12.2E: Ejercicios para la Sección 12.2
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1) Considera una caja rectangular con uno de los vértices en el origen, como se muestra en la siguiente figura. Si el punto\(A(2,3,5)\) es el vértice opuesto al origen, entonces encuentra
a. las coordenadas de los otros seis vértices de la caja y
b. la longitud de la diagonal de la caja determinada por los vértices\(O\) y\(A\).
- Responder
- a.\((2,0,5),(2,0,0),(2,3,0),(0,3,0),(0,3,5),(0,0,5)\) b.\(\sqrt{38}\)
2) Encontrar las coordenadas del punto\(P\) y determinar su distancia al origen.
Para los ejercicios 3-6, describa y grafique el conjunto de puntos que satisfaga la ecuación dada.
3)\((y−5)(z−6)=0\)
- Responder
- Una unión de dos planos:\(y=5\) (un plano paralelo al\(xz\) plano -plano) y\(z=6\) (un plano paralelo al\(xy\) -plano)
4)\((z−2)(z−5)=0\)
5)\((y−1)^2+(z−1)^2=1\)
- Responder
- Un cilindro de radio\(1\) centrado en la línea\(y=1,z=1\)
6)\((x−2)^2+(z−5)^2=4\)
7) Escribir la ecuación del plano que pasa por el punto\((1,1,1)\) que es paralelo al\(xy\) plano.
- Responder
- \(z=1\)
8) Escribir la ecuación del plano que pasa por el punto\((1,−3,2)\) que es paralelo al\(xz\) plano.
9) Encontrar una ecuación del plano que pasa por puntos\((1,−3,−2), (0,3,−2),\) y\((1,0,−2).\)
- Responder
- \(z=−2\)
10) Encontrar una ecuación del plano que pasa por puntos\((1,9,2), (1,3,6),\) y\((1,−7,8).\)
Para los ejercicios 11-14, encuentra la ecuación de la esfera en forma estándar que satisfaga las condiciones dadas.
11) Centro\(C(−1,7,4)\) y radio\(4\)
- Responder
- \((x+1)^2+(y−7)^2+(z−4)^2=16\)
12) Centro\(C(−4,7,2)\) y radio\(6\)
13) Diámetro\(PQ,\) donde\(P(−1,5,7)\) y\(Q(−5,2,9)\)
- Responder
- \(x+3)^2+(y−3.5)^2+(z−8)^2=\dfrac{29}{4}\)
14) Diámetro\(PQ,\) donde\(P(−16,−3,9)\) y\(Q(−2,3,5)\)
Para los ejercicios 15 y 16, encuentra el centro y el radio de la esfera con una ecuación en forma general que se da.
15)\( x^2+y^2+z^2−4z+3=0\)
- Responder
- Centro\(C(0,0,2)\) y radio\(1\)
16)\(x^2+y^2+z^2−6x+8y−10z+25=0\)
Para los ejercicios 17-20, exprese vector\( \vecd{PQ} \) con el punto inicial en\(P\) y el punto terminal en\(Q\)
\(a.\)en forma de componentes y
\(b.\)mediante el uso de vectores unitarios estándar.
17)\(P(3,0,2)\) y\(Q(−1,−1,4)\)
- Responder
- \(a. \vecd{PQ}=⟨−4,−1,2⟩\)
\(b. \vecd{PQ}=−4\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}+2\hat{\mathbf k}\)
18)\(P(0,10,5)\) y\(Q(1,1,−3)\)
19)\(P(−2,5,−8)\) y\(M(1,−7,4)\), donde\(M\) está el punto medio del segmento de línea\(\overline{PQ}\)
- Responder
- \(a. \vecd{PQ}=⟨6,−24,24⟩\)
\(b. \vecd{PQ}=6\hat{\mathbf i}−24\hat{\mathbf j}+24\hat{\mathbf k}\)
20)\(Q(0,7,−6)\) y\(M(−1,3,2)\), donde\(M\) está el punto medio del segmento de línea\(\overline{PQ}\)
21) Encuentra el punto terminal\(Q\) del vector\(\vecd{PQ}=⟨7,−1,3⟩\) con el punto inicial en\(P(−2,3,5).\)
- Responder
- \(Q(5,2,8)\)
22) Encuentra el punto inicial\(P\) del vector\(\vecd{PQ}=⟨−9,1,2⟩\) con el punto terminal en\(Q(10,0,−1).\)
Para los ejercicios 23-26, utilice los vectores dados\(\vecs a\) y\(\vecs b\) para encontrar y expresar los vectores\(\vecs a+\vecs b, \,4\vecs a\), y\(−5\vecs a+3\vecs b\) en forma de componentes.
