1.3: Usar letras para simbolizar aserciones
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\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
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\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
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\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
En lo que resta de esto, discutiremos un lenguaje lógico llamado. Proporciona una manera conveniente de describir la relación lógica entre dos (o más) aserciones, mediante el uso de letras mayúsculas para representar aserciones. Considerada sólo como símbolo de, la letra\(A\) podría significar cualquier aseveración. Entonces, al traducir del inglés al, es importante proporcionar una clave de simbolización que especifique qué aserción está representada por cada letra.
Por ejemplo, considere esta deducción:
Hipótesis:
Hay una manzana en el escritorio.
Si hay una manzana en el escritorio, entonces Jenny llegó a clase. Jenny llegó a clase.
Conclusión:
Jenny llegó a clase.
Esto es obviamente una deducción válida en inglés.
¿Qué pasa si reemplazamos cada aseveración por una letra? Nuestra clave de simbolización se vería así:
\(A\):Hay una manzana en el escritorio.
\(B\): Si hay una manzana en el escritorio, entonces Jenny llegó a clase.
\(C\): Jenny llegó a clase.
Entonces simbolizaríamos la deducción de esta manera:
Hipótesis:
\(A\)
\(B\)
Conclusión:\(C\)
Desafortunadamente, no hay conexión necesaria entre dos aseveraciones\(A\) y\(B\), que podría ser cualquier aseveración, y una tercera aseveración\(C\), que podría ser cualquier aseveración, por lo que esta no es una deducción válida. Así, la validez de la deducción original se ha perdido en esta traducción; necesitamos hacer otra cosa para preservar la estructura lógica de la deducción original y obtener una traducción válida.
Lo importante de la deducción original es que la segunda hipótesis no es meramente cualquier aseveración, lógicamente divorciada de las demás aseveraciones de la deducción. En cambio, la segunda hipótesis contiene la primera hipótesis y la conclusión como partes. Nuestra clave de simbolización para la deducción solo necesita incluir significados para\(A\) y\(C\), y podemos construir la segunda hipótesis a partir de esas piezas. Así podríamos simbolizar la deducción de esta manera:
Hipótesis:
\(A\)
Si\(A\), entonces\(C\).
Conclusión:\(C\)
Esto preserva la estructura de la deducción que la hace válida, pero aún hace uso de la expresión inglesa “Si\(\ldots\) entonces”\(\ldots\). Eventualmente, reemplazaremos todas las expresiones inglesas por notación matemática, pero este es un buen comienzo.
Las aseveraciones que se simbolizan con una sola letra se denominan aserciones atómicas, porque son los bloques de construcción básicos a partir de los cuales se construyen aserciones más complejas. Cualquiera que sea la estructura lógica que una aserción pueda tener se pierde cuando se traduce como una aserción atómica. Desde el punto de vista de la Lógica Proposicional, la afirmación no es más que una letra. Se puede utilizar para construir aseveraciones más complejas, pero no se puede desarmar.
El símbolo “\(\therefore\)” significa “por lo tanto”, y a menudo lo usaremos\[A, B, C, \ldots, \therefore Z\]
como abreviatura para la deducción
Hipótesis:
\ (\ begin {aligned}
&A\\
&B\\
&C\\
&\ vdots
\ end {alineado}\)
Conclusión:\(Z\).