3.2: Más métodos de prueba

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Vista previa de la Actividad 1: Usando el Contrapositivo

La siguiente afirmación se comprobó en el Ejercicio (3c) en la página 27 de la Sección 1.2.

Si$n$ es un entero impar, entonces$n^2$ es un entero impar.

Consideremos ahora la siguiente proposición:

Para cada entero$n$, si$n^2$ es un entero impar, entonces$n$ es un entero impar.

Después de examinar varios ejemplos, decide si crees que esta proposición es verdadera o falsa.
Intente completar la siguiente tabla de conocimientos para obtener una prueba directa de esta propuesta. La pregunta es: “¿Podemos realizar manipulaciones algebraicas para pasar de la porción 'saber' de la tabla a la porción 'show' de la tabla?” ¡Ten cuidado con esto! Recuerda que estamos trabajando con enteros y queremos asegurarnos de que podemos terminar con un entero q como se indica en el Paso$Q$ 1.

Paso	Conoce	Razón
$P$	$n^2$es un entero impar	Hipótesis
$P$1	$(\forall k \in \mathbb{Z})(n^2 = 2k + 1)$	Definición de “entero impar”
...	...	...
$Q$1	$(\forall q \in \mathbb{Z})(n = 2k + 1)$
$Q$	$n$es un entero impar.	Definición de “entero impar”
Paso	Mostrar	Razón

Recordemos que el contrapositivo del enunciado condicional$P \to Q$ es el enunciado condicional$\urcorner Q \to \urcorner P$. Hemos visto en la Sección 2.2 que el contrapositivo de una declaración condicional es lógicamente equivalente a la declaración condicional. (Podría ser una buena idea revisar la Actividad de Vista Previa$\PageIndex{2}$ de la Sección 2.2 en la página 44.) Considere la siguiente proposición una vez más:

Para cada entero$n$, si$n^2$ es un entero impar, entonces$n$ es un entero impar.

Escribir el contrapositivo de esta declaración condicional. Recuerda que “no extraño” significa “par”.
Complete una tabla de conocimientos para la declaración contrapositiva de la Parte (3).
Al completar la prueba en la Parte (4), ¿ha probado la proposición dada? Es decir, ¿has probado que si$n^2$ es un entero impar, entonces$n$ es un entero impar? Explique.

Vista previa Actividad 2: Una declaración bicondicional

En el Ejercicio (4a) de la Sección 2.2, construimos una tabla de verdad para probar que la declaración bicondicional$P \leftrightarrow Q$,, es lógicamente equivalente a$P \to Q) \wedge (Q \to P$. Completa este ejercicio si aún no lo has hecho.
Supongamos que queremos probar una declaración bicondicional del formulario$P \leftrightarrow Q$. Explicar un método para completar esta prueba con base en la equivalencia lógica en la parte (1).
Dejar$n$ ser un entero. Supongamos que hemos completado las pruebas de las siguientes dos declaraciones:
- Si n es un entero impar, entonces n2 es un entero impar.
- Si n2 es un entero impar, entonces n es un entero impar.

(Ver Ejercicio (3c) de la Sección 1.2 y Vista previa de la Actividad$\PageIndex{1}$.) ¿Hemos completado la prueba de la siguiente proposición?

Para cada entero$n$,$n$ es un entero impar si y solo si$n^2$ es un entero impar. Explique.

Revisión de Pruebas Directas

En las Secciones 1.2 y 3.1, estudiamos pruebas directas de declaraciones matemáticas. La mayoría de las declaraciones que probamos en matemáticas son declaraciones condicionales que se pueden escribir en la forma$P \to Q$. Una prueba directa de una declaración de la forma$P \to Q$ se basa en la definición de que una declaración condicional sólo puede ser falsa cuando la hipótesis,$P$, es verdadera y la conclusión,$Q$, es falsa. Así, si la conclusión es verdadera siempre que la hipótesis es verdadera, entonces la declaración condicional debe ser verdadera. Entonces, en una prueba directa,

Empezamos asumiendo que eso$P$ es cierto.
A partir de esta suposición, deducimos lógicamente que eso$Q$ es cierto.

