7.E: Ecuaciones Diferenciales (Ejercicios)

7.1: Una introducción a las ecuaciones diferenciales

1. Soluciones coincidentes con ecuaciones

2. Encontrar una solución constante para completar

3. Elegir la solución de\(dy/dt=k(1-Ay)\)

4.

Supongamos que\(T(t)\) representa la temperatura de una taza de café puesta en una habitación, donde\(T\) se expresa en grados Fahrenheit y\(t\) en minutos. Un principio físico conocido como Ley del Enfriamiento de Newton nos dice que

\[ \frac{dT}{dt}= -\frac1{15}T+5\text{.} \nonumber \]

1. Supone que\(T(0)=105\text{.}\) ¿Qué nos da la ecuación diferencial para el valor de\(\frac{dT}{dt}\vert_{T=105}\text{?}\) Explicar en una oración completa el significado de estos dos hechos?
2. Está\(T\) aumentando o disminuyendo a\(t=0\text{?}\)
3. Cuál es la temperatura aproximada a\(t=1\text{?}\)
4. En la gráfica de abajo, haz una gráfica de\(dT/dt\) como una función de\(T\text{.}\)
   
5. ¿Para qué valores de\(T\)\(T\) aumenta? ¿Para qué valores de\(T\)\(T\) disminuye?
6. ¿Cuál crees que es la temperatura de la habitación? Explica tu forma de pensar.
7. Verificar que\(T(t) = 75 + 30e^{-t/15}\) es la solución a la ecuación diferencial con valor inicial\(T(0) = 105\text{.}\) ¿Qué pasa con esta solución después de mucho tiempo?

5.

Supongamos que la población de una especie en particular es descrita por la función\(P(t)\text{,}\) donde\(P\) se expresa en millones. Supongamos además que la tasa de cambio de la población se rige por la ecuación diferencial

\[ \frac{dP}{dt} = f(P) \nonumber \]

donde\(f(P)\) esta la función graficada a continuación.

1. ¿Para qué valores de la población\(P\) aumenta la población?
2. ¿Para qué valores de la población\(P\) disminuye la población?
3. Si\(P(0) = 3\text{,}\) ¿cómo cambiará la población en el tiempo?
4. Si la población inicial satisface\(0\lt P(0)\lt 1\text{,}\) ¿qué pasará con la población después de mucho tiempo?
5. Si la población inicial satisface\(1\lt P(0)\lt 3\text{,}\) ¿qué pasará con la población después de mucho tiempo?
6. Si la población inicial satisface\(3\lt P(0)\text{,}\) ¿qué pasará con la población después de mucho tiempo?
7. Este modelo para el crecimiento de una población a veces se llama “crecimiento con umbral”. Explique por qué este es un nombre apropiado.

6

En este problema, probamos más a fondo lo que significa para una función ser una solución a una ecuación diferencial dada.

1. Considerar la ecuación diferencial
   \[ \frac{dy}{dt} = y - t\text{.} \nonumber \]

   Determinar si las siguientes funciones son soluciones a la ecuación diferencial dada.

   1. \(\displaystyle y(t) = t + 1 + 2e^t\)
   2. \(\displaystyle y(t) = t + 1\)
   3. \(\displaystyle y(t) = t + 2\)
2. Cuando se pesan plátanos en una báscula en la tienda de abarrotes, la altura\(h\) de los plátanos se describe mediante la ecuación diferencial
   \[ \frac{d^2h}{dt^2} = -kh \nonumber \]

   donde\(k\) está la constante de resorte, una constante que depende de las propiedades del resorte en la escala. Después de poner los plátanos en la balanza, usted (hábilmente) observa que la altura de los plátanos viene dada por\(h(t) = 4\sin(3t)\text{.}\) ¿Cuál es el valor de la constante primaveral?

