Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

2.5: Maxima y Minima

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

El gradiente se puede utilizar para encontrar puntos extremos de funciones de valor real de varias variables, es decir, puntos donde la función tiene un máximo local o mínimo local. Consideraremos solo funciones de dos variables; las funciones de tres o más variables requieren métodos que utilicen álgebra lineal.

Definición 2.7

Dejarf(x,y) ser una función de valor real, y dejar(a,b) ser un punto en el dominio def. Decimos quef tiene un máximo local en(a,b) sif(x,y)f(a,b) para todos(x,y) dentro de algún disco de radio positivo centrado en(a,b), es decir hay algunos suficientemente pequeñosr>0 tales quef(x,y)f(a,b) for all (x,y) para los cuales(xa)2+(yb)2<r2.

De igual manera, decimos quef tiene un mínimo local en el(a,b) if f(x,y)>f(a,b) for all (x,y) interior de algún disco de radio positivo centrado en(a,b).

Sif(x,y)f(a,b) for all (x,y) en el dominio def, entoncesf tiene un máximo global en(a,b). Sif(x,y)f(a,b) for all (x,y) in the domain of f, then f tiene un mínimo global en(a,b).

Supongamos que(a,b) es un punto máximo local paraf(x,y), y que las derivadas parciales de primer ordenf existen en(a,b). Sabemos quef(a,b) es el mayor valor def(x,y) as (x,y) va en todas las direcciones desde el punto(a,b), en algún disco suficientemente pequeño centrado en(a,b). En particular,f(a,b) es el mayor valor def en lax dirección (alrededor del punto(a,b)), es decir, la función de una sola variableg(x)=f(x,b) tiene un máximo local enx=a. Entonces eso lo sabemosg(a)=0. Ya queg(x)=fx(x,b), then fx(a,b)=0. De igual manera,f(a,b) es el mayor valor def cerca(a,b) en lay dirección y asífy(a,b)=0. Tenemos así el siguiente teorema:

Teorema 2.5

Dejarf(x,y) ser una función de valor real tal que ambosfx(a,b) yfy(a,b) existir. Entonces una condición necesariaf(x,y) para tener un máximo o mínimo local en(a,b) es esaf(a,b)=0.

Nota: El teorema 2.5 se puede extender para aplicarlo a funciones de tres o más variables.

Un punto(a,b) dondef(a,b)=0 se denomina punto crítico para la funciónf(x,y). Entonces dada una funciónf(x,y), para encontrar los puntos críticos def usted tiene que resolver las ecuacionesfx(x,y)=0 and fy(x,y)=0 simultáneamente para(x,y). Similar al caso de una sola variable, la condición necesaria que no siempref(a,b)=0 es suficiente para garantizar que un punto crítico sea un máximo o mínimo local.

Ejemplo 2.18

La funciónf(x,y)=xy tiene un punto crítico en(0,0):fx=y=0y=0, yfy=x=0x=0, así(0,0) es el único punto crítico. Pero claramentef no tiene un máximo o mínimo local en(0,0) ya que cualquier disco alrededor(0,0) contiene puntos(x,y) donde los valores dex yy tienen el mismo signo (así que esof(x,y)=xy>0=f(0,0)) y diferentes signos (así que esof(x,y)=xy<0=f(0,0)). De hecho, a lo largo del caminoy=x enR2f(x,y)=x2,, que tiene un mínimo local en(0,0), mientras que a lo largo del caminoy=x tenemosf(x,y)=x2, que tiene un máximo local en(0,0). Así(0,0) es un ejemplo de un punto de silla de montar, es decir, es un máximo local en una dirección y un mínimo local en otra dirección. El gráfico def(x,y) se muestra en la Figura 2.5.1, que es un paraboloide hiperbólico.

alt
Figura 2.5.1f(x,y)=xy, punto de sillín en (0,0)

El siguiente teorema da condiciones suficientes para que un punto crítico sea un máximo o mínimo local de una función suave (es decir, una función cuyas derivadas parciales de todos los órdenes existen y son continuas), lo que no probaremos aquí.

Teorema 2.6

Dejarf(x,y) ser una función fluida de valor real, con un punto crítico en(a,b) (es decirf(a,b)=0). Definir

D=2fx2(a,b)2fy2(a,b)(2fyx(a,b))2

Entonces

  1. siD>0 and 2fx2(a,b)>0, entoncesf tiene un mínimo local en(a,b)
  2. siD>0 and 2fx2(a,b)<0, entoncesf tiene un máximo local en(a,b)
  3. si noD<0, then f tiene un mínimo local ni un máximo local en(a,b)
  4. siD=0, entonces la prueba falla

Si la condición (c) se mantiene, entonces(a,b) es un punto de sillín. Tenga en cuenta que la suposición de quef(x,y) es suave significa que

D=|2fx2(a,b)2fyx(a,b)2fxy(a,b)2fy2(a,b)|

ya que2fyx=2fxy. También, siD>0 entonces2fx2(a,b)2fy2(a,b)=D+(2fyx(a,b))2>0, y así2fx2(a,b) and 2fy2(a,b) tienen el mismo signo. Esto significa que en las partes (a) y (b) del teorema se puede sustituir2fx2(a,b) por2fy2(a,b) si se desea.

Ejemplo 2.19

Encuentra todos los máximos y mínimos locales def(x,y)=x2+xy+y23x.

