11.9: Cambio de Variables

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es un cambio de variables?
• ¿Qué es el jacobiano y cómo se relaciona con un cambio de variables?

En el cálculo de una sola variable, encontramos la idea de un cambio de variable en una integral definida a través del método de sustitución. Por ejemplo, dada la integral definitiva

$$\int_0^2 2x(x^2+1)^3 \, dx, \nonumber$$

naturalmente consideramos el cambio de variable$u = x^2+1\text{.}$ A partir de esta sustitución, se deduce que$du = 2x \, dx\text{,}$$u = 1$ y desde$x = 0$$x = 2$ implica e implica$u = 5\text{,}$ hemos transformado la integral original$x$ en una nueva integral en$u\text{.}$ En particular,

$$\int_0^2 2x(x^2+1)^3 \, dx = \int_1^5 u^3 \, du. \nonumber$$

Esta última integral, por supuesto, es mucho más fácil de evaluar.

A través de nuestro trabajo con coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, ya hemos visto implícitamente algunos de los problemas que surgen al usar un cambio de variables con dos o tres variables presentes. En lo que sigue, se busca comprender las ideas generales detrás de cualquier cambio de variables en una integral múltiple.

Vista previa de Actividad 11.9.1

Considera la doble integral

$$I = \iint_D x^2+y^2 \, dA,\label{eq_11_9_COV_PA}\tag{11.9.1}$$

donde$D$ está la mitad superior del disco de la unidad.

1. 1. Escribe la doble integral$I$ dada en la Ecuación (11.9.1) como una integral iterada en coordenadas rectangulares.
   2. Escribe la doble integral$I$ dada en la Ecuación (11.9.1) como una integral iterada en coordenadas polares.
2. Cuando escribimos la doble integral (11.9.1) como una integral iterada en coordenadas polares hacemos un cambio de variables, a saber
   $$x = r \cos(\theta) \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ y = r \sin(\theta).\label{eq_11_9_pol_to_rect}\tag{11.9.2}$$

   También entonces tenemos que cambiar$dA$ a$r \, dr \, d\theta\text{.}$ Este proceso también identifica un “rectángulo polar”$[r_1, r_2] \times [\theta_1, \theta_2]$ con el rectángulo cartesiano original, bajo la transformación ¹ en la Ecuación (11.9.2). Los vértices del rectángulo polar se transforman en los vértices de una región cerrada y delimitada en coordenadas rectangulares.

   Para trabajar con un ejemplo numérico, consideremos ahora el rectángulo polar$P$ dado por$[1, 2] \times [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]\text{,}$ para que$r_1 = 1\text{,}$$r_2=2\text{,}$$\theta_1 = \frac{\pi}{6}\text{,}$ y$\theta_2 = \frac{\pi}{4}\text{.}$

   1. Utilice la transformación determinada por las ecuaciones en (11.9.2) para encontrar los vértices rectangulares que corresponden a los vértices polares en el rectángulo polar$P\text{.}$ En otras palabras, sustituyendo los valores apropiados de$r$ y$\theta$ en las dos ecuaciones en (11.9.2), encuentre los valores de la correspondientes$x$ y$y$ coordenadas para los vértices del rectángulo polar$P\text{.}$ Etiquetar el punto que corresponde al vértice polar$(r_1, \theta_1)$ como$(x_1, y_1)\text{,}$ el punto correspondiente al vértice polar$(r_2, \theta_1)$ como$(x_2, y_2)\text{,}$ el punto correspondiente al vértice polar$(r_1, \theta_2)$ as$(x_3, y_3)\text{,}$ y el punto correspondiente al vértice polar$(r_2, \theta_2)$ como$(x_4, y_4)\text{.}$
   2. Dibuja una imagen de la figura en coordenadas rectangulares que tenga los puntos$(x_1,y_1)\text{,}$$(x_2,y_2)\text{,}$$(x_3, y_3)\text{,}$ y$(x_4,y_4)$ como vértices. (Observe cuidadosamente que debido a las funciones trigonométricas en la transformación, esta región no se verá como un rectángulo cartesiano). ¿Cuál es el área de esta región en coordenadas rectangulares? ¿Cómo se compara esta área con el área del rectángulo polar original?

