12: Vectores en el Espacio
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Una cantidad que tiene magnitud y dirección se denomina vector. Los vectores tienen muchas aplicaciones de la vida real, incluyendo situaciones que involucran fuerza o velocidad. Por ejemplo, consideremos las fuerzas que actúan en una embarcación que cruza un río. El motor de la embarcación genera una fuerza en una dirección, y la corriente del río genera una fuerza en otra dirección. Ambas fuerzas son vectores. Debemos tomar en cuenta tanto la magnitud como la dirección de cada fuerza si queremos saber a dónde irá la embarcación.
- 12.1: Vectores en el Plano
- Al medir una fuerza, como el empuje de los motores del avión, es importante describir no sólo la fuerza de esa fuerza, sino también la dirección en la que se aplica. Algunas cantidades, como o fuerza, se definen en términos tanto de tamaño (también llamado magnitud) como de dirección. Una cantidad que tiene magnitud y dirección se denomina vector.
- 12.2: Vectores en tres dimensiones
- Para ampliar el uso de vectores a aplicaciones más realistas, es necesario crear un marco para describir el espacio tridimensional. Esta sección presenta una extensión natural del plano de coordenadas cartesianas bidimensionales en tres dimensiones.
- 12.3: El Producto Dot
- En esta sección, desarrollamos una operación llamada el producto punto, que nos permite calcular el trabajo en el caso en que el vector de fuerza y el vector de movimiento tengan diferentes direcciones. El producto punto esencialmente nos dice cuánto del vector de fuerza se aplica en la dirección del vector de movimiento. El producto punto también puede ayudarnos a medir el ángulo formado por un par de vectores y la posición de un vector con respecto a los ejes de coordenadas.
- 12.4: El Producto Cruzado
- En esta sección, desarrollamos una operación llamada producto cruzado, que nos permite encontrar un vector ortogonal a dos vectores dados. El cálculo del par es una aplicación importante de los productos cruzados, y examinamos el par con más detalle más adelante en la sección.
- 12.5: Ecuaciones de líneas y planos en el espacio
- Para escribir una ecuación para una línea, debemos conocer dos puntos en la línea, o debemos conocer la dirección de la línea y al menos un punto por el que pasa la línea. En dos dimensiones, utilizamos el concepto de pendiente para describir la orientación, o dirección, de una línea. En tres dimensiones, describimos la dirección de una línea usando un vector paralelo a la línea. En esta sección, examinamos cómo usar ecuaciones para describir líneas y planos en el espacio.
- 12.6: Superficies cuádricas
- Hemos estado explorando vectores y operaciones vectoriales en el espacio tridimensional, y hemos desarrollado ecuaciones para describir líneas, planos y esferas. En esta sección, utilizamos nuestro conocimiento de planos y esferas, que son ejemplos de figuras tridimensionales llamadas superficies, para explorar una variedad de otras superficies que se pueden graficar en un sistema de coordenadas tridimensional.
- 12.7: Coordenadas cilíndricas y esféricas
- En esta sección, observamos dos formas diferentes de describir la ubicación de los puntos en el espacio, ambas basadas en extensiones de coordenadas polares. Como su nombre indica, las coordenadas cilíndricas son útiles para tratar problemas que involucran cilindros, como calcular el volumen de un tanque de agua redondo o la cantidad de aceite que fluye a través de una tubería. De igual manera, las coordenadas esféricas son útiles para tratar problemas que involucran esferas, como encontrar el volumen de estructuras abovedadas.