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3.3: Prueba por contradicción

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Vista previa Actividad 1 (Prueba por Contradicción)

En la Sección 2.1, definimos una tautología como una declaración compuestaS que es verdadera para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las declaraciones componentes que forman parte de S. También definimos contradicción como una declaración compuesta que es falsa para todos los posibles combinaciones de valores de verdad de las declaraciones componentes que forman parte deS.

Es decir, una tautología es necesariamente cierta en todas las circunstancias, y una contradicción es necesariamente falsa en todas las circunstancias.

  1. Utilizar tablas de verdad para explicar por quéP es una tautología yP \wedge \urcorner P es una contradicción.

    Otro método de prueba que se utiliza frecuentemente en matemáticas es una prueba por contradicción. Este método se basa en el hecho de que una declaración sóloX puede ser verdadera o falsa (y no ambas). La idea es probar que la afirmaciónX es cierta demostrando que no puede ser falsa. Esto se hace asumiendo que esoX es falso y demostrando que esto lleva a una contradicción. (La contradicción suele tener la formaR \wedge \urcorner R, dondeR hay alguna declaración.) Cuando esto sucede, podemos concluir que la suposición de que la declaraciónX es falsa es incorrecta y por lo tantoX no puede ser falsa. Ya que no puede ser falso, entoncesX debe ser cierto.
    Una base lógica para el método de contradicción de la prueba es la tautología[\urcorner X \to C] \to X, dondeX se encuentra una declaración yC is a contradiction. The following truth table estab lishes esta tautología.
    X C \urcorner X \urcorner X \to C (\urcorner X \to C) \to X
    \ (X\) ">T \ (C\) ">F \ (\ uresquina X\) ">F \ (\ uresquina X\ a C\) ">T \ ((\ uresquina X\ a C)\ a X\) ">T
    \ (X\) ">F \ (C\) ">F \ (\ uresquina X\) ">T \ (\ uresquina X\ a C\) ">F \ ((\ uresquina X\ a C)\ a X\) ">T

    Esta tautología muestra que si lógicamente\urcorner X leads to a contradiction, then X must be true. The previous truth table also shows that the statement \urcorner X \to C se presta equiva aX. This means that if we have proved that \urcorner X lleva a una contradicción, entonces hemos demostrado que la afirmaciónX. So if we want to prove a statement X using a proof by contradiction, we assume that \urcorner X es cierta y demostrar que esto lleva a una contradicción.

    Cuando tratamos de probar la afirmación condicional, “SiP entoncesQ” usando una prueba por contradicción, debemos asumir queP \to Q es falsa y demostrar que esto lleva a una contradicción.

  2. Usa una tabla de verdad para mostrar que\urcorner (P \to Q) is logical equivalent to P \wedge \urcorner Q.

    La equivalencia lógica precedente muestra que cuando asumimos queP \to Q is false, we are assuming that P is true and Q is false. If we can prove that this leads to a contradiction, then we have shown that \urcorner (P \to Q) is false and hence that P \to Q is true.
  3. Dado un contraejemplo para demostrar que la siguiente declaración es falsa.

    Por cada número realx,\dfrac{1}{x(1 - x)} \ge 4.
  4. Cuando una declaración es falsa, a veces es posible agregar una suposición que dará lugar a una declaración verdadera. Esto generalmente se hace mediante el uso de una sentencia condicional. Entonces, en lugar de trabajar con la declaración en (3), trabajaremos con una declaración relacionada que se obtiene agregando una suposición (o suposiciones) a la hipótesis.

    Por cada número realx, si0 < x < 1, entonces\dfrac{1}{x(1 - x)} \ge 4.
    Para iniciar una prueba por contradicción para esta afirmación, necesitamos asumir la negación de la declaración. Para ello, necesitamos negar toda la declaración, incluido el cuantificador. Recordemos que la negación de una declaración con un cuantificador universal es una declaración que contiene un cuantificador existencial. (Ver Teorema 2.16 en la página 67). Con esto en mente, anote cuidadosamente todos los supuestos hechos al inicio de una prueba por contradicción para esta afirmación.

Vista previa Actividad 2 (Construyendo una Prueba por Contradicción)

Considere la siguiente proposición:

Proposición. Para todos los números realesx yy, six \ne y,x > 0, yy > 0, entonces\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} > 2.

