4.2: El modelo SIS

El modelo de SI puede extenderse al modelo SIS, donde un infeccioso puede recuperarse y volverse susceptible nuevamente. Suponemos que la probabilidad de que un infeccioso se recupere durante el tiempo\(\Delta t\) viene dada por\(\gamma \Delta t\). Entonces el número total de personas infecciosas que se recuperan durante el tiempo\(\Delta t\) viene dado por\(I \times \gamma \Delta t\), y

\[I(t+\Delta t)=I(t)+\beta \Delta t S(t) I(t)-\gamma \Delta t I(t) \nonumber \]

o como\(\Delta t \rightarrow 0\)

\[\frac{d I}{d t}=\beta S I-\gamma I \nonumber \]

que diagramamos como

\[S \underset{\gamma I}{\stackrel{\beta S I}{\rightleftharpoons}} I \text {. } \nonumber \]

Usando\(S+I=N\), eliminamos\(S\) de (4.2.2) para obtener

\[\frac{d I}{d t}=(\beta N-\gamma) I\left(1-\frac{\beta}{\beta N-\gamma} I\right) \nonumber \]

que nuevamente es una ecuación logística, pero ahora con tasa de crecimiento\(\beta N-\gamma\) y capacidad de carga\(N-\gamma / \beta\). En el modelo SIS, se producirá una epidemia si\(\beta N>\gamma\). Y si ocurre una epidemia, entonces la enfermedad se vuelve endémica con el número de infecciosos en equilibrio dado por\(I_{*}=N-\gamma / \beta\), y el número de susceptibles dado por\(S_{*}=\gamma / \beta\).

En general, una métrica importante para determinar si ocurrirá o no una epidemia se llama la relación reproductiva básica. La relación reproductiva básica se define como el número esperado de personas que un solo infeccioso infectará en una población que de otro modo sería susceptible. Para calcular la relación reproductiva básica, se define\(l(t)\) como la probabilidad de que un individuo inicialmente infectado en todavía\(t=0\) sea infeccioso en el momento\(t\). Dado que la probabilidad de ser infeccioso en el momento\(t+\Delta t\) es igual a la probabilidad de ser infeccioso en el tiempo\(t\) multiplicada por la probabilidad de no recuperarse en el tiempo\(\Delta t\), tenemos

\[l(t+\Delta t)=l(t)(1-\gamma \Delta t) \nonumber \]

o como\(\Delta t \rightarrow 0\)

\[\frac{d l}{d t}=-\gamma l \nonumber \]

Con condición inicial\(l(0)=1\)

\[l(t)=e^{-\gamma t} \nonumber \]

Ahora bien, el número esperado de infecciones secundarias producidas por un solo infeccioso primario a lo largo del periodo de tiempo\((t, t+\Delta t)\) viene dado por la probabilidad de que el infeccioso primario siga siendo infeccioso a la vez\(t\) multiplicado por el número esperado de infecciones secundarias producidas por un solo infeccioso durante el tiempo\(\Delta t\); es decir,\(l(t) \times S(t) \beta \Delta t\). Aquí, la definición de la relación reproductiva básica supone que toda la población es susceptible por lo que\(S(t)=N\). Por lo tanto, el número esperado de infectivos secundarios producidos por un solo infeccioso primario en una población completamente susceptible es

\[\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \beta l(t) N d t &=\beta N \int_{0}^{\infty} e^{-\gamma t} d t \\[4pt] &=\frac{\beta N}{\gamma} \end{aligned} \nonumber \]

Por lo tanto, la relación reproductiva básica\(\mathcal{R}_{0}\), escrita como, se define como

\[\mathcal{R}_{0}=\frac{\beta N}{\gamma} \nonumber \]

y desde (4.2.4), podemos ver que en el modelo SIS se producirá una epidemia si\(R_{0}>1\). En otras palabras, una epidemia puede ocurrir si un individuo infectado en una población por lo demás susceptible infectará en promedio a más de otro individuo.

También hemos visto una definición análoga de la relación reproductiva básica en nuestra discusión previa sobre las poblaciones estructuradas por edad\((\S 2.5)\). Allí, la relación reproductiva básica fue el número de crías femeninas esperadas de una hembra recién nacida a lo largo de su vida; el tamaño de la población crecería si este valor fuera mayor que la unidad.

En el modelo SIS, después de que ocurre una epidemia, la población alcanza un equilibrio entre individuos susceptibles e infecciosos. La relación reproductiva básica efectiva de esta población en estado estacionario puede definirse como\(\beta S_{*} / \gamma\), y con\(S_{*}=\gamma / \beta\) esta relación es evidentemente la unidad. Claramente, para que una población esté en equilibrio, un individuo infeccioso debe infectar en promedio a otro individuo antes de que se recupere.