Una transformación es otro nombre para la función: aquí, las ecuaciones$x = r\cos(\theta)$ y$y = r\sin(\theta)$ definen una función$T$ por$T(r, \theta) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))$ lo que$T$ es una función (transformación) de$\mathbb{R}^2$ a$\mathbb{R}^2\text{.}$ Vemos esta transformación como mapear una versión del$xy$ -plano donde los ejes son vistos como representativos$r$ y$\theta$ (el$r \theta$ plano) al$xy$ plano familiar.

11.9.1 Cambio de Variables en Coordenadas Polares

La idea general detrás de un cambio de variables es sugerida por Preview Activity 11.9.1. Allí, vimos que en un cambio de variables de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, un rectángulo polar$[r_1, r_2] \times [\theta_1, \theta_2]$ se mapea a un rectángulo cartesiano bajo la transformación

$$x = r \cos(\theta) \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ y = r \sin(\theta). \nonumber$$

Los vértices del rectángulo polar$P$ se transforman en los vértices de una región cerrada y delimitada$P'$ en coordenadas rectangulares. Si vemos que el sistema de coordenadas estándar tiene el eje horizontal representado$r$ y el eje vertical representa$\theta\text{,}$ entonces el rectángulo polar nos$P$ aparece a la izquierda en la Figura 11.9.1. La imagen$P'$ del rectángulo polar$P$ bajo la transformación dada por (11.9.2) se muestra a la derecha en la Figura 11.9.1. Así vemos que existe una correspondencia entre una región simple (un rectángulo tradicional, en ángulo recto) y una región más complicada (una fracción de un anillo) bajo la función$T$ dada por$T(r, \theta) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))\text{.}$

Figura 11.9.1. Un rectángulo$P$ y su imagen$P'\text{.}$

Además, como sugiere la Actividad Preview 11.9.1, se deduce generalmente que para un rectángulo polar original$P = [r_1, r_2] \times [\theta_1, \theta_2]\text{,}$ el área del rectángulo transformado$P'$ viene dada por$\frac{r_2+r_1}{2} \Delta r \Delta \theta\text{.}$ Por lo tanto, como$\Delta r$ e$\Delta \theta$ ir a 0 esta área se convierte en el elemento de área familiar$dA = r \, dr \, d\theta$ en polar coordenadas. Cuando se procede a trabajar con otras transformaciones para diferentes cambios en las coordenadas, tenemos que entender cómo afecta la transformación al área para que podamos usar el elemento área correcta en el nuevo sistema de variables.

11.9.2 Cambio General de Coordenadas

Primero nos enfocamos en dobles integrales. Al igual que con las integrales simples, podemos simplificar una doble integral de la forma

$$\iint_D f(x,y) \, dA \nonumber$$

haciendo un cambio de variables (es decir, una sustitución) de la forma

$$x = x(s, t) \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ y = y(s, t) \nonumber$$

donde$x$ y$y$ son funciones de nuevas variables$s$ y$t\text{.}$ Esta transformación introduce una correspondencia entre un problema en el$xy$ plano -y uno en el$st$ plano -. Las ecuaciones$x=x(s,t)$ y$y=y(s,t)$ convertir$s$ y$t$ a$x$ y$y\text{;}$ llamamos a estas fórmulas el cambio de fórmulas variables. Para completar el cambio a las nuevas$s,t$ variables, necesitamos entender el elemento área,$dA\text{,}$ en este nuevo sistema. La siguiente actividad ayuda a ilustrar la idea.

Actividad 11.9.2

Considerar el cambio de variables

$$x = s + 2 t \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ y = 2 s + \sqrt{t}. \nonumber$$

Veamos qué pasa con el rectángulo$T = [0,1] \times [1,4]$ en el$st$ plano -bajo este cambio de variable.

