11.7: Integrales triples

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo se\(f = f(x,y,z)\) definen una suma triple de Riemann y la triple integral correspondiente de una función continua?
• ¿Cuáles son dos cosas que nos puede decir la triple integral de una función?

Ahora hemos aprendido que definimos la doble integral de una función continua\(f = f(x,y)\) sobre un rectángulo\(R = [a,b] \times [c,d]\) como un límite de una doble suma de Riemann, y que estas ideas son paralelas a la integral de una sola variable de una función\(g = g(x)\) en un intervalo\([a,b]\text{.}\) Además, esta doble integral tiene natural interpretaciones y aplicaciones, e incluso puede considerarse sobre regiones no rectangulares.\(D\text{.}\) Por ejemplo, dada una función continua\(f\) sobre una región,\(D\text{,}\) el valor promedio de\(f\text{,}\)\(f_{\operatorname{AVG}(D)}\text{,}\) viene dado por

\[ f_{\operatorname{AVG}(D)} = \frac{1}{A(D)} \iint_D f(x,y) \, dA, \nonumber \]

donde\(A(D)\) está el área de\(D\text{.}\) Asimismo, si se\(\delta(x,y)\) describe una función de densidad de masa sobre una lámina sobre\(D\text{,}\) la masa,\(M\text{,}\) de la lámina viene dada por

\[ M = \iint_D \delta(x,y) \, dA. \nonumber \]

Es natural preguntarse si es posible extender estas ideas de dobles sumas de Riemann y dobles integrales para funciones de dos variables para triplicar sumas de Riemann y luego triplicar integrales para funciones de tres variables. Comenzamos a investigar en Vista previa Actividad 11.7.1.

Vista previa de Actividad 11.7.1

Considera una pieza sólida de granito en forma de caja\(B = \{(x,y,z) : 0 \leq x \leq 4, 0 \leq y \leq 6, 0 \leq z \leq 8\}\text{,}\) cuya densidad varía de punto a punto. Dejar\(\delta(x, y, z)\) representar la densidad de masa de la pieza de granito en punto\((x,y,z)\) en kilogramos por metro cúbico (así estamos midiendo\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\) en metros). Nuestro objetivo es encontrar la masa de este sólido.

Recordemos que si la densidad era constante, podríamos encontrar la masa multiplicando la densidad y el volumen; ya que la densidad varía de punto a punto, utilizaremos el enfoque que hicimos con problemas de lámina bivariables, y cortaremos el sólido en trozos pequeños sobre los cuales la densidad es aproximadamente constante.

Divida el intervalo\([0,4]\) en 2 subintervalos de igual longitud, el intervalo\([0,6]\) en 3 subintervalos de igual longitud y el intervalo\([0,8]\) en 2 subintervalos de igual longitud. Esto divide la caja\(B\) en subcajas como se muestra en la Figura 11.7.1.

Figura 11.7.1. Un dominio tridimensional particionado.

1. Dejar\(0=x_0 \lt x_1 \lt x_2=4\) ser los puntos finales de los subintervalos de\([0,4]\) después de particionar. Dibuja una imagen de la Figura 11.7.1 y etiquete estos puntos finales en su dibujo. Hacer lo mismo con\(0=y_0 \lt y_1 \lt y_2 \lt y_3=6\) y\(0=z_0 \lt z_1 \lt z_2=8\) ¿Cuál es la longitud\(\Delta x\) de cada subintervalo\([x_{i-1},x_i]\) para\(i\) de 1 a 2? la longitud\(\Delta y\text{?}\) de\(\Delta z\text{?}\)
2. Las particiones de los intervalos\([0,4]\text{,}\)\([0,6]\) y la\([0,8]\) partición de la caja\(B\) en sub-cajas. ¿Cuántas sub-cajas hay? ¿Qué es el volumen\(\Delta V\) de cada sub-caja?
3. Dejar\(B_{ijk}\) denotar la sub-casilla\([x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1},y_j] \times [z_{k-1}, z_k]\text{.}\) Digamos que elegimos un punto\((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)\) en el\(i,j,k\) th sub-box para cada combinación posible de\(i,j,k\text{.}\) ¿Cuál es el significado de\(\delta(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)\text{?}\) ¿Qué cantidad física se\(\delta(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \Delta V\) aproximará?
4. ¿Qué paso (s) final (s) tomaría (n) para determinar la masa exacta de la pieza de granito?

