5.2: Topología Estándar de la Línea Real

En esta sección, presentaremos las nociones de abierto, cerrado, compacto y conectado en lo que respecta a subconjuntos de los números reales. Estas propiedades forman los fundamentos de una rama de las matemáticas llamada topología (derivada de las palabras griegas tópos, que significa 'lugar, ubicación', y ología, que significa 'estudio de'). La topología, a veces llamada “geometría de lámina de caucho”, se refiere a las propiedades de los espacios que son invariantes bajo cualquier deformación continua (por ejemplo, flexión, torsión y estiramiento como el caucho sin permitir rasgar o pegar juntos). Los conceptos fundamentales en topología son continuidad, compacidad y conectividad, que se basan en ideas como “cierre arbitrario” y “lejano”. Estas ideas se pueden hacer precisas usando sets abiertos.

Una vez considerada una rama abstracta de las matemáticas puras, la topología ahora tiene aplicaciones en biología, informática, física y robótica. El objetivo de esta sección es presentarle los conceptos básicos de las definiciones teóricas de conjuntos utilizadas en la topología y brindarle la oportunidad de jugar con subconjuntos abiertos y cerrados de los números reales. En la Sección 8.5, revisaremos estos conceptos y exploraremos funciones continuas.

Para toda esta sección, nuestro universo de discurso es el conjunto de números reales. Se pueden asumir todas las propiedades algebraicas básicas habituales de los números reales (suma, resta, multiplicación, división, propiedad conmutativa, distribución, etc.). A menudo nos referiremos a un elemento en un subconjunto de números reales como un punto.

Definición 5.53. Un conjunto\(U\) se llama conjunto abierto si por cada\(x \in U\), existe un intervalo abierto delimitado\((a,b)\) que contiene\(x\) tal que\((a,b)\subseteq U\).

Se deduce inmediatamente de la definición que cada conjunto abierto es una unión de intervalos abiertos acotados.

Problema 5.54. Determine si cada uno de los siguientes conjuntos está abierto. Justifica tus aseveraciones.

1. \((1,2)\)
2. \((1,\infty)\)
3. \((1,2)\cup (\pi,5)\)
4. \([1,2]\)
5. \((-\infty,\sqrt{2}]\)
6. \(\{4,17,42\}\)
7. \(\{\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\}\)
8. \(\{\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\}\cup \{0\}\)
9. \(\mathbb{R}\)
10. \(\mathbb{Q}\)
11. \(\mathbb{Z}\)
12. \(\emptyset\)

Como se esperaba, cada intervalo abierto (es decir, intervalos de la forma\((a,b)\)\((-\infty,b)\),\((a,\infty)\), o\((-\infty,\infty)\)) es un conjunto abierto.

Teorema 5.55. Cada intervalo abierto es un conjunto abierto.

Sin embargo, es importante señalar que los conjuntos abiertos pueden ser más complicados que un solo intervalo abierto.

Problema 5.56. Proporcione un ejemplo de un conjunto abierto que no sea un solo intervalo abierto.

Teorema 5.57. Si\(U\) y\(V\) son conjuntos abiertos, entonces

1. \(U\cup V\)es un conjunto abierto, y
2. \(U\cap V\)es un conjunto abierto.

Según los dos teoremas siguientes, la unión de arbitrariamente muchos conjuntos abiertos es abierta mientras que la intersección de un número finito de conjuntos abiertos está abierta.

Teorema 5.58. Si\(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) es una colección de conjuntos abiertos, entonces\(\bigcup_{\alpha\in\Delta} U_{\alpha}\) es un conjunto abierto.

Considera usar la inducción para probar el siguiente teorema.

Teorema 5.59. Si\(\{U_{i}\}_{i=1}^n\) es una colección finita de conjuntos abiertos para\(n\in \mathbb{N}\), entonces\(\bigcap_{i=1}^n U_{i}\) es un conjunto abierto.

Problema 5.60. Explique por qué no podemos utilizar la inducción para probar que la intersección de infinitamente muchos conjuntos abiertos indexados por los números naturales es abierta.

Problema 5.61. Dé un ejemplo de cada uno de los siguientes.

1. Una colección de conjuntos abiertos\(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) tal que\(\bigcap_{\alpha\in\Delta} U_{\alpha}\) es un conjunto abierto.
2. Una colección de conjuntos abiertos\(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) tal que no\(\bigcap_{\alpha\in\Delta} U_{\alpha}\) es un conjunto abierto.