1. Dibuja una imagen etiquetada de$T$ en el$st$ plano.
2. Encuentra la imagen del$st$ -vértice$(0,1)$ en el$xy$ plano. Así mismo, encontrar las respectivas imágenes de los otros tres vértices del rectángulo$T\text{:}$$(0,4)\text{,}$$(1,1)\text{,}$ y$(1,4)\text{.}$
3. En el$xy$ plano -plano, dibuja una imagen etiquetada$T'\text{,}$ de la imagen, del$st$ -rectángulo original$T\text{.}$ Lo que parece ser la forma de la imagen,$T'\text{?}$
4. Para transformar una integral con un cambio de variables, necesitamos determinar el elemento área$dA$ para la imagen del rectángulo transformado. Tenga en cuenta que no$T'$ es exactamente un paralelogramo ya que las ecuaciones que definen la transformación no son lineales. Pero podemos aproximar el área de$T'$ con el área de un paralelogramo. ¿Cómo encontraríamos el área de un paralelogramo que se aproxima al área de la$xy$ -figura$T'\text{?}$ (Pista: Recuerda lo que nos dice el producto cruzado de dos vectores.)

La actividad 11.9.2 presenta la idea general de cómo funciona un cambio de variables. Particionamos un dominio rectangular en el$st$ sistema en subrectángulos. $T = [a, b] \times [a+\Delta s, b+\Delta t]$Déjese ser uno de estos subrectángulos. Luego transformamos esto en una región$T'$ en el sistema de coordenadas$xy$ cartesianas estándar. La región$T'$ se llama la imagen de$T\text{;}$ la región$T$ es la pre-imagen de$T'\text{.}$ Aunque los lados de esta$xy$ región$T'$ no son necesariamente rectos (lineales), aproximaremos el elemento de área$dA$ para esta región con el área del paralelogramo cuyos lados están dados por los vectores$\mathbf{v}$ y$\mathbf{w}\text{,}$ donde$\mathbf{v}$ es el vector de$(x(a, b), y(a, b))$ a$(x(a + \Delta s, b), y(a + \Delta s, b))\text{,}$ y$\mathbf{w}$ es el vector de$(x(a, b), y(a, b))$ a$(x(a, b + \Delta t), y(a, b + \Delta t))\text{.}$

$T'$En la Figura 11.9.2 se muestra un ejemplo de una imagen en el$xy$ plano$st$ -que resulta de una transformación de un rectángulo$T$ en el plano -plano.

Figura 11.9.2. Aproximación a un área de una imagen resultante de una transformación.

Los componentes del vector$\mathbf{v}$ son

\ begin {align*}\ mathbf {v} & =\ izquierda\ langle x (a+\ Delta s, b) - x (a, b), y (a+\ Delta s, b) - y (a, b), 0\ derecha\ rangle\ end {align*}

y de manera similar aquellos para$\mathbf{w}$ son

\ begin {align*}\ mathbf {w} & =\ izquierda\ langle x (a, b+\ Delta t) - x (a, b), y (a, b+\ Delta s) - y (a, b), 0\ derecha\ rangle. \ end {align*}

Ligeramente reescribiendo$\mathbf{v}$ y$\mathbf{w}\text{,}$ tenemos

\ begin {align*}\ mathbf {v} & =\ izquierda\ langle\ frac {x (a+\ Delta s, b) - x (a, b)} {\ Delta s},\ frac {y (a+\ Delta s, b) - y (a, b)} {\ Delta s}, 0\ derecha\ rangle\ Delta s,\\ mbox {y}\\ [4pt]\ mathbf {w} & =\ izquierda\ langle\ frac {x (a, b+\ Delta t) - x (a, b)} {\ Delta t},\ frac {y (a, b+\ Delta s) - y (a, b)} {\ Delta t}, 0\ derecha\ rangle\ Delta t.\ final {alinear*}

