11.6: Superficies definidas paramétricamente y área superficial

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es una parametrización de una superficie?
• ¿Cómo encontramos el área de superficie de una superficie definida paramétricamente?

Ahora hemos estudiado a lo largo cómo las curvas en el espacio pueden definirse paramétricamente por funciones de la forma\(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle\text{,}\) y las superficies pueden ser representadas por funciones\(z = f(x,y)\text{.}\) En lo que sigue, veremos cómo podemos definir también superficies paramétricamente. Una curva unidimensional en el espacio resulta de una función vectorial que se basa en un parámetro, por lo que una superficie bidimensional implica naturalmente el uso de dos parámetros. Si\(x = x(s, t)\text{,}\)\(y = y(s, t)\text{,}\) y\(z = z(s, t)\) son funciones de parámetros independientes\(s\) y\(t\text{,}\) luego los puntos terminales de todos los vectores de la forma

\[ \mathbf{r}(s, t) = x(s, t) \mathbf{i} + y(s, t) \mathbf{j} + z(s, t) \mathbf{k} \nonumber \]

formar una superficie en el espacio. Las ecuaciones\(x=x(s,t)\text{,}\)\(y=y(s,t)\text{,}\) y\(z=z(s,t)\) son las ecuaciones paramétricas para la superficie, o una parametrización de la superficie. En Preview Activity 11.6.1 investigamos cómo parametrizar un cilindro y un cono.

Vista previa de Actividad 11.6.1

Recordemos la parametrización estándar del círculo unitario que viene dada por

\[ x(t) = \cos(t) \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ y(t) = \sin(t), \nonumber \]

donde\(0 \le t \le 2\pi\text{.}\)

1. Determinar una parametrización del círculo de radio 1 en\(\mathbb{R}^3\) que tiene su centro en\((0,0,1)\) y se encuentra en el plano\(z=1\text{.}\)
2. Determinar una parametrización del círculo de radio 1 en 3-espacio que tiene su centro en\((0,0,-1)\) y se encuentra en el plano\(z=-1\text{.}\)
3. Determinar una parametrización del círculo de radio 1 en 3-espacio que tiene su centro en\((0,0,5)\) y se encuentra en el plano\(z=5\text{.}\)
4. Teniendo en cuenta sus respuestas en (a), (b) y (c), describa la gráfica que resulta del conjunto de ecuaciones paramétricas
   \[ x(s,t) = \cos(t), \ \ \ \ y(s,t) = \sin(t), \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ z(s,t) = s, \nonumber \]

   donde\(0 \le t \le 2\pi\) y\(-5 \le s \le 5\text{.}\) Explica tu pensamiento.

5. Así como un cilindro puede verse como una “pila” de círculos de radio constante, un cono puede verse como una pila de círculos con radio variable. Modifique las parametrizaciones de los círculos anteriores para construir la parametrización de un cono cuyo vértice se encuentra en el origen, cuyo radio base es 4, y cuya altura es 3, donde la base del cono se encuentra en el plano\(z = 3\text{.}\) Usa la tecnología apropiada para trazar las ecuaciones paramétricas que desarrolles. (Pista: Las secciones transversales paralelas al\(xy\) plano son círculos, con los radios que varían linealmente a medida que\(z\) aumenta).

11.6.1 Superficies paramétricas

En una configuración de variable única, cualquier función puede tener su gráfica expresada paramétricamente. Por ejemplo, dada\(y = g(x)\text{,}\) al considerar la parametrización\(\langle t, g(t) \rangle\) (donde\(t\) pertenece al dominio de\(g\)), generamos la misma curva. Lo que es más importante es que ciertas curvas que no son funciones pueden representarse paramétricamente; por ejemplo, el círculo (que no puede ser representado por una sola función) puede ser parametrizado por\(\langle \cos(t), \sin(t) \rangle\text{,}\) donde\(0 \le t \le 2\pi\text{.}\)

De la misma manera, en un ajuste de dos variables, la superficie\(z = f(x,y)\) puede expresarse paramétricamente considerando

\[ \langle x(s,t), y(s,t), z(s,t) \rangle = \langle s, t, f(s,t) \rangle, \nonumber \]

donde\((s,t)\) varía a lo largo de todo el dominio de\(f\text{.}\) Por lo tanto, cualquier superficie familiar que hayamos estudiado hasta ahora puede ser generada como una superficie paramétrica. Pero lo que es más potente es que hay superficies que no pueden ser generadas por una sola función\(z = f(x,y)\) (como la esfera unitaria), sino que se pueden representar paramétricamente. Consideramos ahora un ejemplo importante.

