3.6: Revisión de Métodos de Prueba

Esta sección es diferente a otras del texto. Se entiende principalmente como una revisión de los métodos de prueba estudiados en el Capítulo 3. Por lo que la primera parte de la sección será una descripción de algunas de las principales técnicas de prueba introducidas en el Capítulo 3. La parte más importante de esta sección es el conjunto de ejercicios ya que estos ejercicios brindarán la oportunidad de utilizar las técnicas de prueba que hemos estudiado hasta ahora.

Ahora daremos descripciones de tres de los métodos más comunes utilizados para probar una declaración condicional.

Comprobante directo de una declaración condicional\((P \to Q)\)

• ¿Cuándo se indica? Este tipo de prueba se suele utilizar cuando tanto la hipótesis como la conclusión se expresan de manera “positiva”. Es decir, no hay negaciones evidentes en la hipótesis y conclusión. Es decir, no hay negaciones evidentes en la hipótesis y conclusión.
• Descripción del proceso. Supongamos que eso\(P\) es cierto y usa esto para concluir que eso\(Q\) es cierto. Es decir, utilizamos el método adelante/atrás y trabajamos hacia adelante desde\(P\) y hacia atrás desde\(Q\).
• Por qué el proceso tiene sentido. Sabemos que la declaración condicional\(P \to Q\) es automáticamente verdadera cuando la hipótesis es falsa. Por lo tanto, porque nuestro objetivo es demostrar que eso\(P \to Q\) es cierto, no hay nada que hacer en el caso que\(P\) sea falso. En consecuencia, podemos suponer que eso\(P\) es cierto. Entonces,\(P \to Q\) para que sea verdad, la conclusión también\(Q\) debe ser cierta. (Cuando\(P\) es verdadero, pero\(Q\) es falso,\(P \to Q\) es falso.) Así, debemos usar nuestra suposición que\(P\) es verdadera para demostrar que también\(Q\) es cierto.

Comprobante de una Declaración Condicional\((P \to Q)\) Usando el Contrapositivo

• ¿Cuándo se indica? Este tipo de prueba se suele utilizar cuando tanto la hipótesis como la conclusión se expresan en forma de negaciones. Esto suele funcionar bien si la conclusión contiene al operador “o”; es decir, si la conclusión es en forma de disyunción. En este caso, la negación será una conjunción.
• Descripción del proceso. Demostramos la afirmación lógicamente equivalente\(\urcorner Q \to \urcorner P\). Se utiliza el método adelante/atrás para probar\(\urcorner Q \to \urcorner P\). Es decir, trabajamos hacia adelante desde\(\urcorner Q\) y hacia atrás desde\(\urcorner P\).
• Por qué el proceso tiene sentido. Cuando probamos\(\urcorner Q \to \urcorner P\), también estamos demostrando\(P \to Q\) porque estas dos afirmaciones son lógicamente equivalentes. Cuando demostramos el contrapositivo de\(P \to Q\), estamos haciendo una prueba directa de\(\urcorner Q \to \urcorner P\). Entonces asumimos\(\urcorner Q\) porque, al hacer una prueba directa, asumimos la hipótesis, y\(\urcorner Q\) es la hipótesis de lo contrapositivo. Debemos mostrar\(\urcorner P\) porque es la conclusión de lo contrapositivo.

Prueba de\(P \to Q\) Uso de Prueba por Contradicción

• ¿Cuándo se indica? Este tipo de prueba se suele utilizar cuando la conclusión se afirma en forma de negación, pero la hipótesis no lo es. Esto suele funcionar bien si la conclusión contiene al operador “o”; es decir, si la conclusión es en forma de disyunción. En este caso, la negación será una conjunción.
• Descripción del proceso. Asumir\(P\)\(\urcorner Q\) y trabajar a partir de estos dos supuestos hasta obtener una contradicción.
• Por qué el proceso tiene sentido. La afirmación\(P \to Q\) es verdadera o falsa. En una prueba por contradicción, demostramos que es cierto eliminando la única otra posibilidad (que es falsa). Demostramos que\(P \to Q\) no puede ser falso asumiendo que es falso y llegando a una contradicción. Ya que suponemos que eso\(P \to Q\) es falso, y la única manera de que una declaración condicional sea falsa es que su hipótesis sea verdadera y su conclusión sea falsa, asumimos que eso\(P\) es verdadero y eso\(Q\) es falso (o, equivalentemente, eso\(\urcorner Q\) es cierto). Cuando llegamos a una contradicción, sabemos que nuestra suposición original que\(P \to Q\) es falsa es incorrecta. De ahí,\(P \to Q\) no puede ser falso, y así debe ser cierto.