Para pequeños$\Delta s$ y$\Delta t\text{,}$ la definición de la derivada parcial nos dice que

$$\mathbf{v} \approx \left\langle \frac{\partial x}{\partial s}(a,b), \frac{\partial y}{\partial s}(a,b), 0 \right\rangle \Delta s \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ \mathbf{w} \approx \left\langle \frac{\partial x}{\partial t}(a,b), \frac{\partial y}{\partial t}(a,b), 0 \right\rangle \Delta t. \nonumber$$

Recordemos que el área del paralelogramo con lados$\mathbf{v}$ y$\mathbf{w}$ es la longitud del producto cruzado de los dos vectores,$|\mathbf{v} \times \mathbf{w}|\text{.}$ A partir de esto, observamos que

\ begin {align*}\ mathbf {v}\ times\ mathbf {w} &\ approx\ izquierda\ langle\ frac {\ parcial x} {\ parcial s} (a, b),\ frac {\ parcial y} {\ parcial s} (a, b), 0\ derecha\ rangle\ Delta s\ veces\ izquierda\ langle\ frac {\ parcial x} {parcial\ t} (a, b),\ frac {\ parcial y} {\ t parcial} (a, b), 0\ derecha\ rangle\ delta t\ [4pt] & =\ izquierda\ langle 0 ,\ 0,\\ frac {\ parcial x} {\ parcial s} (a, b)\ frac {\ parcial y} {\ parcial t} (a, b) -\ frac {\ parcial x} {\ parcial t} (a, b)\ frac {\ parcial y} {\ parcial s} (a, b)\ derecha\ rangle\ s\,\ delta.\ final {alinear*}

Finalmente, al calcular la magnitud del producto cruzado, vemos que

\ begin {align*} |\ mathbf {v}\ times\ mathbf {w} | &\ approx\ izquierda|\ izquierda\ langle 0,0,\ frac {\ parcial x} {\ parcial s} (a, b)\ frac {\ parcial y} {\ t parcial} (a, b) -\ frac {\ x parcial} {\ t parcial} (a, b)\ frac {\ parcial x} {\ parcial t} (a, b)\ frac ac {\ parcial y} {\ parcial s} (a, b)\ derecha\ rangle\ Delta s\,\ Delta t\ derecha|\\ [4pt] & =\ izquierda|\ frac {\ parcial x} {\ parcial s} (a, b)\ frac {\ parcial y} {\ t parcial} (a, b) -\ frac {\ parcial x} {\ t parcial} (a, b)\ frac {\ parcial y} {\ parcial s} (a, b)\ derecha|\ Delta s\,\ Delta t.\ final {aline*}

Por lo tanto, a medida que aumenta el número de subdivisiones sin límite en cada dirección,$\Delta s$ y$\Delta t$ ambas van a cero, y tenemos

$$dA = \left|\frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial s} \right| ds \, dt.\label{E_Area_Element}\tag{11.9.3}$$

Por lo tanto, la ecuación (11.9.3) determina el cambio general de fórmula variable en una doble integral, y ahora podemos decir que

$$\iint_T f(x,y) \, dy \, dx = \iint_{T'} f(x(s,t),y(s,t)) \left|\frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial s}\right| ds \, dt. \nonumber$$

La cantidad

$$\frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial s} \nonumber$$

se llama jacobiano, y denotamos el jacobiano usando la notación taquigráfica

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)} = \frac{\partial x}{\partial s} \frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial y}{\partial s}. \nonumber$$

Recordemos de la Sección 9.4 que también podemos escribir este jacobiano como el determinante de la$2 \times 2$ matriz$\left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{array} \right] \text{.}$ Obsérvese que, como se discute en la Sección 9.4, el valor absoluto del determinante de$\left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{array} \right]$ es el área del paralelogramo determinada por los vectores$\mathbf{v}$ y$\mathbf{w}\text{,}$ y así el área elemento$dA$ en$xy$ -coordenadas también está representado por el elemento area$\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)} \right| \, ds \, dt$ en$st$ -coordenadas, y$\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)} \right|$ es el factor por el cual la transformación magnifica el área.