7.2: Comportamiento Cualitativo de Soluciones a DE's

Ejercicios 7.2.4 Ejercicios

1. Graficando soluciones de equilibrio

2. Croquizar curvas de solución

3. Ecuaciones coincidentes con campos de dirección

4. Describir soluciones de equilibrio

5

Considerar la ecuación diferencial

\[ \frac{dy}{dt} = t-y\text{.} \nonumber \]

1. Dibuja un campo de pendiente en los ejes a la derecha.
2. Esbozar las soluciones cuyos valores iniciales son\(y(0)= -4, -3, \ldots, 4\text{.}\)
3. Lo que sugieren tus bocetos es la solución cuyo valor inicial es\(y(0) = -1\text{?}\) Verificar que esta es efectivamente la solución a este problema de valor inicial.
4. Al considerar la ecuación diferencial y las gráficas que ha esbozado, ¿cuál es la relación entre\(t\) y\(y\) en un punto donde una solución tiene un mínimo local?

6

Considerar la situación del problema 2 de la Sección 7.1: Supongamos que la población de una especie en particular es descrita por la función\(P(t)\text{,}\) donde\(P\) se expresa en millones. Supongamos además que la tasa de cambio de la población se rige por la ecuación diferencial

\[ \frac{dP}{dt} = f(P) \nonumber \]

donde\(f(P)\) esta la función graficada a continuación.

1. Cree un boceto de un campo de pendiente para esta ecuación diferencial. No se cuenta con información suficiente para determinar las pendientes reales, pero debe tener suficiente información para determinar dónde las pendientes son positivas, negativas, cero, grandes o pequeñas, y de ahí determinar el comportamiento cualitativo de las soluciones.
2. Esbozar algunas soluciones a esta ecuación diferencial cuando la población inicial\(P(0) \gt 0\text{.}\)
3. Identificar cualquier solución de equilibrio a la ecuación diferencial y clasificarlas como estables o inestables.
4. Si\(P(0) \gt 1\text{,}\) ¿cuál es el destino final de la especie? si\(P(0) \lt 1\text{?}\)
5. Recuerde que nos referimos a este modelo de crecimiento poblacional como “crecimiento con umbral”. Explique por qué esta caracterización tiene sentido al considerar soluciones cuyo valor inital sea cercano a 1.

7

La población de una especie de peces en un lago\(P\) es\(P(t)\) donde se mide en miles de peces y\(t\) se mide en meses. El crecimiento de la población es descrito por la ecuación diferencial

\[ \frac{dP}{dt} = f(P) = P(6-P)\text{.} \nonumber \]

1. Esboce una gráfica\(f(P) = P(6-P)\) y utilícela para determinar las soluciones de equilibrio y si son estables o inestables. Escribe una oración completa que describa el comportamiento a largo plazo de la población de peces.
2. Supongamos ahora que los dueños del lago permiten que los pescadores retiren 1000 peces del lago cada mes (recuerde que\(P(t)\) se mide en miles de peces). Modificar la ecuación diferencial para tomar esto en cuenta. Esbozar la nueva gráfica de\(dP/dt\) versus\(P\text{.}\) Determinar las nuevas soluciones de equilibrio y decidir si son estables o inestables.
3. Dada la situación en la parte b), dar una descripción del comportamiento a largo plazo de la población de peces.
4. Supongamos que los pescadores quitan\(h\) mil peces al mes. ¿Cómo se modifica la ecuación diferencial?
5. ¿Cuál es el mayor número de peces que se pueden eliminar por mes sin eliminar la población de peces? Si los peces son retirados a esta tasa máxima, ¿cuál es la eventual población de peces?

8

\(y(t)\)Sea el número de miles de ratones que viven en una granja; supongamos que el tiempo\(t\) se mide en años. ¹

1. La población de los ratones crece a una tasa anual que es veinte veces el número de ratones. Expresar esto como una ecuación diferencial.
2. En algún momento, el granjero trae\(C\) gatos a la granja. El número de ratones que los gatos pueden comer en un año es
   \[ M(y) = C\frac{y}{2+y} \nonumber \]

   mil ratones al año. Explica cómo esto modifica la ecuación diferencial que encontraste en la parte a).