Según el problema anterior, la intersección de infinitamente muchos conjuntos abiertos puede o no estar abierta. Entonces, sabemos que no hay teorema que establezca que la intersección de arbitrariamente muchos sets abiertos es abierta. Sólo sabemos con certeza que la intersección de finitamente muchos conjuntos abiertos está abierta por el Teorema 5.59.

Definición 5.62. Supongamos\(A\subseteq \mathbb{R}\). Un punto\(p\in \mathbb{R}\) es un punto de acumulación de\(A\) si por cada intervalo abierto delimitado\((a,b)\) que contiene\(p\), existe un punto\(q \in (a,b)\cap A\) tal que\(q\neq p\).

Observe que si\(p\) es un punto de acumulación de\(A\), entonces\(p\) puede o no estar en\(A\). Hablando vagamente,\(p\) es un punto de acumulación de un conjunto\(A\) si hay puntos en\(A\) arbitrariamente cerca de\(p\). Es decir, si nos acercamos\(p\), siempre debemos ver puntos en\(A\) las cercanías.

Problema 5.63. Considera el intervalo abierto\(I=(1,2)\). Demostrar cada uno de los siguientes.

1. Los puntos\(1\) y\(2\) son puntos de acumulación de\(I\).
2. Si\(p\in I\), entonces\(p\) es un punto de acumulación de\(I\).
3. Si\(p<1\) o\(p>2\), entonces no\(p\) es un punto de acumulación de\(I\).

Teorema 5.64. Un punto\(p\) es un punto de acumulación de los intervalos\((a,b)\),\((a,b]\),\([a,b)\), y\([a,b]\) si y solo si\(p\in [a,b]\).

Problema 5.65. Demostrar que el punto\(p=0\) es un punto de acumulación de\(A=\{\frac{1}{n}\mid n \in \mathbb{N}\}\). ¿Hay otros puntos de acumulación de\(A\)?

Problema 5.66. Proporcione un ejemplo de un conjunto\(A\) con exactamente dos puntos de acumulación.

Considera usar los Teoremas 5.51 y 5.52 al probar el siguiente resultado.

Teorema 5.67. Si\(p\in\mathbb{R}\), entonces\(p\) es un punto de acumulación de\(\mathbb{Q}\).

Definición 5.68. Un conjunto\(A\subseteq \mathbb{R}\) se llama cerrado si\(A\) contiene todos sus puntos de acumulación.

Problema 5.69. Determinar si cada uno de los conjuntos del Problema 5.54 está cerrado. Justifica tus aseveraciones.

El resultado de las Partes (i) y (l) de los Problemas 5.54 y 5.69 es eso\(\mathbb{R}\) y\(\emptyset\) son tanto abiertas como cerradas. Resulta que estos son los dos únicos subconjuntos de los números reales con esta propiedad. Un problema con la terminología que potencialmente podría crear confusión es que el intervalo abierto\((-\infty, \infty)\) es a la vez un conjunto abierto y uno cerrado.

Problema 5.70. Proporcione un ejemplo de cada uno de los siguientes. No es necesario que demuestres que tus respuestas son correctas.

1. Un conjunto que está abierto pero no cerrado.
2. Un conjunto que está cerrado pero no abierto.
3. [prob:open vs closed last] Un conjunto que ni abre ni cierra.

Otra característica potencialmente molesta de la terminología ilustrada por el Problema 5.70 es que si un conjunto no está abierto, puede o no estar cerrado. Del mismo modo, si un conjunto no está cerrado, puede o no estar abierto. Es decir, abierto y cerrado no son opuestos entre sí.

El siguiente resultado justifica referirse\([a,b]\) a un intervalo cerrado.

Teorema 5.71. Cada intervalo de la forma\([a,b]\)\((-\infty,b]\),\([a,\infty)\), o\((-\infty,\infty)\) es un conjunto cerrado.

Teorema 5.72. Cada subconjunto finito de\(\mathbb{R}\) está cerrado.

A pesar de que abierto y cerrado no son opuestos entre sí, existe una relación agradable entre conjuntos abiertos y cerrados en cuanto a complementos.

Teorema 5.73. Vamos\(U\subseteq \mathbb{R}\). Entonces\(U\) está abierto si y sólo si\(U^C\) está cerrado.

Teorema 5.74. Si\(A\) y\(B\) son conjuntos cerrados, entonces

1. \(A\cup B\)es un conjunto cerrado, y
2. \(A\cap B\)es un conjunto cerrado.

Los dos teoremas siguientes son análogos a los Teoremas 5.58 y 5.59.

Teorema 5.75. Si\(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) es una colección de conjuntos cerrados, entonces\(\bigcap_{\alpha\in \Delta} A_{\alpha}\) es un conjunto cerrado.