Para resumir, sigue el cambio precedente de fórmula variable que hemos derivado ahora.

Cambio de Variables en una Doble Integral

Supongamos un cambio de variables$x = x(s,t)$ y$y = y(s,t)$ transforma una región cerrada y delimitada$R$ en el$st$ plano -en una región cerrada y delimitada$R'$ en el$xy$ plano. En condiciones modestas (que se estudian en cálculo avanzado), se deduce que

$$\iint_{R'} f(x,y) \, dA = \iint_{R} f(x(s,t), y(s,t)) \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (s,t)}\right| \, ds \, dt. \nonumber$$

Actividad 11.9.3

Encuentra al jacobiano al cambiar de coordenadas rectangulares a polares. Es decir, para la transformación dada por$x = r\cos(\theta)\text{,}$$y = r\sin(\theta)\text{,}$ determinar una expresión simplificada para la cantidad

$$\frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial \theta} - \frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial y}{\partial r}. \nonumber$$

¿Qué observas de tu resultado? ¿Cómo se relaciona esto con nuestro trabajo anterior con dobles integrales en coordenadas polares?

Actividad 11.9.4

Dejemos$D'$ ser la región en el$xy$ -plano delimitado por las líneas$y=0\text{,}$$x=0\text{,}$ y$x+y=1\text{.}$ evaluaremos la doble integral

$$\iint_{D'} \sqrt{x+y}(x-y)^2 \, dA\label{eq_11_9_COV_ex}\tag{11.9.4}$$

con un cambio de variables.

1. Esboce la región$D'$ en el$xy$ plano.
2. Nos gustaría hacer una sustitución que haga que el integrando sea más fácil de antidiferenciar. Dejar$s = x+y$ y$t = x-y\text{.}$ explicar por qué esto debería facilitar la antidiferenciación haciendo las sustituciones correspondientes y escribiendo el nuevo integrando en términos de$s$ y$t\text{.}$
3. Resolver las ecuaciones$s = x+y$$x$ y$t = x-y$ para y$y\text{.}$ (Hacerlo determina la forma estándar de la transformación, ya que tendremos$x$ como una función de$s$ y$t\text{,}$ y$y$ como una función de$s$ y$t\text{.}$)
4. Para ejecutar realmente este cambio de variables, necesitamos conocer la$st$ -region$D$ que corresponde a la$xy$ -region$D'\text{.}$
   1. Qué$st$ ecuación corresponde a la$xy$ ecuación$x+y=1\text{?}$
   2. Qué$st$ ecuación corresponde a la$xy$ ecuación$x=0\text{?}$
   3. Qué$st$ ecuación corresponde a la$xy$ ecuación$y=0\text{?}$
   4. Esbozar la$st$ región$D$ que corresponde al$xy$ dominio$D'\text{.}$
5. Realizar el cambio de las variables indicadas por$s = x+y$ y$t = x-y$ en la doble integral (11.9.4) y configurar una integral iterada en$st$ variables cuyo valor es la integral doble original dada. Finalmente, evaluar la integral iterada.

11.9.3 Cambio de Variables en una Triple Integral

El argumento a favor del cambio de fórmula variable para las triples integrales es complicado, y no entraremos en los detalles. El proceso general, sin embargo, es el mismo que el caso bidimensional. Dado un sólido$S'$ en el sistema de$xyz$ coordenadas -en$\mathbb{R}^3\text{,}$ un cambio de transformación de variables$x=x(s,t,u)\text{,}$$y=y(s,t,u)\text{,}$ y$z = z(s,t,u)$ se$S'$ transforma en una región$S$ en$stu$ -coordenadas. Cualquier función$f = f(x,y,z)$ definida en$S'$ puede considerarse como una función$f = f(x(s,t,u), y(s,y,u), z(s,t,u))$ en$stu$ -coordenadas definidas en$S\text{.}$ El elemento de volumen$dV$ en$xyz$ -coordenadas responde a un elemento de volumen escalado en$stu$ -coordenadas, donde el factor de escala viene dado por el valor absoluto del jacobiano,$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)}\text{,}$ que es el determinante de la$3 \times 3$ matriz

