5.3: Propiedades de las operaciones de conjunto

PREVIAR ACTIVIDAD\(\PageIndex{1}\): Exploring a Relationship between Two Sets

Dejar\(A\) y\(B\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\).

1. Dibuja dos diagramas generales de Venn para los conjuntos\(A\) y\(B\). En uno, sombree la región que representa\((A \cup B)^c\), y por el otro, sombree la región que representa\(A^c \cap B^c\). Explique cuidadosamente cómo determinó estas regiones.
2. A partir de los diagramas de Venn en la Parte (1), ¿cuál parece ser la relación entre los conjuntos ((A\ copa B) ^c\) y\(A^c \cap B^c\)?

Algunas de las propiedades de las operaciones de conjunto están estrechamente relacionadas con algunos de los operadores lógicos que estudiamos en la Sección 2.1. Esto se debe al hecho de que la intersección de conjunto se define usando una conjunción (y), y la unión de conjunto se define usando una disyunción (o). Por ejemplo, si\(A\) y\(B\) son subconjuntos de algún conjunto universal\(U\), entonces un elemento\(x\) está en\(A \cup B\) si y solo si\(x \in A\) o\(x \in B\).

3. Usa una de las Leyes de De Morgan (Teorema 2.8 en la página 48) para explicar cuidadosamente lo que significa decir que un elemento no\(x\) está en\(A \cup B\).
4. ¿Qué significa decir que un elemento\(x\) está en\(A^c\)? ¿Qué significa decir que un elemento\(x\) está en\(B^c\)?
5. Explique cuidadosamente lo que significa decir que un elemento\(x\) está adentro\(A^c \cap B^c\).
6. Compara tu respuesta en la Parte (3) con la respuesta de la Parte (5). ¿Son equivalentes? Explique.
7. ¿Cómo crees que los conjuntos\((A \cup B)^c\) y\(A^c \cap B^c\) están relacionados? ¿Esto es consistente con los diagramas de Venn de la Parte (1)?

PREVIAR ACTIVIDAD\(\PageIndex{2}\): Proving that Statements Are Equivalent

1. Dejemos\(X\)\(Y\),, y\(Z\) sean declaraciones. Completa una tabla de verdad para
   \([(X \to Y) \wedge (Y \to Z)] \to (X \to Z)\).
2. Supongamos que\(P\)\(Q\),, y\(R\) son declaraciones y que hemos probado que las siguientes declaraciones condicionales son ciertas:
   
   \(\bullet\) Si\(P\) entonces\(Q (P \to Q)\).
   \(\bullet\)Si\(R\) entonces\(P (R \to P)\).
   \(\bullet\)Si\(Q\) entonces\(R (Q \to R)\).

   Explique por qué cada una de las siguientes afirmaciones es cierta.
   
   (a)\(P\) si y sólo si\(Q (P \leftrightarrow Q\).
   b)\(Q\) si y sólo si\(R (Q \leftrightarrow R\).
   c)\(R\) si y sólo si\(P (R \leftrightarrow P\).
   Recuerda que\(X \leftrightarrow Y\) es lógicamente equivalente a\((X \to Y) \wedge (Y \to X)\).

Álgebra de Conjuntos — Parte 1

Esta sección contiene muchos resultados relativos a las propiedades de las operaciones de conjunto. Ya hemos probado algunos de los resultados. Otros se probarán en esta sección o en los ejercicios. El propósito principal de esta sección es tener en un solo lugar muchas de las propiedades de las operaciones de conjunto que podemos usar en pruebas posteriores. Estos resultados son parte de lo que se conoce como álgebra de conjuntos o como teoría de conjuntos.

Teorema 5.17

Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Entonces

• \(A \cap B \subseteq A\)y\(A \subseteq A \cup B\).
• Si\(A \subseteq B\), entonces\(A \cap C \subseteq B \cap C\) y\(A \cup C \subseteq B \cup C\).

Prueba

La primera parte de este teorema se incluyó en el Ejercicio (7) de la Sección 5.2. La segunda parte del teorema fue Ejercicio (12) de la Sección 5.2.