Otros métodos de prueba

Los métodos de prueba que se acaban de describir son tres de los tipos de prueba más comunes. No obstante, hemos visto otros métodos de prueba y estos se describen a continuación.

Pruebas que utilizan una equivalencia lógica

Como se indicó en la Sección 3.2, a veces podemos usar una equivalencia lógica para ayudar a probar una afirmación. Por ejemplo, para acreditar una declaración de la forma

\[P \to (Q \vee R),\]

a veces es posible utilizar la equivalencia lógica

\[[P \to (Q \vee R)] \equiv [(P \wedge \urcorner Q) \to R].\]

Entonces probaríamos la declaración

\[[(P \wedge \urcorner Q) \to R].\]

La mayoría de las veces, esto usaría una prueba directa para declaración (3.6.1) pero también podrían usarse otros métodos. Debido a la equivalencia lógica, al probar declaración (3.6.3), también hemos probado la afirmación (3.6.1).

Pruebas que Casos de Uso

Cuando estamos tratando de probar una proposición o un teorema, a menudo nos encontramos con el problema de que no parece haber suficiente información para proceder. En esta situación, a veces utilizaremos casos para proporcionar supuestos adicionales para el proceso de avance de la prueba. Cuando esto se hace, la proposición original se divide en una serie de casos separados que se prueban independientemente unos de otros. Los casos deben elegirse para que agoten todas las posibilidades para la hipótesis de la proposición original. Este método de análisis de casos se justifica por la equivalencia lógica

\[(P \vee Q) \to R \equiv (P \to R) \wedge (Q \to R).\]

el cual se estableció en Actividad Previa\(\PageIndex{1}\) en la Sección 3.4.

Prueba Constructiva

Esta es una técnica que a menudo se utiliza para probar un llamado teorema de la existencia. El objetivo de un teorema de la existencia es demostrar que existe cierto objeto matemático. Es decir, el objetivo suele ser acreditar una declaración de la forma

Existe\(x\) tal que\(P(x)\).

Para una prueba constructiva de tal proposición, en realidad nombramos, describimos o explicamos cómo construir algún objeto en el universo que haga\(P(x)\) realidad.

Prueba no constructiva

Este es otro tipo de prueba que a menudo se utiliza para probar un teorema de existencia es la llamada prueba no constructiva. Para este tipo de pruebas, hacemos un argumento de que un objeto en el conjunto universal que hace\(P(x)\) realidad debe existir pero nunca construimos ni nombramos al objeto que hace\(P(x)\) realidad.

Ejercicios para la Sección 3.6

1. Dejar\(h\) y\(k\) ser números reales y dejar que\(r\) sea un número positivo. La ecuación para un círculo cuyo centro está en el punto\((h, k)\) y cuyo radio\(r\) es es También
   \[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.\]
   sabemos que si\(a\) y\(b\) son números reales, entonces
   
   \(\bullet\) El punto\((a,b)\) está adentro el círculo si\((a - h)^2 + (b - k)^2 < r^2\).
   \(\bullet\)El punto\((a,b)\) está en el círculo si\((a - h)^2 + (b - k)^2 = r^2\).
   \(\bullet\)El punto\((a,b)\) está fuera del círculo si\((a - h)^2 + (b - k)^2 > r^2\).
   
   Demostrar que todos los puntos sobre o dentro del círculo cuya ecuación es\((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4\) están dentro del círculo cuya ecuación es\(x^2 + y^2 = 26\).
2. \(r\)Sea un número real positivo. La ecuación para un círculo de radio\(r\) cuyo centro es el origen es\(x^2 + y^2 = r^2\).
   
   a) Utilizar diferenciación implícita para determinar\(\dfrac{dy}{dx}\).
   b)\((a,b)\) Sea un punto en el círculo con\(a \ne 0\) y\(b \ne 0\). Determinar la pendiente de la línea tangente al círculo en el punto\((a,b)\).
   (c) Demostrar que el radio del círculo al punto\((a,b)\) es perpendicular a la línea tangente al círculo en el punto\((a,b)\). Pista: Dos líneas (ninguna de las cuales es horizontal) son perpendiculares si y solo si los productos de sus pendientes son iguales a 1.
3. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones? Justifica tus conclusiones.
   
