3.3: Prueba por contradicción

Vista previa Actividad 1 (Prueba por Contradicción)

En la Sección 2.1, definimos una tautología como una declaración compuesta\(S\) que es verdadera para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las declaraciones componentes que forman parte de S. También definimos contradicción como una declaración compuesta que es falsa para todos los posibles combinaciones de valores de verdad de las declaraciones componentes que forman parte de\(S\).

Es decir, una tautología es necesariamente cierta en todas las circunstancias, y una contradicción es necesariamente falsa en todas las circunstancias.

1. Utilizar tablas de verdad para explicar por qué\(P \vee \urcorner P\) es una tautología y\(P \wedge \urcorner P\) es una contradicción.
   
   Otro método de prueba que se utiliza frecuentemente en matemáticas es una prueba por contradicción. Este método se basa en el hecho de que una declaración sólo\(X\) puede ser verdadera o falsa (y no ambas). La idea es probar que la afirmación\(X\) es cierta demostrando que no puede ser falsa. Esto se hace asumiendo que eso\(X\) es falso y demostrando que esto lleva a una contradicción. (La contradicción suele tener la forma\(R \wedge \urcorner R\), donde\(R\) hay alguna declaración.) Cuando esto sucede, podemos concluir que la suposición de que la declaración\(X\) es falsa es incorrecta y por lo tanto\(X\) no puede ser falsa. Ya que no puede ser falso, entonces\(X\) debe ser cierto.
   Una base lógica para el método de contradicción de la prueba es la tautología\[[\urcorner X \to C] \to X,\] donde\(X\) se encuentra una declaración y\(C\) is a contradiction. The following truth table estab lishes esta tautología.

   \(X\)	\(C\)	\(\urcorner X\)	\(\urcorner X \to C\)	\((\urcorner X \to C) \to X\)
   \ (X\) ">T	\ (C\) ">F	\ (\ uresquina X\) ">F	\ (\ uresquina X\ a C\) ">T	\ ((\ uresquina X\ a C)\ a X\) ">T
   \ (X\) ">F	\ (C\) ">F	\ (\ uresquina X\) ">T	\ (\ uresquina X\ a C\) ">F	\ ((\ uresquina X\ a C)\ a X\) ">T

   
   Esta tautología muestra que si lógicamente\(\urcorner X\) leads to a contradiction, then \(X\) must be true. The previous truth table also shows that the statement \(\urcorner X \to C\) se presta equiva a\(X\). This means that if we have proved that \(\urcorner X\) lleva a una contradicción, entonces hemos demostrado que la afirmación\(X\). So if we want to prove a statement \(X\) using a proof by contradiction, we assume that \(\urcorner X\) es cierta y demostrar que esto lleva a una contradicción.

   Cuando tratamos de probar la afirmación condicional, “Si\(P\) entonces\(Q\)” usando una prueba por contradicción, debemos asumir que\(P \to Q\) es falsa y demostrar que esto lleva a una contradicción.

2. Usa una tabla de verdad para mostrar que\(\urcorner (P \to Q)\) is logical equivalent to \(P \wedge \urcorner Q\).
   
   La equivalencia lógica precedente muestra que cuando asumimos que\(P \to Q\) is false, we are assuming that \(P\) is true and \(Q\) is false. If we can prove that this leads to a contradiction, then we have shown that \(\urcorner (P \to Q)\) is false and hence that \(P \to Q\) is true.
3. Dado un contraejemplo para demostrar que la siguiente declaración es falsa.
   
   Por cada número real\(x\),\(\dfrac{1}{x(1 - x)} \ge 4\).
4. Cuando una declaración es falsa, a veces es posible agregar una suposición que dará lugar a una declaración verdadera. Esto generalmente se hace mediante el uso de una sentencia condicional. Entonces, en lugar de trabajar con la declaración en (3), trabajaremos con una declaración relacionada que se obtiene agregando una suposición (o suposiciones) a la hipótesis.
   
   Por cada número real\(x\), si\(0 < x < 1\), entonces\(\dfrac{1}{x(1 - x)} \ge 4\).
   Para iniciar una prueba por contradicción para esta afirmación, necesitamos asumir la negación de la declaración. Para ello, necesitamos negar toda la declaración, incluido el cuantificador. Recordemos que la negación de una declaración con un cuantificador universal es una declaración que contiene un cuantificador existencial. (Ver Teorema 2.16 en la página 67). Con esto en mente, anote cuidadosamente todos los supuestos hechos al inicio de una prueba por contradicción para esta afirmación.