Hemos utilizado el llamado método hacia adelante y hacia atrás para descubrir cómo deducir lógicamente a$Q$ partir de la suposición que$P$ es verdad.

Prueba usando el contrapositivo

Como vimos en Preview Activity$\PageIndex{1}$, a veces es difícil construir una prueba directa de una declaración condicional. Esta es una de las razones por las que estudiamos equivalencias lógicas en la Sección 2.2. Saber que dos expresiones son lógicamente equivalentes nos dice que si probamos una, entonces también hemos probado la otra. De hecho, una vez que conocemos el valor de verdad de una declaración, entonces conocemos el valor de verdad de cualquier otra afirmación que lógicamente sea equivalente a ella.

Una de las equivalencias lógicas más útiles en este sentido es que una declaración condicional$P \to Q$ es lógicamente equivalente a su contrapositiva,$\urcorner Q \to \urcorner P$. Esto quiere decir que si demostramos el contrapositivo de la declaración condicional, entonces hemos probado la declaración condicional. Los siguientes son algunos puntos importantes para recordar.

Una declaración condicional es lógicamente equivalente a su contrapositivo.
Usa una prueba directa para probar que$\urcorner Q \to \urcorner P$ es verdad.
Precaución: Una dificultad con este tipo de pruebas está en la formación de negaciones correctas. (Tenemos que tener mucho cuidado al hacer esto.)
Podríamos considerar el uso de una prueba por contrapositivo cuando las declaraciones$P$ y$Q$ se declaran como negaciones.

Lineamientos de escritura

Una de las reglas básicas para escribir pruebas matemáticas es mantener informado al lector. Entonces, cuando probamos un resultado usando el contrapositivo, lo indicamos dentro de las primeras líneas de la prueba. Por ejemplo,

Demostraremos este teorema demostrando su contrapositivo.
Demostraremos el contrapositivo de esta afirmación.

Además, asegúrate de que el lector conozca el estado de cada afirmación que hagas. Es decir, asegúrese de declarar si una afirmación es una suposición del teorema, un resultado previamente probado, un resultado bien conocido, o algo del trasfondo matemático del lector. A continuación se presenta un comprobante completo de una declaración de la Actividad Previa$\PageIndex{1}$.

Teorema 3.7

Para cada entero$n$, si$n^2$ es un número entero par, entonces$n$ es un entero par.

Prueba

Demostraremos este resultado demostrando el contrapositivo del comunicado, que es

Para cada entero$n$, si$n$ es un entero impar, entonces$n^2$ es un entero impar.

Sin embargo, en el Teorema 1.8 de la página 21, ya hemos probado que si$x$ y$y$ son enteros impares, entonces$x \cdot y$ es un entero impar. Entonces usando$x = y = n$, podemos concluir que si$n$ es un entero impar, entonces$n \cdot n$, o$n^2$, es un entero impar. Hemos demostrado así el contrapositivo del teorema, y consecuentemente, hemos demostrado que si$n^2$ es un entero par, entonces$n$ es un entero par.

Uso de otras equivalencias lógicas

Como se señaló en la Sección 2.2, existen varias equivalencias lógicas diferentes. Afortunadamente, solo hay un número pequeño que solemos utilizar cuando intentamos escribir pruebas, y muchas de ellas están listadas en el Teorema 2.8 al final de la Sección 2.2. Ilustraremos el uso de una de estas equivalencias lógicas con la siguiente proposición:

Para todos los números reales$a$ y$b$, si$a \ne 0$ y$b \ne 0$, entonces$ab \ne 0$.

