9.7: Derivadas e Integrales de Funciones Vectoriales

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué entendemos por la derivada de una función valorada por vector y cómo la calculamos?
• ¿Qué mide la derivada de una función vectorizada?
• ¿Qué entendemos por la integral de una función de valor vectorial y cómo la calculamos?
• ¿Cómo describimos el movimiento de un proyectil si la única fuerza que actúa sobre el objeto es la aceleración por gravedad?

Una función de valor vectorial\(\mathbf{r}\) determina una curva en el espacio como la colección de puntos terminales de los vectores\(\mathbf{r}(t)\text{.}\) Si la curva es suave, es natural preguntar si\(\mathbf{r}(t)\) tiene una derivada. De la misma manera, nuestras experiencias con integrales en el cálculo de una sola variable nos impulsan a preguntarnos cuál podría ser la integral de una función valorada por vector y qué podría decirnos. Exploramos ambas preguntas en detalle en esta sección.

Por ahora, recordemos algunas ideas importantes del cálculo I. Dada una función\(s\) que mide la posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje, su derivada,\(s'\text{,}\) se define por

\[ s'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t+h) - s(t)}{h}, \nonumber \]

y mide la tasa instantánea de cambio\(s\) con respecto al tiempo. En particular, para un valor fijo\(t = a\text{,}\)\(s'(a)\) mide la velocidad del objeto en movimiento, así como la pendiente de la línea tangente a la curva\(y = s(t)\) en el punto\((a,s(a))\text{.}\)

A medida que trabajamos con funciones vectoriales, nos esforzaremos por actualizar estas ideas y perspectivas en el contexto de curvas en el espacio y salidas que son vectores.

Vista previa de Actividad 9.7.1

Vamos a\(\mathbf{r}(t) = \cos(t) \mathbf{i} + \sin(2t) \mathbf{j}\) describir el camino recorrido por un objeto en el momento\(t\text{.}\)

1. Utilice la tecnología adecuada para ayudarle a esbozar el gráfico de la función de valor vectorial\(\mathbf{r}\text{,}\) y luego localizar y etiquetar el punto en la gráfica cuando\(t=\pi\text{.}\)
2. Recordemos que para funciones de una sola variable, la derivada de una suma es la suma de las derivadas; es decir,\(\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)\text{.}\) Con esta idea en mente y visionado\(\mathbf{i}\) y\(\mathbf{j}\) como vectores constantes, ¿cuál esperas que\(\mathbf{r}\) sea la derivada? Escribe una fórmula propuesta para\(\mathbf{r}'(t)\text{.}\)
3. Usa tu resultado de la parte (b) para calcular\(\mathbf{r}'(\pi)\text{.}\) Sketch este vector\(\mathbf{r}'(\pi)\) como emanando del punto en la gráfica de\(\mathbf{r}\) cuándo\(t=\pi\), y explica lo que piensas que nos\(\mathbf{r}'(\pi)\) dice sobre el movimiento del objeto.

9.7.1 El Derivado

En el cálculo de una sola variable, definimos la derivada,\(f'\text{,}\) de una función dada\(f\) por

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}, \nonumber \]

siempre que exista el límite. A un valor dado de\(a\text{,}\)\(f'(a)\) medidas la velocidad instantánea de cambio de\(f\text{,}\) y también nos dice la pendiente de la línea tangente a la curva\(y = f(x)\) en el punto La definición de\((a, f(a))\text{.}\) la derivada se extiende naturalmente a las funciones y curvas valoradas por vector en el espacio.

Definición 9.7.1: Derivada de una Función Vectorial

La derivada de una función con valor vectorial\(\mathbf{r}\) se define como

\[ \mathbf{r}'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}{h} \nonumber \]

para aquellos valores de\(t\) en los que exista el límite. También usamos la notación\(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\) y\(\frac{d}{dt}[\mathbf{r}(t)]\) para\(\mathbf{r}'(t)\text{.}\)

Actividad 9.7.2

Investiguemos cómo podemos interpretar la derivada\(\mathbf{r}'(t)\text{.}\) Let\(\mathbf{r}\) be la función vectorizada cuya gráfica se muestra en la Figura 9.7.2, y dejar que\(h\) sea un escalar que represente un pequeño cambio en el tiempo. El vector\(\mathbf{r}(t)\) es el vector azul en la Figura 9.7.2 y\(\mathbf{r}(t+h)\) es el vector verde.