El siguiente teorema proporciona muchas de las propiedades de las operaciones de conjunto que tratan con intersección y unión. Muchos de estos resultados pueden ser intuitivamente obvios, pero para estar completos en el desarrollo de la teoría de conjuntos, debemos probarlos todos. Elegimos probar solo algunos de ellos y dejar algunos como ejercicios.

Teorema 5.18: Álgebra de Operaciones de Conjunto

Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Entonces se mantienen todas las siguientes igualdades.

Proporción del juego vacío\(A \cap \emptyset = \emptyset\)\(A \cap U = A\) y el conjunto universal\(A \cup \emptyset = A\)\(A \cup U = U\)

Leyes idempotentes\(A \cap A = A\)\(A \cup A = A\)

Leyes conmutativas\(A \cap B = B \cap A\)\(A \cup B = B \cup A\)

Leyes asociativas\((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)
\((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)

Leyes Distributivas\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)

Antes de probar algunas de estas propiedades, observamos que en la Sección 5.2, aprendimos que podemos probar que dos conjuntos son iguales al demostrar que cada uno es un subconjunto del otro. Sin embargo, también sabemos que si\(S\) y\(T\) son ambos subconjuntos de un conjunto universal\(U\), entonces

\(S = T\)si y sólo si para cada uno\(x \in U\),\(x \in S\) si y sólo si\(x \in T\).

Podemos usar esto para probar que dos conjuntos son iguales eligiendo un elemento de un conjunto y persiguiendo el elemento al otro conjunto a través de una secuencia de declaraciones “if y only if”. Ahora usamos esta idea para probar una de las leyes conmutativas.

Prueba de una de las leyes conmutativas en el teorema 5.18

Eso lo demostraremos\(A \cap B = B \cap A\). Vamos\(x \in A \cap B\). Entonces

\[x \in A \cap B \text{ if and only if } x \in A \text{ and } x \in B.\]

No obstante, sabemos que si\(P\) y\(Q\) son declaraciones, entonces\(P wedge Q\) es lógicamente equivalente a\(Q \wedge P\). En consecuencia, podemos concluir que

\[x \in A \text{ and } x \in B \text{ if and only if } x \in B \text{ and } x \in A.\]

Ahora sabemos que

\[x \in B \text{ and } x \in A \text{ if and only if } x \in B \cap A.\]

Esto significa que podemos usar (5.3.1), (5.3.2) y (5.3.3) para concluir que

\(x \in A \cap B\)si y sólo si\(x \in B \cap A\),

y, de ahí, lo hemos demostrado\(A \cap B = B \cap A\).

\(\square\)

Comprobación de progreso 5.19: Explorando una propiedad distributiva

Podemos usar diagramas de Venn para explorar las propiedades más complicadas del Teorema 5.18, como las leyes asociativas y distributivas. Para ello, vamos\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\).

1. Dibuja dos diagramas generales de Venn para los conjuntos\(A\),\(B\), y\(C\). En uno, sombree la región que representa\(A \cup (B \cap C\), y por el otro, sombree la región que representa\((A \cup B) \cap (A \cup C)\). Explique cuidadosamente cómo determinó estas regiones.
2. A partir de los diagramas de Venn en la Parte (1), ¿cuál parece ser la relación entre los conjuntos\(A \cup (B \cap C\) y\((A \cup B) \cap (A \cup C)\)?

Contestar

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Prueba de una de las leyes distributivas en teorema 5.18

Ahora probaremos la ley distributiva explorada en Avance Check 5.19. Observe que probaremos dos relaciones de subconjunto, y que para cada relación de subconjunto, comenzaremos eligiendo un elemento arbitrario de un conjunto. También fíjese en lo bien que se puede dividir en casos una prueba que trata de la unión de dos juegos.

Prueba. Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Demostraremos eso\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\) demostrando que cada conjunto es un subconjunto del otro conjunto.

