2.7: Derivadas de funciones dadas implícitamente

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué significa decir que una curva es una función implícita de\(x\text{,}\) más que una función explícita de\(x\text{?}\)
• ¿Cómo la diferenciación implícita nos permite encontrar una fórmula para\(\frac{dy}{dx}\) cuándo\(y\) es una función implícita de\(x\text{?}\)
• En el contexto de una curva implícita, ¿cómo podemos utilizar\(\frac{dy}{dx}\) para responder preguntas importantes sobre la línea tangente a la curva?

En todos nuestros estudios con derivados hasta el momento, hemos trabajado con funciones cuya fórmula se da explícitamente en términos de\(x\text{.}\) Pero hay muchas curvas interesantes cuyas ecuaciones involucran\(x\) y\(y\) son imposibles de resolver\(y\) en términos de\(x\text{.}\)

Figura 2.7.1. A la izquierda, el círculo dado por\(x^2 + y^2 = 16\text{.}\) En el medio, la porción del círculo\(x^2 + y^2 = 16\) que se ha resaltado en el cuadro de la izquierda. Y a la derecha, la curva dada por\(x^3 - y^3 = 6xy\text{.}\)

Quizás la más simple y natural de todas esas curvas son los círculos. Debido a la simetría del círculo, para cada\(x\) valor estrictamente entre los extremos del diámetro horizontal, hay dos\(y\) valores -correspondientes. Por ejemplo, en la Figura 2.7.1, hemos etiquetado\(A = (-3,\sqrt{7})\) y\(B = (-3,-\sqrt{7})\text{,}\) y estos puntos demuestran que el círculo falla en la prueba de línea vertical. De ahí que sea imposible representar el círculo a través de una sola función de la forma\(y = f(x)\text{.}\) Pero porciones del círculo se pueden representar explícitamente en función de\(x\text{,}\) tales como el arco resaltado que se magnifica en el centro de la Figura 2.7.1. Además, es evidente que el círculo es localmente lineal, por lo que deberíamos poder encontrar una línea tangente a la curva en cada punto. Por lo tanto, tiene sentido preguntarse si podemos calcular\(\frac{dy}{dx}\) en algún punto del círculo, aunque no podamos escribir\(y\) explícitamente en función de\(x\text{.}\)

Decimos que la ecuación\(x^2 + y^2 = 16\) define\(y\) implícitamente como una función de\(x\text{.}\) La gráfica de la ecuación se puede dividir en pedazos donde cada pieza puede ser definida por una función explícita de\(x\text{.}\) Para el círculo, podríamos elegir tomar la mitad superior como una función de \(x\text{,}\)es decir,\(y = \sqrt{16 - x^2}\) y la mitad inferior como\(y = -\sqrt{16 - x^2}\text{.}\) La ecuación para el círculo define dos funciones implícitas de\(x\text{.}\)

La curva derecha en la Figura 2.7.1 se llama lemniscada y es solo una de las muchas posibilidades fascinantes para curvas dadas implícitamente.

¿Cómo podemos encontrar una ecuación para\(\frac{dy}{dx}\) sin una fórmula explícita para\(y\) en términos de\(x\text{?}\) La siguiente actividad de vista previa nos recuerda algunas formas en las que podemos calcular derivadas de funciones en configuraciones donde no se conoce la fórmula de la función.

Vista previa de la actividad 2.7.1

Dejar\(f\) ser una función diferenciable de\(x\) (cuya fórmula no se conoce) y recordar que\(\frac{d}{dx}[f(x)]\) y\(f'(x)\) son notaciones intercambiables. Determinar cada una de las siguientes derivadas de combinaciones de funciones explícitas de\(x\text{,}\) la función desconocida\(f\text{,}\) y una constante arbitraria\(c\text{.}\)

1. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ x^2 + f(x) \right]\)
2. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ x^2 f(x) \right]\)
3. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ c + x + f(x)^2 \right]\)
4. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ f(x^2) \right]\)
5. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ xf(x) + f(cx) + cf(x) \right]\)

2.7.1 Diferenciación implícita

Comenzamos nuestra exploración de la diferenciación implícita con el ejemplo del círculo dado por\(x^2 + y^2 = 16\text{.}\) ¿Cómo podemos encontrar una fórmula para\(\frac{dy}{dx}\text{?}\)

Al ver\(y\) como una función implícita de\(x\text{,}\) pensamos en\(y\) como alguna función cuya fórmula\(f(x)\) es desconocida, pero que podemos diferenciar. Así como\(y\) representa una fórmula desconocida, así también su derivado con respecto a\(x\text{,}\)\(\frac{dy}{dx}\text{,}\) será (al menos temporalmente) desconocido.