Figura 9.7.2. Un solo cociente de diferencia.

1. ¿La cantidad es\(\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)\) un vector o un escalar? Identificar este objeto en la Figura 9.7.2.
2. ¿Es\(\frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}{h}\) un vector o un escalar? Esbozar un vector representativo\(\frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}{h}\) con\(h \lt 1\) en la Figura 9.7.2.
3. \(\mathbf{r}(t)\)Piense en proporcionar la posición de un objeto que se mueve a lo largo de la curva que trazan estos vectores. ¿Qué opinas que\(\frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}{h}\) mide el vector? ¿Por qué? (Pista: Se podría pensar análogamente en los cocientes de diferencia como\(\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\) o\(\frac{s(t+h) - s(t)}{h}\) a partir del cálculo I.)
4. La Figura 9.7.3 presenta tres instantáneas de los vectores\(\frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}{h}\) ya que dejamos\(h \to 0\text{.}\) Escribir 2-3 oraciones para describir los atributos clave del vector
   \[ \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}{h}. \nonumber \]

   (Pista: Comparar con límites como\(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\) o a\(\lim_{h \to 0} \frac{s(t+h) - s(t)}{h}\) partir del cálculo I, teniendo en cuenta que en tres dimensiones no existe un concepto general de pendiente.)

Figura 9.7.3. Instantáneas de varios cocientes de diferencia.

Como indica la Actividad 9.7.2, si\(\mathbf{r}(t)\) determina la posición de un objeto en el tiempo\(t\text{,}\) entonces\(\frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}{h}\) representa la tasa promedio de cambio en la posición del objeto sobre el intervalo\([t,t+h]\text{,}\) que es también la velocidad promedio del objeto en este intervalo. Por lo tanto, el derivado

\[ \mathbf{r}'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}{h} \nonumber \]

es la velocidad instantánea de cambio de\(\mathbf{r}(t)\) en el tiempo\(t\) (para aquellos valores\(t\) para los que existe el límite), así\(\mathbf{r}'(t) = \mathbf{v}(t)\) es la velocidad instantánea del objeto en el tiempo\(t\text{.}\) Además, podemos interpretar la derivada\(\mathbf{r}'(t)\) como el vector de dirección de la tangente lineal a la gráfica de\(\mathbf{r}\) al valor\(t\text{.}\)

Del mismo modo,

\[ \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}''(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{v}(t+h)-\mathbf{v}(t)}{h} \nonumber \]

es la velocidad instantánea de cambio de la velocidad del objeto en el momento\(t\text{,}\) para aquellos valores\(t\) para los que existen los límites, y así\(\mathbf{v}'(t) = \mathbf{a}(t)\) es la aceleración del objeto en movimiento.

Nota bien: Tanto la velocidad como la aceleración son cantidades vectoriales: tienen magnitud y dirección. Por el contrario, la magnitud del vector de velocidad,\(| \mathbf{v}(t) |\text{,}\) que es la velocidad del objeto en el tiempo,\(t\text{,}\) es una cantidad escalar.

9.7.2 Derivados informáticos

Como aprendimos en el cálculo de una sola variable, la computación derivada de la definición suele ser difícil. Afortunadamente, las propiedades del límite facilitan el cálculo de la derivada de una función de valor vectorial similar a cómo desarrollamos reglas de diferenciación de atajo en el cálculo I. Para ver por qué, recordemos que el límite de una suma es la suma de los límites, y que podemos eliminar factores constantes de los límites. Así, como observamos en un ejemplo particular en Preview Activity 9.7.1, si\(\mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j} + z(t) \mathbf{k}\text{,}\) se deduce que