Ejemplo 11.6.1

Considere el toro (o donut) que se muestra en la Figura 11.6.2.

Figura 11.6.2. Un toro.

Para encontrar una parametrización de este toro, recordamos nuestro trabajo en Vista previa Actividad 11.6.1. Allí, vimos que un círculo de radio\(r\) que tiene su centro en el punto\((0,0,z_0)\) y está contenido en el plano horizontal\(z = z_0\text{,}\) como se muestra en la Figura 11.6.3, se puede parametrizar usando la función vectorizada\(\mathbf{r}\) definida por

\[ \mathbf{r}(t) = r\cos(t)\mathbf{i} + r\sin(t)\mathbf{j} + z_0\mathbf{k} \nonumber \]

donde\(0\leq t\leq 2\pi\text{.}\)

Figura 11.6.3. Un círculo en un plano horizontal centrado en\((0,0,z_0)\text{.}\)

Para obtener el toro en la Figura 11.6.2, comenzamos con un círculo de radio\(a\) en el\(xz\) plano -centrado en\((b,0)\text{,}\) como se muestra a la izquierda de la Figura 11.6.4. Podemos parametrizar los puntos en este círculo, usando el parámetro\(s\text{,}\) usando las ecuaciones

\[ x(s) = b + a\cos(s)\ \mbox{and} \ z(s) = a\sin(s), \nonumber \]

donde\(0\leq s \leq 2\pi\text{.}\)

Figura 11.6.4. Girar un círculo para obtener un toro.

Centremos nuestra atención en un punto sobre este círculo, como el punto indicado, que tiene coordenadas\((x(s), 0, z(s))\) para un valor fijo del parámetro\(s\text{.}\) Cuando este punto gira alrededor del\(z\) eje -eje, obtenemos un círculo contenido en un plano horizontal centrado en\((0,0,z(s))\) y que tiene radio \(x(s)\text{,}\)como se muestra a la derecha de la Figura 11.6.4. Si dejamos\(t\) ser el nuevo parámetro que genera el círculo para la rotación alrededor del\(z\) eje -eje, este círculo puede ser parametrizado por

\[ \mathbf{r}(s,t) = x(s)\cos(t)\mathbf{i} + x(s)\sin(t)\mathbf{j} + z(s)\mathbf{k}. \nonumber \]

Ahora usando nuestras ecuaciones paramétricas anteriores\(z(s)\) para\(x(s)\) y para el círculo más pequeño original, tenemos una parametrización general del toro dada por

\[ \mathbf{r}(s,t) =(b+a\cos(s))\cos(t)\mathbf{i} + (b+a\cos(s))\sin(t)\mathbf{j} + a\sin(s)\mathbf{k}. \nonumber \]

Para rastrear todo el toro, requerimos que los parámetros varíen a través de los valores\(0\leq s\leq 2\pi\) y\(0\leq t\leq 2\pi\text{.}\)

Actividad 11.6.2

En esta actividad, se busca una parametrización de la esfera de radio\(R\) centrada en el origen, como se muestra a la izquierda en la Figura 11.6.5. Observe que esta esfera se puede obtener girando un semicírculo contenido en el\(xz\) plano alrededor del\(z\) eje -como se muestra a la derecha.

Figura 11.6.5. Una esfera obtenida al girar un semicírculo.

1. Comience por escribir una parametrización de este semicírculo usando el parámetro\(s\text{:}\)
   \[ x(s) = \ldots \ \ \ \ \ \ \ \ \ z(s) = \ldots. \nonumber \]

   Asegúrese de indicar el dominio del parámetro\(s\text{.}\)

2. Al girar los puntos en este semicírculo alrededor del\(z\) eje -eje, obtener una parametrización\(\mathbf{r}(s,t)\) de los puntos en la esfera de radio\(R\text{.}\) Asegúrese de incluir el dominio de ambos parámetros\(s\) y\(t\text{.}\) (Pista: ¿Cuál es el radio del círculo obtenido al girar un punto en el ¿semicírculo alrededor del\(z\) eje?)
3. Dibuja la superficie definida por tu parametrización con la tecnología adecuada.

11.6.2 El área de superficie de las superficies definidas paramétricamente

Recordemos que una función diferenciable es localmente lineal —es decir, si ampliamos la superficie alrededor de un punto, la superficie se parece a su plano tangente. Ahora explotamos esta idea para determinar el área de superficie generada por una parametrización\(\langle x(s,t), y(s,t), z(s,t) \rangle\text{.}\) La idea básica es familiar: subdividiremos la superficie en pequeños trozos, en la forma aproximada de pequeños paralelogramos, y así estimar toda la superficie sumando las áreas de estos paralelogramos de aproximación. En última instancia, utilizamos una integral para sumar estas aproximaciones y determinar la superficie exacta.

