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3: Integrales múltiples

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    La integral múltiple es una generalización de la integral definida con una variable a funciones de más de una variable real. Para integrales múltiples definidas, cada variable puede tener diferentes límites de integración.

    • 3.1: Integrales dobles
      En el cálculo de una sola variable, la diferenciación y la integración se consideran operaciones inversas. ¿Existe una manera similar de definir la integración de funciones de valor real de dos o más variables? Recordemos también que la integral definida de una función no negativa f (x) ≥0 representaba el área “debajo” de la curva y=f (x). Como veremos ahora, la doble integral de una función no negativa de valor real f (x, y) ≥0 representa el volumen “debajo” de la superficie z=f (x, y).
    • 3.2: Integrales dobles sobre una región general
      Anteriormente, teníamos una idea de lo que representa una doble integral sobre un rectángulo. Ahora podemos definir la doble integral de una función de valor real f (x, y) sobre regiones más generales en R2.
    • 3.3: Integrales triples
      Mientras que la doble integral podría pensarse como el volumen bajo una superficie bidimensional. Resulta que la triple integral simplemente generaliza esta idea: se puede pensar que representa el hipervolumen bajo una hipersuperficie tridimensional en R4. En general, la palabra “volumen” se usa a menudo como término general para significar el mismo concepto para cualquier objeto dimensional (por ejemplo, longitud en R1, área en R2).
    • 3.4: Aproximación numérica de integrales múltiples
      Para funciones complicadas, puede que no sea posible evaluar una de las integrales iteradas en una forma simple cerrada. Por suerte existen métodos numéricos para aproximar el valor de una integral múltiple. El método que discutiremos se llama el método de Monte Carlo. La idea detrás de esto se basa en el concepto del valor promedio de una función, que aprendiste en el cálculo de una sola variable.
    • 3.5: Cambio de Variables en Integrales Múltiples
      Dada la dificultad de evaluar múltiples integrales, el lector puede preguntarse si es posible simplificar esas integrales usando una sustitución adecuada para las variables. La respuesta es sí, aunque es un poco más complicado que el método de sustitución que aprendiste en el cálculo de una sola variable.
    • 3.6: Aplicación- Centro de Masa
      El centro de masa de una distribución de masa en el espacio es el punto único donde la posición relativa ponderada de la masa distribuida suma a cero o el punto donde si se aplica una fuerza hace que se mueva en dirección de fuerza sin rotación. La distribución de la masa se equilibra alrededor del centro de masa y el promedio de las coordenadas de posición ponderadas de la masa distribuida define sus coordenadas. Los cálculos en mecánica a menudo se simplifican mediante el uso de formulaciones de centro de masa.
    • 3.7: Aplicación- Valores de Probabilidad y Expectativa
      En esta sección discutiremos brevemente algunas aplicaciones de integrales múltiples en el campo de la teoría de probabilidad. En particular veremos formas en las que se pueden usar múltiples integrales para calcular probabilidades y valores esperados.
    • 3.E: Integrales Múltiples (Ejercicios)
      Problemas y soluciones selectas al capítulo.

    Colaboradores y Atribuciones

    • Template:ContribCorral
    • Thumbnail: A diagram depicting a worked triple integral example. The questions is "Find the volume of the region bounded above by the sphere \(x^2+y^2+z^2 = a^2\) and below by the cone \(z^2 \sin^2(a) = (x^2+y^2)\cos^2(a)\) where \(a\) is in the interval \([0,π]\) (Public Domain; Inductiveload via Wikipedia).

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