\[\begin{align*} \mathbf{r}'(t) = \mathstrut & \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}{h}\\[4pt] = \mathstrut & \lim_{h \to 0} \frac{[x(t+h)-x(t)] \mathbf{i} + [y(t+h)-y(t)] \mathbf{j} + [z(t+h)-z(t)] \mathbf{k}}{h}\\[4pt] = \mathstrut & \left(\lim_{h \to 0} \frac{x(t+h)-x(t)}{h} \right) \mathbf{i} + \left( \lim_{h \to 0} \frac{y(t+h)-y(t)}{h} \right) \mathbf{j}\\[4pt] \mathstrut & + \left( \lim_{h \to 0} \frac{z(t+h)-z(t)}{h} \right)\mathbf{k}\\[4pt] \mathstrut & = x'(t)\mathbf{i} + y'(t) \mathbf{j} + z'(t) \mathbf{k}. \end{align*}\]

Así, podemos calcular la derivada de una función valorada por vector simplemente diferenciando sus componentes.

La derivada de una función con valor vectorial

Si\(\mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j} + z(t) \mathbf{k}\text{,}\) entonces

\[ \frac{d}{dt} \mathbf{r}(t) = x'(t) \mathbf{i} + y'(t) \mathbf{j} + z'(t) \mathbf{k} \nonumber \]

para aquellos valores de\(t\) a los que\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\) son diferenciables.

Actividad 9.7.3

Para cada una de las siguientes funciones vectoriales, encuentre\(\mathbf{r}'(t)\text{.}\)

1. \(\mathbf{r}(t) = \langle \cos(t), t\sin(t), \ln(t) \rangle\text{.}\)
2. \(\mathbf{r}(t) = \langle t^2 + 3t, e^{-2t}, \frac{t}{t^2 + 1} \rangle\text{.}\)
3. \(\mathbf{r}(t) = \langle \tan(t), \cos(t^2), te^{-t} \rangle\text{.}\)
4. \(\mathbf{r}(t) = \langle \sqrt{t^4 + 4}, \sin(3t), \cos(4t) \rangle\text{.}\)

En el cálculo del primer semestre, desarrollamos varias reglas de diferenciación importantes, incluyendo las reglas de múltiplo constante, producto, cociente y cadena. Por ejemplo, recordemos que declaramos formalmente la regla del producto como

\[ \frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f(x)\cdot g'(x) + g(x)\cdot f'(x). \nonumber \]

Existen varias reglas análogas para las funciones con valores vectoriales, incluyendo una regla de producto para funciones escalares y funciones con valores vectoriales. Estas reglas, que se verifican fácilmente, se resumen de la siguiente manera.

Propiedades de las derivadas de funciones vectoriales

Dejar\(f\) ser una función diferenciable de valor real de una variable real\(t\) y dejar\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{s}\) ser funciones vectorizadas diferenciables de la variable real\(t\text{.}\) Entonces

1. \(\displaystyle \frac{d}{dt} \left[\mathbf{r}(t) + \mathbf{s}(t) \right] = \mathbf{r}'(t) + \mathbf{s}'(t)\)
2. \(\displaystyle \frac{d}{dt} [f(t) \mathbf{r}(t)] = f(t) \mathbf{r}'(t) + f'(t) \mathbf{r}(t)\)
3. \(\displaystyle \frac{d}{dt} \left[\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{s}(t) \right] = \mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{s}(t) + \mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{s}'(t)\)
4. \(\displaystyle \frac{d}{dt} \left[\mathbf{r}(t) \times \mathbf{s}(t) \right] = \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{s}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{s}'(t)\)
5. \(\frac{d}{dt} \left[\mathbf{r}(f(t))\right] = f'(t) \mathbf{r}'(f(t))\text{.}\)

Tenga en cuenta bien. Al aplicar estas propiedades, tenga cuidado para interpretar las cantidades involucradas como escalares o vectores. Por ejemplo,\(\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{s}(t)\) define una función escalar porque hemos tomado el producto punto de dos funciones con valor vectorial. Sin embargo,\(\mathbf{r}(t) \times \mathbf{s}(t)\) define una función de valor vectorial ya que hemos tomado el producto cruzado de dos funciones valoradas por vector.