11.7.1 Sumas triples de Riemann e Integrales triples

Mediante la aplicación de una distribución de densidad de masa sobre un sólido tridimensional, la Actividad Preview 11.7.1 sugiere que la generalización de sumas dobles de Riemann de funciones de dos variables a sumas triples de Riemann de funciones de tres variables es natural. De la misma manera, también lo es la generalización de dobles integrales a triples integrales. Simplemente agregando una\(z\) coordenada a nuestro trabajo anterior, podemos definir tanto una suma triple de Riemann como la triple integral correspondiente.

Definición 11.7.2

Let\(f = f(x,y,z)\) be a continuous function on a box\(B = [a,b] \times [c,d] \times [r,s]\text{.}\) La triple suma de Riemann de\(f\) over\(B\) se crea de la siguiente manera.

• Particionar el intervalo\([a,b]\) en\(m\) subintervalos de igual longitud\(\Delta x = \frac{b-a}{m}\text{.}\) Let\(x_0\text{,}\)\(x_1\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(x_m\) be los puntos finales de estos subintervalos, donde\(a = x_0\lt x_1\lt x_2 \lt \cdots \lt x_m = b\text{.}\) Hacer lo mismo con el intervalo\([c,d]\) usando\(n\) subintervalos de igual longitud\(\Delta y = \frac{d-c}{n}\) a generar\(c = y_0\lt y_1\lt y_2 \lt \cdots \lt y_n = d\text{,}\) y con el intervalo\([r,s]\) usando\(\ell\) subintervalos de igual longitud\(\Delta z = \frac{s-r}{\ell}\) para tener\(r = z_0\lt z_1\lt z_2 \lt \cdots \lt z_l = s\text{.}\)
• Dejar\(B_{ijk}\) ser la sub-caja de\(B\) con vértices opuestos\((x_{i-1},y_{j-1},z_{k-1})\) y\((x_i, y_j, z_k)\) para\(i\) entre\(1\) y\(m\text{,}\)\(j\) entre\(1\) y\(n\text{,}\) y\(k\) entre 1 y\(\ell\text{.}\) El volumen de cada uno\(B_{ijk}\) es\(\Delta V = \Delta x \cdot \Delta y \cdot \Delta z\text{.}\)
• Dejar\((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)\) ser un punto en caja\(B_{ijk}\) para cada uno\(i\text{,}\)\(j\text{,}\) y\(k\text{.}\) La suma triple resultante de Riemann para\(f\) on\(B\) es
  \[ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{\ell} f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \cdot \Delta V. \nonumber \]

Si\(f(x,y,z)\) representa la densidad de masa de la caja\(B\text{,}\) entonces, como vimos en Vista previa Actividad 11.7.1, la suma triple de Riemann se aproxima a la masa total de la caja\(B\text{.}\) Para encontrar la masa exacta de la caja, necesitamos dejar que el número de subcajas aumente sin encuadernación (en otras palabras, vamos \(m\text{,}\)\(n\text{,}\)e\(\ell\) ir al infinito); en este caso, la suma finita de las aproximaciones de masa se convierte en la masa real del sólido\(B\text{.}\) Más generalmente, tenemos la siguiente definición de la triple integral.

Definición 11.7.3

Con la siguiente notación definida como en una suma triple de Riemann, la triple integral de\(f\) over\(B\) es

\[ \iiint_B f(x,y,z) \, dV = \lim_{m,n,\ell \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{\ell} f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \cdot \Delta V. \nonumber \]

Como señalamos anteriormente, si\(f(x, y, z)\) representa la densidad del sólido\(B\) en cada punto\((x, y, z)\text{,}\) entonces

\[ M = \iiint_B f(x,y,z) \, dV \nonumber \]

es la masa de\(B\text{.}\) Aún más importante, para cualquier función continua\(f\) sobre el sólido\(B\text{,}\) podemos utilizar una triple integral para determinar el valor promedio de\(f\) más\(B\text{,}\)\(f_{\operatorname{AVG}(B)}\text{.}\) Observamos esta generalización de nuestro trabajo con funciones de dos variables junto con varias otros en la siguiente información importante en caja. Obsérvese que cada una de esas cantidades puede considerarse realmente sobre un dominio general,\(\mathbb{R}^3\text{,}\) no simplemente\(S\) en una caja,\(B\text{.}\)

• La triple integral
  \[ \displaystyle V(S) = \iiint_S 1 \, dV \nonumber \]

  representa el volumen del sólido\(S\).