$$\left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} & \frac{\partial x}{\partial u} \\[4pt] \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} & \frac{\partial y}{\partial u} \\[4pt] \frac{\partial z}{\partial s} & \frac{\partial z}{\partial t} & \frac{\partial z}{\partial u} \end{array} \right]\text{.} \nonumber$$

(Recordemos que este determinante se introdujo en la Sección 9.4.) Es decir,$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)}$ viene dado por

$$\frac{\partial x}{\partial s}\left[\frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial z}{\partial u} - \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial t}\right] - \frac{\partial x}{\partial t}\left[\frac{\partial y}{\partial s}\frac{\partial z}{\partial u} - \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial s}\right] + \frac{\partial x}{\partial u}\left[\frac{\partial y}{\partial s}\frac{\partial z}{\partial t} - \frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial z}{\partial s}\right]. \nonumber$$

Para resumir,

Cambio de Variables en una Triple Integral

Supongamos un cambio de variables$x = x(s,t,u)\text{,}$$y = y(s,t,u)\text{,}$ y$z = z(s,t,u)$ transforma una región$S$ cerrada y delimitada en$stu$ coordenadas en una región cerrada y$xyz$ delimitada$S'$ en coordenadas. En condiciones modestas (que se estudian en cálculo avanzado), la triple integral$\iiint_{S'} f(x,y,z) \, dV$ es igual a

$$\iiint_{S} f(x(s,t,u),y(s,t,u),z(s,t,u)) \ \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)} \right| \, ds \, dt \, du. \nonumber$$

Actividad 11.9.5

Encuentra al jacobiano al cambiar de coordenadas cartesianas a cilíndricas. Es decir, para la transformación dada por$x = r\cos(\theta)\text{,}$$y = r\sin(\theta)\text{,}$ y$z = z\text{,}$ determinar una expresión simplificada para la cantidad

$$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}. \nonumber$$

¿Qué observas de tu resultado? ¿Cómo se relaciona esto con nuestro trabajo anterior con integrales triples en coordenadas cilíndricas?

Actividad 11.9.6

Considerar el sólido$S'$ definido por las desigualdades$0 \leq x \leq 2\text{,}$$\frac{x}{2} \leq y \leq \frac{x}{2}+1\text{,}$ y$0 \leq z \leq 6\text{.}$ Considerar la transformación definida por$s = \frac{x}{2}\text{,}$$t = \frac{x-2y}{2}\text{,}$ y$u = \frac{z}{3}\text{.}$ Let$f(x,y,x) = x-2y+z\text{.}$

1. La transformación convierte el sólido$S'$ en$xyz$ coordenadas en una caja$S$ en$stu$ -coordenadas. Aplicar la transformación a los límites del sólido$S'$ para encontrar descripciones$stu$ -coordinatte de la caja$S\text{.}$
2. Encuentra al jacobiano$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)}\text{.}$
3. Utilizar la transformación para realizar un cambio de variables y evaluar$\iiint_{S'} f(x,y,z) \, dV$ evaluando
   $$\iiint_{S} f(x(s,t,u),y(s,t,u),z(s,t,u)) \ \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(s,t,u)} \right| \, ds \, dt \, du\text{.} \nonumber$$

11.9.4 Resumen

• Si se describe una integral en términos de un conjunto de variables, podemos escribir ese conjunto de variables en términos de otro conjunto del mismo número de variables. Si las nuevas variables se eligen apropiadamente, la integral transformada puede ser más fácil de evaluar.
• El jacobiano es una función escalar que relaciona el elemento área o volumen en un sistema de coordenadas con el elemento correspondiente en un nuevo sistema determinado por un cambio de variables.