Primero lo demostraremos\(A \cup (B \cap C) \subseteq (A \cup B) \cap (A \cup C\). Dejamos\(x \in A \cup (B \cap C)\). Entonces\(x \in A\) o\(x \in B \cap C\).

Entonces en un caso, si\(x \in A\), entonces\(x \in A \cup B\) y\(x \in A \cup C\). Esto significa que\(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\).

Por otro lado, si\(x \in B \cap C\), entonces\(x \in B\) y\(x \in C\). Pero\(x \in B\) implica eso\(x \in A \cup B\), e\(x \in C\) implica eso\(x \in A \cup C\). Ya que\(x\) está en ambos conjuntos, e concluir que\(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\). Entonces en ambos casos, lo vemos\(x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\), y esto lo demuestra\(A \cup (B \cap C) \subseteq (A \cup B) \cap (A \cup C\).

A continuación lo demostramos\((A \cup B) \cap (A \cup C) \subseteq A \cup (B \cap C)\). Así que vamos\(y \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\). Entonces,\(y \in A \cup B\) y\(y \in A \cup C\). Eso debemos probarlo\(y \in A \cup (B \cap C)\). Consideraremos los dos casos donde\(y \in A\) o\(y \notin A\). En el caso donde\(y \in A\), vemos eso\(y \in A \cup (B \cap C)\).

Entonces consideramos el caso que\(y \notin A\). Se ha establecido que\(y \in A \cup B\) y\(y \in A \cup C\). Desde\(y \not in A\) y\(y \in A \cup B\),\(y\) debe ser un elemento de\(B\). De igual manera, ya que\(y \notin A\) y\(y \in A \cup C\),\(y\) debe ser un elemento de\(C\). Así,\(y \in B \cap C\) y, de ahí,\(y \in A \cup (B \cap C)\).

En ambos casos, lo hemos demostrado\(y \in A \cup (B \cap C)\). Esto lo demuestra\((A \cup B) \cap (A \cup C) \subseteq A \cup (B \cap C)\). Las relaciones de dos subconjuntos establecen la igualdad de los dos conjuntos. Por lo tanto,\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).

\(square\)

Propiedades Importantes de Complementos de Set

Las tres operaciones principales son unión, intersección y complementación. Los- oremos 5.18 y 5.17 tratan sobre propiedades de uniones e intersecciones. El siguiente teorema establece algunas propiedades básicas de los complementos y las relaciones importantes que tratan de complementos de uniones y complementos de intersecciones. Dos relaciones en el siguiente teorema se conocen como Leyes de De Morgan para conjuntos y están estrechamente relacionadas con las Leyes de De Morgan para declaraciones.

Teorema 5.20

Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Entonces son ciertas las siguientes:

Propiedades Básicas\((A^c)^c = A\)
\(A - B = A \cap B^c\)

Juego Vacío y Juego Universal\(A - \emptyset = A\) y\(A - U = \emptyset\)
\(\emptyset ^c = U\) y\(U^c = \emptyset\)

Leyes de Morgan\((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)
\((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\)

Subconjuntos y Complementos\(A \subseteq B\) si y solo si\(B^c \subseteq A^c\)

Prueba

Sólo probaremos una de las Leyes de De Morgan, es decir, la que se exploró en Actividad Previa\(\PageIndex{1}\). Las pruebas de las otras partes se dejan como ejercicios. Dejar\(A\) y\(B\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Lo demostraremos\((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\) demostrando que un elemento está en\((A \cup B)^c\) si y sólo si está en\(A^c \cap B^c\). Así que vamos\(x\) a estar en el conjunto universal\(U\). Entonces

\[x \in (A \cup B)^c \text{ if and only if } x \notin A \cup B.\]

y

\[x \notin A \cup B \text{ if and only if } x \notin A \text{ and } x \notin B.\]

Combinando (5.3.4) y (5.3.5), vemos que

\[x \in (A \cup B)^c \text{ if and only if } x \notin A \text{ and } x \notin B.\]

Además, sabemos que

\[x \notin A \text{ and } x \notin B \text{ if and only if } x \in A^c \text{ and } x \in B^c.\]

y esto es cierto si y sólo si\(x \in A^c \cap B^c\). Entonces podemos usar (5.3.6) y (5.3.7) para concluir que

\(x \in (A \cup B)^c\)si y sólo si\(x \in A^c \cap B^c\).

y, de ahí, eso\((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\).

