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17.5: Capítulo 17 Ejercicios de revisión

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1. Si$$y$$ y$$z$$ son ambas soluciones para$$y''+2y′+y=0,$$ entonces también$$y+z$$ es una solución.

Contestar
Cierto

2. El siguiente sistema de ecuaciones algebraicas tiene una solución única:

\begin{align*} 6z_1+3z_2 &=8 \\ 4z_1+2z_2 &=4. \end{align*}

3. $$y=e^x \cos (3x)+e^x \sin (2x)$$es una solución a la ecuación diferencial de segundo orden$$y″+2y′+10=0.$$

Contestar
Falso

4. Para encontrar la solución particular a una ecuación diferencial de segundo orden, se necesita una condición inicial.

En los problemas 5 - 8, clasificar las ecuaciones diferenciales. Determinar el orden, si es lineal y, si es lineal, si la ecuación diferencial es homogénea o no homogénea. Si la ecuación es homogénea y lineal de segundo orden, encuentra la ecuación característica.

5. $$y″−2y=0$$

Contestar
segundo orden, lineal, homogéneo,$$λ^2−2=0$$

6. $$y''−3y+2y= \cos (t)$$

7. $$\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+yy′=1$$

Contestar
primer orden, no lineal, no homogéneo

8. $$\dfrac{d^2y}{dt^2}+t \dfrac{dy}{dt}+\sin^2 (t)y=e^t$$

En los problemas 9 - 16, encuentra la solución general.

9. $$y''+9y=0$$

Contestar
$$y=c_1 \sin (3x)+c_2 \cos (3x)$$

10. $$y''+2y′+y=0$$

11. $$y''−2y′+10y=4x$$

Responder
$$y=c_1e^x \sin (3x)+c_2e^x \cos (3x)+\frac{2}{5}x+\frac{2}{25}$$

12. $$y''= \cos (x)+2y′+y$$

13. $$y''+5y+y=x+e^{2x}$$

Responder
$$y=c_1e^{−x}+c_2e^{−4x}+\frac{x}{4}+\frac{e^{2x}}{18}−\frac{5}{16}$$

14. $$y''=3y′+xe^{−x}$$

15. $$y''−x^2=−3y′−\frac{9}{4}y+3x$$

Responder
$$y=c_1e^{(−3/2)x}+c_2xe^{(−3/2)x}+\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{27}x−\frac{16}{27}$$

16. $$y''=2 \cos x+y′−y$$

En los problemas 17 - 18, encuentre la solución al problema del valor inicial, si es posible.

17. $$y''+4y′+6y=0, \; y(0)=0, \; y′(0)=\sqrt{2}$$

Responder
$$y=e^{−2x} \sin (\sqrt{2}x)$$

18. $$y''=3y− \cos (x), \; y(0)=\frac{9}{4}, \; y′(0)=0$$

En los problemas 19 - 20, encuentra la solución al problema del valor límite.

19. $$4y′=−6y+2y″, \; y(0)=0, \; y(1)=1$$

Responder
$$y=\dfrac{e^{1−x}}{e^4−1}(e^{4x}−1)$$

20. $$y''=3x−y−y′, \; y(0)=−3, \; y(1)=0$$

Para el siguiente problema, configurar y resolver la ecuación diferencial.

21. El movimiento de un péndulo oscilante para ángulos pequeños$$θ$$ puede aproximarse por$$\dfrac{d^2θ}{dt^2}+\dfrac{g}{L}θ=0,$$ donde$$θ$$ está el ángulo que hace el péndulo con respecto a una línea vertical,$$g$$ es la aceleración resultante de la gravedad, y$$L$$ es la longitud del péndulo. Encuentra la ecuación que describe el ángulo del péndulo en el momento$$t,$$ asumiendo un desplazamiento inicial de$$θ_0$$ y una velocidad inicial de cero.

Responder
$$θ(t)=θ_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)$$

En los problemas 22 - 23, consideremos los “latidos” que ocurren cuando el término forzoso de una ecuación diferencial provoca amplitudes “lentas” y “rápidas”. Considere la ecuación diferencial general$$ay″+by= \cos (ωt)$$ que gobierna el movimiento sin amortiguar. Supongamos que$$\sqrt{\frac{b}{a}}≠ω.$$

22. Encuentra la solución general a esta ecuación (Pista: llamada$$ω_0=\sqrt{b/a}$$).

23. Suponiendo que el sistema parte del reposo, demuestre que la solución particular puede escribirse como$$y=\dfrac{2}{a(ω_0^2−ω^2)} \sin \left(\dfrac{ω_0−ωt}{2}\right) \sin\left(\dfrac{ω_0+ωt}{2}\right).$$

24. [T] Usando sus soluciones derivadas anteriormente, grafica la solución al sistema a$$2y″+9y= \cos (2t)$$ lo largo del intervalo$$t=[−50,50].$$ Encuentra, analíticamente, el periodo de las amplitudes rápidas y lentas.

Para el siguiente problema, configurar y resolver las ecuaciones diferenciales.

25. Un cantante de ópera está intentando romper un vaso cantando una nota en particular. Las vibraciones del vidrio pueden ser modeladas por$$y″+ay= \cos (bt)$$, donde$$y''+ay=0$$ representa la frecuencia natural del vidrio y el cantante está forzando las vibraciones en$$\cos (bt)$$. ¿Por qué valor$$b$$ podría el cantante romper ese vaso? (Nota: para que el vidrio se rompa, las oscilaciones necesitarían ser cada vez más altas.)

Responder
$$b=\sqrt{a}$$

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