Actividad 9.7.4

El lado izquierdo de la Figura 9.7.4 muestra la curva descrita por la función vectorizada\(\mathbf{r}\) definida por

\[ \mathbf{r}(t) = \left\langle 2t-\frac12 t^2 + 1, t-1\right\rangle. \nonumber \]

Figura 9.7.4. La curva\(\mathbf{r}(t) = \left\langle 2t-\frac12 t^2 + 1, t-1\right\rangle\) y su velocidad.

1. Encuentra la velocidad del objeto\(\mathbf{v}(t)\text{.}\)
2. Encuentra la aceleración del objeto\(\mathbf{a}(t)\text{.}\)
3. Indicar a la izquierda de la Figura 9.7.4 la posición del objeto, velocidad y aceleración en los momentos\(t=0, 2, 4\text{.}\) Dibuja los vectores de velocidad y aceleración con sus colas colocadas en la posición del objeto.
4. Recordemos que la velocidad es\(|\mathbf{v}| = \sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}\text{.}\) Encontrar la velocidad del objeto y graficarla\(t\) en función del tiempo a la derecha de la Figura 9.7.4. ¿Cuándo es la velocidad más lenta del objeto? ¿Cuándo aumenta la velocidad? ¿Cuándo disminuye?
5. ¿Qué parece ser cierto sobre el ángulo entre\(\mathbf{v}\) y\(\mathbf{a}\) cuando la velocidad es mínima? ¿Cuál es el ángulo entre\(\mathbf{v}\) y\(\mathbf{a}\) cuándo aumenta la velocidad? cuando la velocidad está disminuyendo?
6. Dado que la raíz cuadrada es una función creciente, vemos que la velocidad aumenta precisamente cuando\(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\) está aumentando. Use la regla del producto para que el producto punto se exprese\(\frac{d}{dt}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})\) en términos de la velocidad\(\mathbf{v}\) y aceleración\(\mathbf{a}\text{.}\) Use esto para explicar por qué la velocidad está aumentando cuando\(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} > 0\) y disminuyendo cuando\(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a} \lt 0\text{.}\) Compare esto con la parte (d).
7. Demuestre que la tasa de cambio de la velocidad es
   \[ \frac{d}{dt}|\mathbf{v}(t)| = comp_{\mathbf{v}} \mathbf{a}. \nonumber \]

9.7.3 Líneas tangentes

Una de las ideas más importantes en el cálculo del primer semestre es que una función diferenciable es localmente lineal: es decir, cuando se ve de cerca, la curva generada por una función diferenciable se parece mucho a una línea. De hecho, cuando acercamos lo suficiente en un punto en particular, la curva parece indistinguible de su línea tangente.

De la misma manera, esperamos que una curva suave en el espacio 3 sea localmente lineal. En la siguiente actividad, investigamos cómo encontrar la línea tangente a dicha curva. Recordemos de nuestro trabajo en la Sección 9.5 que la ecuación vectorial de una línea que pasa por el punto en la punta del vector\(\mathbf{L}_0 = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle\) en la dirección del vector\(\mathbf{u} = \langle a, b, c \rangle\) puede escribirse como

\[ \mathbf{L}(t) = \mathbf{L}_0 + t \mathbf{u}. \nonumber \]

En forma paramétrica, la línea\(\mathbf{L}\) viene dada por

\[ x(t) = x_0 + at, \ \ y(t) = y_0 + bt, \ \ z(t) = z_0 + ct. \nonumber \]

Actividad 9.7.5

Let

\[ \mathbf{r}(t) = \cos(t) \mathbf{i} - \sin(t) \mathbf{j} + t \mathbf{k}. \nonumber \]

Croquis de la curva usando alguna herramienta apropiada.

1. Determinar las coordenadas del punto en la curva trazadas por\(\mathbf{r}(t)\) cuando\(t = \pi\text{.}\)
2. Encuentra un vector de dirección para la línea tangente a la gráfica de\(\mathbf{r}\) en el punto donde\(t=\pi\text{.}\)
3. Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea tangente a la gráfica de\(\mathbf{r}\) cuándo\(t=\pi\text{.}\)
4. Dibuja una gráfica de la curva\(\mathbf{r}(t)\) y su línea tangente cerca del punto donde\(t = \pi\text{.}\) Además, incluye un boceto de\(\mathbf{r}'(\pi)\text{.}\) ¿Cuál es el papel importante de\(\mathbf{r}'(\pi)\) en esta actividad?