23)\(\quad \vecs a=⟨−1,−2,4⟩,\quad \vecs b=⟨−5,6,−7⟩\)
- Responder
- \(\vecs a+\vecs b=⟨−6,4,−3⟩, 4\vecs a=⟨−4,−8,16⟩, −5\vecs a+3\vecs b=⟨−10,28,−41⟩\)
24)\(\quad \vecs a=⟨3,−2,4⟩,\quad \vecs b=⟨−5,6,−9⟩\)
25)\(\quad \vecs a=−\hat{\mathbf k},\quad \vecs b=−\hat{\mathbf i}\)
- Responder
- \(\vecs a+\vecs b=⟨−1,0,−1⟩, 4\vecs a=⟨0,0,−4⟩, −5\vecs a+3\vecs b=⟨−3,0,5⟩\)
26)\(\quad \vecs a=\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}+\hat{\mathbf k},\quad \vecs b=2\hat{\mathbf i}−3\hat{\mathbf j}+2\hat{\mathbf k}\)
Para los ejercicios 27-30,\(\vecs v\) se dan vectores\(\vecs u\) y. Encuentra las magnitudes de vectores\(\vecs u−\vecs v\) y\(−2\vecs u\).
27)\(\quad \vecs u=2\hat{\mathbf i}+3\hat{\mathbf j}+4\hat{\mathbf k}, \quad \vecs v=−\hat{\mathbf i}+5\hat{\mathbf j}−\hat{\mathbf k}\)
- Responder
- \(\|\vecs u−\vecs v\|=\sqrt{38}, \quad \|−2\vecs u\|=2\sqrt{29}\)
28)\(\quad \vecs u=\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}, \quad \vecs v=\hat{\mathbf j}−\hat{\mathbf k}\)
29)\(\quad \vecs u=⟨2\cos t,−2\sin t,3⟩, \quad \vecs v=⟨0,0,3⟩,\quad\) donde\(t\) es un número real.
- Responder
- \(\|\vecs u−\vecs v\|=2, \quad \|−2\vecs u\|=2\sqrt{13}\)
30)\(\quad \vecs u=⟨0,1,\sinh t⟩, \quad \vecs v=⟨1,1,0⟩,\quad\) donde\(t\) es un número real.
Para los ejercicios 31-36, encontrar el vector unitario en la dirección del vector dado\( \vecs a\) y expresarlo usando vectores unitarios estándar.
31)\(\quad \vecs a=3\hat{\mathbf i}−4\hat{\mathbf j}\)
- Responder
- \(\frac{3}{5}\hat{\mathbf i}−\frac{4}{5}\hat{\mathbf j}\)
32)\(\quad \vecs a=⟨4,−3,6⟩\)
33)\(\quad \vecs a=\vecd{PQ}\), donde\( P(−2,3,1)\) y\(Q(0,−4,4)\)
- Responder
- \(\frac{\sqrt{62}}{31}\hat{\mathbf i}−\frac{7\sqrt{62}}{62}\hat{\mathbf j}+\frac{3\sqrt{62}}{62}\hat{\mathbf k}\)
34)\(\quad \vecs a=\vecd{OP},\) donde\(P(−1,−1,1)\)
35)\(\quad \vecs a=\vecs u−\vecs v+\vecs w,\) dónde\(\vecs u=\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}−\hat{\mathbf k},\quad \vecs v=2\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}+\hat{\mathbf k}, \quad\) y\(\vecs w=−\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}+3\hat{\mathbf k}\)
- Responder
- \(−\frac{\sqrt{6}}{3}\hat{\mathbf i}+\frac{\sqrt{6}}{6}\hat{\mathbf j}+\frac{\sqrt{6}}{6}\hat{\mathbf k}\)
36)\(\quad \vecs a=2\vecs u+\vecs v−\vecs w,\quad\) dónde\( \vecs u=\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf k}, \quad \vecs v=2\hat{\mathbf j} \quad\), y\( \vecs w=\hat{\mathbf i}−\hat{\mathbf j}\)
37) Determinar si\(\vecd{AB}\) y\(\vecd{PQ}\) son vectores equivalentes, donde\(A(1,1,1),\,B(3,3,3),\,P(1,4,5),\) y\(Q(3,6,7).\)
- Responder
- Vectores equivalentes
38) Determinar si los vectores\(\vecd{AB}\) y\(\vecd{PQ}\) son equivalentes, dónde\( A(1,4,1),\, B(−2,2,0),\, P(2,5,7),\) y\( Q(−3,2,1)\).
