5.4: Integración por Sustitución

Las integrales encontradas hasta ahora, ya sean indefinidas o definidas, han sido las más simples, ya que los antiderivados fueron dados por fórmulas conocidas. Por ejemplo,\(\int \cos\,x\;\dx = \sin\,x + C\). ¿Y si la integral fuera\(\int \cos\,2x\;\dx\) en su lugar? Aún no se ha discutido ninguna fórmula para esta integral, y la respuesta no es\(\sin\,2x + C\), ya que la derivada de\(\sin\,2x\) es\(2 \cos\,2x\), no\(\cos\,2x\). Pero dividir\(\sin\,2x\) por 2 primero y luego tomar el derivado rendiría\(\cos\,2x\), así que eso\(\int \cos\,2x\;\dx = \frac{1}{2}\sin\,2x + C\).

Evaluar una integral de tal manera a menudo se realiza cuando la función no es demasiado complicada, como la anterior. Por lo general no va a ser tan simple, por lo que se necesita una técnica general llamada sustitución. La idea detrás de la sustitución es reemplazar parte de la función que se integra por una nueva variable,\(u\) típicamente, para que una función complicada de ahora\(x\) sea una función más simple de la\(u\) que sabes integrar.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst1

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(\displaystyle\int\,\cos\,2x~\dx\) por sustitución.

Solución: La función\(2x\) en el coseno es lo que hace que esta integral se desconozca, así que reemplácela por\(u\): let\(u = 2x\). La integral es ahora

\[\int\,\cos\,u~\dx\]lo cual es un problema porque el punto de hacer sustitución es eliminar todas las referencias a la variable\(x\), incluso en el infinitesimal\(\dx\). Toda la integral necesita estar en términos de\(u\) y\(\du\), pero la\(\dx\) sigue ahí. Así que pon\(\dx\) en términos de\(\du\):

\[u ~=~ 2x \quad\Rightarrow\quad \du ~=~ 2 \dx \quad\Rightarrow\quad \dx ~=~ \frac{1}{2} \du\]La integral ahora se convierte

\[\int\,\cos\,u~ \left(\frac{1}{2}\du\right) ~=~ \frac{1}{2} \int\,\cos\,u~\du ~=~ \frac{1}{2} \sin\,u ~+~ C\]por la fórmula ya conocida, solo con la letra\(u\) como la variable en lugar de\(x\). La integral original estaba en términos de\(x\), por lo que la respuesta final —para una integral indefinida— también debería ser en términos de\(x\). Así, el paso final es sustituir de nuevo en la respuesta lo que\(u\) equivale en términos de\(x\), a saber\(2x\):

\[\int\,\cos\,2x~\dx ~=~ \frac{1}{2} \sin\,u ~+~ C ~=~ \frac{1}{2} \sin\,2x ~+~ C\]

Si el procedimiento en el ejemplo anterior parece similar a hacer una sustitución al usar la Regla de Cadena para tomar una derivada, eso es porque es similar: básicamente estás haciendo lo mismo solo a la inversa. Así como para la diferenciación, no siempre es obvio qué parte de la función es la mejor candidata para la sustitución a la hora de realizar la integración. Hay una regla obvia: nunca hacer la sustitución\(u = x\), porque eso no cambia nada.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst2

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(\displaystyle\int\,e^{-3x}~\dx\).

Solución: El\(-3x\) en la función exponencial es lo que hace que esta integral se desconozca, así que haga la sustitución\(u = -3x\), lo que significa que\(\du = -3\dx\), y así\(\dx = -\frac{1}{3}\du\). Por lo tanto:

\[\int\,e^{-3x}~\dx ~=~ \int\,e^{u}~\left(-\frac{1}{3}\du\right) ~=~ -\frac{1}{3}\,\int\,e^{u}~\du ~=~ -\frac{1}{3}\,e^u ~+~ C ~=~ -\frac{1}{3}\,e^{-3x} ~+~ C\]

El ejemplo anterior puede generalizarse de la siguiente manera:

Ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst2

Agrega texto aquí.

Solución

fue el caso especial con\(a = -3\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst3

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(\displaystyle\int\,(1 + 4x)^5~\dx\).