Teorema 5.76. Si\(\{A_{i}\}_{i=1}^n\) es una colección finita de conjuntos cerrados para\(n\in \mathbb{N}\), entonces\(\bigcup_{i=1}^n A_{i}\) es un conjunto cerrado.

Problema 5.77. Proporcione un ejemplo de una colección de conjuntos cerrados\(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) tal que no\(\bigcup_{\alpha\in \Delta} A_{\alpha}\) sea un conjunto cerrado.

Problema 5.78. Determinar si cada uno de los siguientes conjuntos está abierto, cerrado, ambos o ninguno.

1. \(\displaystyle V=\bigcup_{n=2}^{\infty} \left(n - \frac{1}{2},n\right)\)
2. \(\displaystyle W=\bigcap_{n=2}^{\infty} \left(n - \frac{1}{2},n\right)\)
3. \(\displaystyle X=\bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)\)
4. \(\displaystyle Y=\bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-n, n\right)\)
5. \(Z=(0,1)\cap \mathbb{Q}\)

Problema 5.79. Demostrar o proporcionar un contraejemplo: Cada conjunto no cerrado tiene al menos un punto de acumulación.

Ahora presentamos tres clases especiales de subconjuntos de\(\mathbb{R}\): compacto, conectado y desconectado.

Definición 5.80. Un conjunto\(K\subseteq\mathbb{R}\) se llama compacto si\(K\) está cerrado y acotado.

Es importante señalar que existe una definición más general de compacto en un espacio topológico arbitrario. Sin embargo, usando nuestras nociones de abierto y cerrado, es un teorema de que un subconjunto de la línea real es compacto si y solo si está cerrado y acotado.

Problema 5.81. Determine si cada uno de los siguientes conjuntos es compacto. Justifica brevemente tus aseveraciones.

1. \([0,1)\cup [2,3]\)
2. \([0,1)\cup (1,2]\)
3. \([0,1)\cup [1,2]\)
4. \(\mathbb{R}\)
5. \(\mathbb{Q}\)
6. \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)
7. \(\mathbb{Z}\)
8. \(\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\}\)
9. \([0,1]\cup\{1+\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\}\)
10. \(\{17,42\}\)
11. \(\{17\}\)
12. \(\emptyset\)

Problema 5.82. ¿Cada conjunto finito es compacto? Justifica tu aseveración.

El siguiente teorema dice que cada conjunto compacto no vacío contiene su mayor límite inferior y su límite menor superior. Es decir, cada conjunto compacto no vacío alcanza un valor mínimo y un valor máximo.

Teorema 5.83. Si\(K\) es un subconjunto compacto no vacío de\(\mathbb{R}\), entonces\(\sup(K),\inf(K)\in K\).

Definición 5.84. Un conjunto\(A\subseteq \mathbb{R}\) se desconecta si existen dos conjuntos abiertos disjuntos\(U_1\) y\(U_2\) tal que\(A\cap U_1\) y no\(A\cap U_2\) están vacíos pero\(A\subseteq U_1\cup U_2\) (equivalentemente,\(A=(A\cap U_1)\cup(A\cap U_2)\)). Si un conjunto no está desconectado, entonces decimos que está conectado.

En otras palabras, un conjunto se desconecta si se puede dividir en dos subconjuntos no vacíos de tal manera que cada subconjunto no contenga puntos del otro y no contenga ningún punto de acumulación del otro. Mostrar que un conjunto está desconectado es generalmente más fácil que mostrar que un conjunto está conectado. Para demostrar que un conjunto está desconectado, simplemente necesita exhibir dos conjuntos abiertos con las propiedades necesarias. Sin embargo, para demostrar que un conjunto está conectado, es necesario demostrar que no existe tal par de conjuntos abiertos.

Problema 5.85. Determine si cada uno de los conjuntos del Problema 5.81 está conectado o desconectado. Justifica brevemente tus aseveraciones.

Teorema 5.86. Si\(a\in\mathbb{R}\), entonces\(\{a\}\) está conectado.

La prueba del siguiente teorema es más dura de lo que cabría esperar. Considera una prueba por contradicción e intenta hacer uso del Axioma de la Completitud.

Teorema 5.87. Cada intervalo cerrado\([a,b]\) está conectado.

Resulta que cada conjunto conectado en\(\mathbb{R}\) es un singleton o un intervalo. No hemos probado oficialmente esta afirmación, pero sí tenemos las herramientas para hacerlo. Siéntase libre de probar suerte para probar este hecho.