2.6: Derivadas de funciones inversas

Preguntas Motivadoras

• ¿Cuál es la derivada de la función de logaritmo natural?
• ¿Cuáles son las derivadas de las funciones trigonométricas inversas\(\arcsin(x)\) y\(\arctan(x)\text{?}\)
• Si\(g\) es la inversa de una función diferenciable\(f\text{,}\) cómo se\(g'\) calcula en términos de\(f\text{,}\)\(f'\text{,}\) y\(g\text{?}\)

Gran parte de las matemáticas se centra en la noción de función. De hecho, a lo largo de nuestro estudio del cálculo, estamos investigando el comportamiento de las funciones, con especial énfasis en la rapidez con la que cambia la salida de la función en respuesta a los cambios en la entrada. Debido a que cada función representa un proceso, una pregunta natural es si el proceso particular puede revertirse o no. Es decir, si conocemos la salida que resulta de la función, ¿podemos determinar la entrada que la llevó? Y si sabemos qué tan rápido está cambiando un proceso en particular, ¿podemos determinar qué tan rápido está cambiando el proceso inverso?

Una de las funciones más importantes en todas las matemáticas es la función exponencial natural\(f(x) = e^x\text{.}\) Su inverso, el logaritmo natural,\(g(x) = \ln(x)\text{,}\) es igualmente importante. Uno de nuestros objetivos en esta sección es aprender a diferenciar la función logaritmo. En primer lugar, revisamos algunos de los conceptos básicos que rodean las funciones y sus inversos.

Vista previa de la actividad 2.6.1

La ecuación\(y = \frac{5}{9}(x-32)\) relaciona una temperatura dada en\(x\) grados Fahrenheit con la temperatura correspondiente\(y\) medida en grados Celsius.

1. Resolver la ecuación\(y = \frac{5}{9}(x-32)\)\(x\) para escribir\(x\) (temperatura Fahrenheit) en términos de\(y\) (temperatura Celsius).
2. Dejar\(C(x) = \frac{5}{9}(x-32)\) ser la función que toma una temperatura Fahrenheit como entrada y produce la temperatura Celsius como salida. Además, deja\(F(y)\) ser la función que convierte una temperatura dada en\(y\) grados Celsius a la temperatura\(F(y)\) medida en grados Fahrenheit. Usa tu trabajo en (a) para escribir una fórmula para\(F(y)\text{.}\)
3. A continuación considere la nueva función definida por\(p(x) = F(C(x))\text{.}\) Use las fórmulas para\(F\) y\(C\) para determinar una expresión para\(p(x)\) y simplificar esta expresión tanto como sea posible. ¿Qué observas?
4. Ahora, vamos a\(r(y) = C(F(y))\text{.}\) Usar las fórmulas para\(F\) y\(C\) para determinar una expresión para\(r(y)\) y simplificar esta expresión tanto como sea posible. ¿Qué observas?
5. ¿Cuál es el valor\(C'(x)\text{?}\) de\(F'(y)\text{?}\) ¿Cómo parecen estar relacionados estos valores?

2.6.1 Datos básicos sobre las funciones inversas

Una función\(f : A \to B\) es una regla que asocia cada elemento en el conjunto\(A\) a uno y solo un elemento en el conjunto\(B\text{.}\) Llamamos\(A\) al dominio de\(f\) y\(B\) al codominio de\(f\text{.}\) Si existe una función\(g : B \to A\) tal que \(g(f(a)) = a\)para cada elección posible de\(a\) en el conjunto\(A\) y\(f(g(b)) = b\) para cada\(b\) en el conjunto\(B\text{,}\) entonces decimos que\(g\) es la inversa de\(f\text{.}\)

A menudo usamos la notación\(f^{-1}\) (leer “\(f\)-inverse”) para denotar la inversa de\(f\text{.}\) La función inversa deshace el trabajo de\(f\text{.}\) Indeed, si\(y = f(x)\text{,}\) entonces

\[ f^{-1}(y) = f^{-1}(f(x)) = x\text{.} \nonumber \]

Así, las ecuaciones\(y = f(x)\) y\(x = f^{-1}(y)\) dicen lo mismo. La única diferencia entre las dos ecuaciones es una de perspectiva, una se resuelve\(x\text{,}\) mientras que la otra se resuelve para\(y\text{.}\)

Aquí nos recordamos brevemente algunos datos clave sobre las funciones inversas.

