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# 3.E: Integrales Múltiples (Ejercicios)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

## 3.1: Integrales dobles

#### A

Para los Ejercicios 1-4, encuentra el volumen debajo de la superficie$$z = f (x, y)$$ sobre el rectángulo$$R$$.

3.1.1. $$f (x, y) = 4x y,\, R = [0,1]×[0,1]$$

3.1.2. $$f (x, y) = e^{ x+y} ,\, R = [0,1]×[−1,1]$$

3.1.3. $$f (x, y) = x^ 3 + y^ 2 ,\, R = [0,1]×[0,1]$$

3.1.4. $$f (x, y) = x^ 4 + x y+ y^ 3 ,\, R = [1,2]×[0,2]$$

Para los Ejercicios 5-12, evaluar la doble integral dada.

3.1.5. $$\int_0^1 \int_1^2 (1− y)x^ 2 \,dx \,d y$$

3.1.6. $$\int_0^1 \int_0^2 x(x+ y)\,dx \,d y$$

3.1.7. $$\int_0^2 \int_0^1 (x+2)\,dx \,d y$$

3.1.8. $$\int_{−1}^2 \int_{−1}^1 x(x y+\sin x)\,dx\, d y$$

3.1.9. $$\int_0^{\pi /2} \int_0^1 x y\cos (x^ 2 y)\,dx\, d y$$

3.1.10. $$\int_0^{\pi} \int_0^{π/2} \sin x \cos (y−π) \,dx\, d y$$

3.1.11. $$\int_0^2 \int_1^4 x y \,dx\, d y$$

3.1.12. $$\int_{-1}^1 \int_{-1}^2 1\,dx\, d y$$

3.1.13. Que$$M$$ sea una constante. Demostrar que$$\int_c^d \int_a^b M\, dx \,d y = M(d − c)(b − a).$$

## 3.2: Integrales dobles sobre una región general

#### A

Para los Ejercicios 1-6, evaluar la doble integral dada.

3.2.1. $$\int_0^1 \int_{\sqrt{ x}}^1 24x^ 2 y \,d y\, dx$$

3.2.2. $$\int_0^π \int_0^y \sin x \,dx\, d y$$

3.2.3. $$\int_1^2 \int_0^{\ln x} 4x \,d y\, dx$$

3.2.4. $$\int_0^2 \int_0^{2y} e^ {y^ 2} \,dx \,d y$$

3.2.5. $$\int_0^{π/2} \int_0^y \cos x \sin y \,dx \,d y$$

3.2.6. $$\int_0^{∞} \int_0^{∞} x ye^{−(x^ 2+y^ 2 )}\, dx \,d y$$

3.2.7. $$\int_0^2 \int_0^y 1\,dx \,d y$$

3.2.8. $$\int_0^1 \int_0^{x^ 2} 2\,d y\, dx$$

3.2.9. Encuentra el volumen$$V$$ del sólido delimitado por los tres planos de coordenadas y el plano$$x+ y+ z = 1$$.

3.2.10. Encuentra el volumen$$V$$ del sólido delimitado por los tres planos de coordenadas y el plano$$3x+2y+5z = 6$$.

#### B

3.2.11. Explique por qué la doble integral$$\iint\limits_R 1\,d A$$ da el área de la región$$R$$. Por simplicidad, se puede suponer que$$R$$ es una región del tipo que se muestra en la Figura 3.2.1 (a).

#### C

3.2.12. Demostrar que el volumen de un tetraedro con lados adyacentes mutuamente perpendiculares de longitudes$$a,\, b, \text{ and }c$$, como en la Figura 3.2.6, es$$\frac{abc}{ 6}$$. (Pista: Ejemplo mímico 3.5, y recordar de la Sección 1.5 cómo tres puntos no colineales determinan un plano. )

Figura 3.2.6

3.2.13. Mostrar cómo se puede utilizar el Ejercicio 12 para resolver el Ejercicio 10.

## 3.3: Integrales triples

#### A

Para los Ejercicios 1-8, evaluar la triple integral dada.

3.3.1. $$\int_0^3 \int_0^2 \int_0^1 x yz \,dx\, d y\, dz$$

3.3.2. $$\int_0^1 \int_0^x \int_0^y x yz \,dz\, d y\, dx$$

3.3.3. $$\int_0^π \int_0^x \int_0^{x y} x^ 2 \sin z \,dz\, d y\, dx$$

3.3.4. $$\int_0^1 \int_0^z \int_0^y ze^{ y^ 2} \,dx\, d y\, dz$$

3.3.5. $$\int_1^e \int_0^y \int_0^{1/y} x^ 2 z \,dx \,dz \,d y$$

3.3.6. $$\int_1^2 \int_0^{y^ 2} \int_0^{z^ 2} yz \,dx \,dz \,d y$$

3.3.7. $$\int_1^2 \int_2^4 \int_0^3 1\,dx \,d y\, dz$$

3.3.8. $$\int_0^1 \int_0^{1−x} \int_0^{1−x−y} 1\,dz\, d y\, dx$$

3.3.9. Que$$M$$ sea una constante. $$\int_{z_1}^{z_2} \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1}^{x_2} M\, dx\, d y\, dz = M(z_2 − z_1)(y_2 − y_1)(x_2 − x_1)$$Demuéstralo.