Para iniciar una prueba por contradicción, asumimos que esta afirmación es falsa; es decir, asumimos que la negación es verdadera. Debido a que esta es una afirmación con un cuantificador universal, asumimos que existen números realesx yy tal quex \ne y,x > 0,y > 0 y eso\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \le 2. (Observe que la negación de la sentencia condicional es una conjunción.)

Para esta prueba por contradicción, sólo trabajaremos con la columna know de una tabla de know show. Esto se debe a que no tenemos un objetivo específico. El objetivo es obtener alguna contradicción, pero no sabemos de manera anticipada cuál será esa contradicción. Usando nuestras suposiciones, podemos realizar operaciones algebraicas sobre la desigualdad

\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \le 2

hasta que obtengamos una contradicción.

  1. Pruebe las siguientes operaciones algebraicas sobre la desigualdad en (2). Primero, multiplicar ambos lados de la desigualdad porxy, que es un número real positivo desdex > 0 yy > 0. Entonces, restar2xy de ambos lados de esta desigualdad y finalmente, factificar el lado izquierdo de la desigualdad resultante.
  2. Explica por qué la última desigualdad que obtuviste lleva a una contradicción.

Al obtener una contradicción, hemos demostrado que la proposición no puede ser falsa, y por lo tanto, debe ser cierta.

Pautas de escritura: Mantener informado al lector

Una información muy importante sobre una prueba es el método de prueba a utilizar. Entonces, cuando vamos a probar un resultado usando el contrapositivo o una prueba por contradicción, lo indicamos al inicio de la prueba.

  • Demostraremos este resultado demostrando el contrapositivo del comunicado.
  • Demostraremos esta afirmación utilizando una prueba por contradicción.
  • Usaremos una prueba por contradicción.

Hemos discutido la lógica detrás de una prueba por contradicción en las actividades de previsualización de esta sección. La idea básica para una prueba por contradicción de una proposición es asumir que la proposición es falsa y demostrar que esto lleva a una contradicción. Entonces podemos concluir que la proposición no puede ser falsa, y por lo tanto, debe ser cierta. Cuando asumimos que una proposición es falsa, estamos, en efecto, asumiendo que su negación es verdadera. Esta es una de las razones por las que es tan importante poder escribir negaciones de proposiciones de manera rápida y correcta. Ilustraremos el proceso con la propuesta discutida en Actividad previa\PageIndex{1}.

Proposición 3.14

Por cada número realx, si0 < x < 1, entonces\dfrac{1}{x(1 - x)} \ge 4

Prueba

Usaremos una prueba por contradicción. Entonces asumimos que la proposición es falsa, o que existe un número realx tal que0 < x < 1 y

\dfrac{1}{x(1 - x)} < 4.

Observamos que desde entonces0 < x < 1, podemos concluir esox > 0 y aquello(1 - x) > 0. De ahí,x(1 - x) > 0 y si multiplicamos ambos lados de la desigualdad (1) porx(1 - x), obtenemos

1 < 4x(1 - x).

Ahora podemos usar álgebra para reescribir la última desigualdad de la siguiente manera:

1 < 4x - 4x^2

4x^2 - 4x + 1 < 0

(2x - 1)^2 < 0

No obstante,(2x - 1) es un número real y la última desigualdad dice que un número real al cuadrado es menor que cero. Esto es una contradicción ya que el cuadrado de cualquier número real debe ser mayor o igual a cero. De ahí que la proposición no pueda ser falsa, y lo hemos probado para cada número realx, si0 < x < 1, entonces\dfrac{1}{x(1 - x)} \ge 4.

Comprobación de Progreso 3.15: Iniciando una Prueba por Contradicción

Una de las partes más importantes de una prueba por contradicción es la primera parte, que consiste en exponer los supuestos que se utilizarán en la prueba por contradicción. Esto suele implicar escribir una clara negación de la proposición por probar. Revisar las leyes de De Morgan y la negación de una declaración condicional en la Sección 2.2. (Ver Teorema 2.8 en la página 48.) También, revise el Teorema 2.16 (en la página 67) y luego escriba una negación de cada una de las siguientes afirmaciones. (Recuerde que un número real “no es irracional” significa que el número real es racional.)