Primero, observe que la hipótesis y la conclusión del enunciado condicional se enuncian en forma de negaciones. Esto sugiere que consideramos lo contrapositivo. Hay que tener cuidado cuando negamos la hipótesis ya que es una conjunción. Utilizamos una de las leyes de De Morgan de la siguiente manera:

\[\urcorner (a \ne 0 \wedge b \ne 0) \equiv (a = 0) \vee (b = 0).\]

Comprobación de progreso 3.8 (Uso de otra equivalencia lógica)

En inglés, escribe el contrapositivo de, “Para todos los números reales$a$ y$b$, si$a \ne 0$ y$b \ne 0$, entonces”$ab \ne 0$.
El contrapositivo es una declaración condicional en la forma$X \to (Y \vee Z$. La dificultad es que no hay mucho que podamos hacer con la hipótesis$ab = 0$ ya que no sabemos nada más sobre los números reales$a$ y$b$. No obstante, si supiéramos que eso no$a$ era igual a cero, entonces podríamos multiplicar ambos lados de la ecuación$ab = 0$ por$\dfrac{1}{a}$. Esto sugiere que consideramos usar la siguiente equivalencia lógica basada en un resultado en el Teorema 2.8 de la página 48:

\[X \to (Y \vee Z) \equiv (X \wedge \urcorner Y) \to Z.\]
En inglés, use esta equivalencia lógica, para escribir una declaración que sea lógicamente equivalente al contrapositivo de la Parte (1).
La equivalencia lógica en la Parte (2) tiene sentido porque si estamos tratando de probar$Y \vee Z$, solo necesitamos demostrar que al menos uno de$Y$ o$Z$ es cierto. Entonces la idea es probar que si$Y$ es falso, entonces$Z$ debe ser verdad.
Utilice las ideas presentadas en la comprobación de progreso para completar la prueba de la siguiente proposición.
Proposición 3.9.

Para todos los números reales$a$ y$b$, si$a \ne$ y$b \ne 0$, entonces$ab \ne 0$.

Prueba

Demostraremos lo contrapositivo de esta proposición, que es

Para todos los números reales$a$ y$b$, si$ab = 0$, entonces$a = 0$ o$b = 0$.

Este contrapositivo, sin embargo, es lógicamente equivalente a lo siguiente:

Para todos los números reales$a$ y$b$, si$ab = 0$ y$a \ne 0$, entonces$b = 0$.

Para probarlo, dejamos$a$ y$b$ seamos números reales y asumimos que$ab = 0$ y$a \ne 0$. Entonces podemos multiplicar ambos lados de la ecuación$ab = 0$ por$\dfrac{1}{a}$. Esto da

Ahora completa la prueba.

...

Por lo tanto,$b = 0$. Esto completa la prueba de una afirmación que lógicamente es equivalente a la contrapositiva, y de ahí, hemos probado la proposición.

Responder: Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Pruebas de Declaraciones Bicondicionales

En Preview Activity$\PageIndex{2}$, utilizamos la siguiente equivalencia lógica:

\[(P \leftrightarrow Q) \equiv (P \to Q) \wedge (Q \to P).\]

Esta equivalencia lógica sugiere un método para probar una declaración bicondicional escrita en la forma “$P$si y solo si”$Q$. Este método consiste en construir pruebas separadas de las dos declaraciones condicionales$P \to Q$ y$Q \to P$. Por ejemplo, ya que ahora hemos probado cada uno de los siguientes:

Para cada entero$n$, si$n$ es un número entero par, entonces$n^2$ es un entero par. (Ejercicio (3c) en la página 27 en la Sección 1.2)
Para cada entero$n$, si$n^2$ es un número entero par, entonces$n$ es un entero par. (Teorema 3.7)

Podemos exponer el siguiente teorema.

Teorema 3.10.

Para cada entero$n$,$n$ es un entero par si y solo si$n^2$ es un entero par.