Entonces vemos\(y\) como una función diferenciable desconocida de\(x\) y diferenciamos ambos lados de la ecuación con respecto a\(x\text{.}\)

\[ \frac{d}{dx} \left[ x^2 + y^2 \right] = \frac{d}{dx} \left[ 16 \right]\text{.} \nonumber \]

A la derecha, la derivada de la constante\(16\) es\(0\text{,}\) y a la izquierda podemos aplicar la regla de suma, por lo que se deduce que

\[ \frac{d}{dx} \left[ x^2 \right] + \frac{d}{dx} \left[ y^2 \right] = 0\text{.} \nonumber \]

Anote cuidadosamente los diferentes roles que están desempeñando\(x\) y\(y\text{.}\) Porque\(x\) es la variable independiente,\(\frac{d}{dx} \left[x^2\right] = 2x\text{.}\) Pero\(y\) es la variable dependiente y\(y\) es una función implícita de\(x\text{.}\) Recall Preview Activity 2.7.1, donde computamos\(\frac{d}{dx}[f(x)^2]\text{.}\) Computación \(\frac{d}{dx}[y^2]\)es lo mismo, y requiere la regla de la cadena, por la cual\(\frac{d}{dx}[y^2] = 2y^1 \frac{dy}{dx}\text{.}\) encontramos que ahora tenemos esa

\[ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0\text{.} \nonumber \]

Resolvemos esta ecuación\(\frac{dy}{dx}\) restando\(2x\) de ambos lados y dividiendo por\(2y\text{.}\)

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}\text{.} \nonumber \]

Hay varias cosas importantes a observar sobre el resultado que\(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\text{.}\) Primero, esta expresión para la derivada implica ambos\(x\) y\(y\text{.}\) Esto tiene sentido porque hay dos puntos correspondientes en el círculo para cada valor de\(x\) entre\(-4\) y\(4\text{,}\) y el pendiente de la línea tangente es diferente en cada uno de estos puntos.

En segundo lugar, esta fórmula es totalmente consistente con nuestra comprensión de los círculos. La pendiente del radio desde el origen hasta el punto\((a,b)\) es\(m_r = \frac{b}{a}\text{.}\) La línea tangente al círculo en\((a,b)\) es perpendicular al radio, y por lo tanto tiene pendiente\(m_t = -\frac{a}{b}\text{,}\) como se muestra en la Figura 2.7.2. En particular, la pendiente de la línea tangente es cero en\((0,4)\) y\((0,-4)\text{,}\) y no está definida en\((-4,0)\) y\((4,0)\text{.}\) Todos estos valores son consistentes con la fórmula\(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\text{.}\)

Figura 2.7.2. El círculo dado por\(x^2 + y^2 = 16\) con punto\((a,b)\) en el círculo y la línea tangente en ese punto, con pendientes etiquetadas de la línea radial,\(m_r\text{,}\) y línea tangente,\(m_t\text{.}\)

Ejemplo 2.7.3

Para la curva dada implícitamente por que\(x^3 + y^2 - 2xy = 2\text{,}\) se muestra en la Figura 2.7.4, encuentre la pendiente de la línea tangente en\((-1,1)\text{.}\)

Figura 2.7.4. La curva\(x^3 + y^2 - 2xy = 2\text{.}\)