Nota 2.6.1

Para una función\(f : A \to B\text{,}\)

• \(f\)tiene una inversa si y solo si\(f\) es uno a uno ¹ y sobre ²;
• siempre\(f^{-1}\) que exista, el dominio de\(f^{-1}\) es el codominio de\(f\text{,}\) y el codominio de\(f^{-1}\) es el dominio de\(f\text{;}\)
• \(f^{-1}(f(x)) = x\)para cada uno\(x\) en el dominio de\(f\) y\(f(f^{-1}(y)) = y\) para cada uno\(y\) en el codominio de\(f\text{;}\)
• \(y = f(x)\)si y solo si\(x = f^{-1}(y)\text{.}\)

Una función\(f\) es uno a uno siempre que no haya dos entradas distintas que conduzcan a la misma salida.

Se proporciona una función\(f\) siempre que cada elemento posible del codominio pueda realizarse como una salida de la función para alguna elección de entrada del dominio.

El último hecho revela una relación especial entre las gráficas de\(f\) y\(f^{-1}\text{.}\) Si un punto\((x,y)\) que se encuentra en la gráfica de\(y = f(x)\text{,}\) entonces también es cierto que lo\(x = f^{-1}(y)\text{,}\) que significa que el punto\((y,x)\) se encuentra en la gráfica de\(f^{-1}\text{.}\) Esto nos muestra que las gráficas de\(f\) y \(f^{-1}\)son los reflejos unos de otros a través de la línea\(y = x\text{,}\) porque esta reflexión es precisamente la acción geométrica que intercambia las coordenadas en un par ordenado. En la Figura 2.6.2, vemos esto ilustrado por la función\(y = f(x) = 2^x\) y su inversa, con los puntos\((-1,\frac{1}{2})\) y\((\frac{1}{2},-1)\) resaltando la reflexión de las curvas a través de\(y = x\text{.}\)

Figura 2.6.2. Una gráfica de una función\(y = f(x)\) junto con su inversa,\(y = f^{-1}(x)\text{.}\)

Para cerrar nuestra revisión de hechos importantes sobre las inversas, recordamos que la función exponencial natural\(y = f(x) = e^x\) tiene una función inversa, a saber, el logaritmo natural,\(x = f^{-1}(y) = \ln(y)\text{.}\) Así, la escritura\(y = e^x\) es intercambiable con\(x = \ln(y)\text{,}\) plus\(\ln(e^x) = x\) para cada número real\(x\) y\(e^{\ln(y)} = y\) para cada número real positivo\(y\text{.}\)

2.6.2 La derivada de la función logaritmo natural

En lo que sigue, encontramos una fórmula para la derivada de\(g(x) = \ln(x)\text{.}\) Para hacerlo, aprovechamos el hecho de que conocemos la derivada de la función exponencial natural, la inversa de\(g\text{.}\) En particular, sabemos que escribir\(g(x) = \ln(x)\) es equivalente a escribir\(e^{g(x)} = x\text{.}\) Ahora diferenciamos ambos lados de esta ecuación y observar que

\[ \frac{d}{dx}\left[e^{g(x)}\right] = \frac{d}{dx}[x]\text{.} \nonumber \]

El lado derecho es simplemente\(1\text{;}\) aplicando la regla de la cadena al lado izquierdo, encontramos que

\[ e^{g(x)} g'(x) = 1\text{.} \nonumber \]

A continuación resolvemos\(g'(x)\text{,}\) para conseguir

\[ g'(x) = \frac{1}{e^{g(x)}}\text{.} \nonumber \]

Por último, recordamos que\(g(x) = \ln(x)\text{,}\) así\(e^{g(x)} = e^{\ln(x)} = x\text{,}\) y así

\[ g'(x) = \frac{1}{x}\text{.} \nonumber \]

Logaritmo natural

Para todos los números reales positivos\(x\text{,}\)\(\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}\text{.}\)

Esta regla para la función de logaritmo natural ahora se une a nuestra lista de reglas derivadas básicas. Tenga en cuenta que esta regla se aplica únicamente a los valores positivos de\(x\text{,}\) ya que estos son los únicos valores para los que\(\ln(x)\) se define.

También notemos que por primera vez en nuestro trabajo, la diferenciación de una función básica de un tipo particular ha llevado a una función de naturaleza muy diferente: la derivada del logaritmo natural no es otro logaritmo, ni siquiera una función exponencial, sino más bien racional.

