7.S: Relaciones de equivalencia (Resumen)
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Definiciones importantes
- Relación de\(A\) a\(B\), página 364
- Relación en\(A\), página 364
- Dominio de una relación, página 364
- Rango de una relación, página 364
- Inverso de una relación, página 373
- Relación reflexiva, página 375
- Relación simétrica, página 375
- Transición, página375
- Relación de equivalencia, página 378
- Clase de equivalencia, página 391
- Clase Congruencia, página 392
- Partición de un conjunto, página 395
- Enteros módulo n, página 402
- Adición en\(\mathbb{Z}_n\), página 404
- Multiplicación en\(\mathbb{Z}_n\), página 404
Teoremas y Resultados Importantes sobre Relaciones, Relaciones de Equivalencia y Clases de Equivalencia
- Teorema 7.6. Dejar\(R\) ser una relación del conjunto\(A\) al conjunto\(B\). Después
1. El dominio de\(R^{-1}\) es rango de\(R\). Es decir, dom (\(R^{-1}\)) = range (\(R\)).
2. El rango de\(R^{-1}\) es dominio de\(R\). Es decir, range (\(R^{-1}\)) = dom (\(R\)).
3. La inversa de\(R^{-1}\) es\(R\). Es decir,\((R^{-1})^{-1} = R\). - Teorema 7.10. Dejar\(n \in \mathbb{N}\) y dejar\(a, b \in \mathbb{Z}\). Entonces\(a \equiv b\) (mod\(n\) si y solo si\(a\) y\(b\) tener el mismo resto cuando se divide por\(n\).
- Teorema 7.14. Dejar\(A\) ser un conjunto no vacío y dejar\(\sim\) ser una relación de equivalencia en\(A\).
1. Para cada uno\(a \in A\),\(a \in [a]\).
2. Para cada uno\(a, b \in A\),\(a \sim b\) si y solo si\([a] = [b]\).
3. Para cada uno\(a, b \in A\),\([a] = [b]\) o\([a] \cap [b] = \emptyset\). - Corolario 7.16. Vamos\(n \in \mathbb{N}\). Para cada uno\(a \in \mathbb{Z}\), vamos\(a\) a representar la clase de congruencia del\(a\) módulo\(n\).
1. Para cada uno\(a \in \mathbb{Z}\),\(a \in [a]\).
2. Para cada uno\(a, b \in \mathbb{Z}\),\(a \equiv b\) (mod\(n\)) si y solo si\([a] = [b]\).
3. Para cada uno\(a, b \in \mathbb{Z}\),\([a] = [b]\) o\([a] \cap [b] = \emptyset\). - Corolario 7.17. Vamos\(n \in \mathbb{N}\). Para cada uno\(a \in \mathbb{Z}\), vamos\(a\) a representar la clase de congruencia del\(a\) módulo\(n\).
1. \(\mathbb{Z} = [0] \cup [1] \cup [2] \cup \cdot\cdot\cdot \cup [n - 1]\)
2. Para\(j, k \in \{0, 1, 2, ..., n - 1\}\), si\(j \ne k\), entonces\([j] \cap [k] = \emptyset\). - Teorema 7.18. Dejar\(\sim\) ser una relación de equivalencia sobre el conjunto no vacío\(A\). Entonces la colección\(\mathcal{C}\) de todas las clases de equivalencia determinadas por\(\sim\) es una partición del conjunto\(A\).