Solución: Podrías estar tentado a hacer la sustitución\(u = 4x\), pero eso requeriría entonces encontrar la integral de\((1+u)^5\), para lo cual aún no existe fórmula alguna. Pero hay una fórmula para la integral de\(u^5\). De ahí, vamos\(u = 1 + 4x\), para que\(\du = 4\dx ~\Rightarrow~ \dx = \frac{1}{4}\du\). Por lo tanto:

\[\int\,(1 + 4x)^5~\dx ~=~ \frac{1}{4}\,\int\,u^5~\du ~=~ \frac{1}{4}\,\frac{u^6}{6} ~+~ C ~=~ \frac{1}{24}\,(1 + 4x)^6 ~+~ C\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst4

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(\displaystyle\int\,2x\,e^{x^2}~\dx\).

Solución: Podría no estar claro si deberías hacer la sustitución\(u = 2x\) o\(u = x^2\), pero la pista aquí es que la derivada del\(x^2\) interior es la función exponencial\(2x\), que aparece fuera de la función exponencial. En efecto, se podría comprobar que dejar\(u = 2x\) resultaría en una integral no más simple que la actual (es decir,\(\frac{1}{2}\,\int\,u\,e^{u^2/4}~\du\)). Así que vamos\(u = x^2\), lo que significa\(\du = 2x\,\dx\). Por lo tanto:

\[\int\,2x\,e^{x^2}~\dx ~=~ \int\,e^{u}~\du ~=~ e^u ~+~ C ~=~ e^{x^2} ~+~ C\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst5

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(\displaystyle\int\,x\,\sqrt{1 + 3x^2}~\dx\).

Solución: Tenga en cuenta que la derivada del\(1+3x^2\) término dentro de la función raíz cuadrada es\(6x\), que es casi la función\(x\) fuera de la raíz cuadrada, todo lo que falta es el múltiplo constante\(6\). Esa es una pista para dejar\(u = 1+3x^2\). Observe también eso\(\du = 6x\dx ~\Rightarrow~ x\,\dx = \frac{1}{6}\du\), y\(x\,\dx\) es la parte restante de la integral fuera de la raíz cuadrada. Por lo tanto:

\[\int\,x\,\sqrt{1 + 3x^2}~\dx ~=~ \frac{1}{6}\,\int\,\sqrt{u}~\du ~=~ \frac{1}{6}\,\frac{u^{3/2}}{3/2} ~+~ C ~=~ \frac{1}{9}\,(1+3x^2)^{3/2} ~+~ C\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst6

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(\displaystyle\int\,\dfrac{x^2~\dx}{\sqrt{x^3 + 9}}\).

Solución: Vamos\(u = x^3 + 9\), para que\(\du = 3x^2\,\dx ~\Rightarrow~ x^2\,\dx = \frac{1}{3}\du\). Por lo tanto:

\[\int\,\dfrac{x^2~\dx}{\sqrt{x^3 + 9}} ~=~ \int\,\dfrac{\frac{1}{3}\,\du}{\sqrt{u}} ~=~ \frac{1}{3}\,\int\,u^{-1/2}~\du ~=~ \frac{1}{3}\,\frac{u^{1/2}}{1/2} ~+~ C ~=~ \frac{2}{3}\,\sqrt{x^3 + 9} ~+~ C\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst7

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(\displaystyle\int\,\dfrac{2x~\dx}{x^2 - 1}\).

Solución: Observe que el numerador\(2x\) en la función es exactamente la derivada del denominador\(x^2 - 1\). Esa es una pista para sustituir en el denominador para que la integral sea la función logaritmo natural. Vamos\(u = x^2 - 1\), para que\(\du = 2x\,\dx\). Por lo tanto:

\[\int\,\dfrac{2x~\dx}{x^2 - 1} ~=~ \int\,\dfrac{\du}{u} ~=~ \ln\,\abs{u} ~+~ C ~=~ \ln\,\abs{x^2 - 1} ~+~ C\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst8

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(\displaystyle\int\,\tan\,x~\dx\).