Solución

Primero encuentra los puntos críticos, es decir, dóndef=0. Desde

fx=2x+y3 and fy=x+2y

entonces los puntos críticos(x,y) son las soluciones comunes de las ecuaciones

2x+y3=0x+2y=0

que tiene la solución única(x,y)=(2,1). Entonces (2, −1) es el único punto crítico.

Para usar el Teorema 2.6, necesitamos las derivadas parciales de segundo orden:

2fx2=2,2fy2=2,2fyx=1

y así

D=2fx2(2,1)2fy2(2,1)(2fyx(2,1))2=(2)(2)12=3>0

y2fx2(2,1)=2>0. Así, (2, −1) es un mínimo local.

Ejemplo 2.20

Encuentra todos los máximos y mínimos locales def(x,y)=xyx3y2.

Solución

Primero encuentra los puntos críticos, es decir, dóndef=0. Desde

fx=y3x2 and fy=x2y

entonces los puntos críticos(x,y) son las soluciones comunes de las ecuaciones

y3x2=0x2y=0

La primera ecuación rindey=3x2, sustituyendo eso en los rendimientos de la segunda ecuaciónx6x2=0, que tiene las solucionesx=0 and x=16. Entoncesx=0y=3(0)=0 and x=16y=3(16)2=112. Entonces los puntos críticos son(x,y)=(0,0) y(x,y)=(16,112).

Para usar el Teorema 2.6, necesitamos las derivadas parciales de segundo orden:

2fx2=6x,2fy2=2,2fyx=1

Entonces

D=2fx2(0,0)2fy2(0,0)(2fyx(0,0))2=(6(0))(2)12=1<0

y así(0,0) es una punta de silla de montar. También,

D=2fx2(16,112)2fy2(16,112)(2fyx(16,112))2=(6(16))(2)12=1>0

y2fx2(16,112)=1<0. Así,(16,112) es un máximo local.

Ejemplo 2.21

Encuentra todos los máximos y mínimos locales def(x,y)=(x2)4+(x2y)2.

Primero encuentra los puntos críticos, es decir, dóndef=0. Desde

fx=4(x2)3+2(x2y) and fy=4(x2y)

entonces los puntos críticos(x,y) son las soluciones comunes de las ecuaciones

4(x2)3+2(x2y)=04(x2y)=0

La segunda ecuación rindex=2y, sustituyendo eso en los rendimientos de la primera ecuación4(2y2)3=0, que tiene la solucióny=1, y asíx=2(1)=2. Así,(2,1) es el único punto crítico.

Para usar el Teorema 2.6, necesitamos las derivadas parciales de segundo orden:

2fx2=12(x2)2+2,2fy2=8,2fyx=4

Entonces

D=2fx2(2,1)2fy2(2,1)(2fyx(2,1))2=(2)(8)(4)2=0

y así la prueba falla. ¿Qué se puede hacer ante esta situación? En ocasiones es posible examinar la función para ver directamente la naturaleza de un punto crítico. En nuestro caso, vemos esof(x,y)0 para todos(x,y), ya quef(x,y) es la suma de las potencias cuarta y segunda de los números y por lo tanto debe ser no negativa. Pero también vemos esof(2,1)=0. Asíf(x,y)0=f(2,1) para todos(x,y), y por lo tanto(2,1) es de hecho un mínimo global paraf.

Ejemplo 2.22

Encuentra todos los máximos y mínimos locales def(x,y)=(x2+y2)e(x2+y2).

Solución

Primero encuentra los puntos críticos, es decir, dóndef=0. Desde

fx=2x(1(x2+y2))e(x2+y2)fy=2y(1(x2+y2))e(x2+y2)

entonces los puntos críticos son(0,0) y todos los puntos(x,y) en el círculo unitariox2+y2=1.

Para usar el Teorema 2.6, necesitamos las derivadas parciales de segundo orden:

2fx2=2[1(x2+y2)2x22x2(1(x2+y2))]e(x2+y2)2fy2=2[1(x2+y2)2y22y2(1(x2+y2))]e(x2+y2)2fyx=4xy[2(x2+y2)]e(x2+y2)

En(0,0), tenemosD=4>0 y2fx2(0,0)=2>0, así(0,0) es un mínimo local. Sin embargo, para los puntos(x,y) en el círculo unitariox2+y2=1, tenemos

D=(4x2e1)(4y2e1)(4xye1)2=0

y así la prueba falla. Si miramos la gráfica def(x,y), como se muestra en la Figura 2.5.2, parece que podríamos tener un máximo local para(x,y) en el círculo unitariox2+y2=1. Si cambiamos a usar coordenadas polares en(r,θ) lugar de(x,y) inR2r2=x2+y2, donde, entonces vemos que podemos escribirf(x,y)r solo en funcióng(r) de la variable:g(r)=r2er2. Entoncesg(r)=2r(1r2)er2, por lo que tiene un punto crítico enr=1, y podemos comprobarlog(1)=4e1<0, por lo que la Prueba de Segunda Derivada del cálculo de una sola variable dice quer=1 es un máximo local. Peror=1 corresponde al círculo unitariox2+y2=1. Así, los puntos(x,y) en el círculo unitariox2+y2=1 son puntos máximos locales paraf.

alt
Figura 2.5.2f(x,y)=(x2+y2)e(x2+y2)

Colaboradores y Atribuciones


This page titled 2.5: Maxima y Minima is shared under a GNU Free Documentation License 1.3 license and was authored, remixed, and/or curated by Michael Corral.

Support Center

How can we help?