  1. Para cada número realx, six es irracional, entonces\sqrt[3] x es irracional.
  2. Para cada número realx,(x + \sqrt 2) es irracional o(-x + \sqrt 2) es irracional.
  3. Para todos los enterosa yb, si 5 divideab, entonces 5 dividea o 5 divideb.
  4. Para todos los números realesa yb, sia > 0 yb > 0, entonces\dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{b} \ne \dfrac{4}{a + b}.
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Nota Importante

A menudo se utiliza una prueba por contradicción para probar una declaración condicionalP \to Q cuando no se ha encontrado una prueba directa y es relativamente fácil formar la negación de la proposición. La ventaja de una prueba por contradicción es que tenemos una suposición adicional con la que trabajar (ya que asumimos no sóloP sino también\urcorner Q). La desventaja es que no hay un objetivo bien definido para trabajar. El objetivo es simplemente obtener alguna contradicción. Por lo general no hay manera de decir de antemano cuál será esa contradicción, así que tenemos que estar alerta ante un posible absurdo. Así, cuando montamos una mesa de know show para una prueba por contradicción, realmente solo trabajamos con la porción de conocimiento de la mesa.

Comprobación de Progreso 3.16: Exploración y Prueba por Contradicción

Considere la siguiente proposición:

Por cada enteron, sin \equiv 2 (mod 4), entoncesn \not\equiv 3 (mod 6).

  1. Determinar al menos cinco números enteros diferentes que son congruentes a 2 módulo 4, y determinar al menos cinco números enteros diferentes que son congruentes a 3 módulo 6. ¿Hay números enteros que estén en ambas listas?
  2. Para esta proposición, ¿por qué parece razonable probar una prueba por contradicción?
  3. Para esta proposición, exponer claramente los supuestos que deben hacerse al inicio de una prueba por contradicción, y luego utilizar una prueba por contradicción para probar esta proposición.
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Demostrando que algo no existe

En matemáticas, a veces necesitamos demostrar que algo no existe o que algo no es posible. En lugar de intentar construir una prueba directa, a veces es más fácil usar una prueba por contradicción para que podamos asumir que el algo existe. Por ejemplo, supongamos que queremos probar la siguiente proposición:

Proposición 3.17.

Para todos los enterosx yy, six yy son enteros impares, entonces no existe un enteroz tal quex^2 + y^2 = z^2.

Observe que la conclusión implica tratar de probar que no existe un entero con una determinada propiedad. Si usamos una prueba por contradicción, podemos suponer que tal entero z existe. Esto nos da más con qué trabajar.

Comprobación de Progreso 3.18

Complete el siguiente comprobante de la Proposición 3.17:

Prueba. Usaremos una prueba por contradicción. Entonces asumimos que existen enterosx yy tal quex yy son impares y existe un enteroz tal quex^2 + y^2 = z^2. Ya quex yy son impares, existen enterosm yn tal quex = 2m + 1 yy = 2n + 1.

  1. Usa los supuestos quex yy son impares para probar quex^2 + y^2 es par y por lo tanto,z^2 es par. (Ver Teorema 3.7 en la página 105.)

    Ahora podemos concluir quez es parejo. (Ver Teorema 3.7 en la página 105.) Entonces existe un enterok tal quez = 2k. Si sustituimosx,y, yz en la ecuaciónx^2 + y^2 = z^2, obtenemos
    (2m + 1)^2 + (2n + 1)^2 = (2k)^2.
  2. Usa la ecuación anterior para obtener una contradicción. Pista: Una forma es usar álgebra para obtener una ecuación donde el lado izquierdo es un entero impar y el lado derecho es un entero par.
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Números racionales e irracionales

Una de las formas más importantes de clasificar los números reales es como un número racional o un número irracional. A continuación se presenta la definición de números racionales (e irracionales) dada en el Ejercicio (9) de la Sección 3.2.

Definiciones: Número Racional e Irracional

Un número realx se define como un número racional siempre que existan enterosm yn conn \ne 0 tal quex = \dfrac{m}{n}. Un número real que no es un número racional se llama número irracional.

Esto puede parecer una distinción extraña porque la mayoría de la gente está bastante familiarizada con los números racionales (fracciones) pero los números irracionales parecen un poco inusuales. Sin embargo, hay muchos números irracionales como\sqrt 2,\sqrt 3,\sqrt[3] 2,\pi, y el númeroe. Estamos discutiendo estos temas ahora porque pronto vamos a demostrar que\sqrt 2 es irracional en el Teorema 3.20.