Lineamientos de escritura

Al probar una declaración bicondicional usando la equivalencia lógica$(P \leftrightarrow Q) \equiv (P \to Q) \wedge (Q \to P)$, en realidad necesitamos probar dos declaraciones condicionales. El comprobante de cada declaración condicional puede considerarse como una de las dos partes de la prueba de la declaración bicondicional. Asegúrese de que se indique claramente el inicio y el final de cada una de estas partes. Esto se ilustra en la prueba de la siguiente proposición.

Proposición 3.11

Vamos$x \in \mathbb{R}$. El número real$x$ es igual a 2 si y sólo si$x^3 - 2x^2 + x = 2$.

Prueba

Demostraremos esta declaración bicondicional demostrando las siguientes dos declaraciones condicionales:

Por cada número real$x$, si$x$ es igual a 2, entonces$x^3 - 2x^2 + x = 2$.
Por cada número real$x$, si$x^3 - 2x^2 + x = 2$, entonces$x$ es igual a 2.

Para la primera parte, asumimos$x = 2$ y lo demostramos$x^3 - 2x^2 + x = 2$. Esto lo podemos hacer sustituyendo$x = 2$ en la expresión$x^3 - 2x^2 + x$. Esto da

\[x^3 - 2x^2 + x = 2^3 - 2(2^2) + 2 = 8 - 8 + 2 = 2\]

Esto completa la primera parte de la prueba.

Para la segunda parte, suponemos que$x^3 - 2x^2 + x = 2$ y a partir de esta suposición, lo demostraremos$x = 2$. Esto lo haremos resolviendo esta ecuación para$x$. Para ello, primero reescribimos la ecuación$x^3 - 2x^2 + x = 2$ restando 2 de ambos lados:

$x^3 - 2x^2 + x - 2 = 0$

Ahora podemos factorizar el lado izquierdo de esta ecuación factorizando un$x$ de los dos primeros términos y luego factorizando ($x - 2$) a partir de los dos términos resultantes. Esto se muestra a continuación.

$x^3 - 2x^2 + x - 2 = 0$

$x^2(x - 2) + x - 2 = 0$

$(x - 2) (x^2 + 1) = 0$

Ahora bien, en los números reales, si un producto de dos factores es igual a cero, entonces uno de los factores debe ser cero. Entonces esta última ecuación implica que

$x - 2 = 0$o$x^2 + 1 = 0$

La ecuación no$x^2 + 1 = 0$ tiene solución de números reales. Entonces como$x$ es un número real, la única posibilidad es esa$x - 2 = 0$. De esto podemos concluir que$x$ debe ser igual a 2.

Dado que ahora hemos probado ambas declaraciones condicionales, hemos probado que$x = 2$ si y solo si$x^3 - 2x^2 + x = 2$

Pruebas constructivas

Todos sabemos resolver una ecuación como$3x + 8 = 23$, donde$x$ está un número real. Para ello, primero agregamos -8 a ambos lados de la ecuación y luego dividimos ambos lados de la ecuación resultante por 3. Al hacerlo, obtenemos el siguiente resultado:

Si$x$ es un número real y$3x + 8 = 23$, entonces$x = 5$.

Observe que el proceso de resolver la ecuación en realidad no prueba que$x = 5$ sea una solución de la ecuación$3x + 8 = 23$. Este proceso realmente demuestra que si hay una solución, entonces esa solución debe ser$x = 5$. Para demostrar que esta es una solución, utilizamos el proceso de sustituir 5 por$x$ en el lado izquierdo de la ecuación de la siguiente manera: Si$x = 5$, entonces

$3x + 8 = 3 (5) + 8 = 15 + 8 = 23$

Esto demuestra que$x = 5$ es una solución de la ecuación$3x + 8 = 23$. De ahí que hayamos demostrado que$x = 5$ es la única solución de número real de$3x + 8 = 23$.