Vista previa Actividad 2 (Construyendo una Prueba por Contradicción)

Considere la siguiente proposición:

Proposición. Para todos los números reales\(x\) y\(y\), si\(x \ne y\),\(x > 0\), y\(y > 0\), entonces\(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} > 2\).

Para iniciar una prueba por contradicción, asumimos que esta afirmación es falsa; es decir, asumimos que la negación es verdadera. Debido a que esta es una afirmación con un cuantificador universal, asumimos que existen números reales\(x\) y\(y\) tal que\(x \ne y\),\(x > 0\),\(y > 0\) y eso\(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \le 2\). (Observe que la negación de la sentencia condicional es una conjunción.)

Para esta prueba por contradicción, sólo trabajaremos con la columna know de una tabla de know show. Esto se debe a que no tenemos un objetivo específico. El objetivo es obtener alguna contradicción, pero no sabemos de manera anticipada cuál será esa contradicción. Usando nuestras suposiciones, podemos realizar operaciones algebraicas sobre la desigualdad

\[\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \le 2\]

hasta que obtengamos una contradicción.

1. Pruebe las siguientes operaciones algebraicas sobre la desigualdad en (2). Primero, multiplicar ambos lados de la desigualdad por\(xy\), que es un número real positivo desde\(x > 0\) y\(y > 0\). Entonces, restar\(2xy\) de ambos lados de esta desigualdad y finalmente, factificar el lado izquierdo de la desigualdad resultante.
2. Explica por qué la última desigualdad que obtuviste lleva a una contradicción.

Al obtener una contradicción, hemos demostrado que la proposición no puede ser falsa, y por lo tanto, debe ser cierta.

Pautas de escritura: Mantener informado al lector

Una información muy importante sobre una prueba es el método de prueba a utilizar. Entonces, cuando vamos a probar un resultado usando el contrapositivo o una prueba por contradicción, lo indicamos al inicio de la prueba.

• Demostraremos este resultado demostrando el contrapositivo del comunicado.
• Demostraremos esta afirmación utilizando una prueba por contradicción.
• Usaremos una prueba por contradicción.

Hemos discutido la lógica detrás de una prueba por contradicción en las actividades de previsualización de esta sección. La idea básica para una prueba por contradicción de una proposición es asumir que la proposición es falsa y demostrar que esto lleva a una contradicción. Entonces podemos concluir que la proposición no puede ser falsa, y por lo tanto, debe ser cierta. Cuando asumimos que una proposición es falsa, estamos, en efecto, asumiendo que su negación es verdadera. Esta es una de las razones por las que es tan importante poder escribir negaciones de proposiciones de manera rápida y correcta. Ilustraremos el proceso con la propuesta discutida en Actividad previa\(\PageIndex{1}\).

Proposición 3.14

Por cada número real\(x\), si\(0 < x < 1\), entonces\(\dfrac{1}{x(1 - x)} \ge 4\)

Prueba

Usaremos una prueba por contradicción. Entonces asumimos que la proposición es falsa, o que existe un número real\(x\) tal que\(0 < x < 1\) y

\[\dfrac{1}{x(1 - x)} < 4.\]

Observamos que desde entonces\(0 < x < 1\), podemos concluir eso\(x > 0\) y aquello\((1 - x) > 0\). De ahí,\(x(1 - x) > 0\) y si multiplicamos ambos lados de la desigualdad (1) por\(x(1 - x)\), obtenemos

\(1 < 4x(1 - x).\)

Ahora podemos usar álgebra para reescribir la última desigualdad de la siguiente manera:

\(1 < 4x - 4x^2\)

\(4x^2 - 4x + 1 < 0\)

\((2x - 1)^2 < 0\)

No obstante,\((2x - 1)\) es un número real y la última desigualdad dice que un número real al cuadrado es menor que cero. Esto es una contradicción ya que el cuadrado de cualquier número real debe ser mayor o igual a cero. De ahí que la proposición no pueda ser falsa, y lo hemos probado para cada número real\(x\), si\(0 < x < 1\), entonces\(\dfrac{1}{x(1 - x)} \ge 4\).