#### B

3.3.10. Encuentra el volumen$$V$$ del sólido$$S$$ delimitado por los tres planos de coordenadas, delimitado arriba por el plano$$x+ y+ z = 2$$ y delimitado por debajo por el plano$$z = x+ y$$.

#### C

3.3.11. $$\int_a^b \int_a^z \int_a^y f (x)\,dx \,d y \,dz = \int_a^b \frac{(b−x)^ 2}{ 2} f (x)\,dx$$Demuéstralo. (Pista: Piense en cómo cambiar el orden de integración en la triple integral cambia los límites de la integración.)

## 3.4: Aproximación numérica de integrales múltiples

#### C

3.4.1. Escribir un programa que utilice el método Monte Carlo para aproximarse a la doble integral$$\iint\limits_R e^{ x y}\, d A$$, donde$$R = [0,1]×[0,1]$$. Mostrar la salida del programa para puntos$$N = 10,\, 100,\, 1000,\, 10000,\, 100000 \text{ and }1000000$$ aleatorios.

3.4.2. Escribe un programa que utilice el método Montecarlo para aproximar la triple integral\ iiint\ Limits_s e^ {x yz}\, dV\), donde$$S = [0,1] × [0,1] × [0,1]$$. Mostrar la salida del programa para puntos$$N = 10,\, 100,\, 1000,\, 10000,\, 100000 \text{ and }1000000$$ aleatorios.

3.4.3. Repita el Ejercicio 1 con la región$$R = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1,\, 0 ≤ y ≤ x^ 2 }$$.

3.4.4. Repita el Ejercicio 2 con el sólido$$S = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1,\, 0 ≤ y ≤ 1, \,0 ≤ z ≤ 1− x− y}$$.

3.4.5. Utilice el método Montecarlo para aproximar el volumen de una esfera de radio 1.

3.4.6. Utilice el método de Monte Carlo para aproximar el volumen del elipsoide$$\frac{x^ 2}{ 9} + \frac{y^ 2}{ 4} + \frac{z^ 2}{ 1} = 1$$.

## 3.5: Cambio de Variables en Integrales Múltiples

#### A

3.5.1. Encuentra el volumen$$V$$ dentro del paraboloide$$z = x^ 2 + y^ 2 \text{ for }0 ≤ z ≤ 4$$.

3.5.2. Encuentra el volumen$$V$$ dentro del cono$$z = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2}$$ para$$0 ≤ z ≤ 3$$.

#### B

3.5.3. Encuentra el volumen$$V$$ del sólido dentro de ambos$$x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = 4$$ y$$x^ 2 + y^ 2 = 1$$.

3.5.4. Encuentra el volumen$$V$$ dentro tanto de la esfera$$x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = 1$$ como del cono$$z = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2}$$.

3.5.5. Demostrar Ecuación (3.25).

3.5.6. Demostrar Ecuación (3.26).

3.5.7. Evaluar$$\iiint\limits_R \sin \left ( \frac{x+y}{ 2} \right ) \cos \left ( \frac{x−y}{ 2} \right ) \,d A$$, donde$$R$$ está el triángulo con vértices$$(0,0),\, (2,0) \text{ and }(1,1)$$. (Pista: Usar el cambio de variables$$u = (x+ y)/2,\, v = (x− y)/2.$$)

3.5.8. Encuentra el volumen del sólido delimitado por$$z = x^ 2 + y^ 2 \text{ and }z^ 2 = 4(x^ 2 + y^ 2 )$$.

3.5.9. Encuentra el volumen dentro del cilindro elíptico$$\frac{x^ 2}{ a^ 2} + \frac{y^ 2}{ b^ 2} = 1 \text{ for } 0 ≤ z ≤ 2$$.

#### C

3.5.10. Mostrar que el volumen dentro del elipsoide$$\frac{x^ 2}{ a^ 2} + \frac{y^ 2}{ b^ 2} + \frac{z^ 2}{ c^ 2} = 1 \text{ is }\frac{4πabc}{ 3}$$. (Pista: Usa el cambio de variables$$x = au,\, y = bv,\, z = cw$$, luego considera el Ejemplo 3.12. )

3.5.11. Mostrar que la función Beta, definida por

$B(x, y) = \int_0^1 t^{ x−1} (1− t)^{ y−1} dt ,\text{ for }x > 0,\, y > 0,$

satisface la relación$$B(y, x) = B(x, y) \text{ for }x > 0,\, y > 0.$$

3.5.12. Usando la sustitución$$t = u/(u +1)$$, muestra que la función Beta se puede escribir como

$B(x, y) = \int_0^∞ \frac{u^{ x−1}}{ (u +1)^{x+y}}\, du ,\text{ for }x > 0,\, y > 0.$

## 3.6: Aplicación: Centro de Masa

#### A

Para los Ejercicios 1-5, encuentra el centro de masa de la región$$R$$ con la función de densidad dada$$δ(x, y)$$.