Podemos usar este mismo proceso para mostrar que cualquier ecuación lineal tiene una solución numérica real. Una ecuación de la forma

\[ax + b = c\],

donde$a$,$b$, y$c$ son números reales con$a \ne 0$, se denomina ecuación lineal en una variable.

Proposición 3.12

Si$a$,$b$, y$c$ son números reales con$a \ne 0$, entonces la ecuación lineal$ax + b = c$ tiene exactamente una solución de número real, que es$x = \dfrac{c - b}{a}$.

Prueba: Supongamos que$a$$b$,, y$c$ son números reales con$a \ne 0$. Podemos resolver la ecuación lineal$ax + b = c$ sumando$-b$ a ambos lados de la ecuación y luego dividiendo ambos lados de la ecuación resultante por$a$ (ya que$a \ne 0$, para obtener; $x = \dfrac{c - b}{a}$.; Esto demuestra que si hay una solución, entonces debe serlo$x = \dfrac{c - b}{a}$. También vemos que si$x = \dfrac{c - b}{a}$, entonces,; \ (ax + b = a (\ dfrac {c - b} {a}) + b
=( c - b) + b
= c\)

Por lo tanto, la ecuación lineal$ax + b = c$ tiene exactamente una solución de número real y la solución es$x = \dfrac{c - b}{a}$.

A la prueba dada para la Proposición 3.12 se le llama prueba constructiva. Esta es una técnica que a menudo se utiliza para probar un llamado teorema de la existencia. El objetivo de un teorema de la existencia es demostrar que existe cierto objeto matemático. Es decir, el objetivo suele ser acreditar una declaración de la forma

Existe$x$ tal que$P(x)$.

Para una prueba constructiva de tal proposición, en realidad nombramos, describimos o explicamos cómo construir algún objeto en el universo que haga$P(x)$ realidad. Esto es lo que hicimos en la Proposición 3.12 ya que en la prueba, en realidad probamos que$\dfrac{c - b}{a}$ es una solución de la ecuación$ax + b = c$. De hecho, probamos que esta es la única solución de esta ecuación.

Pruebas no constructivas

Otro tipo de prueba que a menudo se utiliza para probar un teorema de existencia es la llamada prueba no constructiva. Para este tipo de pruebas, hacemos un argumento de que un objeto en el conjunto universal que hace$P(x)$ realidad debe existir pero nunca construimos ni nombramos al objeto que hace$P(x)$ realidad. La ventaja de una prueba constructiva sobre una prueba no constructiva es que la prueba constructiva dará lugar a un procedimiento o algoritmo para obtener el objeto deseado.

La prueba del Teorema del Valor Intermedio a partir del cálculo es un ejemplo de una prueba no constructiva. El Teorema del Valor Intermedio se puede afirmar de la siguiente manera:

Si$f$ es una función continua en el intervalo cerrado [$a$,$b$] y si$q$ hay algún número real estrictamente entre$f(a)$ y$f(b)$, entonces existe un número$c$ en el intervalo ($a$,$b$) tal que$f(c) = q$.

El Teorema del Valor Intermedio se puede utilizar para probar que debe existir una solución a algunas ecuaciones. Esto se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.13 (Usando el Teorema del Valor Intermedio)

Vamos a$x$ representar un número real. Utilizaremos el Teorema del Valor Intermedio para probar que la ecuación$x^3 - x + 1 = 0$ tiene una solución numérica real.

Para investigar soluciones de ti quation$x^3 - x + 1 = 0$, usaremos la función

$f(x) = x^3 - x + 1 = 0$

Observe que$f(-2)$ = -5 y que$f(0)$ > 1. Desde$f(-2)$ < 0 y$f(0$ > 0, el Teorema del Valor Intermedio nos dice que hay un número real$c$ entre -2 y 0 tal que$f(c) = 0$. Esto quiere decir que existe un número real$c$ entre -2 y 0 tal que

$c^3 - c + 1 = 0$,

y por lo tanto$c$ es una solución numérica real de la ecuación$x^3 - x + 1 = 0$. Esto demuestra que la ecuación$x^3 - x + 1 = 0$ tiene al menos una solución de número real.

