4.1: El Modelo SI

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El modelo más simple de una enfermedad infecciosa categoriza a las personas como susceptibles o infecciosas\((S I)\). Se puede imaginar que las personas susceptibles son sanas y las personas infecciosas están enfermas. Una persona susceptible puede llegar a ser infecciosa por contacto con un infeccioso. Aquí, y en todos los modelos posteriores, asumimos que la población en estudio está bien mezclada para que cada persona tenga la misma probabilidad de entrar en contacto con cada otra persona. Esta es una aproximación importante. Por ejemplo, si bien la población de Amoy Gardens podría considerarse bien mezclada durante la epidemia del SARS debido a tuberías de agua y elevadores compartidos, la población de Hong Kong en su conjunto no pudo debido a las mayores distancias geográficas, y el limitado viaje de muchas personas fuera de los barrios donde viven.

Derivamos la ecuación diferencial gobernante para el modelo SI considerando el número de personas que se vuelven infecciosas durante el tiempo\(\Delta t\). \(\beta \Delta t\)Sea la probabilidad de que una persona infecciosa aleatoria infecte a una persona susceptible aleatoria durante el tiempo\(\Delta t\). Entonces con personas\(S\) susceptibles e\(I\) infecciosas, el número esperado de personas recién infectadas en la población total durante el tiempo\(\Delta t\) es\(\beta \Delta t S I\). Por lo tanto,

\[I(t+\Delta t)=I(t)+\beta \Delta t S(t) I(t) \nonumber \]

y en el límite\(\Delta t \rightarrow 0\),

\[\dfrac{d I}{d t}=\beta S I \nonumber \]

Diagramamos (4.1.1) como

\[S \stackrel{\beta S I}{\longrightarrow} I . \nonumber \]

Posteriormente, los diagramas facilitarán la construcción de sistemas de ecuaciones más complicados. Ahora asumimos un tamaño de población constante\(N\), descuidando nacimientos y muertes, así que eso\(S+I=N\). Podemos eliminar\(S\) de (4.1.1) y reescribir la ecuación como

\[\dfrac{d I}{d t}=\beta N I\left(1-\dfrac{I}{N}\right) \nonumber \]

que puede reconocerse como una ecuación logística, con tasa de crecimiento\(\beta N\) y capacidad de carga\(N\). Por lo tanto\(I \rightarrow N\) como\(t \rightarrow \infty\) y toda la población se volverá infecciosa.