• El valor promedio de la función\(f = f(x,y,x)\) sobre un dominio sólido\(S\) viene dado por
  \[ f_{\operatorname{AVG}(S)} = \displaystyle \left(\frac{1}{V(S)} \right) \iiint_S f(x,y,z) \, dV, \nonumber \]

  donde\(V(S)\) esta el volumen del solido\(S\text{.}\)

• El centro de masa del sólido\(S\) con densidad\(\delta = \delta(x,y,z)\) es\((\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})\text{,}\) donde
  \ begin {alinear*}\ overline {x} & =\ frac {\ IIint_s x\\ delta (x, y, z)\, dV} {M},\\ [4pt]\ overline {y} & =\ frac {\ iiint_s y\\ delta (x, y, z)\, dV} {M},\\ [4pt]\ overline z} & =\ frac {\ IIint_s z\\ delta (x, y, z)\, dV} {M},\ end {align*}

  y\(M = \displaystyle \iiint_S \delta(x,y,z) \, dV\) es la masa del sólido\(S\text{.}\)

En el sistema de coordenadas cartesianas, el elemento volumen\(dV\) es\(dz \, dy \, dx\text{,}\) y, como consecuencia, una triple integral de una función\(f\) sobre una caja\(B = [a,b] \times [c,d] \times [r,s]\) en coordenadas cartesianas puede evaluarse como una integral iterada de la forma

\[ \iiint_B f(x,y,z) \, dV = \int_a^b \int_c^d \int_r^s f(x,y,z) \, dz \, dy \, dx. \nonumber \]

Si queremos evaluar una triple integral como una integral iterada sobre un sólido\(S\) que no es una caja, entonces necesitamos describir el sólido en términos de límites variables.

Actividad 11.7.2

a. Configurar y evaluar la triple integral de\(f(x,y,z) = x-y+2z\) sobre la caja\(B = [-2,3] \times [1,4] \times [0,2]\text{.}\)

b.\(S\) Sea el cono sólido delimitado por\(z = \sqrt{x^2+y^2}\) y\(z=3\text{.}\) Una imagen de\(S\) se muestra a la derecha en la Figura 11.7.4. Nuestro objetivo en lo que sigue es configurar una integral iterada de la forma

\[ \int_{x=?}^{x=?} \int_{y=?}^{y=?} \int_{z=?}^{z=?} \delta(x,y,z) \, dz \, dy \, dx\label{eq_11_7_TI_not_box}\tag{11.7.1} \]

para representar la masa de\(S\) en el escenario donde nos\(\delta(x,y,z)\) dice la densidad de\(S\) en el punto\((x,y,z)\text{.}\) Nuestra tarea particular es encontrar los límites en cada una de las tres integrales.

Figura 11.7.4. Izquierda: El cono. Derecha: Su proyección.

i. Si pensamos en cortar el sólido, podemos considerar cortar el dominio de la proyección del sólido en el\(xy\) plano (tal como cortaríamos una región bidimensional en\(\mathbb{R}^2\)), y luego cortar en la\(z\) dirección también. La proyección del sólido sobre el\(xy\) plano se muestra a la izquierda en la Figura 11.7.4. Si decidimos cortar primero el dominio de la proyección del sólido perpendicular al\(x\) eje -eje, ¿sobre qué rango de\(x\) valores constantes tendríamos que cortar?

ii. Si continuamos con el corte del dominio, ¿cuáles son los límites\(y\) en una rebanada típica? ¿Cómo dependen estos de\(x\text{?}\) ¿Cuáles son, por tanto, los límites a la integral media?

iii. Por último, ahora que hemos pensado en cortar el dominio bidimensional que es la proyección del cono, ¿cuáles son los límites\(z\) en la integral más interna? Tenga\((x,y)\) en cuenta que sobre cualquier punto del plano, un corte vertical en la\(z\) dirección implicará un rango de valores desde el cono mismo hasta su parte superior plana. En particular, observar que al menos uno de estos límites no es constante sino que depende de\(x\) y\(y\text{.}\)

iv. En conclusión, escribir una integral iterada de la forma (11.7.1) que represente la masa del cono\(S\text{.}\)

Nota bien: Al configurar integrales iteradas, los límites de una variable dada pueden ser solo en términos de las variables restantes. Además, hay múltiples formas diferentes que podemos elegir para configurar una integral de este tipo. Por ejemplo, dos posibilidades para integrales iteradas que representan una triple integral\(\iiint_S f(x,y,z) \, dV\) sobre un sólido\(S\) son

• \(\displaystyle \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z) \, dz \, dy \, dx\)
• \(\displaystyle \int_r^s \int_{p_1(z)}^{p_2(z)} \int_{q_1(x,z)}^{q_2(x,z)} f(x,y,z) \, dy \, dx \, dz\)

donde\(g_1\text{,}\)\(g_2\text{,}\)\(h_1\text{,}\)\(h_2\text{,}\)\(p_1\text{,}\)\(p_2\text{,}\)\(q_1\text{,}\) y\(q_2\) son funciones de las variables indicadas. Hay otras cuatro opciones más allá de las dos aquí señaladas, ya que las variables\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(z\) pueden (teóricamente) estar dispuestas en cualquier orden. Por supuesto, en muchas circunstancias, una elección perspicaz del orden variable hará que sea más fácil configurar una integral iterada, tal como fue el caso cuando trabajamos con integrales dobles.