Usamos el símbolo\mathbb{Q} para representar el conjunto de números racionales. No hay un símbolo estándar para el conjunto de números irracionales. Quizás una razón de esto es por las propiedades de cierre de los números racionales. Introducimos las propiedades de cierre en la Sección 1.1, y los números racionales\mathbb{Q} se cierran bajo suma, resta, multiplicación y división por números racionales distintos de cero. Esto significa que six, y \in \mathbb{Q}, entonces

  • x + y,xy, yxy están en\mathbb{Q}; y
  • Siy \ne 0, entonces\dfrac{x}{y} está en\mathbb{Q}.

Las razones básicas de estos hechos son que si sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos dos fracciones, el resultado es una fracción. Una razón por la que no tenemos un símbolo para los números irracionales es que los números irracionales no se cierran bajo estas operaciones. Por ejemplo, vamos a demostrar que\sqrt 2 es irracional en el Teorema 3.20. Entonces vemos que

\sqrt 2 \sqrt 2 = 2y\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2} = 1.

lo que demuestra que el producto de los números irracionales puede ser racional y el cociente de números irracionales puede ser racional.

También es importante darse cuenta de que cada entero es un número racional ya que cualquier entero puede escribirse como una fracción. Por ejemplo, podemos escribir3 = \dfrac{3}{1}. En general, sin \in \mathbb{Z}, entoncesn = \dfrac{n}{1}, y por lo tanto,n \in \mathbb{Q}.

Debido a que los números racionales se cierran bajo las operaciones estándar y la definición de un número irracional simplemente dice que el número no es racional, a menudo usamos una prueba por contradicción para probar que un número es irracional. Esto se ilustra en la proposición siguiente.

Proposición 3.19

Para todos los números realesx yy, six es racional yx \ne 0 yy es irracional, entoncesx \cdot y es irracional.

Prueba

Usaremos una prueba por contradicción. Entonces asumimos que existen números realesx yy tal quex es racional,y es irracional, yx \cdot y es racional. Ya quex \ne 0, podemos dividir porx, y dado que los números racionales se cierran bajo división por números racionales distintos de cero, eso lo sabemos\dfrac{1}{x} \in \mathbb{Q}. Ahora sabemos esox \cdot y y\dfrac{1}{x} son números racionales y como los números racionales se cierran bajo multiplicación, concluimos que

\dfrac{1}{x} \cdot (xy) \in \mathbb{Q}

Sin embargo,\dfrac{1}{x} \cdot (xy) = y y por lo tanto,y debe ser un número racional. Dado que un número real no puede ser tanto racional como irracional, esto es una contradicción con el supuesto quey es irracional. Por lo tanto, hemos demostrado que para todos los números realesx yy, six es racionalx \ne 0 y yy es irracional, entoncesx \cdot y es irracional.

La raíz cuadrada de 2 es un número irracional

La prueba de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional es una de las pruebas clásicas en matemáticas, y todo estudiante de matemáticas debe conocer esta prueba. Es por ello que estaremos haciendo algunos trabajos preliminares con números racionales y enteros antes de completar la prueba. El teorema que estaremos demostrando se puede afirmar de la siguiente manera:

Teorema 3.20

Sir es un número real tal quer^2 = 2, entoncesr es un número irracional.

Esto se afirma en forma de declaración condicional, pero básicamente significa que\sqrt 2 es irracional (y eso-\sqrt 2 es irracional). Es decir,\sqrt 2 no se puede escribir como cociente de enteros con el denominador no igual a cero.

Para completar esta prueba, necesitamos poder trabajar con algunos hechos básicos que siguen sobre números racionales e incluso enteros.

  1. Cada enterom es un número racional ya que sem puede escribir comom = \dfrac{m}{1}.
  2. Observe que\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}, ya que también
    \dfrac{4}{6} = \dfrac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \dfrac{2}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}
    podemos demostrar que\dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4},\dfrac{10}{-8} = \dfrac{-5}{4}, y el\dfrac{-30}{-16} = \dfrac{15}{8}
    Ítem (2) se incluyó para ilustrar el hecho de que un número racional puede escribirse como una fracción en “términos más bajos” con un denominador positivo. Esto significa que cualquier número racional puede escribirse como un cociente\dfrac{m}{n}, dondem yn son enterosn > 0, ym y non tienen un factor común mayor que 1.
  3. Sin es un entero yn^2 es par, lo que se puede concluir sobren. Consulte el teorema 3.7 en la página 105.

En una prueba por contradicción de una declaración condicionalP \to Q, asumimos la negación de esta afirmación oP \wedge \urcorner Q. Entonces en una prueba por contradicción del Teorema 3.20, vamos a suponer quer es un número real,r^2 = 2, y nor es irracional (es decir,r es racional).