3. Dibuje una gráfica de la función\(M(y)\) para un solo gato\(C=1\) y explique sus características observando, por ejemplo, el comportamiento de\(M(y)\) cuándo\(y\) es pequeño y cuándo\(y\) es grande.
4. Supongamos que\(C=1\text{.}\) Encontrar las soluciones de equilibrio y determinar si son estables o inestables. Use esto para explicar el comportamiento a largo plazo de la población de ratones dependiendo de la población inicial de los ratones.
5. Supongamos que\(C=60\text{.}\) Encontrar las soluciones de equilibrio y determinar si son estables o inestables. Use esto para explicar el comportamiento a largo plazo de la población de ratones dependiendo de la población inicial de los ratones.
6. ¿Cuál es el menor número de gatos que necesitarías para evitar que la población de ratones crezca arbitrariamente grande?

Este problema se basa en un análisis ecológico presentado en un artículo de investigación de C.S. Hollings: The Components of Depredation as Revealed by a Study of Small Mamífero Depredation of the European Pine Sawfly, Canadian Entomology 91: 283-320.

7.3: Método de Euler

1. Unos pasos del método de Euler

2. Usando el método de Euler para una solución de\(y'=4y\)

3. Usando el método de Euler con diferentes pasos de tiempo

4

La Ley de Enfriamiento de Newton dice que la velocidad a la que se enfría un objeto, como una taza de café, es proporcional a la diferencia en la temperatura del objeto y la temperatura ambiente. Si\(T(t)\) es la temperatura del objeto y\(T_r\) es temperatura ambiente, esta ley se expresa en

\[ \frac{dT}{dt} = -k(T-T_r)\text{,} \nonumber \]

donde\(k\) es una constante de proporcionalidad. En este problema, la temperatura se mide en grados Fahrenheit y el tiempo en minutos.

1. Dos estudiantes de cálculo, Alice y Bob, ingresan a un\(^\circ\) aula de 70 a la vez. Cada uno tiene una taza de café que es 100\(^\circ\text{.}\) La ecuación diferencial para Alice tiene una constante de proporcionalidad\(k=0.5\text{,}\) mientras que la constante de proporcionalidad para Bob es\(k=0.1\text{.}\) ¿Cuál es la tasa de cambio inicial para el café de Alice? ¿Cuál es la tasa de cambio inicial para el café de Bob?
2. ¿Qué característica de las tazas de café de Alice y Bob podría explicar esta diferencia?
3. A medida que la unidad de calefacción se enciende y apaga en la habitación, la temperatura en la habitación es
   \[ T_r=70+10\sin t\text{.} \nonumber \]

   Implementar el método de Euler con un tamaño de paso de\(\Delta t = 0.1\) para aproximar la temperatura del café de Alice en el intervalo de tiempo\(0\leq t\leq 50\text{.}\) Esto se realizará más fácilmente usando una hoja de cálculo como Excel. Grafica la temperatura de su café y la temperatura ambiente a lo largo de este intervalo.

4. De la misma manera, implementar el método de Euler para aproximar la temperatura del café de Bob en el mismo intervalo de tiempo. Grafica la temperatura de su café y la temperatura ambiente a lo largo del intervalo.
5. Explica las similitudes y diferencias que ves en el comportamiento de las tazas de café de Alice y Bob.

5

Hemos visto que el error al aproximar la solución a un problema de valor inicial es proporcional a Es\(\Delta t\text{.}\) decir, si\(E_{\Delta t}\) es la aproximación del método de Euler a la solución a un problema de valor inicial en\(\overline{t}\text{,}\) ese entonces

\[ y(\overline{t})-E_{\Delta t} \approx K\Delta t \nonumber \]

por alguna constante de proporcionalidad\(K\text{.}\)

En este problema, veremos cómo utilizar este hecho para mejorar nuestras estimaciones, utilizando una idea llamada convergencia acelerada.