\(\square\)

Comprobación de Progreso 5.21: Uso del Álgebra de Conjuntos

1. Dibuja dos diagramas generales de Venn para los conjuntos\(A\),\(B\), y\(C\). En uno, sombree la región que representa\((A \cup B) - C\), y por el otro, sombree la región que representa\((A - C) \cup (B - C)\). Explique cuidadosamente cómo determinó estas regiones y por qué lo indican\((A \cup B) - C = (A - C) \cup (B - C)\).

Es posible probar la relación sugerida en la Parte (1) probando que cada conjunto es un subconjunto del otro conjunto. Sin embargo, los resultados en los Teoremas 5.18 y 5.20 pueden ser utilizados para probar otros resultados sobre operaciones de conjunto. Cuando hacemos esto, decimos que estamos usando el álgebra de conjuntos para probar el resultado. Por ejemplo, podemos comenzar usando una de las propiedades básicas del Teorema 5.20 para escribir

\(A \cup B) - C = (A \cup B) \cap C^c\).

Entonces podemos usar una de las propiedades conmutativas para escribir

\[\begin{array} {rcl} {(A \cup B) - C} &= & {(A \cup B) \cap C^c} \\ {} &= & {C^c \cap (A \cup B).} \end{array}\]

2. Determinar qué propiedades de los Teoremas 5.18 y 5.20 justifican cada uno de los tres últimos pasos en el siguiente esquema de la prueba de que\((A \cup B) - C = (A - C) \cup (B - C)\).

\[\begin{array} {rcl} {(A \cup B) - C} &= & {(A \cup B) \cap C^c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Theorem 5.20)}} \\ {} &= & {C^c \cap (A \cup B) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Commutative Property)}} \\ {} &= & {(C^c \cap A) \cup (C^c \cap B)} \\ {} &= & {(A \cap C^c) \cup (B \cap C^c)} \\ {} &= & {(A - C) \cup (B - C)} \end{array}\]

Nota: A veces es difícil usar las propiedades en los teoremas cuando los teoremas usan las mismas letras para representar los conjuntos como los que se están usando en el problema actual. Por ejemplo, una de las propiedades distributivas de Teoremas 5.18 se puede escribir de la siguiente manera: Para todos los conjuntos\(X\)\(Y\),, y\(Z\) que son subconjuntos de un conjunto universal\(U\),

\((X \cap (Y \cup Z) = (X \cap Y) \cup (X \cap Z).\)

Contestar

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Demostrar que las declaraciones son equivalentes

Cuando tenemos una lista de tres estados P, Q y R tal que cada declaración en la lista es equivalente a los otros dos estados de la lista, decimos que los tres estados son equivalentes. Esto significa que cada una de las declaraciones de la lista implica cada una de las otras declaraciones de la lista.

El propósito de la Actividad de Vista Previa\(\PageIndex{2}\) era proporcionar una manera de probar que tres (o más) declaraciones son equivalentes. La idea básica es probar una secuencia de declaraciones condicionales para que haya una cadena ininterrumpido de declaraciones condicionales de cada declaración a cualquier otra declaración. Este método de prueba se utilizará en el Teorema 5.22.

Teorema 5.22

Dejar\(A\) y\(B\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Los siguientes son equivalentes:

1. \(A \subseteq B\)
2. \(A \cap B^c = \emptyset\)
3. \(A^c \cup B = U\)

Prueba

Para probar que se trata de condiciones equivalentes, probaremos que (1) implica (2), que (2) implica (3), y que (3) implica (1).

Dejar\(A\) y\(B\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Hemos demostrado que (1) implica (2) en la Proposición 5.14.