Vemos que nuestro trabajo en la Actividad 9.7.5 puede generalizarse. Dada una función de valor vectorial diferenciable,\(\mathbf{r}\text{,}\) la línea tangente a la curva en el valor de entrada\(a\) viene dada por

\[ \mathbf{L}(t) = \mathbf{r}(a) + t \mathbf{r}'(a).\label{E_TanLineVecFxn}\tag{9.7.1} \]

Aquí vemos que debido a que la línea tangente está determinada en su totalidad por un punto y dirección dados, el punto es proporcionado por la función\(\mathbf{r}\text{,}\) evaluada en\(t = a\text{,}\) mientras que la dirección es proporcionada por la derivada,\(\mathbf{r}'\text{,}\) nuevamente evaluada en\(t = a\text{.}\) Note cuán análoga es la fórmula para\(\mathbf{L}(t)\) es a la aproximación de la línea tangente del cálculo de una sola variable: en ese contexto, para una función dada\(y = f(x)\) en un valor\(x = a\text{,}\) encontramos que la línea tangente puede ser expresada por la función lineal\(y = L(x)\) cuya fórmula es

\[ L(x) = f(a) + f'(a)(x-a). \nonumber \]

La ecuación (9.7.1) para la línea tangente\(\mathbf{L}(t)\) a la función de valor vectorial\(\mathbf{r}(t)\) es casi idéntica. En efecto, debido a que hay múltiples parametrizaciones para una sola línea, incluso es posible escribir la parametrización como

\[ \mathbf{L}(t) = \mathbf{r}(a) + (t-a) \mathbf{r}'(a).\label{E_TanLineVecFxn2}\tag{9.7.2} \]

(Por ejemplo, en la Ecuación (9.7.1),\(\mathbf{L}(0) = \mathbf{r}(a)\text{,}\) entonces la parametrización de la línea “comienza” en\(t = 0\text{.}\) Cuando escribimos la parametrización en forma de Ecuación (9.7.2),\(\mathbf{L}(a) = \mathbf{r}(a)\text{,}\) entonces la parametrización de la línea “comienza” en\(t = a\text{.}\))

Como aprenderemos más en el Capítulo 10, una superficie lisa en el espacio 3 también es localmente lineal. Eso significa que la superficie se verá como un plano, al que llamamos su plano tangente, a medida que acercamos la gráfica. Es posible utilizar líneas tangentes para trazos de la superficie para generar una fórmula para el plano tangente; ver Ejercicio 9.7.7.15 al final de esta sección para más detalles.

9.7.4 Integración de una función valorada por vector

Recordemos del cálculo de una sola variable que una antiderivada\(f\) de una función de la variable independiente\(x\) es una función\(F\) que satisface Luego\(F'(x) = f(x)\text{.}\) definimos la integral\(\int f(x) \ dx\) indefinida como la antiderivada general de\(f\text{.}\) Recordemos que la general antiderivado incluye una constante añadida con el\(C\) fin de indicar que la antiderivada general es de hecho una familia completa de funciones. Podemos hacer el trabajo similar con funciones vectoriales.

Definición 9.7.5

Una antiderivada de una función de valor vectorial\(\mathbf{r}\) es una función de valor vectorial\(\mathbf{R}\) tal que

\[ \mathbf{R}'(t) = \mathbf{r}(t). \nonumber \]

La integral indefinida\(\int \mathbf{r}(t) \ dt\) de una función con valor vectorial\(\mathbf{r}\) es la antiderivada general de\(\mathbf{r}\) y representa la colección de todos los antiderivados de\(\mathbf{r}\text{.}\)