Observe que esta prueba no nos dice cómo encontrar el valor exacto de$c$. Sin embargo, sugiere un método para aproximar el valor de$c$. Esto se puede hacer encontrando intervalos cada vez más pequeños [$a$,$b$] tales que$f(a)$ y$f(b)$ tengan signos opuestos.

$página128image3580513632$ $página128image3580513904$

Ejercicio para la sección 3.2

Dejar$n$ ser un entero. Demostrar cada uno de los siguientes: a

) Si$n$ es par, entonces$n^3$ es par.
b) Si$n^3$ es par, entonces$n$ es par.
(c) El entero$n$ es par si y solo si$n^3$ es un entero par.
(d) El entero$n$ es impar si y solo si$n^3$ es un entero impar.
En la Sección 3.1, definimos congruencia módulo$n$ donde$n$ es un número natural. Si$a$ y$b$ son enteros, usaremos la notación$a \not\equiv b$ (mod$n$) para significar que no$a$ es congruente con$b$ módulo$n$.

(a) Escribir el contrapositivo de la siguiente declaración condicional:
Para todos los enteros$a$ y$b$, si$a \not\equiv 0$ (mod 6) y$b \not\equiv 0$ (mod 6), entonces$ab \not\equiv 0$ (mod 6).

b) ¿Esta afirmación es verdadera o falsa? Explique.
(a) Escribir el contrapositivo de la siguiente afirmación:

Para todos los números reales positivos$a$ y$b$, si$\sqrt{ab} \ne \dfrac{a + b}{2}$, entonces$a \ne b$.
b) ¿Esta afirmación es verdadera o falsa? Demostrar la declaración si es verdadera o proporcionar un contraejemplo si es falsa.
¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones? Justifica tus conclusiones.
(a) Para cada uno$a \in \mathbb{Z}$, si$a \equiv 2$ (mod 5), entonces$a^2 \equiv 4$ (mod 5).
(b) Para cada uno$a \in \mathbb{Z}$, si$a^2 \equiv 4$ (mod 5), entonces$a \equiv 2$ (mod 5).
(c) Para cada uno$a \in \mathbb{Z}$,$a \equiv 2$ (mod 5) si y sólo si$a^2 \equiv 4$ (mod 5).
¿La siguiente proposición es verdadera o falsa?

Para todos los enteros$a$ y$b$, si$ab$ es par, entonces$a$ es par o$b$ es par.

Justifica tu conclusión escribiendo una prueba si la proposición es verdadera o proporcionando un contraejemplo si es falsa.
Considera la siguiente proposición: Para cada entero$a$,$a \equiv 3$ (mod 7) si y solo si$(a^2 + 5a)) \equiv 3$ (mod 7).

a) Escribir la proposición como la conjunción de dos declaraciones condicionales.
b) Determinar si las dos declaraciones condicionales de la Parte (a) son verdaderas o falsas. Si una declaración condicional es verdadera, escriba una prueba, y si es falsa, proporcione un contraejemplo.
c) ¿La proposición dada es verdadera o falsa? Explique.
Considera la siguiente proposición: Para cada entero$a$,$a \equiv 2$ (mod 8) si y solo si$(a^2 + 4a) \equiv 4$ (mod 8).

a) Escribir la proposición como la conjunción de dos declaraciones condicionales.
b) Determinar si las dos declaraciones condicionales de la Parte (a) son verdaderas o falsas. Si una declaración condicional es verdadera, escriba una prueba, y si es falsa, proporcione un contraejemplo.
c) ¿La proposición dada es verdadera o falsa? Explique.
Para un triángulo rectángulo, supongamos que la hipotenusa tiene$c$ pies de longitud y los largos de los lados son$a$ pies y$b$ pies.

