17.4E: Ejercicios para la Sección 17.4
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Encuentre una solución de series de potencia para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.
1. \(y″+6y′=0\)
2. \(5y″+y′=0\)
- Contestar
- \(\displaystyle y=c_0+5c_1 \sum_{n=1}^∞ \frac{(−x/5)^n}{n!}=c_0+5c_1e^{−x/5}\)
3. \(y''+25y=0\)
4. \(y''−y=0\)
- Contestar
- \(\displaystyle y=c_0 \sum_{n=0}^∞ \frac{(x)^{2n}}{(2n)!}+c_1 \sum_{n=0}^∞ \frac{(x)^{2n+1}}{(2n+1)!}\)
5. \(2y′+y=0\)
6. \(y′−2xy=0\)
- Contestar
- \(\displaystyle y=c_0 \sum_{n=0}^∞ \frac{x^{2n}}{n!}=c_0e^{x^2}\)
7. \((x−7)y′+2y=0\)
8. \(y''−xy′−y=0\)
- Contestar
- \(\displaystyle y=c_0 \sum_{n=0}^∞ \frac{x^{2n}}{2^nn!}+c_1 \sum_{n=0}^∞ \frac{x^{2n+1}}{1⋅3⋅5⋅7⋯(2n+1)}\)
9. \((1+x^2)y''−4xy′+6y=0\)
10. \(x^2y''−xy′−3y=0\)
- Contestar
- \(y=c_1x^3+\dfrac{c_2}{x}\)
11. \(y″−8y′=0, \quad y(0)=−2, \; y′(0)=10\)
12. \(y″−2xy=0, \quad y(0)=1, \; y′(0)=−3\)
- Contestar
- \(y=1−3x+\dfrac{2x^3}{3!}−\dfrac{12x^4}{4!}+\dfrac{16x^6}{6!}−\dfrac{120x^7}{7!}+⋯\)
13. La ecuación diferencial\(x^2y″+xy′+(x^2−1)y=0\) es una ecuación de orden de Bessel\(1.\) Utilice una serie de potencias de la forma\(\displaystyle y=\sum_{n=0}^∞ a_nx^n\) para encontrar la solución.