Comprobación de Progreso 3.15: Iniciando una Prueba por Contradicción

Una de las partes más importantes de una prueba por contradicción es la primera parte, que consiste en exponer los supuestos que se utilizarán en la prueba por contradicción. Esto suele implicar escribir una clara negación de la proposición por probar. Revisar las leyes de De Morgan y la negación de una declaración condicional en la Sección 2.2. (Ver Teorema 2.8 en la página 48.) También, revise el Teorema 2.16 (en la página 67) y luego escriba una negación de cada una de las siguientes afirmaciones. (Recuerde que un número real “no es irracional” significa que el número real es racional.)

1. Para cada número real\(x\), si\(x\) es irracional, entonces\(\sqrt[3] x\) es irracional.
2. Para cada número real\(x\),\((x + \sqrt 2)\) es irracional o\((-x + \sqrt 2)\) es irracional.
3. Para todos los enteros\(a\) y\(b\), si 5 divide\(ab\), entonces 5 divide\(a\) o 5 divide\(b\).
4. Para todos los números reales\(a\) y\(b\), si\(a > 0\) y\(b > 0\), entonces\(\dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{b} \ne \dfrac{4}{a + b}\).

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Nota Importante

A menudo se utiliza una prueba por contradicción para probar una declaración condicional\(P \to Q\) cuando no se ha encontrado una prueba directa y es relativamente fácil formar la negación de la proposición. La ventaja de una prueba por contradicción es que tenemos una suposición adicional con la que trabajar (ya que asumimos no sólo\(P\) sino también\(\urcorner Q\)). La desventaja es que no hay un objetivo bien definido para trabajar. El objetivo es simplemente obtener alguna contradicción. Por lo general no hay manera de decir de antemano cuál será esa contradicción, así que tenemos que estar alerta ante un posible absurdo. Así, cuando montamos una mesa de know show para una prueba por contradicción, realmente solo trabajamos con la porción de conocimiento de la mesa.

Comprobación de Progreso 3.16: Exploración y Prueba por Contradicción

Considere la siguiente proposición:

Por cada entero\(n\), si\(n \equiv 2\) (mod 4), entonces\(n \not\equiv 3\) (mod 6).

1. Determinar al menos cinco números enteros diferentes que son congruentes a 2 módulo 4, y determinar al menos cinco números enteros diferentes que son congruentes a 3 módulo 6. ¿Hay números enteros que estén en ambas listas?
2. Para esta proposición, ¿por qué parece razonable probar una prueba por contradicción?
3. Para esta proposición, exponer claramente los supuestos que deben hacerse al inicio de una prueba por contradicción, y luego utilizar una prueba por contradicción para probar esta proposición.

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Demostrando que algo no existe

En matemáticas, a veces necesitamos demostrar que algo no existe o que algo no es posible. En lugar de intentar construir una prueba directa, a veces es más fácil usar una prueba por contradicción para que podamos asumir que el algo existe. Por ejemplo, supongamos que queremos probar la siguiente proposición:

Proposición 3.17.

Para todos los enteros\(x\) y\(y\), si\(x\) y\(y\) son enteros impares, entonces no existe un entero\(z\) tal que\(x^2 + y^2 = z^2\).

Observe que la conclusión implica tratar de probar que no existe un entero con una determinada propiedad. Si usamos una prueba por contradicción, podemos suponer que tal entero z existe. Esto nos da más con qué trabajar.

Comprobación de Progreso 3.18

Complete el siguiente comprobante de la Proposición 3.17:

Prueba. Usaremos una prueba por contradicción. Entonces asumimos que existen enteros\(x\) y\(y\) tal que\(x\) y\(y\) son impares y existe un entero\(z\) tal que\(x^2 + y^2 = z^2\). Ya que\(x\) y\(y\) son impares, existen enteros\(m\) y\(n\) tal que\(x = 2m + 1\) y\(y = 2n + 1\).

1. Usa los supuestos que\(x\) y\(y\) son impares para probar que\(x^2 + y^2\) es par y por lo tanto,\(z^2\) es par. (Ver Teorema 3.7 en la página 105.)
   
   Ahora podemos concluir que\(z\) es parejo. (Ver Teorema 3.7 en la página 105.) Entonces existe un entero\(k\) tal que\(z = 2k\). Si sustituimos\(x\),\(y\), y\(z\) en la ecuación\(x^2 + y^2 = z^2\), obtenemos
   \[(2m + 1)^2 + (2n + 1)^2 = (2k)^2.\]
2. Usa la ecuación anterior para obtener una contradicción. Pista: Una forma es usar álgebra para obtener una ecuación donde el lado izquierdo es un entero impar y el lado derecho es un entero par.