Para probar que (2) implica (3), asumiremos eso\(A \cap B^c = \emptyset\) y usaremos el hecho de que\(\emptyset ^c = U\). Entonces vemos que

\((A \cap B^c)^c = \emptyset ^c\).

Luego, usando una de las leyes de De Morgan, obtenemos

\[begin{array} {rcl} {A^c \cup (B^c)^c} &= & {U} \\ {A^c \cup B} &= & {U.} \end{array}\]

Esto completa la prueba que (2) implica (3).

Ahora necesitamos probar que (3) implica (1). Asumimos eso\(A^c \cup B = U\) y lo demostraremos\(A \subseteq B\) demostrando que cada elemento de\(A\) debe estar en\(B\).

Así que vamos\(x \in A\). Entonces eso lo sabemos\(x \notin A^c\). Sin embargo,\(x \in U\) y desde entonces\(A^c \cup B = U\), podemos concluir eso\(x \in A^c \cup B\). Ya que\(x \notin A^c\), concluimos que\(x \in B\). Esto prueba eso\(A \subseteq B\) y de ahí que (3) implica (1).

Dado que ahora hemos demostrado que (1) implica (2), que (2) implica (3), y que (3) implica (1), hemos demostrado que las tres condiciones son equivalentes.

Ejercicios para la Sección 5.3

1. Dejar\(A\) ser un subconjunto de algún conjunto universal\(U\). Demostrar cada uno de los siguientes (del Teorema 5.20):
   
   (a)\((A^c)^c = A\)
   (b)\(A - \emptyset = A\)
   (c)\(\emptyset ^c = U\)
   (d)\(U^c = \emptyset\)
2. Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Como parte del Teorema 5.18, probamos una de las leyes distributivas. Demostrar el otro. Es decir, probar que
   \[A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).\]
3. Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Como parte del Teorema 5.20, probamos una de las Leyes de De Morgan. Demostrar el otro. Es decir, probar que
   \[(A \cap B)^c = A^c \cup B^c.\]
4. Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\).
   
   (a) Dibujar dos diagramas generales de Venn para los conjuntos\(A\),\(B\), y\(C\). En uno, sombree la región que representa\(A - (B \cup C)\), y por el otro, sombree la región que representa\((A - B) \cap (A - C)\). A partir de los diagramas de Venn, hacer una conjetura sobre la relación entre los conjuntos\(A - (B \cup C)\) y\((A - B) \cap (A - C)\).
   b) Utilizar el método de elegir un elemento para probar la conjetura del Ejercicio (4a).
   (c) Utilizar el álgebra de conjuntos para probar la conjetura del Ejercicio (4a).
5. Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\).
   
   (a) Dibujar dos diagramas generales de Venn para los conjuntos\(A\),\(B\), y\(C\). En uno, sombree la región que representa\(A - (B \cap C)\), y por el otro, sombree la región que representa\((A - B) \cup (A - C)\). A partir de los diagramas de Venn, hacer una conjetura sobre la relación entre los conjuntos\(A - (B \cap C)\) y\((A - B) \cup (A - C)\).
   b) Utilizar el método de elegir un elemento para probar la conjetura del Ejercicio (5a).
   (c) Utilizar el álgebra de conjuntos para probar la conjetura del Ejercicio (5a).
6. Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Demostrar o desacreditar cada uno de los siguientes: a
   
   \((A \cap B) - C = (A - C) \cap (B - C)\)
   ) b)\((A \cup B) - (A \cap B) = (A - B) \cup (B - A)\)
7. Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\).
   
   (a) Dibujar dos diagramas generales de Venn para los conjuntos\(A\),\(B\), y\(C\). En uno, sombree la región que representa\(A - (B - C)\), y por el otro, sombree la región que representa\((A - B) - C\). A partir de los diagramas de Venn, hacer una conjetura sobre la relación entre los conjuntos\(A - (B - C)\) y\((A - B) - C\).
   b) Demostrar la conjetura del Ejercicio (7a).
8. Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\).
   