Para los ejercicios 39-42, encontrar vector\( \vecs u\) con una magnitud que se da y satisfaga las condiciones dadas.
39)\(\quad \vecs v=⟨7,−1,3⟩, \, ‖\vecs u‖=10\), y\(\vecs u\) y\(\vecs v\) tienen la misma dirección
- Responder
- \(\vecs u=⟨\frac{70\sqrt{59}}{59},−\frac{10\sqrt{59}}{59},\frac{30\sqrt{59}}{59}⟩\)
40)\(\quad \vecs v=⟨2,4,1⟩,\, ‖\vecs u‖=15\),\(\vecs u\) y\(\vecs v\) tienen la misma dirección
41)\(\quad \vecs v=⟨2\sin t,\, 2\cos t,1⟩, ‖\vecs u‖=2,\vecs u\) y\(\vecs v\) tienen direcciones opuestas para cualquiera\(t\), donde\(t\) es un número real
- Responder
- \(\vecs u=⟨−\frac{4\sqrt{5}}{5}\sin t,−\frac{4\sqrt{5}}{5}\cos t,−\frac{2\sqrt{5}}{5}⟩\)
42)\(\quad \vecs v=⟨3\sinh t,0,3⟩,\, ‖\vecs u‖=5\),\(\vecs u\) y\(\vecs v\) tienen direcciones opuestas para cualquiera\(t\), donde\(t\) es un número real
43) Determinar un vector de magnitud\(5\) en la dirección del vector\(\vecd{AB}\), donde\(A(2,1,5)\) y\(B(3,4,−7).\)
- Responder
- \(⟨\frac{5\sqrt{154}}{154},\frac{15\sqrt{154}}{154},−\frac{30\sqrt{154}}{77}⟩\)
44) Encontrar un vector de magnitud\(2\) que apunte en dirección opuesta al vector\(\vecd{AB}\), donde\(A(−1,−1,1)\) y\(B(0,1,1).\) Expresar la respuesta en forma de componente.
45) Considerar los puntos\(A(2,α,0), \, B(0,1,β),\) y\(C(1,1,β)\), dónde\(α\) y\(β\) son números reales negativos. Encontrar\(α\) y\(β\) tal que\(\|\vecd{OA}−\vecd{OB}+\vecd{OC}\|=\|\vecd{OB}\|=4.\)
- Responder
- \(α=−\sqrt{7}, \,β=−\sqrt{15}\)
46) Considerar los puntos\(A(α,0,0),\,B(0,β,0),\) y\(C(α,β,β),\) dónde\(α\) y\(β\) son números reales positivos. Encontrar\(α\) y\(β\) tal que\(\|\overline{OA}+\overline{OB}\|=\sqrt{2}\) y\(\|\overline{OC}\|=\sqrt{3}\).
47) Dejar\(P(x,y,z)\) ser un punto situado a igual distancia de los puntos\(A(1,−1,0)\) y\(B(−1,2,1)\). Mostrar que el punto\(P\) se encuentra en el plano de la ecuación\(−2x+3y+z=2.\)
48) Dejar\(P(x,y,z)\) ser un punto situado a igual distancia del origen y punto\(A(4,1,2)\). Mostrar que las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación\(8x+2y+4z=21.\)
49) Los puntos\(A,B,\) y\(C\) son colineales (en este orden) si\({\|\vecd{AB}\|+\|\vecd{BC}\|=\|\vecd{AC}\|}\) se satisface la relación. Mostrar eso\(A(5,3,−1),\, B(−5,−3,1),\) y\(C(−15,−9,3)\) son puntos colineales.
50) Mostrar que los puntos\(A(1,0,1), \, B(0,1,1),\) y no\(C(1,1,1)\) son colineales.