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Números racionales e irracionales

Una de las formas más importantes de clasificar los números reales es como un número racional o un número irracional. A continuación se presenta la definición de números racionales (e irracionales) dada en el Ejercicio (9) de la Sección 3.2.

Definiciones: Número Racional e Irracional

Un número real\(x\) se define como un número racional siempre que existan enteros\(m\) y\(n\) con\(n \ne 0\) tal que\(x = \dfrac{m}{n}\). Un número real que no es un número racional se llama número irracional.

Esto puede parecer una distinción extraña porque la mayoría de la gente está bastante familiarizada con los números racionales (fracciones) pero los números irracionales parecen un poco inusuales. Sin embargo, hay muchos números irracionales como\(\sqrt 2\),\(\sqrt 3\),\(\sqrt[3] 2\),\(\pi\), y el número\(e\). Estamos discutiendo estos temas ahora porque pronto vamos a demostrar que\(\sqrt 2\) es irracional en el Teorema 3.20.

Usamos el símbolo\(\mathbb{Q}\) para representar el conjunto de números racionales. No hay un símbolo estándar para el conjunto de números irracionales. Quizás una razón de esto es por las propiedades de cierre de los números racionales. Introducimos las propiedades de cierre en la Sección 1.1, y los números racionales\(\mathbb{Q}\) se cierran bajo suma, resta, multiplicación y división por números racionales distintos de cero. Esto significa que si\(x, y \in \mathbb{Q}\), entonces

• \(x + y\),\(xy\), y\(xy\) están en\(\mathbb{Q}\); y
• Si\(y \ne 0\), entonces\(\dfrac{x}{y}\) está en\(\mathbb{Q}\).

Las razones básicas de estos hechos son que si sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos dos fracciones, el resultado es una fracción. Una razón por la que no tenemos un símbolo para los números irracionales es que los números irracionales no se cierran bajo estas operaciones. Por ejemplo, vamos a demostrar que\(\sqrt 2\) es irracional en el Teorema 3.20. Entonces vemos que

\(\sqrt 2 \sqrt 2 = 2\)y\(\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2} = 1\).

lo que demuestra que el producto de los números irracionales puede ser racional y el cociente de números irracionales puede ser racional.

También es importante darse cuenta de que cada entero es un número racional ya que cualquier entero puede escribirse como una fracción. Por ejemplo, podemos escribir\(3 = \dfrac{3}{1}\). En general, si\(n \in \mathbb{Z}\), entonces\(n = \dfrac{n}{1}\), y por lo tanto,\(n \in \mathbb{Q}\).

Debido a que los números racionales se cierran bajo las operaciones estándar y la definición de un número irracional simplemente dice que el número no es racional, a menudo usamos una prueba por contradicción para probar que un número es irracional. Esto se ilustra en la proposición siguiente.

Proposición 3.19

Para todos los números reales\(x\) y\(y\), si\(x\) es racional y\(x \ne 0\) y\(y\) es irracional, entonces\(x \cdot y\) es irracional.

Prueba

Usaremos una prueba por contradicción. Entonces asumimos que existen números reales\(x\) y\(y\) tal que\(x\) es racional,\(y\) es irracional, y\(x \cdot y\) es racional. Ya que\(x \ne 0\), podemos dividir por\(x\), y dado que los números racionales se cierran bajo división por números racionales distintos de cero, eso lo sabemos\(\dfrac{1}{x} \in \mathbb{Q}\). Ahora sabemos eso\(x \cdot y\) y\(\dfrac{1}{x}\) son números racionales y como los números racionales se cierran bajo multiplicación, concluimos que

\[\dfrac{1}{x} \cdot (xy) \in \mathbb{Q}\]

Sin embargo,\(\dfrac{1}{x} \cdot (xy) = y\) y por lo tanto,\(y\) debe ser un número racional. Dado que un número real no puede ser tanto racional como irracional, esto es una contradicción con el supuesto que\(y\) es irracional. Por lo tanto, hemos demostrado que para todos los números reales\(x\) y\(y\), si\(x\) es racional\(x \ne 0\) y y\(y\) es irracional, entonces\(x \cdot y\) es irracional.