Teorema 3.20

Sir es un número real tal quer^2 = 2, entoncesr es un número irracional.

Prueba

Usaremos una prueba por contradicción. Entonces asumimos que la afirmación del teorema es falsa. Es decir, suponemos que

res un número real,r^2 = 2, yr es un número racional.

Como r es un número racional, existen enterosm yn con\ (n > 0\ 0 tal que

r = \dfrac{m}{n}

my non tienen un factor común mayor a 1. Obtendremos una contradicción demostrando esom y ambosn deben ser parejos. Al cuadrar ambos lados de la última ecuación y usar el hecho de quer^2 = 2, obtenemos

2 = \dfrac{m^2}{n^2}

m^2 = 2n^2

La ecuación (1) implica quem^2 es par, y por lo tanto, por el Teorema 3.7,m debe ser un entero par. Esto quiere decir que existe un enterop tal quem = 2p. Ahora podemos sustituir esto en la ecuación (1), que da

(2p)^2 = 2n^2

4p^2 = 2n^2.

Podemos dividir ambos lados de la ecuación (2) por 2 para obtenern^2 = 2p^2. En consecuencia,n^2 es par y podemos volver a utilizar el Teorema 3.7 para concluir quem es un entero par.

Ahora hemos establecido que ambosm yn son parejos. Esto significa que 2 es un factor común dem yn, lo que contradice la suposición de quem y non tienen un factor común mayor que 1. En consecuencia, la afirmación del teorema no puede ser falsa, y hemos demostrado que sir es un número real tal quer^2 = 2, entoncesr es un número irracional.

Ejercicios para la Sección 3.3
  1. Este ejercicio pretende aportar otra razón de por qué funciona una prueba por contradicción.

    Supongamos que estamos tratando de probar que una afirmación P es cierta. En lugar de probar esta afirmación, supongamos que probamos que la afirmación condicional “Si\urcorner P, entoncesC” es cierta, dondeC hay alguna contradicción. Recordemos que una contradicción es una afirmación que siempre es falsa.

    (a) En símbolos, escribir una declaración que sea una disyunción y que sea lógicamente equivalente a\urcorner P \to C.
    (b) Ya que hemos probado que eso\urcorner P \to C es cierto, entonces la disyunción en el Ejercicio (1a) también debe ser verdadera. Utilice esto para explicar por qué la afirmaciónP debe ser cierta.
    (c) Ahora explique por quéP debe ser cierto si demostramos que la negación deP implica una contradicción.
  2. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones? Justificar cada conclusión.

    (a) Para todos los enterosa yb, sia es par yb es impar, entonces 4 no divide(a^2 + b^2).
    (b) Para todos los enterosa yb, sia es par yb es impar, entonces 6 no divide(a^2 + b^2).
    (c) Para todos los enterosa yb, sia es par yb es impar, entonces 4 no divide(a^2 + 2b^2).
    (d) Para todos los enterosa yb, sia es impar yb es impar, entonces 4 divide(a^2 + 3b^2).
  3. Considera la siguiente afirmación:
    Sir es un número real tal quer^2 = 18, entoncesr es irracional.

    a) Si estuviera estableciendo una prueba por contradicción para esta afirmación, ¿qué asumiría? Anote cuidadosamente todas las condiciones que asumiría.
    b) Completar una prueba por contradicción para esta afirmación.
  4. Demostrar que la raíz cubo de 2 es un número irracional. Es decir, probar que sir es un número real tal quer^3 = 2, entoncesr es un número irracional.
  5. Demostrar las siguientes proposiciones: a

    ) Para todos los números realesx yy, six es racional yy es irracional, entoncesx + y es irracional.
    (b) Para todos los números reales distintos de cerox yy, six es racional yy es irracional, entonces\dfrac{x}{y} es irracional.
  6. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones? Justificar cada conclusión.