Las derivadas de logaritmos ahora pueden calcularse de acuerdo con todas las reglas conocidas hasta la fecha. Por ejemplo, si\(f(t) = \ln(t^2 + 1)\text{,}\) entonces por la regla de la cadena,\(f'(t) = \frac{1}{t^2 + 1} \cdot 2t\text{.}\)

Hay conexiones interesantes entre las gráficas de\(f(x) = e^x\) y\(f^{-1}(x) = \ln(x)\text{.}\)

En la Figura 2.6.3, se nos recuerda que dado que la función exponencial natural tiene la propiedad de que su derivada es en sí misma, la pendiente de la tangente a\(y = e^x\) es igual a la altura de la curva en ese punto. Por ejemplo, en el punto es\(A = (\ln(0.5), 0.5)\text{,}\) la pendiente de la línea tangente\(m_A = 0.5\text{,}\) y en\(B = (\ln(5), 5)\text{,}\) la pendiente de la línea tangente es\(m_B = 5\text{.}\)

Figura 2.6.3. Un gráfico de la función\(y = e^x\) junto con su inverso,\(y = \ln(x)\text{,}\) donde ambas funciones se ven usando la variable de entrada\(x\text{.}\)

En los puntos correspondientes\(A'\) y\(B'\) en la gráfica de la función logaritmo natural (que provienen de reflejar\(A\) y\(B\) a través de la línea\(y = x\)), sabemos que la pendiente de la línea tangente es el recíproco de la\(x\) coordenada -del punto (since\(\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}\)). Así, en\(A' = (0.5, \ln(0.5))\text{,}\) tenemos\(m_{A'} = \frac{1}{0.5} = 2\text{,}\) y en\(B' = (5, \ln(5))\text{,}\)\(m_{B'} = \frac{1}{5}\text{.}\)

En particular, observamos que\(m_{A'} = \frac{1}{m_A}\) y\(m_{B'} = \frac{1}{m_B}\text{.}\) Esto no es una coincidencia, sino que de hecho se sostiene para cualquier curva\(y = f(x)\) y su inversa, siempre que exista la inversa. Esto se debe a la reflexión a través de\(y = x\text{.}\) Cambia los roles de\(x\) y\(y\text{,}\) así revertir la subida y carrera, por lo que la pendiente de la función inversa en el punto reflejado es el recíproco de la pendiente de la función original.

Actividad 2.6.2

Para cada función dada a continuación, encuentra su derivada.

1. \(\displaystyle h(x) = x^2\ln(x)\)
2. \(\displaystyle p(t) = \frac{\ln(t)}{e^t + 1}\)
3. \(\displaystyle s(y) = \ln(\cos(y) + 2)\)
4. \(\displaystyle z(x) = \tan(\ln(x))\)
5. \(\displaystyle m(z) = \ln(\ln(z))\)

2.6.3 Funciones trigonométricas inversas y sus derivadas

Las funciones trigonométricas son periódicas, por lo que no logran ser uno a uno, y por lo tanto no tienen funciones inversas. Sin embargo, podemos restringir el dominio de cada función trigonométrica para que sea uno a uno en ese dominio.

Por ejemplo, considere la función seno en el dominio\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\text{.}\) Debido a que no se repite ninguna salida de la función sinusoidal en este intervalo, la función es uno a uno y por lo tanto tiene una inversa. Así, la función\(f(x) = \sin(x)\) con\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) y codominio\([-1,1]\) tiene una función inversa\(f^{-1}\) tal que

\[ f^{-1} : [-1,1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\text{.} \nonumber \]

Llamamos a\(f^{-1}\) la función arcsine (o seno inverso) y escribimos\(f^{-1}(y) = \arcsin(y)\text{.}\) Es especialmente importante recordar que

\[ y = \sin(x) \ \ \text{and} \ \ x = \arcsin(y) \nonumber \]

decir lo mismo. “El arcoseno de\(y\)” significa “el ángulo cuyo seno es\(y\text{.}\)” Por ejemplo,\(\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}\) significa que\(\frac{\pi}{6}\) es el ángulo cuyo seno es el\(\frac{1}{2}\text{,}\) que equivale a escribir\(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\text{.}\)

Figura 2.6.4. Una gráfica de\(f(x) = \sin(x)\) (en azul), restringida al dominio\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\text{,}\) junto con su inversa,\(f^{-1}(x) = \arcsin(x)\) (en magenta).