   (a) Por cada entero\(a\), si 3 no divide\(a\), entonces 3 divide\(2a^2 + 1\).
   (b) Por cada entero\(a\), si 3 divide\(2a^2 + 1\), entonces 3 no divide\(a\).
   (c) Por cada entero\(a\), 3 no divide\(a\) si y sólo si 3 divide\(2a^2 + 1\).
4. Demostrar que para cada número real\(x\) y cada número irracional\(q\),\(x + q\) es irracional o\(x - q\) es irracional.
5. Demostrar que existen números irracionales\(u\) y\(v\) tal que\(uv\) es un número racional.
   Pista: Hemos demostrado que\(\sqrt 2\) es irracional. Para el número real\(q = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\), o\(q\) es racional o\(q\) es irracional. Utilice esta disyuntiva para configurar dos casos.
6. Dejemos\(a\) y\(b\) sean números naturales tales que\(a^2 = b^3\). Demostrar cada una de las proposiciones en las Partes (6a) a (6d). (Los resultados del Ejercicio (1) y del Teorema 3.10 de la Sección 3.2 pueden ser útiles.)
   
   (a) Si\(a\) es par, entonces 4 divide\(a\).
   b) Si 4 divide\(a\), entonces 4 divide\(b\).
   (c) Si 4 divide\(b\), entonces 8 divide\(a\).
   d) Si\(a\) es par, entonces se divide 8\(a\).
   e) Dar un ejemplo de números naturales\(a\) y\(b\) tal que\(a\) sea par y\(a^2 = b^3\), pero no\(b\) sea divisible por 8.
7. Demostrar la siguiente proposición:
   Dejar\(a\) y\(b\) ser enteros con\(a \le 0\). Si\(a\) no divide\(b\), entonces la ecuación\(ax^3 + bx + (b + a) = 0\) no tiene una solución que sea un número natural.
   Pista: Puede ser necesario factorial una suma de cubos. Recordemos que
   \[u^3 + v^3 = (u + v)(u^2 - uv + v^2).\]
8. Recordemos que un triple pitagórico consta de tres números naturales\(a\),\(b\), y\(c\) tal que\(a < b < c\) y\(a^2 + b^2 = c^2\). ¿Son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones? Justifica tus conclusiones.
   
   (a) Para todos\(a, b, c \in \mathbb{N}\) tales que\(a < b < c\)\(a\), si\(b\),, y\(c\) forman un triple pitagórico, entonces 3 divide\(a\) o 3 divide\(b\).
   b) Para todos\(a, b, c \in \mathbb{N}\) los que\(a < b < c\), si\(a\)\(b\),, y\(c\) forman un triple pitagórico, entonces 5 divide\(a\) o 5 divide\(b\) o 5 divide\(c\).
9. a) Demostrar que existe un triple pitagórico\(a\),\(b\), y\(c\), donde\(a = 5\) y\(b\) y\(c\) son números naturales consecutivos.
   b) Demostrar que existe un triple pitagórico\(a\),\(b\), y\(c\), donde\(a = 7\) y\(b\) y\(c\) son números naturales consecutivos.
   (c)\(m\) Sea un número natural impar que sea mayor a 1. Demostrar que existe un triple pitagórico\(a\),\(b\), y\(c\), donde\(a = m\) y\(b\) y\(c\) son números naturales consecutivos.
10. Uno de los problemas sin resolver más famosos en matemáticas es una conjetura hecha por Christian Goldbach en una carta a Leonhard Euler en 1742. La conjetura que se hace en esta carta se conoce ahora como la Conjetura de Goldbach. La conjetura es la siguiente:
    Cada entero par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos (no necesariamente distintos).
    Actualmente, no se sabe si esta conjetura es verdadera o falsa.
    
    (a) Escribe 50, 142 y 150 como una suma de dos números primos
    (b) Probar lo siguiente:
    Si la Conjetura de Goldbach es verdadera, entonces cada entero mayor que 5 puede escribirse como una suma de tres números primos.
    (c) Demostrar lo siguiente:
    Si la Conjetura de Goldbach es verdadera, entonces cada entero impar mayor que 7 puede escribirse como una suma de tres números primos impares.
11. Dos números primos que difieren en 2 se llaman primos gemelos. Por ejemplo, 3 y 5 son primos gemelos, 5 y 7 son primos gemelos, y 11 y 13 son primos gemelos. Determinar al menos otros dos pares de primos gemelos. ¿La siguiente proposición es verdadera o falsa? Justifica tu conclusión.