El mismo razonamiento que nos permite diferenciar una función vectorizada por componentes también se aplica a la integración. Recordemos que la integral de una suma es la suma de las integrales y también que podemos eliminar los factores constantes de las integrales. Entonces, dado\({\mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i}+ y(t) \mathbf{j} + z(t) \mathbf{k}}\text{,}\) que se deduce que podemos integrar componentwise. Expresado de manera más formal,

Integrar una función de valor vectorial

Si\(\mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j} + z(t) \mathbf{k}\text{,}\) entonces

\[ \int \mathbf{r}(t) \ dt = \left(\int x(t) \ dt\right) \mathbf{i} + \left( \int y(t) \ dt \right) \mathbf{j} + \left(\int z(t) \ dt\right) \mathbf{k}. \nonumber \]

A la luz de poder integrar y diferenciar componentwise con funciones vectoriales, podemos resolver muchos problemas que son análogos a los que encontramos en el cálculo de una sola variable. Por ejemplo, recordar problemas donde se nos dio un objeto moviéndose a lo largo de un eje con función de velocidad\(v\) y una posición inicial\(s(0)\text{.}\)\(v\) En ese contexto, pudimos diferenciarnos para encontrar aceleración,\(v\) e integrar y usar la condición inicial para encontrar la función de posición\(s\text{.}\) En la siguiente actividad, exploramos ideas similares con funciones de valor vectorial.

Actividad 9.7.6

Supongamos que un objeto en movimiento en el espacio tiene su velocidad dada por

\[ \mathbf{v}(t) = (-2\sin(2t)) \mathbf{i}+ (2 \cos(t)) \mathbf{j} + \left(1 - \frac{1}{1+t}\right) \mathbf{k}. \nonumber \]

En la Figura 9.7.6 se muestra una gráfica de la posición del objeto para los tiempos\(t\) de entrada.\([-0.5,3]\) Supongamos además que el objeto está en el punto\((1.5,-1,0)\) en el momento\(t=0\text{.}\)

1. Determinar\(\mathbf{a}(t)\text{,}\) la aceleración del objeto en el momento\(t\text{.}\)
2. Determinar\(\mathbf{r}(t)\text{,}\) la posición del objeto en el momento\(t\text{.}\)
3. Calcular y esbozar los vectores de posición, velocidad y aceleración del objeto en el momento\(t=1\text{,}\) utilizando la Figura 9.7.6.
4. Finalmente, determinar la ecuación vectorial para la línea tangente, es\(\mathbf{L}(t)\text{,}\) decir, tangente a la curva de posición en\(t = 1\text{.}\)

Figura 9.7.6. El gráfico de posición para la función en la Actividad 9.7.6.

9.7.5 Movimiento del proyectil

Cada vez que un objeto es lanzado al aire con una velocidad y ángulo de lanzamiento dados, la trayectoria que recorre el objeto está determinada casi exclusivamente por la fuerza de la gravedad. Ya sea en deportes como tiro con arco o escopeta, en aplicaciones militares con artillería, o en campos importantes como la extinción de incendios, es importante poder saber cuándo y dónde aterrizará un proyectil lanzado. Podemos utilizar nuestro conocimiento de las funciones vectoriales para determinar completamente la trayectoria recorrida por un objeto que se lanza desde una posición dada en un ángulo dado desde la horizontal con una velocidad inicial dada.

Figura 9.7.7. Movimiento de proyectiles.

Supongamos que disparamos un proyectil desde un lanzador y la única fuerza que actúa sobre el objeto disparado es la fuerza de gravedad que tira hacia abajo sobre el objeto. Es decir, no asumimos ningún efecto debido a la resistencia al giro, al viento o al aire. Con estos supuestos, el movimiento del objeto será plano, por lo que también podemos suponer que el movimiento ocurre en el espacio bidimensional. Supongamos que lanzamos el objeto desde una posición inicial\((x_0, y_0)\) en ángulo\(\theta\) con el\(x\) eje positivo como se ilustra en la Figura 9.7.7, y que disparamos el objeto con una velocidad inicial de\(v_0 = |\mathbf{v}(0)|\text{,}\) donde\(\mathbf{v}(t)\) está el vector de velocidad del objeto en el momento\(t\text{.}\) Supongamos \(g\)es la fuerza de aceleración constante positiva debida a la gravedad, que actúa para tirar del objeto disparado hacia el suelo (en la\(y\) dirección negativa). Obsérvese particularmente que no existe una fuerza externa que actúe sobre el objeto para moverlo en la\(x\) dirección.