A continuación, determinamos la derivada de la función arcoseno. Dejar que\(h(x) = \arcsin(x)\text{,}\) nuestro objetivo es encontrar\(h'(x)\text{.}\) ya que\(h(x)\) es el ángulo cuyo seno\(x\text{,}\) es equivalente a escribir

\[ \sin(h(x)) = x\text{.} \nonumber \]

Diferenciando ambos lados de la ecuación anterior, tenemos

\[ \frac{d}{dx}[\sin(h(x))] = \frac{d}{dx}[x]\text{.} \nonumber \]

El lado derecho es simple\(1\text{,}\) y aplicando la regla de la cadena aplicada al lado izquierdo,

\[ \cos(h(x)) h'(x) = 1\text{.} \nonumber \]

Resolviendo para\(h'(x)\text{,}\) ello se deduce que

\[ h'(x) = \frac{1}{\cos(h(x))}\text{.} \nonumber \]

Por último, recordamos que\(h(x) = \arcsin(x)\text{,}\) así el denominador de\(h'(x)\) es la función\(\cos(\arcsin(x))\text{,}\) o en otras palabras, “el coseno del ángulo cuyo seno es\(x\text{.}\)” Un poco de trigonometría de triángulo rectángulo nos permite simplificar considerablemente esta expresión.

Digamos que\(\theta = \arcsin(x)\text{,}\) así ese\(\theta\) es el ángulo cuyo seno es\(x\text{.}\) Podemos visualizar\(\theta\) como un ángulo en un triángulo rectángulo con hipotenusa\(1\) y una pata vertical de longitud\(x\text{,}\) como se muestra en la Figura 2.6.5. La pata horizontal debe ser\(\sqrt{1-x^2}\text{,}\) según el Teorema de Pitágoras.

Figura 2.6.5. El triángulo rectángulo que corresponde al ángulo\(\theta = \arcsin(x)\text{.}\)

Ahora bien, porque\(\theta = \arcsin(x)\text{,}\) la expresión for\(\cos(\arcsin(x))\) es equivalente a\(\cos(\theta)\text{.}\) De la figura,\(\cos(\arcsin(x)) = \cos(\theta) = \sqrt{1-x^2}\text{.}\)

Sustituyendo esta expresión en nuestra fórmula, ahora\(h'(x) = \frac{1}{\cos(\arcsin(x))}\text{,}\) hemos demostrado que

\[ h'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{.} \nonumber \]

Seno inverso

Para todos los números reales\(x\) tales que\(-1 \lt x \lt 1\text{,}\)

\[ \frac{d}{dx}[\arcsin(x)] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{.} \nonumber \]

Actividad 2.6.3

Las siguientes indicaciones en esta actividad te llevarán a desarrollar la derivada de la función tangente inversa.

1. Let\(r(x) = \arctan(x)\text{.}\) Use la relación entre las funciones arcotangente y tangente para reescribir esta ecuación usando solo la función tangente.
2. Diferenciar ambos lados de la ecuación que encontraste en (a). Resolver la ecuación resultante para\(r'(x)\text{,}\) escribir lo más simple\(r'(x)\) posible en términos de una función trigonométrica evaluada en\(r(x)\text{.}\)
3. Recuerda que\(r(x) = \arctan(x)\text{.}\) Actualiza tu expresión para\(r'(x)\) que solo implique funciones trigonométricas y la variable independiente\(x\text{.}\)
4. Introduce un triángulo rectángulo con ángulo\(\theta\) para que\(\theta = \arctan(x)\text{.}\) ¿Cuáles son los tres lados del triángulo?
5. En cuanto a lo único\(x\) y\(1\text{,}\) cuál es el valor de\(\cos(\arctan(x))\text{?}\)
6. Utilice los resultados de su trabajo anterior para encontrar una expresión que involucre solo\(1\) y\(x\) para\(r'(x)\text{.}\)

Si bien las derivadas para otras funciones trigonométricas inversas pueden establecerse de manera similar, por ahora nos limitamos a las funciones arcoseno y arcotangente.

Actividad 2.6.4

Determinar la derivada de cada una de las siguientes funciones.

1. \(\displaystyle \displaystyle f(x) = x^3 \arctan(x) + e^x \ln(x)\)
2. \(\displaystyle \displaystyle p(t) = 2^{t\arcsin(t)}\)
3. \(\displaystyle \displaystyle h(z) = (\arcsin(5z) + \arctan(4-z))^{27}\)
4. \(\displaystyle \displaystyle s(y) = \cot(\arctan(y))\)
5. \(\displaystyle \displaystyle m(v) = \ln(\sin^2(v)+1)\)
6. \(\displaystyle \displaystyle g(w) = \arctan\left( \frac{\ln(w)}{1+w^2} \right)\)