Solución: Observe eso\(\tan\,x = \frac{\sin\,x}{\cos\,x}\) y que el numerador\(\sin\,x\) es casi la derivada del denominador\(\cos\,x\); todo lo que falta es un signo negativo. Esa es una pista para sustituir en el denominador:\(u = \cos\,x\), así que eso\(\du = -\sin\,x\;\dx ~\Rightarrow~ \sin\,x\;\dx = -\du\). Por lo tanto:

\[\begin{aligned} \int\,\tan\,x~\dx ~&=~ \int\,\frac{\sin\,x}{\cos\,x}~\dx\

\ [6pt] &=~\ int\,\ frac {-\ du} {u} ~=~ -\ ln\,\ abs {u} ~+~ C ~=~ -\ ln\,\ abs {\ cos\, x} ~+~ C ~=~\ ln\,\ abs {\ cos\, x} ^ {-1} ~+~ C ~=~\ ln\, abs\ {\ seg\, x} ~+~ C\ final {alineado}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst9

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(\displaystyle\int\,\sec\,x~\dx\).

Solución: Observe que

\[\int\,\sec\,x~\dx ~=~ \int\,\frac{\sec\,x~(\sec\,x ~+~ \tan\,x)}{\sec\,x ~+~ \tan\,x}~\dx ~=~ \int\,\frac{\sec\,x\;\tan\,x ~+~ \sec^2 x}{\sec\,x ~+~ \tan\,x}~\dx\]y que el numerador en la última integral es la derivada del denominador: let\(u = \sec\,x ~+~ \tan\,x\), así que\(\du = (\sec\,x\;\tan\,x ~+~ \sec^2 x)\,\dx\). Por lo tanto:

\[\int\,\sec\,x~\dx ~=~ \int\,\frac{\du}{u} ~=~ \ln\,\abs{u} ~+~ C ~=~ \ln\,\abs{\sec\,x ~+~ \tan\,x} ~+~ C\]

Las siguientes fórmulas son consecuencias directas de la sustitución y las derivadas de las funciones trigonométricas inversas discutidas en la Sección 2.2:

Por ejemplo, para probar la segunda fórmula, recuérdalo\(\ddx\left(\tan^{-1}x\right) ~=~ \frac{1}{1 + x^2}\). Hacer la sustitución\(u = x/a\), para que\(x = au\) y\(\dx= a\,\du\). Por lo tanto:

\[\int\,\frac{\dx}{a^2 + x^2} ~=~ \int\,\frac{a\,\du}{a^2 + a^2 u^2} ~=~ \frac{1}{a}\,\int\,\frac{\du}{1 + u^2} ~=~ \frac{1}{a}\,\tan^{-1}u ~+~ C ~=~ \frac{1}{a}\,\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) ~+~ C \quad\checkmark\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst10

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(\displaystyle\int\,\dfrac{\dx}{\sqrt{4 - 9x^2}}\).

Solución: El\(4 - 9x^2\) interior de la raíz cuadrada es casi de la forma\(a^2 - x^2\), a excepción de la 9. El objetivo es tener\(u^2 = 9x^2\), así que vamos\(u = 3x\), lo que significa que\(\dx = \frac{1}{3}\,\du\) y\(u^2 = 9x^2\). Por lo tanto,

\[\int\,\dfrac{\dx}{\sqrt{4 - 9x^2}} ~=~ \frac{1}{3}\,\int\,\dfrac{\du}{\sqrt{4 - u^2}} ~=~ \frac{1}{3}\,\sin^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) ~+~ C ~=~ \frac{1}{3}\,\sin^{-1}\left(\frac{3x}{2}\right) ~+~ C\]por Fórmula (5.2) con\(a = 2\).

Para utilizar la sustitución con integrales definidas, siga el mismo procedimiento que con integrales indefinidas pero agregue un paso extra: reemplazar los límites de integración\(x=a\) y\(x=b\) en la integral original\(\int_a^b f(x)\,\dx\) por\(u = g(a)\) y\(u= g(b)\), respectivamente, en la nueva integral involucrando\(u\), donde\(u=g(x)\) esta tu sustitucion.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst11

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(\displaystyle\int_1^2\,(2x+1)^3~\dx\).

