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LibreTexts Español

7.S: Relaciones de equivalencia (Resumen)

  • Page ID
    116073
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    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

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    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Definiciones importantes

    • Relación de\(A\) a\(B\), página 364
    • Relación en\(A\), página 364
    • Dominio de una relación, página 364
    • Rango de una relación, página 364
    • Inverso de una relación, página 373
    • Relación reflexiva, página 375
    • Relación simétrica, página 375
    • Transición, página375
    • Relación de equivalencia, página 378
    • Clase de equivalencia, página 391
    • Clase Congruencia, página 392
    • Partición de un conjunto, página 395
    • Enteros módulo n, página 402
    • Adición en\(\mathbb{Z}_n\), página 404
    • Multiplicación en\(\mathbb{Z}_n\), página 404

    Teoremas y Resultados Importantes sobre Relaciones, Relaciones de Equivalencia y Clases de Equivalencia

    • Teorema 7.6. Dejar\(R\) ser una relación del conjunto\(A\) al conjunto\(B\). Después

      1. El dominio de\(R^{-1}\) es rango de\(R\). Es decir, dom (\(R^{-1}\)) = range (\(R\)).
      2. El rango de\(R^{-1}\) es dominio de\(R\). Es decir, range (\(R^{-1}\)) = dom (\(R\)).
      3. La inversa de\(R^{-1}\) es\(R\). Es decir,\((R^{-1})^{-1} = R\).
    • Teorema 7.10. Dejar\(n \in \mathbb{N}\) y dejar\(a, b \in \mathbb{Z}\). Entonces\(a \equiv b\) (mod\(n\) si y solo si\(a\) y\(b\) tener el mismo resto cuando se divide por\(n\).
    • Teorema 7.14. Dejar\(A\) ser un conjunto no vacío y dejar\(\sim\) ser una relación de equivalencia en\(A\).

      1. Para cada uno\(a \in A\),\(a \in [a]\).
      2. Para cada uno\(a, b \in A\),\(a \sim b\) si y solo si\([a] = [b]\).
      3. Para cada uno\(a, b \in A\),\([a] = [b]\) o\([a] \cap [b] = \emptyset\).
    • Corolario 7.16. Vamos\(n \in \mathbb{N}\). Para cada uno\(a \in \mathbb{Z}\), vamos\(a\) a representar la clase de congruencia del\(a\) módulo\(n\).

      1. Para cada uno\(a \in \mathbb{Z}\),\(a \in [a]\).
      2. Para cada uno\(a, b \in \mathbb{Z}\),\(a \equiv b\) (mod\(n\)) si y solo si\([a] = [b]\).
      3. Para cada uno\(a, b \in \mathbb{Z}\),\([a] = [b]\) o\([a] \cap [b] = \emptyset\).
    • Corolario 7.17. Vamos\(n \in \mathbb{N}\). Para cada uno\(a \in \mathbb{Z}\), vamos\(a\) a representar la clase de congruencia del\(a\) módulo\(n\).

      1. \(\mathbb{Z} = [0] \cup [1] \cup [2] \cup \cdot\cdot\cdot \cup [n - 1]\)
      2. Para\(j, k \in \{0, 1, 2, ..., n - 1\}\), si\(j \ne k\), entonces\([j] \cap [k] = \emptyset\).
    • Teorema 7.18. Dejar\(\sim\) ser una relación de equivalencia sobre el conjunto no vacío\(A\). Entonces la colección\(\mathcal{C}\) de todas las clases de equivalencia determinadas por\(\sim\) es una partición del conjunto\(A\).

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