2.6.4 El vínculo entre la derivada de una función y la derivada de su inversa

En la Figura 2.6.3, vimos una relación interesante entre las pendientes de las líneas tangentes a las funciones de logaritmo exponencial natural y natural en puntos reflejados a través de la línea.\(y = x\text{.}\) En particular, observamos que\((\ln(2), 2)\) en el punto de la gráfica de\(f(x) = e^x\text{,}\) la pendiente de la línea tangente es \(f'(\ln(2)) = 2\text{,}\)mientras que en el punto\((2, \ln(2))\) correspondiente de la gráfica de\(f^{-1}(x) = \ln(x)\text{,}\) la pendiente de la línea tangente es\((f^{-1})'(2) = \frac{1}{2}\text{,}\) que es el recíproco de\(f'(\ln(2))\text{.}\)

Que las dos líneas tangentes correspondientes tengan pendientes recíprocas no es una coincidencia. Si\(f\) y\(g\) son funciones inversas diferenciables, entonces\(y = f(x)\) si y solo si\(x = g(y)\text{,}\) entonces\(f(g(x)) = x\) para cada uno\(x\) en el dominio de\(f^{-1}\text{.}\) Diferenciar ambos lados de esta ecuación, tenemos

\[ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = \frac{d}{dx} [x]\text{,} \nonumber \]

y por la regla de la cadena,

\[ f'(g(x)) g'(x) = 1\text{.} \nonumber \]

Resolviendo para\(g'(x)\text{,}\) tenemos\(g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}\text{.}\) Aquí vemos que la pendiente de la línea tangente a la función inversa\(g\) en el punto\((x,g(x))\) es precisamente el recíproco de la pendiente de la línea tangente a la función original\(f\) en el punto\((g(x),f(g(x))) = (g(x),x)\text{.}\)

Figura 2.6.6. Una gráfica de función\(y = f(x)\) junto con su inversa,\(y = g(x) = f^{-1}(x)\text{.}\) Observe que las pendientes de las dos líneas tangentes son recíprocas entre sí.

Para ver esto con mayor claridad, considera la gráfica de la función que\(y = f(x)\) se muestra en la Figura 2.6.6, junto con su inversa\(y = g(x)\text{.}\) Dado un punto\((a,b)\) que se encuentra en la gráfica de\(f\text{,}\) sabemos que\((b,a)\) se encuentra en la gráfica de\(g\text{;}\) porque\(f(a) = b\) y\(g(b) = a\text{.}\) Ahora, aplicando la regla que\(g'(x) = 1/f'(g(x))\) al valor\(x = b\text{,}\) que tenemos

\[ g'(b) = \frac{1}{f'(g(b))} = \frac{1}{f'(a)}\text{,} \nonumber \]

que es precisamente lo que vemos en la figura: la pendiente de la línea tangente a\(g\) at\((b,a)\) es el recíproco de la pendiente de la línea tangente a\(f\) at\((a,b)\text{,}\) ya que estas dos líneas son reflejos entre sí a través de la línea\(y = x\text{.}\)

Derivada de una función inversa

Supongamos que\(f\) es una función diferenciable con inversa\(g\) y ese\((a,b)\) es un punto que se encuentra en la gráfica de\(f\) en la que\(f'(a) \ne 0\text{.}\) Entonces

\[ g'(b) = \frac{1}{f'(a)}\text{.} \nonumber \]

De manera más general, para cualquiera\(x\) en el dominio de\(g'\text{,}\) tenemos\(g'(x) = 1/f'(g(x))\text{.}\)

Las reglas para las que derivamos\(\ln(x)\text{,}\)\(\arcsin(x)\text{,}\) y\(\arctan(x)\) son solo ejemplos específicos de esta propiedad general de la derivada de una función inversa. Por ejemplo, con\(g(x) = \ln(x)\) y\(f(x) = e^x\text{,}\) se deduce que

\[ g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))} = \frac{1}{e^{\ln(x)}} = \frac{1}{x}\text{.} \nonumber \]

2.6.5 Resumen

• Para todos los números reales positivos\(x\text{,}\)\(\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}\text{.}\)
• Para todos los números reales\(x\) tal que\(-1 \lt x \lt 1\text{,}\)\(\frac{d}{dx}[\arcsin(x)] = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{.}\) Además, para todos los números reales\(x\text{,}\)\(\frac{d}{dx}[\arctan(x)] = \frac{1}{1+x^2}\text{.}\)
• Si\(g\) es la inversa de una función diferenciable\(f\text{,}\) entonces para cualquier punto\(x\) en el dominio de\(g'\text{,}\)\(g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}\text{.}\)