3.S: Construcción y Redacción de Pruebas en Matemáticas (Resumen)
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Definiciones importantes
- Divide, divisor, página82
- Factor, múltiple, página 82
- Prueba, página 85
- Término indefinido, página 85
- Axioma, página 85
- Definición, página86
- Conjetura, página 86
- Teorema, página 86
- Proposición, página 86
- Lema, página 86
- Corolario, página 86
- Congruencia módulo\(n\), página 92
- Tautología, página 40
- Contradicción, página 40
- Absolutevalue, página 135
Teoremas y Resultados Importantes sobre Enteros Pares e Impares
- Ejercicio (1), Sección 1.2
Si\(m\) es un entero par, entonces\(m + 1\) es un entero impar.
Si\(m\) es un entero impar, entonces\(m + 1\) es un entero par. - Ejercicio (2), Sección 1.2
Si\(x\) es un entero par y\(y\) es un entero par, entonces\(x + y\) es un entero par.
Si\(x\) es un entero par y\(y\) es un entero impar, entonces\(x + y\) es un entero impar.
Si\(x\) es un entero impar y\(y\) es un entero impar, entonces\(x + y\) es un entero par. - Ejercicio (3), Sección 1.2. Si\(x\) es un número entero par y\(y\) es un entero, entonces\(x \cdot y\) es un número entero par.
- Teoremo1.8. Si\(x\) es un entero impar y\(y\) es un entero impar, entonces\(x \cdot y\) es un entero impar.
- Teorema 3.7. El entero\(n\) es un número entero par si y solo si\(n^2\) es un número entero par.
Vista previa de la Actividad\(\PageIndex{2}\) en la Sección 3.2. El entero\(n\) es un entero impar si y solo si\(n^2\) es un entero impar.
Teoremas y Resultados Importantes sobre Divisores
- Teorema 3.1. Para todos los enteros\(a\),\(b\), y\(c\) con\(a \ne 0\), si\(a | b\) y\(b | c\), entonces\(a | c\).
- Ejercicio (3), Sección 3.1. Para todos los enteros\(a\),\(b\), y\(c\) con\(a \ne 0\),
Si\(a | b\) y\(a | c\), entonces\(a | (b + c)\).
Si\(a | b\) y\(a | c\), entonces\(a | (b - c)\). - Ejercicio (3a), Sección 3.1. Para todos los enteros\(a\),\(b\), y\(c\) con\(a \ne 0\), si\(a | b\), entonces\(a | (bc)\).
- Ejercicio (4), Sección 3.1. Para todos los enteros no nulos\(a\) y\(b\), si\(a | b\) y\(b | a\), entonces\(a = \pm b\).
El algoritmo de división
Dejar\(a\) y\(b\) ser enteros con\(b > 0\). Entonces existen enteros únicos\(q\) y\(r\) tal que
\(a = bq + r\)y\(0 \le r < b\).
Teoremas y Resultados Importantes sobre Congruencia
- Teorema 3.28. Dejar\(a, b, c \in \mathbb{Z}\) y dejar\(n \in \mathbb{N}\). Si\(a \equiv b\) (mod\(n\)) y\(c \equiv d\) (mod\(n\)), entonces
\((a + c) \equiv (b + d)\) (mod\(n\)).
\(ac \equiv bd\)(mod\(n\)).
Para cada uno\(m \in \mathbb{N}\),\(a^m \equiv b^m\) (mod\(n\)). - Teorema 3.30. Para todos los enteros a, b y c, Propiedad
reflexiva. \(a \equiv a\)(mod\(n\)).
Propiedad Simétrica. Si\(a \equiv b\) (mod\(n\)), entonces\(b \equiv a\) (mod\(n\)).
Propiedad Transitiva. Si\(a \equiv b\) (mod\(n\)) y\(b \equiv c\) (mod\(n\)), entonces\(a \equiv c\) (mod\(n\)). - Teorema 3.31. Dejar\(a \in \mathbb{Z}\) y dejar\(n \in \mathbb{N}\). Si\(a = nq + r\) y\(0 \le r < n\) para algunos enteros\(q\) y\(r\), entonces\(a \equiv r\) (mod\(n\)).
- Corolario 3.32. Cada entero es congruente, módulo\(n\), con precisamente uno de los enteros 0, 1, 2,...,\(n - 1\). Es decir, para cada entero\(a\), existe un entero único\(r\) tal que
\(a \equiv r\)(mod\(n\)) y\(0 \le r < n\).