11.2: Integrales iteradas

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo evaluamos una doble integral sobre un rectángulo como una integral iterada y por qué funciona este proceso?

Recordemos que definimos la doble integral de una función continua\(f=f(x,y)\) sobre un rectanlge\(R = [a,b] \times [c,d]\) como

\[ \iint_R f(x,y) \, dA = \lim_{m,n \to \infty} \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f\left(x_{ij}^*, y_{ij}^*\right) \cdot \Delta A, \nonumber \]

donde las diferentes variables y notación son como se describe en la Sección 11.1. Así\(\iint_R f(x,y) \, dA\) es un límite de sumas dobles de Riemann, pero si bien esta definición nos dice exactamente qué es una doble integral, no es muy útil para determinar el valor de una doble integral. Afortunadamente, hay una manera de ver una doble integral como una integral iterada, lo que hará factibles los cálculos en muchos casos.

El punto de vista de una integral iterada está estrechamente relacionado con una idea importante del cálculo de una sola variable. Cuando estudiamos sólidos de revolución, como el que se muestra en la Figura 11.2.1, vimos que en algunas circunstancias podíamos rebanar el sólido perpendicular a un eje y hacer que cada rebanada sea aproximadamente un disco circular. A partir de ahí, pudimos encontrar el volumen de cada disco, y luego usar una integral para agregar los volúmenes de las rebanadas. En lo que sigue, podemos utilizar integrales individuales para generalizar este enfoque para manejar formas geométricas aún más generales.

Figura 11.2.1. Un sólido de revolución.

Vista previa Actividad 11.2.1

Dejar\(f(x,y) = 25-x^2-y^2\) en el dominio rectangular\(R = [-3,3] \times [-4,4]\text{.}\)

Al igual que con las derivadas parciales, podemos tratar una de las variables in\(f\) como constante y pensar en la función resultante como una función de una sola variable. Ahora investigamos qué pasa si integramos en lugar de diferenciarnos.

1. Elija un valor fijo de\(x\) en el interior de\([-3,3]\text{.}\) Let
   \[ A(x) = \int_{-4}^4 f(x,y) \, dy. \nonumber \]

   Cuál es el significado geométrico del valor de\(A(x)\) relativo a la superficie definido por\(f\text{.}\) (Pista: Piense en la traza determinada por el valor fijo de\(x\text{,}\) y considere cómo\(A(x)\) se relaciona con la imagen a la izquierda en la Figura 11.2.2.)

   

   

   

   Figura 11.2.2. Izquierda: Una sección transversal con fijo\(x\text{.}\) Derecha: Una sección transversal con fijo\(x\) y\(\Delta x\text{.}\)

2. Para un valor fijo de\(x\text{,}\) decir\(x_i^*\text{,}\) cuál es el significado geométrico de\(A(x_i^*) \ \Delta x\text{?}\) (Pista: Considere cómo\(A(x_i^*) \Delta x\) se relaciona con la imagen a la derecha en la Figura 11.2.2.)
3. Dado que\(f\) es continuo en\(R\text{,}\) podemos definir la función\(A = A(x)\) en cada valor de\(x\) en\([-3,3]\text{.}\) Ahora piensa en subdividir el\(x\) -intervalo\([-3,3]\) en\(m\) subintervalos, y elegir un valor\(x_i^*\) en cada uno de esos subintervalos. Cuál será el significado de la suma\(\sum_{i=1}^m A(x_i^*) \ \Delta x\text{?}\)
4. Explicar por qué\(\int_{-3}^3 A(x) \, dx\) determinará el valor exacto del volumen bajo la superficie\(z = f(x,y)\) sobre el rectángulo\(R\text{.}\)

11.2.1 Integrales iteradas

Las ideas que exploramos en Preview Activity 11.2.1 funcionan de manera más general y conducen a la idea de una integral iterada. Dejar\(f\) ser una función continua en un dominio rectangular\(R = [a,b] \times [c,d]\text{,}\) y dejar

\[ A(x) = \int_c^d f(x,y) \, dy. \nonumber \]

La función\(A = A(x)\) determina el valor del área de sección transversal (por área nos referimos al área “firmada”) en la\(y\) dirección para el valor fijo\(x\) del sólido delimitado entre la superficie definida por\(f\) y el\(xy\) plano.

Figura 11.2.3. Sumando volúmenes de rebanadas de sección transversal.

