17.5: Capítulo 17 Ejercicios de revisión

¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1. Si$y$ y$z$ son ambas soluciones para$y''+2y′+y=0,$ entonces también$y+z$ es una solución.

Contestar

Cierto

2. El siguiente sistema de ecuaciones algebraicas tiene una solución única:

$\begin{align*} 6z_1+3z_2 &=8 \\ 4z_1+2z_2 &=4. \end{align*}$

3. $y=e^x \cos (3x)+e^x \sin (2x)$es una solución a la ecuación diferencial de segundo orden$y″+2y′+10=0.$

Contestar

Falso

4. Para encontrar la solución particular a una ecuación diferencial de segundo orden, se necesita una condición inicial.

En los problemas 5 - 8, clasificar las ecuaciones diferenciales. Determinar el orden, si es lineal y, si es lineal, si la ecuación diferencial es homogénea o no homogénea. Si la ecuación es homogénea y lineal de segundo orden, encuentra la ecuación característica.

5. $y″−2y=0$

Contestar

segundo orden, lineal, homogéneo,$λ^2−2=0$

6. $y''−3y+2y= \cos (t)$

7. $\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+yy′=1$

Contestar

primer orden, no lineal, no homogéneo

8. $\dfrac{d^2y}{dt^2}+t \dfrac{dy}{dt}+\sin^2 (t)y=e^t$

En los problemas 9 - 16, encuentra la solución general.

9. $y''+9y=0$

Contestar

$y=c_1 \sin (3x)+c_2 \cos (3x)$

10. $y''+2y′+y=0$

11. $y''−2y′+10y=4x$

Responder

$y=c_1e^x \sin (3x)+c_2e^x \cos (3x)+\frac{2}{5}x+\frac{2}{25}$

12. $y''= \cos (x)+2y′+y$

13. $y''+5y+y=x+e^{2x}$

Responder

$y=c_1e^{−x}+c_2e^{−4x}+\frac{x}{4}+\frac{e^{2x}}{18}−\frac{5}{16}$

14. $y''=3y′+xe^{−x}$

15. $y''−x^2=−3y′−\frac{9}{4}y+3x$

Responder

$y=c_1e^{(−3/2)x}+c_2xe^{(−3/2)x}+\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{27}x−\frac{16}{27}$

16. $y''=2 \cos x+y′−y$

En los problemas 17 - 18, encuentre la solución al problema del valor inicial, si es posible.

17. $y''+4y′+6y=0, \; y(0)=0, \; y′(0)=\sqrt{2}$

Responder

$y=e^{−2x} \sin (\sqrt{2}x)$

18. $y''=3y− \cos (x), \; y(0)=\frac{9}{4}, \; y′(0)=0$

En los problemas 19 - 20, encuentra la solución al problema del valor límite.

19. $4y′=−6y+2y″, \; y(0)=0, \; y(1)=1$

Responder

$y=\dfrac{e^{1−x}}{e^4−1}(e^{4x}−1)$

20. $y''=3x−y−y′, \; y(0)=−3, \; y(1)=0$

Para el siguiente problema, configurar y resolver la ecuación diferencial.

21. El movimiento de un péndulo oscilante para ángulos pequeños$θ$ puede aproximarse por$\dfrac{d^2θ}{dt^2}+\dfrac{g}{L}θ=0,$ donde$θ$ está el ángulo que hace el péndulo con respecto a una línea vertical,$g$ es la aceleración resultante de la gravedad, y$L$ es la longitud del péndulo. Encuentra la ecuación que describe el ángulo del péndulo en el momento$t,$ asumiendo un desplazamiento inicial de$θ_0$ y una velocidad inicial de cero.

Responder

$θ(t)=θ_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)$

En los problemas 22 - 23, consideremos los “latidos” que ocurren cuando el término forzoso de una ecuación diferencial provoca amplitudes “lentas” y “rápidas”. Considere la ecuación diferencial general$ay″+by= \cos (ωt)$ que gobierna el movimiento sin amortiguar. Supongamos que$\sqrt{\frac{b}{a}}≠ω.$

22. Encuentra la solución general a esta ecuación (Pista: llamada$ω_0=\sqrt{b/a}$).

23. Suponiendo que el sistema parte del reposo, demuestre que la solución particular puede escribirse como$y=\dfrac{2}{a(ω_0^2−ω^2)} \sin \left(\dfrac{ω_0−ωt}{2}\right) \sin\left(\dfrac{ω_0+ωt}{2}\right).$

24. [T] Usando sus soluciones derivadas anteriormente, grafica la solución al sistema a$2y″+9y= \cos (2t)$ lo largo del intervalo$t=[−50,50].$ Encuentra, analíticamente, el periodo de las amplitudes rápidas y lentas.

Para el siguiente problema, configurar y resolver las ecuaciones diferenciales.

25. Un cantante de ópera está intentando romper un vaso cantando una nota en particular. Las vibraciones del vidrio pueden ser modeladas por$y″+ay= \cos (bt)$, donde$y''+ay=0$ representa la frecuencia natural del vidrio y el cantante está forzando las vibraciones en$\cos (bt)$. ¿Por qué valor$b$ podría el cantante romper ese vaso? (Nota: para que el vidrio se rompa, las oscilaciones necesitarían ser cada vez más altas.)

Responder

$b=\sqrt{a}$