La raíz cuadrada de 2 es un número irracional

La prueba de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional es una de las pruebas clásicas en matemáticas, y todo estudiante de matemáticas debe conocer esta prueba. Es por ello que estaremos haciendo algunos trabajos preliminares con números racionales y enteros antes de completar la prueba. El teorema que estaremos demostrando se puede afirmar de la siguiente manera:

Teorema 3.20

Si\(r\) es un número real tal que\(r^2 = 2\), entonces\(r\) es un número irracional.

Esto se afirma en forma de declaración condicional, pero básicamente significa que\(\sqrt 2\) es irracional (y eso\(-\sqrt 2\) es irracional). Es decir,\(\sqrt 2\) no se puede escribir como cociente de enteros con el denominador no igual a cero.

Para completar esta prueba, necesitamos poder trabajar con algunos hechos básicos que siguen sobre números racionales e incluso enteros.

1. Cada entero\(m\) es un número racional ya que se\(m\) puede escribir como\(m = \dfrac{m}{1}\).
2. Observe que\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}\), ya que también
   \[\dfrac{4}{6} = \dfrac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \dfrac{2}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}\]
   podemos demostrar que\(\dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}\),\(\dfrac{10}{-8} = \dfrac{-5}{4}\), y el\(\dfrac{-30}{-16} = \dfrac{15}{8}\)
   Ítem (2) se incluyó para ilustrar el hecho de que un número racional puede escribirse como una fracción en “términos más bajos” con un denominador positivo. Esto significa que cualquier número racional puede escribirse como un cociente\(\dfrac{m}{n}\), donde\(m\) y\(n\) son enteros\(n > 0\), y\(m\) y no\(n\) tienen un factor común mayor que 1.
3. Si\(n\) es un entero y\(n^2\) es par, lo que se puede concluir sobre\(n\). Consulte el teorema 3.7 en la página 105.

En una prueba por contradicción de una declaración condicional\(P \to Q\), asumimos la negación de esta afirmación o\(P \wedge \urcorner Q\). Entonces en una prueba por contradicción del Teorema 3.20, vamos a suponer que\(r\) es un número real,\(r^2 = 2\), y no\(r\) es irracional (es decir,\(r\) es racional).

Teorema 3.20

Si\(r\) es un número real tal que\(r^2 = 2\), entonces\(r\) es un número irracional.

Prueba

Usaremos una prueba por contradicción. Entonces asumimos que la afirmación del teorema es falsa. Es decir, suponemos que

\(r\)es un número real,\(r^2 = 2\), y\(r\) es un número racional.

Como r es un número racional, existen enteros\(m\) y\(n\) con\ (n > 0\ 0 tal que

\(r = \dfrac{m}{n}\)

\(m\)y no\(n\) tienen un factor común mayor a 1. Obtendremos una contradicción demostrando eso\(m\) y ambos\(n\) deben ser parejos. Al cuadrar ambos lados de la última ecuación y usar el hecho de que\(r^2 = 2\), obtenemos

\(2 = \dfrac{m^2}{n^2}\)

\[m^2 = 2n^2\]

La ecuación (1) implica que\(m^2\) es par, y por lo tanto, por el Teorema 3.7,\(m\) debe ser un entero par. Esto quiere decir que existe un entero\(p\) tal que\(m = 2p\). Ahora podemos sustituir esto en la ecuación (1), que da

\((2p)^2 = 2n^2\)

\[4p^2 = 2n^2.\]

Podemos dividir ambos lados de la ecuación (2) por 2 para obtener\(n^2 = 2p^2\). En consecuencia,\(n^2\) es par y podemos volver a utilizar el Teorema 3.7 para concluir que\(m\) es un entero par.

Ahora hemos establecido que ambos\(m\) y\(n\) son parejos. Esto significa que 2 es un factor común de\(m\) y\(n\), lo que contradice la suposición de que\(m\) y no\(n\) tienen un factor común mayor que 1. En consecuencia, la afirmación del teorema no puede ser falsa, y hemos demostrado que si\(r\) es un número real tal que\(r^2 = 2\), entonces\(r\) es un número irracional.

Ejercicios para la Sección 3.3

1. Este ejercicio pretende aportar otra razón de por qué funciona una prueba por contradicción.
   
   Supongamos que estamos tratando de probar que una afirmación P es cierta. En lugar de probar esta afirmación, supongamos que probamos que la afirmación condicional “Si\(\urcorner P\), entonces\(C\)” es cierta, donde\(C\) hay alguna contradicción. Recordemos que una contradicción es una afirmación que siempre es falsa.
   