1. Crearemos una nueva aproximación asumiendo que el error es exactamente proporcional a\(\Delta t\text{,}\) según la fórmula
   \[ y(\overline{t})-E_{\Delta t} =K\Delta t\text{.} \nonumber \]

   Usando nuestros resultados anteriores del problema de valor inicial\(dy/dt = y\) y\(y(0)=1\) con\(\Delta t = 0.2\) y\(\Delta t = 0.1\text{,}\) tenemos

   \ begin {align*} y (1) - 2.4883 =\ mathstrut & 0.2K\\ [4pt] y (1) - 2.5937 =\ mathstrut & 0.1K\ text {.} \ end {alinear*}

   Este es un sistema de dos ecuaciones lineales en las incógnitas\(y(1)\) y\(K\text{.}\) Resuelve este sistema para encontrar una nueva aproximación para\(y(1)\text{.}\) (Puede que recuerdes que el valor exacto es\(y(1) = e = 2.71828\ldots\text{.}\))

2. Utilizar los demás datos,\(E_{0.05} = 2.6533\) y\(E_{0.025} = 2.6851\) hacer un trabajo similar al de (a) para obtener otra aproximación. ¿Cuál da la mejor aproximación? ¿Por qué crees que es esto?
3. Estudiemos ahora el problema del valor inicial
   \[ \frac{dy}{dt} = t-y, \ y(0) = 0\text{.} \nonumber \]

   Aproximar\(y(0.3)\) aplicando el método de Euler para encontrar aproximaciones\(E_{0.1}\) y\(E_{0.05}\text{.}\) Ahora usa la idea de convergencia acelerada para obtener una mejor aproximación. (Por el bien de la comparación, desea señalar que el valor real es\(y(0.3) = 0.0408\text{.}\))

6

En este problema, modificaremos el método de Euler para obtener mejores aproximaciones a soluciones de problemas de valor inicial. Este método se llama el método de Euler Mejorado.

En el método de Euler, caminamos a través de un intervalo de ancho\(\Delta t\) usando la pendiente obtenida de la ecuación diferencial en el punto final izquierdo del intervalo. Por supuesto, lo más probable es que la pendiente de la solución cambie a lo largo de este intervalo. Podemos mejorar nuestra aproximación tratando de incorporar el cambio en la pendiente a lo largo del intervalo.

Consideremos de nuevo el problema del valor inicial\(dy/dt = y\) y\(y(0) = 1\text{,}\) que aproximaremos usando pasos de ancho\(\Delta t = 0.2\text{.}\) Nuestro primer intervalo es por lo tanto\(0\leq t \leq 0.2\text{.}\) En\(t=0\text{,}\) la ecuación diferencial nos dice que la pendiente es 1, y la aproximación que obtenemos del método de Euler es que \(y(0.2)\approx y_1= 1+ 1(0.2)= 1.2\text{.}\)

Esto nos da alguna idea de cómo ha cambiado la pendiente a lo largo del intervalo\(0\leq t\leq 0.2\text{.}\) Sabemos que la pendiente en\(t=0\) es 1, mientras que la pendiente en\(t=0.2\) es 1.2, confiando en la aproximación del método de Euler. Por lo tanto, refinaremos nuestra estimación de la pendiente inicial para que sea la media de estas dos pendientes; es decir, estimaremos la pendiente para que sea\((1+1.2)/2 = 1.1\text{.}\) Esto da la nueva aproximación\(y(1) = y_1 = 1 + 1.1(0.2) = 1.22\text{.}\)

Los primeros pasos se parecen a lo que se encuentra en la Tabla 7.3.15.