Solución: Let\(u = g(x) = 2x+1\), lo que significa que\(\dx = \frac{1}{2}\,\du\). El límite superior de integración\(x=2\) se convierte\(u=g(2)=2(2)+1=5\) en la nueva integral\(u\) basada, mientras que el límite inferior de integración\(x=1\) se convierte\(u=g(1)=2(1)+1=3\). Por lo tanto:

\[\int_1^2\,(2x+1)^3~\dx ~=~ \frac{1}{2}\,\int_3^5\,u^3~\du ~=~ \frac{1}{8}\,u^4~\Biggr|_3^{5} ~=~ \frac{1}{8}\,(5^4 - 3^4) ~=~ 68\]Tenga en cuenta que podría haber vuelto a poner todo en términos de\(x\) al final, pero no hubo necesidad de hacerlo ya que obtendría la misma respuesta numérica.

La siguiente propiedad de integrales definidas es útil para evaluar ciertos tipos de integrales definidas:

Esto es sencillo de probar, utilizando la sustitución\(u = a - x\), así\(x = a - u\) y\(\dx = -\du\), mientras\(x=0\) se convierte\(u=a\) y se\(x=a\) convierte\(u=0\) en los límites de la integración:

\[\int_0^a \,f(x)\;\dx ~=~ -\int_a^0 \,f(a-u)\;\du ~=~ \int_0^a \,f(a-u)\;\du ~=~ \int_0^a \,f(a-x)\;\dx \quad\checkmark\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst12

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar\(\displaystyle\int_0^{\pi}\,\dfrac{x\;\sin\,x}{1 + \cos^2 x}~\dx\).

Solución: Dejar\(I = \displaystyle\int_0^{\pi}\,\dfrac{x\;\sin\,x}{1 + \cos^2 x}~\dx\). Luego por la propiedad anterior (con\(a = \pi\)):

\[\begin{aligned} I ~&=~ \int_0^{\pi}\,\frac{(\pi - x)\;\sin\,(\pi - x)}{1 + \cos^2 (\pi -x)}~\dx ~=~ \int_0^{\pi}\,\frac{(\pi - x)\;\sin\,x}{1 + \cos^2 x}~\dx ~=~ \pi\,\int_0^{\pi}\,\frac{\sin\,x}{1 + \cos^2 x}~\dx ~-~ \int_0^{\pi}\,\dfrac{x\;\sin\,x}{1 + \cos^2 x}~\dx\

\ [4pt] I ~&=~\ pi\,\ int_0^ {\ pi}\,\ frac {\ sin\, x} {1 +\ cos^2 x} ~\ dx ~-~ I\

\ [4pt] 2I ~&=~\ pi\,\ int_0^ {\ pi}\,\ frac {\ sin\, x} {1 +\ cos^2 x} ~\ dx ~=~ -\ pi\,\ tan^ {-1} (\ cos\, x) ~\ Biggr|_ {0} ^ {\ pi} ~=~ -\ pi\,\ izquierda (-\ frac {\ pi} {4} -\ frac {\ pi} {4}\ derecha) ~=~\ frac {\ pi^2} {2}\

\ [4pt] I ~&=~\ frac {\ pi^2} {4}\ end {alineado}\]

[sec5dot4]

Para los Ejercicios 1-24 evaluar la integral dada.

3

\(\displaystyle\int \left(3 \cos\,5x ~+~ 4 \sin\,5x\right)\;\dx \vphantom{\dfrac{e^{2x}}{2}}\)

\(\displaystyle\int \dfrac{e^{2x} ~+~ e^{-2x}}{2}\;\dx\)

\(\displaystyle\int \left(x e^{-x^2} ~+~ x^2 \cos\,x^3\right)\;\dx \vphantom{\dfrac{e^{2x}}{2}}\)

3

\(\displaystyle\int \dfrac{x ~-~ 2}{x^2 ~-~ 4x ~+~ 9}\;\dx \vphantom{\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}}}\)

\(\displaystyle\int \dfrac{e^{x}}{1 ~+~ e^{x}}\;\dx\)

\(\displaystyle\int \dfrac{1}{1 ~+~ e^x}\;\dx \vphantom{\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}}}\)

3

\(\displaystyle\int x\,\sqrt{x+4}\;\dx\)

\(\displaystyle\int \cos^2x\;\dx\)

\(\displaystyle\int \tan^2x\;\dx\)

3

\(\displaystyle\int \dfrac{3}{\sqrt{4 ~-~ 25x^2}}\;\dx\)