   (a) En símbolos, escribir una declaración que sea una disyunción y que sea lógicamente equivalente a\(\urcorner P \to C\).
   (b) Ya que hemos probado que eso\(\urcorner P \to C\) es cierto, entonces la disyunción en el Ejercicio (1a) también debe ser verdadera. Utilice esto para explicar por qué la afirmación\(P\) debe ser cierta.
   (c) Ahora explique por qué\(P\) debe ser cierto si demostramos que la negación de\(P\) implica una contradicción.
2. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones? Justificar cada conclusión.
   
   (a) Para todos los enteros\(a\) y\(b\), si\(a\) es par y\(b\) es impar, entonces 4 no divide\((a^2 + b^2)\).
   (b) Para todos los enteros\(a\) y\(b\), si\(a\) es par y\(b\) es impar, entonces 6 no divide\((a^2 + b^2)\).
   (c) Para todos los enteros\(a\) y\(b\), si\(a\) es par y\(b\) es impar, entonces 4 no divide\((a^2 + 2b^2)\).
   (d) Para todos los enteros\(a\) y\(b\), si\(a\) es impar y\(b\) es impar, entonces 4 divide\((a^2 + 3b^2)\).
3. Considera la siguiente afirmación:
   Si\(r\) es un número real tal que\(r^2 = 18\), entonces\(r\) es irracional.
   
   a) Si estuviera estableciendo una prueba por contradicción para esta afirmación, ¿qué asumiría? Anote cuidadosamente todas las condiciones que asumiría.
   b) Completar una prueba por contradicción para esta afirmación.
4. Demostrar que la raíz cubo de 2 es un número irracional. Es decir, probar que si\(r\) es un número real tal que\(r^3 = 2\), entonces\(r\) es un número irracional.
5. Demostrar las siguientes proposiciones: a
   
   ) Para todos los números reales\(x\) y\(y\), si\(x\) es racional y\(y\) es irracional, entonces\(x + y\) es irracional.
   (b) Para todos los números reales distintos de cero\(x\) y\(y\), si\(x\) es racional y\(y\) es irracional, entonces\(\dfrac{x}{y}\) es irracional.
6. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones? Justificar cada conclusión.
   
   (a) Por cada número real positivo\(x\), si\(x\) es irracional, entonces\(x^2\) es irracional.
   b) Por cada número real positivo\(x\), si\(x\) es irracional, entonces\(\sqrt x\) es irracional.
   (c) Por cada par de números reales\(x\) y\(y\), si\(x + y\) es irracional, entonces\(x\) es irracional y\(y\) es irracional.
   (d) Por cada par de números reales\(x\) y\(y\), si\(x + y\) es irracional, entonces\(x\) es irracional o\(y\) es irracional.
7. a) Dar un ejemplo que demuestre que la suma de dos números irracionales puede ser un número racional.
   b) Explique ahora por qué la siguiente prueba que\((\sqrt 2 + \sqrt 5)\) es un número irracional no es una prueba válida: Dado que\(\sqrt 2\) y\(\sqrt 5\) son ambos números irracionales, su suma es un número irracional. Por lo tanto,\((\sqrt 2 + \sqrt 5)\) es un número irracional
   Nota: Incluso puede suponer que hemos demostrado que\(\sqrt 5\) es un número irracional. (No lo hemos probado.)
   c) ¿es el número real\(\sqrt 2 + \sqrt 5\) un número racional o un número irracional? Justifica tu conclusión.
8. a) Demostrar que para cada número de alcance\(x\),\((x + \sqrt 2)\) es irracional o\((-x + \sqrt 2)\) es irracional.
   (b) Generalizar la proposición en la Parte (a) para cualquier número irracional (en lugar de justo\(\sqrt 2\)) y luego probar la nueva proposición.
9. ¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación?
   Para todos los números reales positivos\(x\) y\(y\),\(\sqrt{x + y} \le \sqrt x + \sqrt y\).
10. ¿La siguiente proposición es verdadera o falsa? Justifica tu conclusión.
    Por cada número real\(x\),\(x (1 - x) \le \dfrac{1}{4}\).
11. (a) ¿Es el logaritmo de base 2 de 32\(log_2 32\),, un número racional o un número irracional? Justifica tu conclusión.
    b) ¿Es el logaritmo base 2 de 3,\(log_2 3\), un número racional o un número irracional? Justifica tu conclusión.
12. En el Ejercicio (15) de la Sección 3.2, probamos que existe una solución numérica real a la ecuación\(x^3 - 4x^2 = 7\). Demostrar que no hay entero\(x\) tal que\(x^3 - 4x^2 = 7\).
13. Demostrar cada una de las siguientes proposiciones:
    