a) ¿Cuál es una fórmula para el área de este triángulo rectángulo? ¿Qué es un triángulo isósceles?
b) Declarar el Teorema de Pitágoras para los triángulos rectos.
(c) Demostrar que el triángulo rectángulo descrito anteriormente es un triángulo isósceles si y sólo si el área del triángulo rectángulo es$\dfrac{1}{4}c^2$.
Un número real$x$ se define como un número racional proporcionado
existen enteros$m$ y$n$ con$n \ne 0$ tal que$x = \dfrac{m}{n}$.

Un número real que no es un número racional se llama número irracional.Se sabe que si x es un número racional positivo, entonces existen enteros positivos$m$ y$n$ con$n \ne 0$ tal que ¿$x = \dfrac{m}{n}$
Es verdadera o falsa la siguiente proposición? Explique.
Por cada número real positivo$x$, si$x$ es irracional, entonces$\sqrt x$ es irracional.
¿La siguiente proposición es verdadera o falsa? Justifica tu conclusión.

Para cada entero$n$,$n$ es par si y sólo si 4 divide$n^2$.
Demostrar que para cada entero$a$, si$a^2 - 1$ es par, entonces 4 divide$a^2 - 1$.
Demostrar que para todos los enteros$a$ y$m$, si$a$ y$m$ son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y$m + 1$ es la longitud de la hipotenusa, entonces$a$ es un entero impar.
Demostrar la siguiente proposición:

Si$p$$p < q$,$q \in \mathbb{Q}$ con, entonces existe un$x \in \mathbb{Q}$ con$p < x < q$.
¿Son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones? Justifica tu conclusión.

(a) Existen enteros$x$ y$y$ tal que$4x + 6y = 2$.
b) Existen enteros$x$ y$y$ tal que$6x + 15y = 2$.
(c) Existen enteros$x$ y$y$ tal que$6x + 15y = 9$.
Demostrar que existe un número real$x$ tal que$x^3 - 4x^2 = 7$.
Que$y_1$,$y_2$,$y_3$,$y_4$ sean números reales. La media,$\bar{y}$, de estos cuatro números se define como la suma de los cuatro números divididos por 4, es decir,

\[\bar{y} = \dfrac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{4}.\]

Demostrar que existe una$y_i$ con$1 \le i \le 4$ tal que$y_i \ge \bar{y}$.
Pista: Una forma es dejar$y_{max}$ ser el más grande de$y_1$,$y_2$,$y_3$,$y_4$.
Dejemos$a$ y$b$ sean números naturales tales que$a^2 = b^3$. Demostrar cada una de las proposiciones en Partes (6a) a través (6d). (Los resultados del Ejercicio (1) y del Teorema 3.10 pueden ser útiles.)

(a) Si$a$ es par, entonces 4 divide$a$.
b) Si 4 divide$a$, entonces 4 divide$b$.
(c) Si 4 divide$b$, entonces 8 divide$a$.
d) Si$a$ es par, entonces se divide 8$a$.
(e) Dado un ejemplo de números naturales$a$ y$b$ tal que$a$ es par y$a^2 = b^3$, pero no$b$ es divisible por 8.
Demostrar la siguiente proposición:
Dejar$a$ y$b$ ser enteros con$a \ne 0$. Si$a$ no divide$b$, entonces la ecuación$ax^3 + bx + (b + a) = 0$ no tiene una solución que sea un número natural.
Pista: Puede ser necesario factorizar una suma de cubos. Recordemos que

\[u^3 + v^3 = (u + v) (u^2 - uv + v^2).\]
Evaluación de Pruebas
Consulte las instrucciones para Excercise (19) en la página 100 de la Sección 3.1.
a)
proposición

Si$m$ es un entero impar, entonces ($m + 6$) es un entero impar.