    Para todos los números naturales\(p\)\(p\) y\(q\) si y\(q\) son primos gemelos distintos de 3 y 5, entonces\(pq + 1\) es un cuadrado perfecto y 36 divide\(pq + 1\).

12. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones? Justifica tus conclusiones.
    
    (a) Para todos los enteros\(a\) y\(b\),\((a + b)^2 \equiv (a^2 + b^2) (mod\ 2)\).
    b) Para todos los enteros\(a\) y\(b\),\((a + b)^3 \equiv (a^3 + b^3) (mod\ 3)\).
    (c) Para todos los enteros\(a\) y\(b\),\((a + b)^4 \equiv (a^4 + b^4) (mod\ 4)\).
    d) Para todos los enteros\(a\) y\(b\),\((a + b)^5 \equiv (a^5 + b^5) (mod\ 5)\).
    
    Si alguna de las declaraciones anteriores es falsa, escriba una nueva declaración de la siguiente forma que sea verdadera (y demuestre que es verdadera):
    
    Para todos los enteros\(a\) y\(b\),\((a + b)^n \equiv (a^n + something + b^n) (mod n)\).
13. Vamos\(a\),\(b\),\(c\), y\(d\) ser números reales con\(a \ne 0\) y dejar\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\).

    a) Determinar la derivada y la segunda derivada de la función cúbica\(f\).

    b) Demostrar que la función cúbica\(f\) tiene como máximo dos puntos críticos y tiene exactamente un punto de inflexión.
    
    Exploraciones y actividades

14. Un caso especial del último teorema de Fermat. Ya hemos visto ejemplos de triples pitagóricos, que son números naturales\(a\),\(b\), y\(c\) dónde\(a^2 + b^2 = c^2\). Por ejemplo, 3, 4 y 5 forman un triple pitagórico como lo hacen 5, 12 y 13. Uno de los famosos matemáticos del siglo XVII fue Pierre de Fermat (1601 — 1665). Fermat hizo una aseveración de que para cada número natural\(n\) con\(n \ge 3\), no hay números enteros\(a\),\(b\), y\(c\) para los cuales\(a^n + b^n = c^n\). Esta aseveración fue descubierta en un margen de uno de los libros de Fermat después de su muerte, pero Fermat no aportó ninguna prueba. Sin embargo, declaró que había descubierto pruebas verdaderamente notables pero el margen no contenía suficiente espacio para la prueba.
    
    Esta afirmación se conoció como el último teorema de Fermat pero más prop- erly debería haber sido llamada Última Conjetura de Fermat. A pesar de los esfuerzos de los matemáticos, este “teorema” permaneció sin probar hasta que Andrew Wiles, matemático británico, anunció por primera vez una prueba en junio de 1993. No obstante, pronto se reconoció que esta prueba tenía una brecha seria, pero Wiles publicó en 1995 una versión ampliamente aceptada de la prueba. La prueba de Wiles utiliza muchos conceptos y técnicas que se desconocían en la época de Fermat. Aquí no podemos discutir la prueba, pero exploraremos y probaremos la siguiente proposición, que es un caso (muy) especial del Último Teorema de Fermat.

    Proposición. No existen números primos a, b, y c tales que
    \[a^3 + b3 = c3\].
    Si bien el último teorema de Fermat implica que esta proposición es cierta, utilizaremos una prueba por contradicción para probar esta proposición. Para una prueba por contradicción, asumimos que

    existen números primos\(a\),\(b\), y\(c\) tal que\(a^3 + b^3 = c^3\).
    
    Dado que 2 es el único número primo par, utilizaremos los siguientes casos: (1)\(a = b = 2\); (2)\(a\) y ambos\(b\) son impares; y (3) uno de\(a\) y\(b\) es impar y el otro es 2.
    
    a) Demostrar que el caso donde\(a = b = 2\) lleva a una contradicción y por lo tanto, este caso no es posible.
    b) Demostrar que el caso donde\(a\) y\(b\) son ambos impares lleva a una contradicción y por lo tanto, este caso no es posible.
    c) Ahora sabemos que uno de\(a\) o\(b\) debe ser igual a 2. Entonces asumimos que\(b = 2\) y eso\(a\) es un primo impar. Sustituya\(b = 2\) en la ecuación\(b^3 = c^3 - a^3\) y luego factorial la expresión\(c^3 - a^3\). Usa esto para obtener una contradicción.
    d) Redactar un comprobante completo de la proposición.

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