

55) [T] Supongamos que una computadora puede sumar un millón de términos por segundo de la serie divergente\(\displaystyle \sum_{n=1}^N\frac{1}{n}\). Utilice la prueba integral para aproximar cuántos segundos tardará en sumar términos suficientes para que la suma parcial supere\( 100\).

56) [T] Una computadora rápida puede sumar un millón de términos por segundo de la serie divergente\(\displaystyle \sum_{n=2}^N\frac{1}{n\ln n}\). Utilice la prueba integral para aproximar cuántos segundos tardará en sumar términos suficientes para que la suma parcial supere\( 100.\)

Contestar

\( N=e^{e^{100}}≈e^{10^{43}}\)se necesitan términos.