Contestar

Comenzamos diferenciando implícitamente la ecuación de la curva. Tomando la derivada de cada lado con respecto a\(x\text{,}\)

\[ \frac{d}{dx}\left[ x^3 + y^2 - 2xy \right] = \frac{d}{dx} \left[ 2 \right]\text{,} \nonumber \]

por la regla de suma y el hecho de que la derivada de una constante es cero, tenemos

\[ \frac{d}{dx}[x^3] + \frac{d}{dx}[y^2] - \frac{d}{dx}[2xy] = 0\text{.} \nonumber \]

Para las tres derivadas ahora debemos ejecutar, la primera usa la regla de poder simple, la segunda requiere la regla de cadena (ya que\(y\) es una función implícita de\(x\)), y la tercera necesita la regla de producto (nuevamente ya que\(y\) es una función de\(x\)). Aplicando estas reglas, ahora encontramos que

\[ 3x^2 + 2y\frac{dy}{dx} - [2x \frac{dy}{dx} + 2y] = 0\text{.} \nonumber \]

Queremos resolver esta ecuación para\(\frac{dy}{dx}\text{.}\) Para ello, primero recogemos todos los términos que involucran\(\frac{dy}{dx}\) en un lado de la ecuación.

\[ 2y\frac{dy}{dx} - 2x \frac{dy}{dx}= 2y - 3x^2\text{.} \nonumber \]

Luego facetamos el lado izquierdo para aislar\(\frac{dy}{dx}\text{.}\)

\[ \frac{dy}{dx}(2y - 2x) = 2y - 3x^2\text{.} \nonumber \]

Por último, dividimos ambas partes\((2y - 2x)\) y concluimos que

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{2y-3x^2}{2y-2x}\text{.} \nonumber \]

Tenga en cuenta que la expresión para\(\frac{dy}{dx}\) depende de ambos\(x\) y\(y\text{.}\) Para encontrar la pendiente de la línea tangente en\((-1,1)\text{,}\) sustituimos las coordenadas en la fórmula para\(\frac{dy}{dx}\text{,}\) usar la notación

\[ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(-1,1)} = \frac{2(1)-3(-1)^2}{2(1)-2(-1)} = -\frac14\text{.} \nonumber \]

Este valor coincide con nuestra estimación visual de la pendiente de la línea tangente mostrada en la Figura 2.7.4.

Ejemplo 2.7.3 muestra que es posible al diferenciar implícitamente tener múltiples términos que involucran\(\frac{dy}{dx}\text{.}\) Utilizamos suma y resta para recopilar todos los términos que involucran\(\frac{dy}{dx}\) en un lado de la ecuación, luego factor para obtener un solo término de\(\frac{dy}{dx}\text{.}\) Finalmente, dividimos para resolver para\(\frac{dy}{dx}\text{.}\)

Usamos la notación

\[ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(a,b)} \nonumber \]

para denotar la evaluación de\(\frac{dy}{dx}\) en el punto\((a,b)\text{.}\) Esto es análogo a escribir\(f'(a)\) cuando\(f'\) depende de una sola variable.

Hay una gran diferencia entre escribir\(\frac{d}{dx}\) y\(\frac{dy}{dx}\text{.}\) Por ejemplo,

\[ \frac{d}{dx}[x^2 + y^2] \nonumber \]

da una instrucción para tomar la derivada respecto\(x\) de la cantidad\(x^2 + y^2\text{,}\) presumiblemente donde\(y\) es una\(x\text{.}\) función de Por otra parte,

\[ \frac{dy}{dx}(x^2 + y^2) \nonumber \]

significa el producto de la derivada de\(y\) con respecto a\(x\) con la cantidad\(x^2 + y^2\text{.}\) Comprender esta sutileza notacional es esencial.

Actividad 2.7.2

Considera la curva definida por la ecuación\(x = y^5 - 5y^3 + 4y\text{,}\) cuya gráfica se representa en la Figura 2.7.5.

1. Explicar por qué no es posible expresarse\(y\) como una función explícita de\(x\text{.}\)
2. Utilice la diferenciación implícita para encontrar una fórmula para\(dy/dx\text{.}\)
3. Usa tu resultado de la parte (b) para encontrar una ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(x = y^5 - 5y^3 + 4y\) en el punto\((0, 1)\text{.}\)
4. Utilice su resultado de la parte (b) para determinar todos los puntos en los que la gráfica de\(x = y^5 - 5y^3 + 4y\) tiene una línea tangente vertical.