    a) Por cada número real\(\theta\), si\(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\), entonces\((sin \theta + cos \theta) > 1\).
    b) Para todos los números reales\(a\) y\(b\), si\(a \ne 0\) y\(b \ne 0\), entonces\(\sqrt {a^2 + b^2} \ne a + b\).
    (c) Si\(n\) es un entero mayor que 2, entonces para todos los enteros\(m\),\(n\) no divide\(m\) o\(n + m \ne nm\).
    d) Para todos los números\(a\) y\(b\), si\(a > 0\) y\(b > 0\), entonces
    \[\dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{b} \ne \dfrac{4}{a + b}.\]
14. Demostrar que no existen tres números naturales consecutivos de tal manera que el cubo del mayor sea igual a la suma de los cubos de los otros dos.
15. Tres números naturales\(a\),\(b\), y\(c\) con\(a < b < c\) se llaman triples pitagóricos siempre que\(a^2 + b^2 = c^2\). Por ejemplo, los números 3, 4 y 5 forman un triple pitagórico, y los números 5, 12 y 13 forman un triple pitagórico.
    
    a) Verificar que si\(a = 20\), y\(b = 21\)\(c = 29\), entonces\(a^2 + b^2 = c^2\), y por ende, 20, 21 y 29 forman un triple pitagórico.
    b) Determinar otros dos triples pitagóricos. Es decir, encontrar enteros\(a\),\(b\), y\(c\) tal que\(a^2 + b^2 = c^2\).
    c) ¿Es verdadera o falsa la siguiente proposición? Justifica tu conclusión.
    Para todos los enteros\(a\),\(b\), y\(c\), si\(a^2 + b^2 = c^2\), entonces\(a\) es par o\(b\) es par.
16. Considera la siguiente proposición: No hay números enteros a y b tales que\(b^2 = 4a + 2\).
    
    a) Reescribir esta declaración en forma equivalente utilizando un cuantificador universal completando lo siguiente:
    Para todos los enteros\(a\) y\(b\),...
    b) Demostrar la declaración de la Parte (a).
17. ¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación? Justifica tu conclusión.
    
    Para cada entero\(n\) que sea mayor que 1, si a es el factor positivo más pequeño de\(n\) eso es mayor que 1, entonces a es primo.
    
    Consulte Ejercicio (13) en la Sección 2.4 (página 78) para la definición de un número primo y la definición de un número compuesto.
18. Un cuadrado mágico es una matriz cuadrada de números naturales cuyas filas, columnas y diagonales se suman al mismo número. Por ejemplo, lo siguiente es un cuadrado mágico de 3 por 3 ya que la suma de 3 números en cada fila es igual a 15, la suma de los 3 números en cada columna es igual a 15, y la suma de los 3 números en cada diagonal es igual a 15.

    8	3	4
    1	5	9
    6	7	2

    Demostrar que no se puede completar el siguiente cuadrado de 4 por 4 para formar un cuadrado mágico.

    	1		2
    3	4	5
    6	7		8
    9		10

    Consejo: Asigne un nombre a cada una de las seis celdas en blanco del cuadrado. Una posibilidad es usar\(a\),\(b\),\(c\)\(d\),\(e\), y\(f\).

19. Usando solo los dígitos del 1 al 9 una vez cada uno, ¿es posible construir un cuadrado mágico de 3 por 3 con el dígito 3 en el cuadrado central? Es decir, ¿es posible construir un cuadrado mágico de la forma

    a	b	c
    d	3	e
    f	g	h

    donde\(a\),\(b\),,\(c\),\(d\),\(e\),\(f\),\(g\),,\(h\) son todos dígitos distintos, ninguno de los cuales es igual a 3? O construir tal cuadrado mágico o probar que no es posible.