Prueba

$m + 6$Para que sea un entero impar, debe existir un entero$n$ tal que

\[m + 6 = 2n + 1.\]

Al restar 6 de ambos lados de esta ecuación, obtenemos

\[m = 2n - 6 + 1 = 2 (n - 3) = 1.\]

Por las propiedades de cierre de los enteros, ($n - 3$) es un entero, y por lo tanto, la última ecuación implica que$m$ es un entero impar. Esto demuestra que si$m$ es un entero impar, entonces$m + 6$ es un entero impar.

b)

proposición

Para todos los enteros$m$ y$n$, si$mn$ es un entero par, entonces$m$ es par o$n$ es par.

Prueba

Para cualquiera$m$ o$n$ para ser par, existe un entero$k$ tal que$m = 2k$ o$n = 2k$. Entonces si multiplicamos$m$ y$n$, el producto contendrá un factor de 2 y, de ahí,$mn$ será parejo.

Exploraciones y actividades

20. Usando una Equivalencia Lógica. Considera la siguiente proposición:
Proposición. Para todos los enteros$a$ y$b$, si 3 no divide$a$ y 3 no divide$b$, entonces 3 no divide el producto$a \cdot b$.

a) Obsérvese que la hipótesis de la proposición se afirma como una conjunción de dos negaciones (“3 no divide$a$ y 3 no divide$b$”). También, la conclusión se afirma como la negación de una frase (“3 no divide el producto”$a \cdot b$.). Esto a menudo indica que debemos considerar usar una prueba de lo contrapositivo. Si usamos la forma simbólica$(\urcorner Q \wedge \urcorner R) \to \urcorner P$ como modelo para esta proposición, ¿qué es$P$, qué es$Q$ y qué es$R$?
(b) Escribir una forma simbólica para el contrapositivo de$(\urcorner Q \wedge \urcorner R) \to \urcorner P$.
(c) Escribir el contrapositivo de la proposición como declaración condicional en inglés.
Todavía no contamos con todas las herramientas necesarias para probar la proposición o su contrapositiva. No obstante, más adelante en el texto, aprenderemos que la siguiente proposición es cierta.

Proposición X. Dejar$a$ ser un entero. Si 3 no divide$a$, entonces existen enteros$x$ y$y$ tal que$3x + ay = 1$.

(d) i. Encontrar enteros$x$ y$y$ garantizados por la Proposición X cuando$a = 5$.
ii. Encuentra enteros$x$ y$y$ garantizados por la Proposición X cuando$a = 2$.
iii. Encuentra enteros$x$ y$y$ garantizados por la Proposición X cuando$a = -2$.
e) Supongamos que la Proposición X es verdadera y utilizarla para ayudar a construir una prueba de lo contrapositivo de la proposición dada. Al hacerlo, lo más probable es que tengas que usar la equivalencia lógica$P \to (Q \vee R) \equiv (P \wedge \urcorner Q) \to R$.

Responder: Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Paso	Conoce	Razón
\(P\)	\(n^2\)es un entero impar	Hipótesis
\(P\)1	\((\forall k \in \mathbb{Z})(n^2 = 2k + 1)\)	Definición de “entero impar”
...	...	...
\(Q\)1	\((\forall q \in \mathbb{Z})(n = 2k + 1)\)
\(Q\)	\(n\)es un entero impar.	Definición de “entero impar”
Paso	Mostrar	Razón

Vista previa de la Actividad 1: Usando el Contrapositivo

Vista previa Actividad 2: Una declaración bicondicional

Lineamientos de escritura

Teorema 3.7

Uso de otras equivalencias lógicas

Comprobación de progreso 3.8 (Uso de otra equivalencia lógica)

Proposición 3.9.

Teorema 3.10.

Lineamientos de escritura

Proposición 3.11

Proposición 3.12

Ejemplo 3.13 (Usando el Teorema del Valor Intermedio)

proposición

proposición