17.5: Capítulo 17 Ejercicios de revisión

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1. Si\(y\) y\(z\) son ambas soluciones para\(y''+2y′+y=0,\) entonces también\(y+z\) es una solución.

Contestar: Cierto

2. El siguiente sistema de ecuaciones algebraicas tiene una solución única:

\(\begin{align*} 6z_1+3z_2 &=8 \\ 4z_1+2z_2 &=4. \end{align*}\)

3. \(y=e^x \cos (3x)+e^x \sin (2x)\)es una solución a la ecuación diferencial de segundo orden\(y″+2y′+10=0.\)

Contestar: Falso

4. Para encontrar la solución particular a una ecuación diferencial de segundo orden, se necesita una condición inicial.

En los problemas 5 - 8, clasificar las ecuaciones diferenciales. Determinar el orden, si es lineal y, si es lineal, si la ecuación diferencial es homogénea o no homogénea. Si la ecuación es homogénea y lineal de segundo orden, encuentra la ecuación característica.

5. \(y″−2y=0\)

Contestar: segundo orden, lineal, homogéneo,\(λ^2−2=0\)

6. \(y''−3y+2y= \cos (t)\)

7. \(\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+yy′=1\)

Contestar: primer orden, no lineal, no homogéneo

8. \(\dfrac{d^2y}{dt^2}+t \dfrac{dy}{dt}+\sin^2 (t)y=e^t\)

En los problemas 9 - 16, encuentra la solución general.

9. \(y''+9y=0\)

Contestar: \(y=c_1 \sin (3x)+c_2 \cos (3x)\)

10. \(y''+2y′+y=0\)

11. \(y''−2y′+10y=4x\)

Responder: \(y=c_1e^x \sin (3x)+c_2e^x \cos (3x)+\frac{2}{5}x+\frac{2}{25}\)

12. \(y''= \cos (x)+2y′+y\)

13. \(y''+5y+y=x+e^{2x}\)

Responder: \(y=c_1e^{−x}+c_2e^{−4x}+\frac{x}{4}+\frac{e^{2x}}{18}−\frac{5}{16}\)

14. \(y''=3y′+xe^{−x}\)

15. \(y''−x^2=−3y′−\frac{9}{4}y+3x\)

Responder: \(y=c_1e^{(−3/2)x}+c_2xe^{(−3/2)x}+\frac{4}{9}x^2+\frac{4}{27}x−\frac{16}{27}\)

16. \(y''=2 \cos x+y′−y\)

En los problemas 17 - 18, encuentre la solución al problema del valor inicial, si es posible.

17. \(y''+4y′+6y=0, \; y(0)=0, \; y′(0)=\sqrt{2}\)

Responder: \(y=e^{−2x} \sin (\sqrt{2}x)\)

18. \(y''=3y− \cos (x), \; y(0)=\frac{9}{4}, \; y′(0)=0\)

En los problemas 19 - 20, encuentra la solución al problema del valor límite.

19. \(4y′=−6y+2y″, \; y(0)=0, \; y(1)=1\)

Responder: \(y=\dfrac{e^{1−x}}{e^4−1}(e^{4x}−1)\)

20. \(y''=3x−y−y′, \; y(0)=−3, \; y(1)=0\)

Para el siguiente problema, configurar y resolver la ecuación diferencial.

21. El movimiento de un péndulo oscilante para ángulos pequeños\(θ\) puede aproximarse por\(\dfrac{d^2θ}{dt^2}+\dfrac{g}{L}θ=0,\) donde\(θ\) está el ángulo que hace el péndulo con respecto a una línea vertical,\(g\) es la aceleración resultante de la gravedad, y\(L\) es la longitud del péndulo. Encuentra la ecuación que describe el ángulo del péndulo en el momento\(t,\) asumiendo un desplazamiento inicial de\(θ_0\) y una velocidad inicial de cero.

Responder: \(θ(t)=θ_0 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)\)

En los problemas 22 - 23, consideremos los “latidos” que ocurren cuando el término forzoso de una ecuación diferencial provoca amplitudes “lentas” y “rápidas”. Considere la ecuación diferencial general\(ay″+by= \cos (ωt)\) que gobierna el movimiento sin amortiguar. Supongamos que\(\sqrt{\frac{b}{a}}≠ω.\)

22. Encuentra la solución general a esta ecuación (Pista: llamada\(ω_0=\sqrt{b/a}\)).

23. Suponiendo que el sistema parte del reposo, demuestre que la solución particular puede escribirse como\(y=\dfrac{2}{a(ω_0^2−ω^2)} \sin \left(\dfrac{ω_0−ωt}{2}\right) \sin\left(\dfrac{ω_0+ωt}{2}\right).\)

24. [T] Usando sus soluciones derivadas anteriormente, grafica la solución al sistema a\(2y″+9y= \cos (2t)\) lo largo del intervalo\(t=[−50,50].\) Encuentra, analíticamente, el periodo de las amplitudes rápidas y lentas.

Para el siguiente problema, configurar y resolver las ecuaciones diferenciales.

25. Un cantante de ópera está intentando romper un vaso cantando una nota en particular. Las vibraciones del vidrio pueden ser modeladas por\(y″+ay= \cos (bt)\), donde\(y''+ay=0\) representa la frecuencia natural del vidrio y el cantante está forzando las vibraciones en\( \cos (bt)\). ¿Por qué valor\(b\) podría el cantante romper ese vaso? (Nota: para que el vidrio se rompa, las oscilaciones necesitarían ser cada vez más altas.)

Responder: \(b=\sqrt{a}\)