20. Evaluación de pruebas
    Consulte las instrucciones para Ejercicio (19) en la página 100 de la Sección 3.1

    proposición

    Para cada número real\(x\), si\(x\) es irracional y\(m\) es un entero, entonces\(mx\) es irracional.

    Prueba

    Suponemos que\(x\) es un número real y es irracional. Esto significa que para todos los enteros\(a\) y\(b\) con\(b \ne 0\),\(x \ne \dfrac{a}{b}\). De ahí que podamos concluir que\(mx \ne \dfrac{ma}{b}\) y, por tanto,\(mx\) es irracional.

    proposición

    Para todos los números reales\(x\) y\(y\), si\(x\) es irracional y\(y\) es racional, entonces\(x + y\) es irracional.

    Prueba

    Usaremos una prueba por contradicción. Entonces asumimos que la proposición es falsa, lo que significa que existen números reales\(x\) y\(y\) dónde\(x \notin \mathbb{Q}\),\(y \in \mathbb{Q}\), y\(x + y \in \mathbb{Q}\). Dado que los números racionales se cierran bajo resta y\(x + y\) y\(y\) son racionales, vemos que

    \[(x + y) - y \in \mathbb{Q}\].

    Sin embargo\((x + y) - y = x\),, y de ahí podemos concluir que\(x \in \mathbb{Q}\). Esto es una contradicción con el supuesto de que\(x \notin \mathbb{Q}\). Por lo tanto, la proposición no es falsa, y hemos demostrado que para todos los números reales\(x\) y\(y\), si\(x\) es irracional y\(y\) es racional, entonces\(x + y\) es irracional.

    proposición

    Por cada número real\(x\),\(x(1 - x) \le \dfrac{1}{4}\).

    Prueba

    Se utilizará una prueba por contradicción. Entonces asumimos que la proposición es falsa. Esto quiere decir que existe un número real\(x\) tal que\(x(1 - x) > \dfrac{1}{4}\). Si multiplicamos ambos lados de esta desigualdad por 4, obtenemos\(4x(1 - x) > 1\). Sin embargo, si lo dejamos\(x = 3\), entonces vemos que

    \(4x(1 - x) > 1\)
    \(4 \cdot 3(1 - 3) > 1\)
    \(-12 > 1\)

    La última desigualdad es claramente una contradicción y así hemos demostrado la proposición.

Exploraciones y actividades

21. Una Prueba por Contradicción. Considere la siguiente proposición:

Proposición. Dejar\(a\),\(b\), y\(c\) ser enteros. Si 3 divide\(a\), 3 divide\(b\), y\(c \equiv 1\) (mod 3), entonces la ecuación

\(ax + by = c\)

no tiene solución en la que ambos\(x\) y\(y\) son enteros.

Prueba. Se utilizará una prueba por contradicción. Entonces asumimos que la afirmación es falsa. Es decir, suponemos que existen enteros\(a\),\(b\), y\(c\) tal que 3 divide ambos\(a\) y\(b\), eso\(c \equiv 1\) (mod 3), y que la ecuación

\(ax + by = c\)

tiene una solución en la que ambos\(x\) y\(y\) son enteros. Entonces existen enteros\(m\) y\(n\) tal que

\(am + bn = c\)

Pista: Ahora usa los hechos que 3 divide\(a\), 3 divide\(b\), y\(c \equiv 1\) (mod 3).

22. Explorando una Ecuación Cuadrática. Considere la siguiente proposición:

Proposición. Para todos los enteros\(m\) y\(n\), si\(n\) es impar, entonces la ecuación

\(x^2 + 2mx + 2n = 0\)

no tiene solución entera para x.

(a) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación cuándo\(m = 1\) y\(n = 1\)? Es decir, ¿cuáles son las soluciones de la ecuación\(x^2 + 2x - 2 = 0\)?
b) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación cuándo\(m = 2\) y\(n = 3\)? Es decir, ¿cuáles son las soluciones de la ecuación\(x^2 + 4x + 2 = 0\)?
(c) Resolver la ecuación cuadrática resultante para al menos dos ejemplos más utilizando valores de\(m\) y\(n\) que satisfagan la hipótesis de la proposición.
d) Para esta proposición, ¿por qué parece razonable probar una prueba por contradicción?
e) Para esta proposición, exponer con claridad los supuestos que deben hacerse al inicio de una prueba por contradicción.
f) Utilizar una prueba por contradicción para probar esta proposición.

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