Ejemplo 11.7.5

Encuentra la masa del tetraedro en el primer octante delimitado por los planos de coordenadas y el plano\(x + 2 y + 3 z = 6\) si la densidad en el punto\((x,y,z)\) viene dada por\(\delta(x, y, z) = x + y + z\text{.}\) Una imagen del tetraedro sólido se muestra a la izquierda en la Figura 11.7.6.

Figura 11.7.6. Izquierda: El tetraedro. Derecha: Su proyección.

Encontramos la masa,\(M\text{,}\) del tetraedro por la triple integral

\[ M = \iiint_S \delta(x,y,z) \, dV, \nonumber \]

donde\(S\) está el tetraedro sólido descrito anteriormente. En este ejemplo, elegimos integrarnos con respecto a\(z\) primero para la integral más interna. La parte superior del tetraedro viene dada por la ecuación

\[ x + 2 y + 3 z = 6; \nonumber \]

resolviendo para\(z\) luego rendimientos

\[ z = \frac{1}{3}(6 - x - 2y). \nonumber \]

La parte inferior del tetraedro es el\(xy\) -plano, por lo que los límites\(z\) en la integral iterada serán\(0 \leq z \leq \frac{1}{3}(6-x-2y)\text{.}\)

Para encontrar los límites\(x\) y\(y\) proyectamos el tetraedro sobre el\(xy\) plano; esto corresponde a establecer\(z = 0\) en la ecuación\(z = \frac{1}{3}(6 - x - 2y)\text{.}\) La relación resultante entre\(x\) y\(y\) es

\[ x + 2 y = 6. \nonumber \]

La imagen derecha en la Figura 11.7.6 muestra la proyección del tetraedro sobre el\(xy\) plano.

Si elegimos integrar con respecto a\(y\) para la integral media en la integral iterada, entonces el límite inferior on\(y\) es el\(x\) eje -y el límite superior es la hipotenusa del triángulo. Tenga en cuenta que la hipotenusa une los puntos\((6,0)\)\((0,3)\) y y así lo tiene ecuación\(y = 3 - \frac{1}{2}x\text{.}\) Así, los límites en\(y\) son\(0 \leq y \leq 3 - \frac{1}{2}x\text{.}\) Finalmente, los\(x\) valores van de 0 a 6, por lo que la integral iterada que da la masa del tetraedro es

\[ M = \int_{0}^{6} \int_{0}^{3-(1/2)x} \int_{0}^{(1/3)(6-x-2y)} x+y+z \, dz \, dy \, dx.\label{eq_11_7_Tetrahedron_mass}\tag{11.7.2} \]

Evaluar la triple integral nos da

\ begin {align*} M & =\ int_ {0} ^ {6}\ int_ {0} ^ {3- (1/2) x}\ int_ {0} ^ {(1/3) (6-x-2y)} x+y+z\, dz\, dy\, dx\ [4pt] & =\ int_ {0} ^ {6}\ int_ {0} ^ {3 }- (1/2) x}\ izquierda [xz+yz+\ frac {z} {2}\ derecha]\ biggm|_ {0} ^ {(1/3) (6-x-2y)}\, dy\, dx\ [4pt] & =\ int_ {0} ^ {6}\ int_ {0} ^ {3- (1/2) x}\ frac {4} {3}} x -\ frac {5} {18} x^2 -\ frac {} { 9} xy +\ frac {2} {3} y -\ frac {4} {9} y^2 + 2\, dy\, dx\ [4pt] & =\ int_ {0} ^ {6}\ izquierda [\ frac {4} {3} xy -\ frac {5} {18} x^2y -\ frac {7} {18} xy^2 +\ frac {1} {3} y^2 -\ frac {4} {27} y^3 + 2y\ derecha]\ biggm|_ {0} ^ {3- (1/2) x}\, dx\\ [4pt] & =\ int_ {0} ^ {6} 5 +\ frac {1} {2} x -\ frac {7} {12} x^2 +\ frac {13} {216} x^3\, dx\\ [4pt] & amp; =\ izquierda [5x +\ frac {1} {4} x^2 -\ frac {7} {36} x^3 +\ frac {13} {864} x^4\ derecha]\ biggm|_ {0} ^ {6}\\ [4pt] & =\ frac {33} {2}. \ end {align*}

