1.5: Notas al pie
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Sin embargo, alrededor de 1930 se tuvo que comenzar con textos mucho más complejos que el que consideramos aquí, que solo se descubrió en 1936. Pero los principios eran los mismos. Las contribuciones más importantes en los primeros años se debieron a Otto Neugebauer, historiador de matemáticas y astronomía antiguas, y al asiriólogo François Thureau-Dangin.
Una retraducción literal de la traducción al francés de François Thureau-Dangin. La traducción al alemán de Otto Neugebauer es equivalente excepto en un punto: donde Thureau-Dangin tradujo “\(1^{\circ}\), la unidad” Neugebauer propuso “1, el coeficiente”. También transcribió los números del valor posicional de manera diferente.
Nadie, excepto quizás Neugebauer, quien en una ocasión observa (correctamente) que un texto hace uso de una multiplicación equivocada. En todo caso hay que advertir que ni él ni Thureau-Dangin escogen nunca una operación equivocada al restituir la parte faltante de un texto roto.
Más precisamente, la palabra traducida “longitud” significa “distancia”/“extensión”/“longitud” mientras que la que se traduce “ancho” significa “frente”/“frente”/“cabeza”. Se refieren a la idea de un campo de regadío largo y estrecho. La palabra para el área (eqlum /a.šà) originalmente significa “campo” pero para reservarla para uso técnico los textos utilizan otras palabras (menos adecuadas) cuando se habla de campos genuinos a dividir. En lo que sigue, el término se traducirá como “superficie”, que ha sufrido un desplazamiento similar de significado, y que representa tanto la entidad espacial como su área.
Una distinción similar se crea por otros medios para longitudes y anchuras. Si estas representan variables “algebraicas”, están invariablemente escritas con los logogramas uš y sag; si se usan para fines generales (la longitud de una pared, una distancia caminando) pueden estar provistas de complementos fonéticos o escritos silábicamente como šiddum y pūtum.
A falta de un punto sexagesimal es en principio imposible saber si la unidad básica era 1\(\mathrm{NINDAN}\), 60\(\mathrm{NINDAN}\) o\(\frac{1}{60} \mathrm{NINDAN}\). La elección de 1\(\mathrm{NINDAN}\) representa lo que (para nosotros, al menos) parece más natural para una calculadora babilónica antigua, ya que ya existe como una unidad (lo que también es cierto para 60\(\mathrm{NINDAN}\) pero no para\(\frac{1}{60} \mathrm{NINDAN}\)) y porque las distancias medidas en\(\mathrm{NINDAN}\) habían sido escritas sin referencia explícita a la unidad durante siglos antes de la introducción del sistema de valor posicional.
No es de excluir que los babilonios pensaran en la mina como unidad estándar, o que mantuvieran abiertas ambas posibilidades.
La forma verbal utilizada normalmente sería causativa-recíproca. No obstante, en ocasiones la frase utilizada es “make\(p\) together with\(q\) hold”, lo que parece excluir la interpretación recíproca.
Al hablar de una “escuela” en el contexto de la Antigua Babilonia debemos ser conscientes de que sólo la conocemos a partir de evidencias textuales. Ningún aula ha sido identificada por los arqueólogos (lo que alguna vez se creía que eran aulas escolares ha resultado ser, por ejemplo, almacenes). Por lo tanto, no sabemos si los escribas fueron enseñados en escuelas de palacio o templo o en las casas particulares de un escriba maestro instruyendo a un puñado de estudiantes; muy probablemente, muchos fueron enseñados por maestros particulares. El gran número de copias cuasiidénticas de la tabla de reciprocales que se prepararon para ser aprendidas de memoria muestran, sin embargo, que los futuros escribas no fueron (o no únicamente) enseñados como aprendices de un escriba trabajador sino de acuerdo con un plan de estudios definido con precisión; esto también lo demuestran otras fuentes.
Puede parecer extraño que la multiplicación de igi 4 por 30 se haga “levantando”. ¿No es esto una multiplicación de un número por un número? No necesariamente, según la expresión utilizada en los textos cuando hay que encontrar igi 4: lo “desprenden”. La idea es así una división en 4 partes iguales, una de las cuales está separada. Parece que lo que originalmente se dividió (cuando se construyó el sistema de valor posicional) era una longitud, a saber, 1[\(\mathrm{NINDAN}\)], no 1 [\(\mathrm{NINDAN}\)]. Este entendimiento UR-III ciertamente había quedado atrás; pero el hábito terminológico había sobrevivido.
Y, tácitamente entendido, esa n misma se puede escribir de esta manera. No es difícil demostrar que todos los “números regulares” se pueden escribir\(2^{p} \cdot 3^{q} \cdot 5^{r}\), donde\(p\),\(q\) y\(r\) son enteros positivos o negativos o cero. \(2\),\(3\) y de hecho\(5\) son los únicos números primos que dividen 60. De igual manera, los “números regulares” en nuestro sistema decimal son los que se pueden escribir\(2^{p} \cdot 5^{q}\), siendo 2 y 5 los únicos divisores primos de 10.
La expresión “postular a” se refiere a la forma en que se escribieron ejercicios simples de multiplicación en la escuela: los dos factores se escribieron uno encima del otro (siendo el segundo “postulado” al primero), y el resultado debajo de ambos.
Más precisamente, la palabra babilónica significa “una situación caracterizada por el enfrentamiento de iguales”.
Sobre el problema de la “escuela” ver nota 8, página 20, y página 101.
En acadio, el verbo viene al final de la frase. Esta estructura permite escribir un número una sola vez, primero como resultado de un cálculo y el siguiente como objeto de otro. Para conservar esta arquitectura del texto (“número (s) /operación: número resultante/nueva operación”), esta posición final del verbo se respeta en las traducciones, aunque no gramatical sea. El lector tendrá que acostumbrarse (¡pero los lectores que no sean ingleses no deberían aprenderlo tan bien como usar la construcción de forma independiente!).