51) [T] Una fuerza\(\vecs F\) de\(50 \,N\) actúa sobre una partícula en la dirección del vector\(\vecd{OP}\), donde\(P(3,4,0).\)
a. Expresar la fuerza como vector en forma de componente.
b. Encontrar el ángulo entre la fuerza\(\vecs F\) y la dirección positiva del\(x\) eje. Exprese la respuesta en grados redondeados al entero más cercano.
- Responder
- \(a. \vecs F=⟨30,40,0⟩; \quad b. 53°\)
52) [T] Una fuerza\(\vecs F\) de\(40\,N\) actúa sobre una caja en la dirección del vector\(\vecd{OP}\), donde\(P(1,0,2).\)
a. Expresar la fuerza como vector usando vectores unitarios estándar.
b. Encontrar el ángulo entre la fuerza\(\vecs F\) y la dirección positiva del\(x\) eje.
53) Si\(\vecs F\) es una fuerza que mueve un objeto de punto\(P_1(x_1,y_1,z_1)\) a otro punto\(P_2(x_2,y_2,z_2)\), entonces el vector de desplazamiento se define como\( \vecs D=(x_2−x_1)\hat{\mathbf i}+(y_2−y_1)\hat{\mathbf j}+(z_2−z_1)\hat{\mathbf k}\). Un contenedor metálico es levantado\(10\) m verticalmente por una fuerza constante\(\vecs F\). Expresar el vector de desplazamiento\(\vecs D\) mediante el uso de vectores unitarios estándar.
- Responder
- \(\vecs D=10\hat{\mathbf k}\)
54) Una caja es tirada\(4\) yd horizontalmente en la\(x\) dirección -por una fuerza constante\( \vecs F\). Encuentra el vector de desplazamiento en forma de componente.
55) La suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto se denomina fuerza resultante o neta. Se dice que un objeto está en equilibrio estático si la fuerza resultante de las fuerzas que actúan sobre él es cero. Dejar\(\vecs F_1=⟨10,6,3⟩, \vecs F_2=⟨0,4,9⟩\), y\(\vecs F_3=⟨10,−3,−9⟩\) ser tres fuerzas que actúan sobre una caja. Encuentra la fuerza que\(\vecs F_4\) actúa sobre la caja de tal manera que la caja esté en equilibrio estático. Exprese la respuesta en forma de componentes.
- Responder
- \(\vecs F_4=⟨−20,−7,−3⟩\)
56) [T] Dejar\(\vecs F_k=⟨1,k,k^2⟩, k=1,...,n\) ser\(n\) fuerzas que actúan sobre una partícula, con\(n≥2.\)
a. Encuentra la fuerza neta\(\vecs F=\sum_{k=1}^n\vecs F_k.\) Exprese la respuesta usando vectores unitarios estándar.
b. Utilizar un sistema de álgebra computacional (CAS) para encontrar\(n\) tal\(\|\vecs F\|<100.\)
57) La fuerza de gravedad\( \vecs F\) que actúa sobre un objeto viene dada por\( \vecs F=m\vecs g\), donde\(m\) está la masa del objeto (expresada en kilogramos) y\(\vecs g\) es la aceleración resultante de la gravedad, con\( \|\vecs g\|=9.8 \,N/kg.\) Una bola de discoteca de 2 kg cuelga de una cadena del techo de una habitación.
a. Encuentra la fuerza de gravedad\(\vecs F\) que actúa sobre la bola de discoteca y encuentra su magnitud.
b. Encontrar la fuerza de tensión\(\vecs T\) en la cadena y su magnitud.
Exprese las respuestas usando vectores unitarios estándar.
- Responder
- \(a. \vecs F=−19.6\hat{\mathbf k}, \quad \|\vecs F\|=19.6 \,N\)
\(b. \vecs T=19.6\hat{\mathbf k}, \quad \|\vecs T\|=19.6 \,N\)
58) Se diseña una araña colgante de 5 kg de tal manera que el cuenco de alabastro es sostenido por cuatro cadenas de igual longitud, como se muestra en la siguiente figura.
a. Encontrar la magnitud de la fuerza de gravedad que actúa sobre la araña.
b. encontrar las magnitudes de las fuerzas de tensión para cada una de las cuatro cadenas (supongamos que las cadenas son esencialmente verticales).