Cuadro 7.3.15. Los primeros pasos del método mejorado de Euler

\(t_i\)	\(y_i\)	Pendiente en\((t_{i+1},y_{i+1})\)	Pendiente promedio
\ (t_i\) ">\(0.0\)	\ (y_i\) ">\(1.0000\)	\ ((t_ {i+1}, y_ {i+1})\) ">\(1.2000\)	\(1.1000\)
\ (t_i\) ">\(0.2\)	\ (y_i\) ">\(1.2200\)	\ ((t_ {i+1}, y_ {i+1})\) ">\(1.4640\)	\(1.3420\)
\ (t_i\) ">\(0.4\)	\ (y_i\) ">\(1.4884\)	\ ((t_ {i+1}, y_ {i+1})\) ">\(1.7861\)	\(1.6372\)
\ (t_i\) ">\(\vdots\)	\ (y_i\) ">\(\vdots\)	\ ((t_ {i+1}, y_ {i+1})\) ">\(\vdots\)	\(\vdots\)

1. Continuar con este método para obtener una aproximación para\(y(1) = e\text{.}\)
2. Repita este método con\(\Delta t = 0.1\) para obtener una mejor aproximación para\(y(1)\text{.}\)
3. Vimos que el error en el método de Euler es proporcional al\(\Delta t\text{.}\) uso de sus resultados de las partes (a) y (b), ¿qué poder de\(\Delta t\) parece ser proporcional al error en el Método de Euler Mejorado?

7.4: Ecuaciones diferenciales separables

1. Problema de valor inicial para\(dy/dx=x^8 y\)

 

3. Problema de valor inicial para\(dy/dt=y^2(8+t)\)

4. Problema de valor inicial para\(du/dt=e^{6u+10t}\)

5. Problema de valor inicial para\(dy/dx=170yx^{16}\)

6

La masa de una muestra radiactiva se desintegra a una velocidad que es proporcional a su masa.

1. Expresar este hecho como una ecuación diferencial para la masa\(M(t)\) utilizando\(k\) para la constante de proporcionalidad.
2. Si la masa inicial es\(M_0\text{,}\) encontrar una expresión para la masa\(M(t)\text{.}\)
3. La vida media de la muestra es la cantidad de tiempo requerida para que la mitad de la masa se descomponga. Sabiendo que la vida media del Carbono-14 es de 5730 años, encuentra el valor de\(k\) para una muestra de Carbono-14.
4. ¿Cuánto tiempo tarda una muestra de Carbono-14 en reducirse a un cuarto de su masa original?
5. El Carbono-14 ocurre naturalmente en nuestro entorno; cualquier organismo vivo recibe Carbono-14 cuando come y respira. Al morir, sin embargo, el organismo ya no toma Carbono-14. Supongamos que encuentras restos de una hoguera prehistórica. Al analizar la madera carbonizada en la fosa, se determina que la cantidad de Carbono-14 es solo 30% de la cantidad en árboles vivos. Estimar la edad de la hoguera. ²

Este enfoque es la idea básica detrás del radiocarbono.

7

Considerar el problema de valor inicial

\[ \frac{dy}{dt} = -\frac ty, \ y(0) = 8 \nonumber \]

1. Encuentra la solución del problema de valor inicial y dibuja su gráfica.
2. ¿Para qué valores de\(t\) se define la solución?
3. ¿Cuál es el valor\(y\) de la última vez que se define la solución?
4. Al observar la ecuación diferencial, explique por qué no debemos esperar encontrar soluciones con el valor de\(y\) usted anotado en (c).

8

Supongamos que un tanque de agua cilíndrico con un agujero en el fondo se llena de agua. El agua, por supuesto, se filtrará y la altura del agua disminuirá. Dejar\(h(t)\) denotar la altura del agua. Un principio físico llamado Ley de Torricelli implica que la altura disminuye a un ritmo proporcional a la raíz cuadrada de la altura.

1. Expresar este hecho utilizando\(k\) como constante de proporcionalidad.
2. Supongamos que tienes dos tanques, uno con\(k=-1\) y otro con\(k=-10\text{.}\) ¿Qué diferencias físicas esperarías encontrar?
3. Supongamos que tiene un tanque para el cual la altura disminuye a\(20\) pulgadas por minuto cuando el agua se llena a una profundidad de\(100\) pulgadas. Encuentra el valor de\(k\text{.}\)
4. Resuelva el problema de valor inicial para el tanque en la parte (c) y grafique la solución que determine.
5. ¿Cuánto tiempo tarda el agua en salir del tanque?
6. Es la solución que encontraste válida para todos los tiempos\(t\text{?}\) Si es así, explica cómo sabes esto. Si no, explique por qué no.