Let

\[ \mathbf{r}(s,t) = x(s,t) \mathbf{i} + y(s,t) \mathbf{j} + z(s,t) \mathbf{k} \nonumber \]

definir una superficie sobre un dominio rectangular\(a \leq s \leq b\) y\(c \leq t \leq d\text{.}\) Como una función de dos variables,\(s\) y\(t\text{,}\) es natural considerar las dos derivadas parciales de la función de valor vectorial\(\mathbf{r}\text{,}\) que definimos por

\ begin {align*}\ mathbf {r} _s (s, t) & = x_s (s, t)\ mathbf {i} + y_s (s, t)\ mathbf {j} + z_s (s, t)\ mathbf {k}\\ [4pt]\ mathbf {r} _t (s, t) & = x_t (s, t)\ mathbf {i} + y_t (s, t)\ mathbf {j} + z_t (s, t)\ mathbf {k}. \ end {alinear*}

De la manera habitual, cortamos el dominio en pequeños rectángulos. En particular, particionamos el intervalo\([a,b]\) en\(m\) subintervalos de longitud\(\Delta s = \frac{b-a}{n}\) y dejamos\(s_0\text{,}\)\(s_1\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(s_m\) ser los puntos finales de estos subintervalos, donde\(a = s_0\lt s_1\lt s_2 \lt \cdots \lt s_m = b\text{.}\) También particionamos el intervalo\([c,d]\) en\(n\) subintervalos de igual longitud \(\Delta t = \frac{d-c}{n}\)y dejar\(t_0\text{,}\)\(t_1\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(t_n\) ser los puntos finales de estos subintervalos, donde\(c = t_0\lt t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n = d\text{.}\) Estas dos particiones crean una partición del rectángulo\(R = [a,b] \times [c,d]\) en\(st\) -coordenadas en\(mn\) sub-rectángulos\(R_{ij}\) con vértices opuestos\((s_{i-1},t_{j-1})\) y\((s_i, t_j)\) para\(i\) entre\(1\) y\(m\) y\(j\) entre\(1\) y Todos\(n\text{.}\) estos rectángulos tienen igual área\(\Delta A = \Delta s \cdot \Delta t\text{.}\)

Ahora queremos pensar en el pequeño trozo de área en la propia superficie que se encuentra por encima de uno de estos pequeños rectángulos en el dominio. Observe que si\(s\) aumentamos en una pequeña cantidad\(\Delta s\) desde el punto\((s_{i-1},t_{j-1})\) en el dominio, entonces\(\mathbf{r}\) cambia aproximadamente de\(\mathbf{r}_s(s_{i-1},t_{j-1}) \Delta s\text{.}\) manera similar, si\(t\) aumentamos en una pequeña cantidad\(\Delta t\) desde el punto\((s_{i-1},t_{j-1})\text{,}\) entonces\(\mathbf{r}\) cambia en aproximadamente \(\mathbf{r}_t(s_{i-1},t_{j-1}) \Delta t\text{.}\)Así podemos aproximar la superficie definida por\(\mathbf{r}\) sobre el\(st\) -rectángulo\([s_{i-1},s_i] \times [t_{j-1}, t_{j}]\) con el paralelogramo determinado por los vectores\(\mathbf{r}_s(s_{i-1},t_{j-1}) \Delta s\) y\(\mathbf{r}_t(s_{i-1},t_{j-1}) \Delta t\text{,}\) como se ve en la Figura 11.6.6.

Figura 11.6.6. Área de superficie de aproximación con un paralelogramo.

Decir que el pequeño paralelogramo tiene área\(S_{ij}\text{.}\) Si podemos encontrar su área, entonces todo lo que queda es sumar las áreas de todos los paralelogramos generados y tomar un límite. Recordemos de nuestro trabajo anterior en el curso que dado dos vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{,}\) el área del paralelogramo abarcó por\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) está dada por la magnitud de su producto cruzado,\(| \mathbf{u} \times \mathbf{v}|\text{.}\) En el presente contexto, se deduce que el área,\(S_{ij}\text{,}\) del paralelogramo determinado por los vectores\(\mathbf{r}_s(s_{i-1},t_{j-1}) \Delta s\) y\(\mathbf{r}_t(s_{i-1},t_{j-1}) \Delta t\) es

\ begin {align} S_ {ij} & = | (\ mathbf {r} _s (s_ {i-1}, t_ {j-1})\ Delta s)\ veces (\ mathbf {r} _t (s_ {i-1}, t_ {j-1})\ Delta t) |\ notag\\ [4pt] & = |\ mathbf {r} _s (s_ {i-1}, t_ {j-1})\ veces\ mathbf {r} _t (s_ {i-1}, t_ {j-1}) |\ Delta s\ Delta t,\ etiqueta {eq_11_6_parallelogram_area}\ etiqueta {11.6.1}\ end {align}

donde esta última igualdad se basa en las propiedades estándar del producto cruzado y la longitud.