59) [T] Un bloque de cemento de 30 kg está suspendido por tres cables de igual longitud que se anclan en puntos\(P(−2,0,0), Q(1,\sqrt{3},0),\) y\(R(1,−\sqrt{3},0)\). La carga se ubica en\(S(0,0,−2\sqrt{3})\), como se muestra en la siguiente figura. Dejar\(\vecs F_1, \vecs F_2\), y\(\vecs F_3\) ser las fuerzas de tensión resultantes de la carga en los cables\(RS,QS,\) y\(PS,\) respectivamente.
a. Encontrar la fuerza gravitacional que\(\vecs F\) actúa sobre el bloque de cemento que contrapesa la suma\(\vecs F_1+\vecs F_2+\vecs F_3\) de las fuerzas de tensión en los cables.
b. Encontrar fuerzas\(\vecs F_1, \vecs F_2,\) y\( \vecs F_3\). Exprese la respuesta en forma de componentes.
- Responder
- a.\(\vecs F=−294\hat{\mathbf k}\) N;
b.\(\vecs F_1=⟨−\frac{49\sqrt{3}}{3},49,−98⟩, \vecs F_2=⟨−\frac{49\sqrt{3}}{3},−49,−98⟩\), y\(\vecs F_3=⟨\frac{98\sqrt{3}}{3},0,−98⟩\) (cada componente se expresa en newtons)
60) Dos futbolistas están practicando para un próximo juego. Una de ellas corre 10 m del punto A al punto B. Luego gira a la izquierda\(90°\) y corre 10 m hasta llegar al punto C. Luego patea el balón con una velocidad de 10 m/seg en ángulo ascendente de\(45°\) a su compañera de equipo, quien se encuentra en el punto A. Escribe la velocidad de la pelota en forma componente.
61) Dejar\(\vecs r(t)=⟨x(t),\, y(t), \, z(t)⟩\) ser el vector de posición de una partícula en el momento\(t∈[0,T]\), donde\(x,y,\) y\(z\) son funciones suaves en\([0,T]\). La velocidad instantánea de la partícula en el tiempo\(t\) se define por vector\(\vecs v(t)=⟨x'(t), \, y'(t), \, z'(t)⟩\), con componentes que son los derivados con respecto a\(t\), de las funciones\(x, y\), y\(z\), respectivamente. La magnitud\(∥\vecs v(t)∥\) del vector de velocidad instantánea se denomina velocidad de la partícula en el tiempo\(t\). Vector\(\vecs a(t)=⟨x''(t), \, y''(t), \, z''(t)⟩\), con componentes que son las segundas derivadas con respecto a\(t\), de las funciones\(x,y,\) y\(z\), respectivamente, da la aceleración de la partícula en el tiempo\(t\). Considere\(\vecs r(t)=⟨\cos t,\, \sin t, \, 2t⟩\) el vector de posición de una partícula en el momento en\(t∈[0,30],\) que los componentes de\(\vecs r\) se expresan en centímetros y el tiempo se expresa en segundos.
a. Encuentra la velocidad instantánea, velocidad y aceleración de la partícula después del primer segundo. Redondea tu respuesta a dos decimales.
b. Utilice un CAS para visualizar la trayectoria de la partícula, es decir, el conjunto de todos los puntos de coordenadas\((\cos t,\sin t,2t),\) donde\(t∈[0,30].\)
- Responder
- \(a. \vecs v(1)=⟨−0.84,0.54,2⟩\)(cada componente se expresa en centímetros por segundo);\(∥\vecs v(1)∥=2.24\) (expresado en centímetros por segundo);\(\vecs a(1)=⟨−0.54,−0.84,0⟩\) (cada componente se expresa en centímetros por segundo cuadrado);
\(b.\)
62) [T] Dejar\(\vecs r(t)=⟨t,2t^2,4t^2⟩\) ser el vector de posición de una partícula en el tiempo\(t\) (en segundos), donde\(t∈[0,10]\) (aquí los componentes de\(\vecs r\) se expresan en centímetros).
a. Encuentra la velocidad instantánea, velocidad y aceleración de la partícula después de los dos primeros segundos. Redondea tu respuesta a dos decimales.
b. Utilice un CAS para visualizar la trayectoria de la partícula definida por los puntos\((t, \, 2t^2, \, 4t^2),\) donde\(t∈[0, \, 60].\)