9

La ecuación de Gompertz es un modelo que se utiliza para describir el crecimiento de ciertas poblaciones. Supongamos que\(P(t)\) es la población de algún organismo y que

\[ \frac{dP}{dt} = -P\ln\left(\frac P3\right) = -P(\ln P - \ln 3)\text{.} \nonumber \]

1. Croquizar un campo de pendiente\(P(t)\) sobre el rango\(0\leq P\leq 6\text{.}\)
2. Identificar cualquier solución de equilibrio y determinar si son estables o inestables.
3. Encuentra a la población\(P(t)\) asumiendo eso\(P(0) = 1\) y dibuja su gráfica. ¿Qué pasa\(P(t)\) después de mucho tiempo?
4. Encuentra a la población\(P(t)\) asumiendo eso\(P(0) = 6\) y dibuja su gráfica. ¿Qué pasa\(P(t)\) después de mucho tiempo?
5. Verifique que el comportamiento a largo plazo de sus soluciones concuerde con lo que predijo mirando el campo de pendiente.

7.5: Modelado con Ecuaciones Diferenciales

1. Problema de mezcla

2. Problema de mezcla

3. Problema de crecimiento poblacional

4. Problema de desintegración radiactiva

5. Problema de inversión

6

¡Enhorabuena, acabas de ganar la lotería! En una opción que se le presenta, se le pagará un millón de dólares al año durante los próximos 25 años. Puedes depositar este dinero en una cuenta que ganará 5% cada año.

1. Establecer una ecuación diferencial que describa la tasa de cambio en la cantidad de dinero en la cuenta. Dos factores hacen que la cantidad crezca: primero, estás depositando un millón de dólares por año y segundo, estás ganando 5% de interés.
2. Si no hay cantidad de dinero en la cuenta cuando la abres, ¿cuánto dinero tendrás en la cuenta después de 25 años?
3. La segunda opción que se le presenta es tomar una suma global de 10 millones de dólares, que depositará en una cuenta similar. ¿Cuánto dinero vas a tener en esa cuenta después de 25 años?
4. ¿Prefieres la primera o segunda opción? Explica tu forma de pensar.
5. ¿A qué hora la cantidad de dinero en la cuenta bajo la primera opción supera a la cantidad de dinero en la cuenta bajo la segunda opción?

7

Cuando un paracaidista salta de un avión, la gravedad hace que su velocidad descendente aumente a una velocidad de\(g\approx 9.8\) metros por segundo al cuadrado. Al mismo tiempo, la resistencia del viento hace que su velocidad disminuya a una velocidad proporcional a la velocidad.

1. Utilizando\(k\) para representar la constante de proporcionalidad, escribir una ecuación diferencial que describa la velocidad de cambio de la velocidad del paracaidista.
2. Encuentra cualquier solución de equilibrio y decide si son estables o inestables. Tu resultado debe depender de\(k\text{.}\)
3. Supongamos que la velocidad inicial es cero. Encuentra la velocidad\(v(t)\text{.}\)
4. Una velocidad terminal típica para un paracaidista que cae boca abajo es de 54 metros por segundo. ¿Cuál es el valor de\(k\) para este paracaidista?
5. ¿Cuánto tiempo se tarda en alcanzar el 50% de la velocidad terminal?

8

Durante los primeros años de vida, la tasa a la que un bebé gana peso es proporcional al recíproco de su peso.

1. Expresar este hecho como una ecuación diferencial.
2. Supongamos que un bebé pesa 8 libras al nacer y 9 libras un mes después. ¿Cuánto pesará al año?
3. ¿Crees que este es un modelo realista desde hace mucho tiempo?

9

Supongamos que tiene un tanque de agua que contiene 100 galones de agua. Una solución salobre, que contiene 20 gramos de sal por galón, ingresa al tanque a razón de 3 galones por minuto.