Figura 2.7.5. La curva\(x = y^5 - 5y^3 + 4y\text{.}\)

Es natural preguntar dónde es vertical u horizontal la línea tangente a una curva. La pendiente de una línea tangente horizontal debe ser cero, mientras que la pendiente de una línea tangente vertical no está definida. A menudo, la fórmula para\(\frac{dy}{dx}\) se expresa como un cociente de funciones de\(x\) y\(y\text{,}\) decir

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{p(x,y)}{q(x,y)}\text{.} \nonumber \]

La línea tangente es horizontal precisamente cuando el numerador es cero y el denominador es distinto de cero, haciendo que la pendiente de la línea tangente sea cero. Si podemos resolver la ecuación\(p(x,y) = 0\) para cualquiera\(x\) y\(y\) en términos de la otra, podemos sustituir esa expresión en la ecuación original para la curva. Esto da una ecuación en una sola variable, y si podemos resolver esa ecuación podemos encontrar el (los) punto (s) en la curva donde\(p(x,y) = 0\text{.}\) En esos puntos, la línea tangente es horizontal.

Del mismo modo, la línea tangente es vertical siempre\(q(x,y) = 0\) y\(p(x,y) \ne 0\text{,}\) haciendo que la pendiente sea indefinida.

Actividad 2.7.3

Considera la curva definida por la ecuación\(y(y^2-1)(y-2) = x(x-1)(x-2)\text{,}\) cuya gráfica se representa en la Figura 2.7.6. A través de la diferenciación implícita, se puede demostrar que

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(x-2) + x(x-2) + x(x-1)}{(y^2-1)(y-2) + 2y^2(y-2) + y(y^2-1)}\text{.} \nonumber \]

Utilice este hecho para responder a cada una de las siguientes preguntas.

1. Determinar todos los puntos\((x,y)\) en los que la línea tangente a la curva es horizontal. (Utilizar la tecnología adecuadamente para encontrar los ceros necesarios de la función polinómica relevante.)
2. Determinar todos los puntos\((x,y)\) en los que la línea tangente es vertical. (Utilizar la tecnología adecuadamente para encontrar los ceros necesarios de la función polinómica relevante.)
3. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva en uno de los puntos donde\(x = 1\text{.}\)

Figura 2.7.6. \(y(y^2-1)(y-2) = x(x-1)(x-2)\text{.}\)

Actividad 2.7.4

Para cada una de las siguientes curvas, utilice la diferenciación implícita para encontrar\(dy/dx\) y determinar la ecuación de la línea tangente en el punto dado.

1. \(x^3 - y^3 = 6xy\text{,}\)\((-3,3)\)
2. \(\sin(y) + y = x^3 + x\text{,}\)\((0,0)\)
3. \(3x e^{-xy} = y^2\text{,}\)\((0.619061,1)\)

2.7.2 Resumen

• En una ecuación que involucra\(x\) y\(y\) donde porciones de la gráfica pueden ser definidas por funciones explícitas de\(x\text{,}\) decimos que\(y\) es una función implícita de\(x\text{.}\) Un buen ejemplo de tal curva es el círculo unitario.
• Utilizamos la diferenciación implícita para diferenciar una función definida implícitamente. Diferenciamos ambos lados de la ecuación con respecto al\(x\text{,}\) tratamiento\(y\) como una función de\(x\) mediante la aplicación de la regla de la cadena. Si es posible, posteriormente resolvemos el\(\frac{dy}{dx}\) uso del álgebra.
• Mientras que ahora\(\frac{dy}{dx}\) puede involucrar tanto las variables\(x\) y\(y\text{,}\)\(\frac{dy}{dx}\) todavía da la pendiente de la línea tangente a la curva. Se puede utilizar para decidir dónde la línea tangente es horizontal (\(\frac{dy}{dx} = 0\)) o vertical (no\(\frac{dy}{dx}\) está definida), o para encontrar la ecuación de la línea tangente en un punto particular de la curva.