    (a) Por cada número real positivox, six es irracional, entoncesx^2 es irracional.
    b) Por cada número real positivox, six es irracional, entonces\sqrt x es irracional.
    (c) Por cada par de números realesx yy, six + y es irracional, entoncesx es irracional yy es irracional.
    (d) Por cada par de números realesx yy, six + y es irracional, entoncesx es irracional oy es irracional.
  7. a) Dar un ejemplo que demuestre que la suma de dos números irracionales puede ser un número racional.
    b) Explique ahora por qué la siguiente prueba que(\sqrt 2 + \sqrt 5) es un número irracional no es una prueba válida: Dado que\sqrt 2 y\sqrt 5 son ambos números irracionales, su suma es un número irracional. Por lo tanto,(\sqrt 2 + \sqrt 5) es un número irracional
    Nota: Incluso puede suponer que hemos demostrado que\sqrt 5 es un número irracional. (No lo hemos probado.)
    c) ¿es el número real\sqrt 2 + \sqrt 5 un número racional o un número irracional? Justifica tu conclusión.
  8. a) Demostrar que para cada número de alcancex,(x + \sqrt 2) es irracional o(-x + \sqrt 2) es irracional.
    (b) Generalizar la proposición en la Parte (a) para cualquier número irracional (en lugar de justo\sqrt 2) y luego probar la nueva proposición.
  9. ¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación?
    Para todos los números reales positivosx yy,\sqrt{x + y} \le \sqrt x + \sqrt y.
  10. ¿La siguiente proposición es verdadera o falsa? Justifica tu conclusión.
    Por cada número realx,x (1 - x) \le \dfrac{1}{4}.
  11. (a) ¿Es el logaritmo de base 2 de 32log_2 32,, un número racional o un número irracional? Justifica tu conclusión.
    b) ¿Es el logaritmo base 2 de 3,log_2 3, un número racional o un número irracional? Justifica tu conclusión.
  12. En el Ejercicio (15) de la Sección 3.2, probamos que existe una solución numérica real a la ecuaciónx^3 - 4x^2 = 7. Demostrar que no hay enterox tal quex^3 - 4x^2 = 7.
  13. Demostrar cada una de las siguientes proposiciones:

    a) Por cada número real\theta, si0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}, entonces(sin \theta + cos \theta) > 1.
    b) Para todos los números realesa yb, sia \ne 0 yb \ne 0, entonces\sqrt {a^2 + b^2} \ne a + b.
    (c) Sin es un entero mayor que 2, entonces para todos los enterosm,n no dividem on + m \ne nm.
    d) Para todos los númerosa yb, sia > 0 yb > 0, entonces
    \dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{b} \ne \dfrac{4}{a + b}.
  14. Demostrar que no existen tres números naturales consecutivos de tal manera que el cubo del mayor sea igual a la suma de los cubos de los otros dos.
  15. Tres números naturalesa,b, yc cona < b < c se llaman triples pitagóricos siempre quea^2 + b^2 = c^2. Por ejemplo, los números 3, 4 y 5 forman un triple pitagórico, y los números 5, 12 y 13 forman un triple pitagórico.

    a) Verificar que sia = 20, yb = 21c = 29, entoncesa^2 + b^2 = c^2, y por ende, 20, 21 y 29 forman un triple pitagórico.
    b) Determinar otros dos triples pitagóricos. Es decir, encontrar enterosa,b, yc tal quea^2 + b^2 = c^2.
    c) ¿Es verdadera o falsa la siguiente proposición? Justifica tu conclusión.
    Para todos los enterosa,b, yc, sia^2 + b^2 = c^2, entoncesa es par ob es par.
  16. Considera la siguiente proposición: No hay números enteros a y b tales queb^2 = 4a + 2.

    a) Reescribir esta declaración en forma equivalente utilizando un cuantificador universal completando lo siguiente:
    Para todos los enterosa yb,...
    b) Demostrar la declaración de la Parte (a).
  17. ¿Es verdadera o falsa la siguiente afirmación? Justifica tu conclusión.

    Para cada enteron que sea mayor que 1, si a es el factor positivo más pequeño den eso es mayor que 1, entonces a es primo.

    Consulte Ejercicio (13) en la Sección 2.4 (página 78) para la definición de un número primo y la definición de un número compuesto.
  18. Un cuadrado mágico es una matriz cuadrada de números naturales cuyas filas, columnas y diagonales se suman al mismo número. Por ejemplo, lo siguiente es un cuadrado mágico de 3 por 3 ya que la suma de 3 números en cada fila es igual a 15, la suma de los 3 números en cada columna es igual a 15, y la suma de los 3 números en cada diagonal es igual a 15.
    8 3 4
    1 5 9
    6 7 2

    Demostrar que no se puede completar el siguiente cuadrado de 4 por 4 para formar un cuadrado mágico.