Sumamos las aproximaciones del área superficial de la Ecuación (11.6.1) sobre todos los subrectángulos para obtener una estimación del área de superficie total,\(S\text{,}\) dada por

\[ S \approx \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |\mathbf{r}_s(s_{i-1},t_{j-1}) \times \mathbf{r}_t(s_{i-1},t_{j-1})| \Delta s \Delta t. \nonumber \]

Tomando el límite como\(m, n \to \infty\) muestra que el área superficial de la superficie definida por\(\mathbf{r}\) sobre el dominio\(D\) se da de la siguiente manera.

Superficie

Dejar\(\mathbf{r}(s,t) = \langle x(s,t), y(s,t), z(s,t) \rangle\) ser una parametrización de una superficie lisa sobre un dominio\(D\text{.}\) El área de la superficie definida por\(\mathbf{r}\) on\(D\) está dada por

\[ S = \iint_D |\mathbf{r}_s \times \mathbf{r}_t | \ dA.\label{E_surface_area}\tag{11.6.2} \]

Actividad 11.6.3

Considere el cilindro con radio\(a\) y altura\(h\) definidos paramétricamente por

\[ \mathbf{r}(s,t) = a\cos(s) \mathbf{i} + a\sin(s) \mathbf{j} + t \mathbf{k} \nonumber \]

para\(0 \leq s \leq 2\pi\) y\(0 \leq t \leq h\text{,}\) como se muestra en la Figura 11.6.7.

Figura 11.6.7. Un cilindro.

1. Configure una integral iterada para determinar el área de superficie de este cilindro.
2. Evaluar la integral iterada.
3. Recordemos que una forma de pensar sobre el área superficial de un cilindro es cortar el cilindro horizontalmente y encontrar el perímetro del círculo de sección transversal resultante, luego multiplicar por la altura. Calcule el área de superficie del cilindro dado utilizando este enfoque alternativo, y compare su trabajo en (b).

Como señalamos anteriormente, podemos tomar cualquier superficie\(z = f(x,y)\) y generar una parametrización correspondiente para la superficie escribiendo\(\langle s, t, f(s,t) \rangle\text{.}\) De ahí que podamos utilizar nuestro trabajo reciente con superficies definidas paramétricamente para encontrar el área superficial que se genera por una función\(f = f(x,y)\) sobre un dominio dado.

Actividad 11.6.4

Vamos a\(z = f(x,y)\) definir una superficie lisa, y considerar la parametrización correspondiente\(\mathbf{r}(s,t) = \langle s, t, f(s,t) \rangle\text{.}\)

1. Dejar\(D\) ser una región en el dominio de\(f\text{.}\) Usando la Ecuación (11.6.2), mostrar que el área,\(S\text{,}\) de la superficie definida por la gráfica de\(f\) más\(D\) es
   \[ S = \iint_D \sqrt{\left(f_x(x,y)\right)^2 + \left(f_y(x,y)\right)^2 + 1} \ dA. \nonumber \]
2. Utilice la fórmula desarrollada en (a) para calcular el área de la superficie definida por\(f(x,y) = \sqrt{4-x^2}\) sobre el rectángulo\(D = [-2,2] \times [0,3]\text{.}\)
3. Observe que la superficie del sólido descrito en (b) es la mitad de un cilindro circular. Utilice la fórmula estándar para el área de superficie de un cilindro para calcular el área de superficie de una manera diferente y compare su resultado de (b).

11.6.3 Resumen

• Una parametrización de una curva describe las coordenadas de un punto en la curva en términos de un solo parámetro\(t\text{,}\) mientras que una parametrización de una superficie describe las coordenadas de puntos en la superficie en términos de dos parámetros independientes.
• Si\(\mathbf{r}(s,t) = \langle x(s,t), y(s,t), z(s,t) \rangle\) describe una superficie lisa en 3 espacios en un dominio,\(D\text{,}\) entonces el área,\(S\text{,}\) de esa superficie viene dada por
  \[ S = \iint_D |\mathbf{r}_s \times \mathbf{r}_t| \ dA. \nonumber \]