2: Derivados de computación

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A lo largo del Capítulo 2, trabajaremos para desarrollar reglas derivadas de atajo que nos ayuden a eludir la definición límite de la derivada para determinar rápidamente la fórmula para\(f'(x)\) cuando se nos da una fórmula para\(f (x)\).

2.1: Reglas Derivadas Elementales
La definición límite de la derivada conduce a patrones entre ciertas familias de funciones que nos permiten calcular fórmulas derivadas sin recurrir directamente a la definición límite. Si se nos da un múltiplo constante de una función cuya derivada conocemos, o una suma de funciones cuyas derivadas conocemos, las Reglas de Múltiple Constante y Suma facilitan el cálculo de la derivada de la función general.
2.2: La función de seno y coseno
En esta sección, vamos a trabajar para conjeturar fórmulas para las funciones seno y coseno, principalmente a través de un argumento gráfico. Para ayudar a establecer el escenario para hacerlo, la siguiente actividad de vista previa te pide que pienses en las funciones exponenciales y por qué es razonable pensar que la derivada de una función exponencial es una constante multiplicada por la propia función exponencial.
2.3: Las reglas de producto y cociente
Si una función es una suma, producto o cociente de funciones más simples, entonces podemos usar las reglas de suma, producto o cociente para diferenciar la función general en términos de las funciones más simples y sus derivadas. Las reglas de producto y cociente ahora complementan las reglas de múltiplo y suma constantes y nos permiten calcular la derivada de cualquier función que consiste en sumas, múltiplos constantes, productos y cocientes de funciones básicas que ya sabemos diferenciar.
2.4: Derivadas de otras funciones trigonométricas
Se derivan las derivadas de las otras cuatro funciones trigonométricas. Estas cuatro reglas para las derivadas de la tangente, cotangente, secante y cosecante se pueden usar junto con las reglas para funciones de potencia, funciones exponenciales, y el seno y coseno, así como las reglas de suma, múltiplo constante, producto y cociente, para diferenciar rápidamente una amplia gama de diferentes funciones.
2.5: La regla de la cadena
En esta sección, encontramos las siguientes ideas importantes: Una función compuesta es aquella en la que la variable de entrada x primero pasa a través de una función, y luego la salida resultante pasa a través de otra.
2.6: Derivadas de funciones inversas
Debido a que cada función representa un proceso, una pregunta natural es si el proceso particular puede revertirse o no. Es decir, si conocemos la salida que resulta de la función, ¿podemos determinar la entrada que la llevó? Conectados a esta pregunta, ahora también nos preguntamos: si sabemos qué tan rápido está cambiando un proceso en particular, ¿podemos determinar qué tan rápido está cambiando el proceso inverso?
2.7: Derivadas de funciones dadas implícitamente
La diferenciación implícita se utiliza para identificar la derivada de una función y (x) a partir de una ecuación donde y no puede resolverse explícitamente en términos de x, pero donde porciones de la curva pueden ser consideradas como generadas por funciones explícitas de x. En este caso, decimos que y es una función implícita de x. proceso de diferenciación implícita, tomamos la ecuación que genera una curva implícitamente dada y diferenciamos ambos lados con respecto a x mientras tratamos y como una función de x.
2.8: Usando Derivados para Evaluar Límites
Los derivados se utilizan para ayudarnos a evaluar límites indeterminados de la forma 0 0 a través de la Regla de L'Hopital, la cual se desarrolla reemplazando las funciones en el numerador y denominador por sus aproximaciones de líneas tangentes. Una versión de la Regla de L'Hopital también nos permite utilizar derivados para ayudarnos a evaluar otros límites indeterminados.
2.E: Derivados de Computación (Ejercicios)
Estos son ejercicios de tarea para acompañar al Capítulo 2 de Boelkins et al. Mapa de texto “Cálculo activo”.