Primero observamos que dado que la gravedad solo actúa en dirección descendente y que la aceleración debida a la gravedad es constante, el vector de aceleración es Es\(\langle 0, -g \rangle\text{.}\) decir,\(\mathbf{a}(t) = \langle 0, -g \rangle\text{.}\) podemos usar este hecho sobre la aceleración, junto con la posición inicial y la velocidad inicial para determinar completamente la posición\(\mathbf{r}(t)\) del objeto en el momento\(t\text{.}\) En el Ejercicio 9.7.7.17, se puede trabajar a través de los detalles para mostrar que se mantiene la siguiente fórmula general.

El movimiento de un proyectil

Si un objeto se lanza desde un punto\((x_0,y_0)\) con velocidad inicial\(v_0\) en un ángulo\(\theta\) con la horizontal, entonces la posición del objeto en el momento\(t\) viene dada por

\[ \mathbf{r}(t) = \left\langle v_0 \cos(\theta)t + x_0, -\frac{g}{2}t^2 + v_0 \sin(\theta)t + y_0 \right\rangle. \nonumber \]

Esto supone que la única fuerza que actúa sobre el objeto es la aceleración\(g\) debida a la gravedad.

9.7.6 Resumen

• Si\(\mathbf{r}\) es una función de valor vectorial, entonces la derivada de\(\mathbf{r}\) se define por
  \[ \mathbf{r}'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}{h} \nonumber \]

  para aquellos valores\(t\) en los que existe el límite, y se calcula por componentes mediante la fórmula

  \[ \mathbf{r}'(t) = x'(t) \mathbf{i} + y'(t) \mathbf{j} + z'(t) \mathbf{k} \nonumber \]

  para aquellos valores de\(t\) a los que\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\) son diferenciables, donde\(\mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j} + z(t) \mathbf{k}\text{.}\)

• La derivada\(\mathbf{r}'(t)\) de la función vectorizada nos\(\mathbf{r}\) dice la tasa instantánea de cambio de\(\mathbf{r}\) con respecto al tiempo, la\(t\text{,}\) cual puede interpretarse como un vector de dirección para la línea tangente a la gráfica de\(\mathbf{r}\) en el punto\(\mathbf{r}(t)\text{,}\) o también como la instantánea velocidad de un objeto que viaja a lo largo de la gráfica definida por\(\mathbf{r}(t)\) en el tiempo\(t\text{.}\)
• Una antiderivada de\(\mathbf{r}\) es una función con valor vectorial\(\mathbf{R}\) tal que\(\mathbf{R}'(t) = \mathbf{r}(t)\text{.}\) La integral indefinida\(\int \mathbf{r}(t) \ dt\) de una función valorada por vector\(\mathbf{r}\) es la antiderivada general de\(\mathbf{r}\) (que es una colección de todos los antiderivados de\(\mathbf{r}\text{,}\) con dos antiderivados cualesquiera difiriendo por a lo sumo un vector constante). Además, si\(\mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j}+ z(t) \mathbf{k}\text{,}\) entonces
  \[ \int \mathbf{r}(t) \ dt = \left(\int x(t) \ dt\right) \mathbf{i} + \left( \int y(t) \ dt \right) \mathbf{j} + \left(\int z(t) \ dt\right) \mathbf{k}. \nonumber \]
• Si un objeto se lanza desde un punto\((x_0,y_0)\) con velocidad inicial\(v_0\) en un ángulo\(\theta\) con la horizontal, entonces la posición del objeto en el momento\(t\) viene dada por
  \[ \mathbf{r}(t) = \left\langle v_0 \cos(\theta)t + x_0, -\frac{g}{2}t^2 + v_0 \sin(\theta)t + y_0 \right\rangle, \nonumber \]

  siempre que la única fuerza que actúa sobre el objeto sea la aceleración\(g\) debida a la gravedad.