3.6.1. $$R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2,\, 0 ≤ y ≤ 4 },\, δ(x, y) = 2y$$

3.6.2. $$R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1,\, 0 ≤ y ≤ x 2 },\, δ(x, y) = x+ y$$

3.6.3. $$R = {(x, y) : y ≥ 0,\, x^ 2 + y^ 2 ≤ a^ 2 },\, δ(x, y) = 1$$

3.6.4. $$R = {(x, y) : y ≥ 0,\, x ≥ 0,\, 1 ≤ x^ 2 + y^ 2 ≤ 4 },\, δ(x, y) = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2}$$

3.6.5. $$R = {(x, y) : y ≥ 0,\, x^ 2 + y^ 2 ≤ 1 },\, δ(x, y) = y$$

#### B

Para Ejercicios 6-10, encuentra el centro de masa del sólido$$S$$ con la función de densidad dada$$δ(x, y, z)$$.

3.6.6. $$S = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1,\, 0 ≤ y ≤ 1,\, 0 ≤ z ≤ 1 },\, δ(x, y, z) = x yz$$

3.6.7. $$S = {(x, y, z) : z ≥ 0,\, x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 ≤ a^ 2 },\, δ(x, y, z) = x^ 2 + y^ 2 + z^ 2$$

3.6.8. $$S = {(x, y, z) : x ≥ 0,\, y ≥ 0,\, z ≥ 0,\, x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 ≤ a^ 2 },\, δ(x, y, z) = 1$$

3.6.9. $$S = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1,\, 0 ≤ y ≤ 1,\, 0 ≤ z ≤ 1 },\, δ(x, y, z) = x^ 2 + y^ 2 + z^ 2$$

3.6.10. $$S = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1,\, 0 ≤ y ≤ 1,\, 0 ≤ z ≤ 1− x− y},\, δ(x, y, z) = 1$$

#### B

3.7.1. Evalúa la integral$$\int_{−\infty}^{\infty} e^{ −x^ 2}\, dx$$ usando cualquier cosa que hayas aprendido hasta ahora.

3.7.2. Para$$σ > 0 \text{ and }µ > 0$$, evaluar$$\int_{\infty}^{−\infty} \frac{1}{ σ \sqrt{ 2π}} e^{ −(x−µ)^ 2 /2σ^ 2} dx$$.

3.7.3. Mostrar que$$EY = \frac{n}{ n+1}$$ en el Ejemplo 3.18

#### C

3.7.4. Escriba un programa de computadora (en el idioma de su elección) que verifique los resultados en el Ejemplo 3.18 para el caso$$n = 3$$ tomando grandes cantidades de muestras.

3.7.5. Repita el Ejercicio 4 para el caso cuando$$n = 4$$.

3.7.6. Para variables aleatorias continuas$$X, Y \text{ with joint p.d.f. }f (x, y)$$, defina los segundos momentos$$E(X^ 2 ) \text{ and }E(Y^ 2 )$$ por

$E(X^ 2 ) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x^ 2 f (x, y)\,dx\, d y \text{ and }E(Y^ 2 ) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} y^ 2 f (x, y)\,dx \,d y ,$

y las varianzas Var$$(X)$$ y Var$$(Y)$$ por

$\text{Var}(X) = E(X^ 2 )−(EX)^ 2 \text{ and Var}(Y) = E(Y^ 2 )−(EY)^ 2 .$

Encuentra Var$$(X)$$ y Var$$(Y)$$ para$$X$$ y$$Y$$ como en el Ejemplo 3.18.

3.7.7. Continuando con el Ejercicio 6, la correlación$$ρ \text{ between }X \text{ and }Y$$ se define como

$ρ = \frac{E(XY)−(EX)(EY)}{ \sqrt{ \text{Var}(X)\text{Var}(Y)}} ,$

donde$$E(XY) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x y \,f (x, y)\,dx\, d y$$. Encuentra$$ρ$$ por$$X \text{ and }Y$$ como en el Ejemplo 3.18.
(Nota: La cantidad$$E(XY)−(EX)(EY)$$ se llama la covarianza de$$X$$ y$$Y$$.)

3.7.8. En el Ejemplo 3.17 cambiaría la respuesta si$$(0,100)$$ se usa el intervalo en lugar de$$(0,1)$$? Explique.