1.1: Afirmaciones, deducciones y validez

Comenzaremos nuestra discusión sobre la Lógica introduciendo tres ingredientes básicos: aserciones, deducciones y validez.

Aquí hay una posible deducción:

Hipótesis:

1. Está lloviendo mucho.
2. Si no llevas paraguas, te empaparás.

Conclusión:
Se debe llevar un paraguas.

(La validez de esta deducción particular se analizará en el Ejemplo\(1.1.10\) siguiente.)

En Lógica, sólo nos interesan las oraciones que pueden ser hipótesis o conclusión de una deducción. Estas se llaman “aserciones”:

Definición\(1.1.1\).

Una aseveración es una frase que es verdadera o falsa.

Otra Terminología.

Algunos libros de texto utilizan el término proposición o declaración o frase, en lugar de aserción.

Ejemplo\(1.1.2\).

• Preguntas La frase “¿Ya tienes sueño?” no es una afirmación. Aunque puedas tener sueño o estar alerta, la pregunta en sí no es ni verdadera ni falsa. Por ello, las preguntas no cuentan como aserciones en Lógica.

• Imperativos Los comandos a menudo se formulan como imperativos como “¡Despierta! ,” “Siéntate derecho”, y así sucesivamente. Aunque puede ser bueno que te sientes derecho o no, el mandamiento en sí no es ni verdadero ni falso.

• Exclamaciones “¡Ay!” a veces se le llama frase exclamatoria, pero no es ni verdadera ni falsa. entonces es otro ejemplo de una oración que no es una aserción.

Obrar\(1.1.3\).

En términos generales, una afirmación es una declaración de hecho, como “La tierra es más grande que la luna” o “Edmonton es la capital de Alberta”. No obstante, es importante recordar que una afirmación puede ser falsa, en cuyo caso se trata de un error (o quizás una mentira deliberada), como “Hay menos de mil automóviles en todo Canadá”. En muchos casos, la verdad o falsedad de una aseveración depende de la situación. Por ejemplo, la afirmación “Está lloviendo” es cierta en ciertos lugares en ciertos momentos, pero es falsa en otros.

En esta y en la siguiente, que son introductorias, trataremos principalmente de aseveraciones sobre el mundo real, donde los hechos no siempre son claros. (Por ejemplo, si Alice y Bob tienen casi la misma altura, puede ser imposible determinar si es cierto que “Alice es más alta que Bob”). Estamos tomando una visión matemática (o científica) hacia la Lógica, no filosófica, por lo que ignoraremos las imperfecciones de estas aseveraciones del mundo real, que aportan motivación e ilustración, porque nuestro objetivo es aprender a usar la Lógica para entender objetos matemáticos (no objetos del mundo real), donde hay no hay zonas grises.

A lo largo de este texto, encontrarás ejercicios que revisan y exploran el material que acaba de ser cubierto. No hay sustituto para realmente trabajar a través de algunos problemas, porque este curso, como la mayoría de las matemáticas avanzadas, se trata más de una forma de pensar que de memorizar hechos.

Ejercicio\(1.1.4\).

¿Cuáles de las siguientes son “aseveraciones” en el sentido lógico?

1. Inglaterra es más pequeña que China.
2. Groenlandia está al sur de Jerusalén.
3. ¿Nueva Jersey está al este de Wisconsin?
4. El número atómico de helio es 2.
5. El número atómico de helio es\(\pi\).
6. Tómate tu tiempo.
7. Esta es la última pregunta.
8. Rihanna nació en Barbados.

Definición\(1.1.5\).

Una deducción es una serie de hipótesis que va seguida de una conclusión. (La conclusión y cada una de las hipótesis deben ser una aseveración.)

Si las hipótesis son ciertas y la deducción es buena, entonces tienes una razón para aceptar la conclusión.

Ejemplo\(1.1.6\).

Aquí hay dos deducciones.

1. Hipótesis:
   1. Todos los hombres son mortales.
   2. Sócrates es un hombre.
      Conclusión: Sócrates es mortal.
2. Hipótesis:
   1. La Mona Lisa fue pintada por Leonardo da Vinci.
   2. Neil Armstrong fue el primer hombre en la luna.
      Conclusión: Justin Trudeau fue a nadar ayer.

La primera de estas deducciones es muy famosa (y fue discutida por el antiguo filósofo griego Aristóteles), pero la segunda es coja. Puede parecer extraño incluso llamarlo deducción, porque las dos hipótesis no tienen nada que ver con la conclusión, pero, dada nuestra definición, sí cuenta como deducción. No obstante, es muy pobre, por lo que no se puede confiar en ella como evidencia de que la conclusión es cierta.