      1   2
    3 4 5  
    6 7   8
    9   10  

    Consejo: Asigne un nombre a cada una de las seis celdas en blanco del cuadrado. Una posibilidad es usara,b,cd,e, yf.

  19. Usando solo los dígitos del 1 al 9 una vez cada uno, ¿es posible construir un cuadrado mágico de 3 por 3 con el dígito 3 en el cuadrado central? Es decir, ¿es posible construir un cuadrado mágico de la forma
    a b c
    d 3 e
    f g h

    dondea,b,,c,d,e,f,g,,h son todos dígitos distintos, ninguno de los cuales es igual a 3? O construir tal cuadrado mágico o probar que no es posible.

  20. Evaluación de pruebas
    Consulte las instrucciones para Ejercicio (19) en la página 100 de la Sección 3.1
    proposición

    Para cada número realx, six es irracional ym es un entero, entoncesmx es irracional.

    Prueba

    Suponemos quex es un número real y es irracional. Esto significa que para todos los enterosa yb conb \ne 0,x \ne \dfrac{a}{b}. De ahí que podamos concluir quemx \ne \dfrac{ma}{b} y, por tanto,mx es irracional.

    proposición

    Para todos los números realesx yy, six es irracional yy es racional, entoncesx + y es irracional.

    Prueba

    Usaremos una prueba por contradicción. Entonces asumimos que la proposición es falsa, lo que significa que existen números realesx yy dóndex \notin \mathbb{Q},y \in \mathbb{Q}, yx + y \in \mathbb{Q}. Dado que los números racionales se cierran bajo resta yx + y yy son racionales, vemos que

    (x + y) - y \in \mathbb{Q}.

    Sin embargo(x + y) - y = x,, y de ahí podemos concluir quex \in \mathbb{Q}. Esto es una contradicción con el supuesto de quex \notin \mathbb{Q}. Por lo tanto, la proposición no es falsa, y hemos demostrado que para todos los números realesx yy, six es irracional yy es racional, entoncesx + y es irracional.

    proposición

    Por cada número realx,x(1 - x) \le \dfrac{1}{4}.

    Prueba

    Se utilizará una prueba por contradicción. Entonces asumimos que la proposición es falsa. Esto quiere decir que existe un número realx tal quex(1 - x) > \dfrac{1}{4}. Si multiplicamos ambos lados de esta desigualdad por 4, obtenemos4x(1 - x) > 1. Sin embargo, si lo dejamosx = 3, entonces vemos que

    4x(1 - x) > 1
    4 \cdot 3(1 - 3) > 1
    -12 > 1

    La última desigualdad es claramente una contradicción y así hemos demostrado la proposición.

Exploraciones y actividades

21. Una Prueba por Contradicción. Considere la siguiente proposición:

Proposición. Dejara,b, yc ser enteros. Si 3 dividea, 3 divideb, yc \equiv 1 (mod 3), entonces la ecuación

ax + by = c

no tiene solución en la que ambosx yy son enteros.

Prueba. Se utilizará una prueba por contradicción. Entonces asumimos que la afirmación es falsa. Es decir, suponemos que existen enterosa,b, yc tal que 3 divide ambosa yb, esoc \equiv 1 (mod 3), y que la ecuación

ax + by = c

tiene una solución en la que ambosx yy son enteros. Entonces existen enterosm yn tal que

am + bn = c

Pista: Ahora usa los hechos que 3 dividea, 3 divideb, yc \equiv 1 (mod 3).

22. Explorando una Ecuación Cuadrática. Considere la siguiente proposición:

Proposición. Para todos los enterosm yn, sin es impar, entonces la ecuación

x^2 + 2mx + 2n = 0

no tiene solución entera para x.

(a) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación cuándom = 1 yn = 1? Es decir, ¿cuáles son las soluciones de la ecuaciónx^2 + 2x - 2 = 0?
b) ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación cuándom = 2 yn = 3? Es decir, ¿cuáles son las soluciones de la ecuaciónx^2 + 4x + 2 = 0?
(c) Resolver la ecuación cuadrática resultante para al menos dos ejemplos más utilizando valores dem yn que satisfagan la hipótesis de la proposición.
d) Para esta proposición, ¿por qué parece razonable probar una prueba por contradicción?
e) Para esta proposición, exponer con claridad los supuestos que deben hacerse al inicio de una prueba por contradicción.
f) Utilizar una prueba por contradicción para probar esta proposición.

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