   (a) Dibujar dos diagramas generales de Venn para los conjuntos\(A\),\(B\), y\(C\). En uno, sombree la región que representa\(A - (B - C)\), y por el otro, sombree la región que representa\((A - B) \cup (A - C^c)\). A partir de los diagramas de Venn, hacer una conjetura sobre la relación entre los conjuntos\(A - (B - C)\) y\((A - B) \cup (A - C^c)\).
   b) Demostrar la conjetura del Ejercicio (8a).
9. Dejar\(A\) y\(B\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\).
   
   a) Demostrar que\(A\) y\(B - A\) son conjuntos disjuntos.
   b) Demostrarlo\(A \cup B = A \cup (B - A)\).
10. Dejar\(A\) y\(B\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\).
    
    a) Demostrar que\(A - B\) y\(A \cap B\) son conjuntos disjuntos.
    b) Demostrarlo\(A = (A - B) \cup (A \cap B)\).
11. Dejar\(A\) y\(B\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\). Demostrar o desacreditar cada uno de los siguientes:
    
    a\(A - (A \cap B^c) = A \cap B\)
    )\((A^c \cup B)^c \cap A = A - B\)
    b)\((A \cup B) - A = B- A\)
    c) d\((A \cup B) - B = A - (A \cap B)\)
    ) e)\((A \cup B) - (A \cap B) = (A - B) \cup (B - A)\)
12. Evaluación de pruebas
    Consulte las instrucciones para Ejercicio (19) en la página 100 de la Sección 3.1.

    (a)

    Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\), entonces\(A - (B - C) = A - (B \cup C)\).

    Prueba

    \[\begin{array} {rcl} {A - (B - C)} &= & {(A - B) - (A - C)} \\ {} &= & {(A \cap B^c) \cap (A \cap C^c)}\\ {} &= & {A \cap (B^c \cap C^c)} \\ {} &= & {A \cap (B \cup C)^c} \\ {} &= & {A - (B \cup C)} \end{array}\]

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de algún conjunto universal\(U\), entonces\(A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)\).

    Prueba

    Primero escribimos\(A - (B \cup C) = A \cap (B \cup C)^c\) y luego usamos una de las Leyes de De Morgan para obtener

    \(A - (B \cup C) = A \cap (B^c \cap C^c)\).

    Ahora usamos el hecho de que\(A = A \cap A\) y obtenemos

    \[\begin{array} {rcl} {A - (B \cup C)} &= & {A \cap A \cap B^c \cap C^c} \\ {} &= & {(A \cap B^c) \cap (A \cap C^c)} \\ {} &= & {(A - B) \cap (A - C).} \end{array}\]

Exploraciones y actividades

13. (Comparación con Propiedades de los Números Reales). Las siguientes son algunas de las propiedades básicas de suma y multiplicación de números reales

Leyes Conmutativas:\(a + b = b + a\), para todos\(a, b \in \mathbb{R}\).
\(a \cdot b = b \cdot a\), para todos\(a, b \in \mathbb{R}\).

Leyes asociativas:\((a + b) + c = a + (b + c)\), para todos\(a, b, c \in \mathbb{R}\).
\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\), para todos\(a, b, c \in \mathbb{R}\).

Derecho Distributivo:\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\), para todos\(a, b, c \in \mathbb{R}\).

Identidad Aditiva: Para todos\(a \in \mathbb{R}\),\(a + 0 = a = 0 + a\).

Identidad Multiplicativa: Para todos\(a \in \mathbb{R}\),\(a \cdot 1 = a = 1 \cdot a\).

Inversos Aditivos: Para todos\(a \in \mathbb{R}\),\(a + (-a) = 0 = (-a) + a\).

Inversiones multiplicativas: Para todos\(a \in \mathbb{R}\) con\(a \ne 0\),\(a \cdot a^{-1} = 1 = a^{-1} \cdot a\).

Discutir las similitudes y diferencias entre las propiedades de adición y multiplicación de números reales y las propiedades de unión e intersección de conjuntos.

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