Nos interesan las deducciones que sí aportan pruebas sólidas para sus conclusiones:

Definición\(1.1.7\).

Una deducción es válida si su conclusión es verdadera siempre que todas sus hipótesis sean ciertas. Es decir, es imposible tener una situación en la que todas las hipótesis sean ciertas, pero la conclusión es falsa.

La tarea de la Lógica es distinguir las deducciones válidas de las inválidas.

Ejemplo\(1.1.8\).

Hipótesis:

Las naranjas son frutas o instrumentos musicales.
Las naranjas no son frutas.

Conclusión:
Las naranjas son instrumentos musicales.

La conclusión es ridícula. No obstante, la deducción es válida, porque su conclusión se deriva válidamente de sus hipótesis; es decir, si ambas hipótesis fueran ciertas, entonces la conclusión sería necesariamente cierta. Por ejemplo, podrías imaginarte que, en algún valle remoto del río, hay una variedad de naranja que no es una fruta, porque es hueca por dentro, como una calabaza. Bueno, si la otra hipótesis también es cierta en ese valle, entonces los vecinos deben usar las naranjas para tocar música.

Esto demuestra que una deducción lógicamente válida no necesita tener verdaderas hipótesis ni una conclusión verdadera. Por el contrario, tener verdaderas hipótesis y una conclusión verdadera no es suficiente para hacer válida una deducción:

Ejemplo\(1.1.9\).

Hipótesis:

Londres está en Inglaterra.
Beijing está en China.

Conclusión: París está en Francia.

Las hipótesis y conclusión de esta deducción son, de hecho, todas verdaderas. Se trata de una deducción terrible, sin embargo, porque las hipótesis no tienen nada que ver con la conclusión. Por ejemplo, si París declarara su independencia del resto de Francia, entonces la conclusión sería falsa, aunque ambas hipótesis seguirían siendo ciertas. Así, es lógicamente posible tener una situación en la que las hipótesis de esta deducción sean verdaderas y la conclusión sea falsa. Por lo tanto, la deducción no es válida.

Ejemplo\(1.1.10\).

Recuerda la deducción de que debes tomar un paraguas (arriba), y suponga por un momento que ambas hipótesis son ciertas. (Así, te mojarás si no tomas paraguas.) Ahora bien, ¿es necesariamente cierto que deberías llevar un paraguas? No, tal vez disfrutes caminando bajo la lluvia y te gustaría empaparte. En ese caso, aunque las hipótesis fueran ciertas, la conclusión sería falsa. Por lo tanto, la deducción no es válida.

Ejemplo\(1.1.11\).

Hipótesis:

Estás leyendo este libro.
Se trata de un libro de texto de licenciatura.

Conclusión: Eres estudiante de pregrado.

Esto no es una deducción terrible, porque la mayoría de las personas que leen este libro son estudiantes de pregrado. Sin embargo, es posible que alguien además de una licenciatura lea este libro. Por ejemplo, si tu madre o tu padre recogieran el libro y lo hojeaban, no se convertirían de inmediato en licenciatura. Entonces las hipótesis de esta deducción, aunque sean ciertas, no garantizan la verdad de la conclusión. Así, aunque algunas personas puedan decir que la deducción tiene algún valor, ciertamente no es válida.

Obrar\(1.1.12\).

Es importante recordar que la validez de una deducción no se trata de la verdad o falsedad de las aseveraciones de la deducción en el mundo real. En cambio, se trata de la forma de la deducción, en que la verdad de las hipótesis es incompatible con la falsedad de la conclusión en todo mundo posible (real o imaginario). Además, una deducción te da una razón para creer su conclusión sólo en situaciones en las que sus hipótesis son ciertas.

Ejercicio\(1.1.13\).

¿Cuál de las siguientes opciones es posible? Si es posible, dar un ejemplo. Si no es posible, explique por qué.

1. Una deducción válida que tiene una hipótesis falsa y una hipótesis verdadera.
2. Una deducción válida que tiene una conclusión falsa.
3. Una deducción válida que tenga al menos una hipótesis falsa, y una conclusión verdadera.
4. Una deducción válida que tiene todas las hipótesis verdaderas, y una conclusión falsa.
5. Una deducción inválida que tiene al menos una hipótesis falsa, y una conclusión verdadera.