Establecer límites en integrales iteradas puede requerir una considerable intuición geométrica. Es importante no sólo crear figuras cuidadosamente etiquetadas, sino también pensar en cómo deseamos cortar el sólido. Además, tenga en cuenta que cuando decimos “integraremos primero con respecto a\(x\text{,}\)” por “primero” nos estamos refiriendo a la integral más interna en la integral iterada. La siguiente actividad explora varias formas diferentes en las que podríamos configurar la integral en el ejemplo anterior.

Actividad 11.7.3

Hay varias otras formas en las que podríamos haber configurado la integral para dar la masa del tetraedro en el Ejemplo 11.7.5.

1. ¿Cuántas integrales iteradas diferentes podrían configurarse que son iguales a la integral en la Ecuación (11.7.2)?
2. Establecer una integral iterada, integrando primero con respecto a\(z\text{,}\)\(x\text{,}\) luego\(y\) que sea equivalente a la integral en la Ecuación (11.7.2). Antes de anotar la integral, piense en la Figura 11.7.6, y dibuje una imagen bidimensional apropiada de una proyección importante.
3. Establecer una integral iterada, integrando primero con respecto a\(y\text{,}\)\(z\text{,}\) luego\(x\) que sea equivalente a la integral en la Ecuación (11.7.2). Al igual que en (b), piense detenidamente en la geometría primero.
4. Establecer una integral iterada, integrando primero con respecto a\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) luego\(z\) que sea equivalente a la integral en la Ecuación (11.7.2).

Ahora que hemos comenzado a entender cómo configurar triples integrales iteradas, podemos aplicarlas para determinar cantidades importantes, como las que se encuentran en la siguiente actividad.

Actividad 11.7.4

Un sólido\(S\) está delimitado por debajo por el cuadrado\(z=0\text{,}\)\(-1 \leq x \leq 1\text{,}\)\(-1 \leq y \leq 1\) y arriba por la superficie\(z = 2-x^2-y^2\text{.}\) Una imagen del sólido se muestra en la Figura 11.7.7.

Figura 11.7.7. El sólido delimitado por la superficie\(z = 2-x^2-y^2\text{.}\)

1. Primero, establezca una doble integral iterada para encontrar el volumen del sólido\(S\) como una doble integral de un sólido debajo de una superficie. Luego configura una triple integral iterada que dé el volumen del sólido\(S\text{.}\) No es necesario evaluar ninguna integral. Compara los dos enfoques.
2. Configurar (pero no evaluar) expresiones integrales iteradas que nos indiquen el centro de masa de\(S\text{,}\) si la densidad en el punto\((x,y,z)\) es\(\delta(x,y,z)=x^2+1\text{.}\)
3. Configure (pero no evalúe) una integral iterada para encontrar la densidad promedio al\(S\) usar la función de densidad de la parte (b).
4. Usa la tecnología apropiadamente para evaluar las integrales iteradas que determinaste en (a), (b) y (c); ¿tiene sentido la ubicación que determinaste para el centro de masa?

11.7.2 Resumen

• Dejar\(f = f(x,y,z)\) ser una función continua en una caja\(B = [a,b] \times [c,d] \times [r,s]\text{.}\) La triple integral de\(f\) over\(B\) se define como
  \[ \iiint_B f(x,y,z) \, dV = \lim_{\Delta V \to 0} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^l f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \cdot \Delta V, \nonumber \]

  donde la suma triple de Riemann se define de la manera habitual. La definición de la triple integral se extiende naturalmente a regiones sólidas no rectangulares\(S\text{.}\)

• La triple integral nos\(\iiint_S f(x,y,z) \, dV\) puede decir
  • el volumen del sólido\(S\) si\(f(x,y,z) = 1\text{,}\)
  • la masa del sólido\(S\) si\(f\) representa la densidad de\(S\) en el punto\((x,y,z)\text{.}\)

  Además,

  \[ f_{\operatorname{AVG}(S)} = \displaystyle \frac{1}{V(S)} \iiint_S f(x,y,z) \, dV, \nonumber \]

  es el valor promedio de\(f\) más\(S\text{.}\)