Al mismo tiempo, la solución se mezcla bien, y el agua se bombea fuera del tanque a razón de 3 galones por minuto.

1. Ya que 3 galones entran al tanque cada minuto y 3 galones salen cada minuto, ¿qué se puede concluir sobre el volumen de agua en el tanque?
2. ¿Cuántos gramos de sal entra al tanque cada minuto?
3. Supongamos que\(S(t)\) denota el número de gramos de sal en el tanque en minutos\(t\text{.}\) Cuantos gramos hay en cada galón en minuto\(t\text{?}\)
4. Dado que el agua sale del tanque a 3 galones por minuto, ¿cuántos gramos de sal salen del tanque cada minuto?
5. Escribe una ecuación diferencial que exprese la tasa total de cambio de\(S\text{.}\)
6. Identificar cualquier solución de equilibrio y determinar si son estables o inestables.
7. Supongamos que inicialmente no hay sal en el tanque. Encuentra la cantidad de sal\(S(t)\) en minutos\(t\text{.}\)
8. ¿Qué pasa\(S(t)\) después de mucho tiempo? Explica cómo podrías haber predicho esto solo sabiendo cuánta sal hay en cada galón de la solución salobre que ingresa al tanque.

7.6: Crecimiento poblacional y ecuación logística

Ejercicios 7.6.4 Ejercicios

1. Análisis de una ecuación logística

2. Análisis de un modelo logístico

3. Encontrar una función logística para un modelo de infección

4. Análisis de un modelo de crecimiento poblacional

5

La ecuación logística puede ser utilizada para modelar cómo un rumor se propaga a través de un grupo de personas. Supongamos que esa\(p(t)\) es la fracción de personas que han escuchado el rumor el día\(t\text{.}\) La ecuación

\[ \frac{dp}{dt} = 0.2p(1-p) \nonumber \]

describe cómo\(p\) cambia. Supongamos inicialmente que una décima parte de la gente haya escuchado el rumor; es decir,\(p(0) = 0.1\text{.}\)

1. ¿Qué pasa\(p(t)\) después de mucho tiempo?
2. Determinar una fórmula para la función\(p(t)\text{.}\)
3. ¿A qué hora está\(p\) cambiando más rápidamente?
4. ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el 80% de la gente haya escuchado el rumor?

6

Supongamos que\(b(t)\) mide el número de bacterias que viven en una colonia en una placa de Petri, donde\(b\) se mide en miles y\(t\) se mide en días. Un día, se mide que hay 6 mil bacterias y la tasa de crecimiento per cápita es de 3. Unos días después, se mide que hay 9 mil bacterias y la tasa de crecimiento per cápita es de 2.

1. Supongamos que la tasa de crecimiento per cápita\(\frac{db/dt}{b}\) es una función lineal de\(b\text{.}\) Utilice las mediciones para encontrar esta función y escribir una ecuación logística para describir\(\frac{db}{dt}\text{.}\)
2. ¿Cuál es la capacidad de carga de la bacteria?
3. ¿A qué población aumenta más rápidamente el número de bacterias?
4. Si inicialmente hay 1,000 bacterias, ¿cuánto tiempo tardará en llegar al 80% de la capacidad de carga?

7

Supongamos que la población de una especie de pez está controlada por la ecuación logística

\[ \frac{dP}{dt} = 0.1P(10 - P)\text{,} \nonumber \]

donde\(P\) se mide en miles de peces y\(t\) se mide en años.

1. ¿Cuál es la capacidad de carga de esta población?
2. Supongamos que ha pasado mucho tiempo y que la población de peces es estable a la capacidad de carga. En este momento, los humanos comienzan a cosechar el 20% de los peces cada año. Modificar la ecuación diferencial agregando un término para incorporar la recolección de peces.
3. ¿Cuál es la nueva capacidad de carga?
4. ¿Cuál será la población de peces un año después de que comience la cosecha?
5. ¿Cuánto tiempo tardará en que la población esté dentro del 10% de la capacidad de carga?