\(\displaystyle\int \dfrac{3}{4 ~+~ 25x^2}\;\dx\)

\(\displaystyle\int \sin^2x\;\cos^3x\;\dx\)

3

\(\displaystyle\int_{0}^{1}~(2x+1)^3 ~\dx\)

\(\displaystyle\int_{0}^{1}~(2x-1)^3 ~\dx\)

\(\displaystyle\int_{0}^{8}~x\,\sqrt{1+x} ~\dx\)

3

\(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}~4\,\sin\,(x/2) ~\dx\)

\(\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}~4\,\sin\,x~\cos\;x ~\dx\)

\(\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{\pi}}~5x\,\cos\,(x^2) ~\dx\)

3

\(\displaystyle\int_{-2}^{-1}~\dfrac{x}{(x^2 + 2)^3} ~\dx\)

\(\displaystyle\int_{-\ln\;3}^{\ln\;3}~\dfrac{e^x}{e^x + 4} ~\dx\)

\(\displaystyle\int_{1}^{3}~\dfrac{\dx}{\sqrt{x}\;(x+1)}\)

3

\(\displaystyle\int_{-1}^{1}~\dfrac{x^2 ~\dx}{\sqrt{x^3 + 9}}\)

\(\displaystyle\int_{1}^{2}~\dfrac{\vphantom{x^2}\dx}{x^2 - 6x + 9}\)

\(\displaystyle\int_{-3}^{3}~\dfrac{x^5 ~\dx}{e^{x^2}}\)

Evaluar la integral indefinida

\[\displaystyle\int \sin\,x \; \cos\,x \;\dx\]tres formas diferentes:

1. Utilice la sustitución\(u = \sin\,x\).

2. Utilice la sustitución\(u = \cos\,x\).

3. Utilizar la identidad trigonométrica\(2\sin\,x \; \cos\,x ~=~ \sin\,2x\).

4. ¿Son realmente diferentes las tres respuestas de las partes (a) a (c)? Explique.

Para todas las constantes positivas\(L\), muestre lo siguiente:

1. \(~\displaystyle\int_{0}^{L}~\left( 1 ~-~ \frac{x}{L} \right)^2 ~\dx ~=~ \frac{L}{3}\)

2. \(~\displaystyle\int_{-L/2}^{L/2}~\left( \frac{1}{2} ~-~ \frac{x}{L} \right)^2 ~\dx ~=~ \frac{L}{3}\)

3. \(~\displaystyle\int_{0}^{L}~\left( 1 ~-~ \frac{x}{L} \right)^3 ~\left( \frac{x}{L} \right)^2 ~\dx ~=~ \frac{L}{60}\)

[[1.] ]

Recordemos de la trigonometría eso\(~\sin^2 \;x ~=~ \frac{1}{2}\,(1 ~-~ \cos\;2x)~\) para todos\(x\).

1. Utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar\(~\displaystyle\int_{0}^{\pi}~\sin^2\,x~\dx~\).

2. Aproximar la integral de la parte (a) dividiendo el intervalo\(\ival{0}{\pi}\) en\(n=2\) subintervalos de igual longitud\(\ival{\pi/2}{\pi}\),\(\ival{0}{\pi/2}\) y, y encontrando el valor exacto de la suma de las áreas de los rectángulos cuyas alturas se determinan en los extremos derechos de los subintervalos.

3. Repita la parte (b) con\(n=3\).

4. Repita la parte (b) con\(n=4\).

5. Repita la parte (b) con\(n=6\).

Demostrar eso\(\int \csc\,x\;\dx \;=\; -\ln\,\abs{\csc\,x \;+\; \cot\,x} \;+\; C\). (Pista: Ver ejemplo

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): subst9

Agrega texto aquí.

Solución

.) [[1.] ]

Usa la propiedad\(\int_0^a \,f(x)~\dx ~=~ \int_0^a \,f(a-x)~\dx\) para demostrar que

\[\displaystyle\int_0^{\pi/2}\,\dfrac{\sin^2 x}{\sin\,x + \cos\,x}~\dx ~=~ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\ln\,\left(\sqrt{2} + 1\right)~.\](Pista: Usa el Ejercicio 28 y la fórmula de adición de seno.)