El valor de esta área de sección transversal está determinado por la entrada\(x\) en\(A\text{.}\) Dado que\(A\) es una función de\(x\text{,}\) ello se deduce que podemos integrar\(A\) con\(x\text{.}\) respecto a Al hacerlo, usamos una partición de\([a, b]\) y hacemos una aproximación a la integral dada por

\[ \int_a^b A(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^m A(x_i^*) \Delta x, \nonumber \]

donde\(x_i^*\) es cualquier número en el subintervalo\([x_{i-1},x_i]\text{.}\) Cada término\(A(x_i^*) \Delta x\) en la suma representa una aproximación de un corte transversal fijo de la superficie en la\(y\) dirección con un ancho fijo de\(\Delta x\) como se ilustra en la Figura 11.2.3. Agregamos los volúmenes firmados de estos cortes como se muestra en los fotogramas de la Figura 11.2.3 para obtener una aproximación del volumen total firmado.

Al dejar que el número de subintervalos en la\(x\) dirección se acerque al infinito, podemos ver que la suma de Riemann se\(\sum_{i=1}^m A(x_i^*) \Delta x\) acerca a un límite y ese límite es la suma de volúmenes firmados delimitados por la función\(f\) on\(R\text{.}\) Por lo tanto, ya que en sí mismo\(A(x)\) está determinado por una integral, nosotros tener

\[ \iint_R f(x,y) \, dA = \lim_{m \to \infty} \sum_{i=1}^m A(x_i^*) \Delta x = \int_a^b A(x) \, dx = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) \, dy \right) \, dx. \nonumber \]

Por lo tanto, podemos calcular la doble integral de\(f\) over\(R\) integrando primero\(f\) con respecto a\(y\) on\([c, d]\text{,}\) luego integrando la función resultante de\(x\) con respecto a\(x\) on\([a, b]\text{.}\) La integral anidada

\[ \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) \, dy \right) \, dx = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx \nonumber \]

se llama integral iterada, y vemos que cada integral doble puede estar representada por dos integrales simples.

Hicimos la elección de integrar primero con respecto a\(y\text{.}\) El mismo argumento muestra que también podemos encontrar la doble integral como una integración integral iterada con respecto a\(x\) primero, o

\[ \iint_R f(x,y) \, dA = \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) \, dx \right) \, dy = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \, dx \, dy. \nonumber \]

El hecho de que la integración en cualquier orden dé como resultado el mismo valor se conoce como Teorema de Fubini.

Teorema de Fubini

Si\(f = f(x,y)\) es una función continua en un rectángulo\(R = [a,b] \times [c,d]\text{,}\) entonces

\[ \iint_R f(x,y) \, dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \, dx \, dy = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx. \nonumber \]

El teorema de Fubini nos permite evaluar integrales iteradas sin recurrir a la definición límite. En cambio, trabajando con una integral a la vez, podemos usar el Teorema Fundamental del Cálculo a partir del cálculo de una sola variable para encontrar el valor exacto de cada integral, comenzando por la integral interna.

Actividad 11.2.2

Dejar\(f(x,y) = 25-x^2-y^2\) en el dominio rectangular\(R = [-3,3] \times [-4,4]\text{.}\)

1. Viendo\(x\) como una constante fija, utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral
   \[ A(x) = \int_{-4}^4 f(x,y) \, dy. \nonumber \]

   Tenga en cuenta que se estará integrando con respecto\(y\text{,}\) y manteniendo\(x\) constante. Tu resultado debe ser una función de\(x\) solo.

2. A continuación, use su resultado de (a) junto con el Teorema Fundamental del Cálculo para determinar el valor de\(\int_{-3}^3 A(x) \, dx\text{.}\)
3. ¿Cuál es el valor de\(\iint_R f(x,y) \, dA\text{?}\) ¿Cuáles son dos formas diferentes en las que podemos interpretar el significado de este valor?

Actividad 11.2.3

Dejar\(f(x,y) = x+y^2\) en el rectángulo\(R = [0,2] \times [0,3]\text{.}\)

1. Evaluar\(\iint_R f(x,y) \, dA\) usando una integral iterada. Elija un orden de integración decidiendo si desea integrar primero con respecto a\(x\) o\(y\text{.}\)
2. Evalúe\(\iint_R f(x,y) \, dA\) utilizando la integral iterada cuyo orden de integración es el opuesto al orden que eligió en (a).

11.2.2 Resumen

• Podemos evaluar la doble integral\(\iint_R f(x,y) \, dA\) sobre un rectángulo\(R = [a,b] \times [c,d]\) como una integral iterada de una de dos maneras:
  • \(\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) \, dy \right) \, dx\text{,}\)o
  • \(\int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) \, dx \right) \, dy\text{.}\)

  Este proceso funciona porque cada integral interna representa un área transversal (firmada) y la integral externa luego suma todas las áreas transversales (firmadas). El Teorema de Fubini garantiza que el valor resultante es el mismo, independientemente del orden en que nos integremos.