4.5: El Modelo de Enfermedad Endémica SIR

Última actualización

30 oct 2022
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- 4.4: Vacunación
- 4.6: Evolución de la Virulencia

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Se dice que una enfermedad que está constantemente presente en una población es endémica. Por ejemplo, la malaria es endémica del África subsahariana, donde se producen aproximadamente $90 \%$ muertes relacionadas con la malaria. Las enfermedades endémicas prevalecen en escalas de largo tiempo: nacen los bebés, mueren los ancianos.

Cuadro 4.1: Enfermedades previamente comunes para las que se han desarrollado vacunas.
Enfermedad	Descripción	Síntomas	Complicaciones
Difteria	Una enfermedad respiratoria bacteriana	Dolor de garganta y fiebre baja	Obstrucción de la vía aérea, coma y muerte
Haemophilus influenzae tipo b (Hib)	Una infección bacteriana que ocurre principalmente en lactantes	Infecciones cutáneas y de garganta, meningitis, neumonía, sepsis y artritis	Muerte en uno de cada 20 niños y daño cerebral permanente en 10% - 30% de los sobrevivientes
Hepatitis A	Una enfermedad hepática viral	Potencialmente ninguno; piel u ojos amarillos, cansancio, dolor de estómago, pérdida de apetito o náuseas	por lo general ninguno
Hepatitis B	Igual que la Hepatitis A	Igual que la Hepatitis A	Problemas hepáticos de por vida, como cicatrización del hígado y cáncer de hígado
Sarampión	Una enfermedad respiratoria viral	Sarpullido, fiebre alta, tos, secreción nasal y ojos rojos y llorosos	Diarrea, infecciones de oído, neumonía, encefalitis, convulsiones y muerte
Paperas	Una enfermedad viral de los ganglios linfáticos	Fiebre, dolor de cabeza, dolor muscular e hinchazón de los ganglios linfáticos cerca de la mandíbula	Meningitis, inflamación de los testículos u ovarios, inflamación del páncreas y sordera
Tos ferina (tos ferina)	Una enfermedad respiratoria bacteriana	Espasmos severos de tos	Neumonía, encefalitis y muerte, especialmente en lactantes
Enfermedad neumocócica	Una enfermedad bacteriana	Fiebre alta, tos y dolor torácico punzante, bacteriemia y meningitis	Muerte
Polio	Una enfermedad viral del sistema linfático y nervioso	Fiebre, dolor de garganta, náuseas, dolores de cabeza, dolores de estómago, rigidez en el cuello, la espalda y las piernas	Parálisis que puede conducir a discapacidad permanente y muerte
Rubéola (sarampión alemán)	Una enfermedad respiratoria viral	Sarpullido y fiebre de dos a tres días	Defectos congénitos si son adquiridos por una mujer embarazada
Tétanos (mandíbula cerrada)	Una enfermedad bacteriana del sistema nervioso	Mandíbula, rigidez en el cuello y el abdomen y dificultad para tragar	Muerte en un tercio de los casos, especialmente personas mayores de 50 años
Varicela (varicela)	Una enfermedad viral en la familia Herpes	Una erupción cutánea de lesiones similares a ampollas	Infección bacteriana de la piel, hinchazón del cerebro y neumonía
Virus del papiloma humano	Una enfermedad viral de la piel y las membranas mucosas	Verrugas, cáncer cervical	La tasa de supervivencia a 5 años de todos los diagnósticos de cáncer cervicouterino es de 72%

$b$ Sea la tasa de natalidad y $d$ la tasa de mortalidad no relacionada con la enfermedad. $c$ Definimos por separado como la tasa de mortalidad relacionada con la enfermedad; ahora $R$ es la clase inmune. Se puede trazar un modelo SIR de una enfermedad endémica como

$clipboard_e33fc957262a97d99898e9573d7813232.png$

y las ecuaciones diferenciales gobernantes son

$\frac{d S}{d t}=b N-\beta S I-d S, \quad \frac{d I}{d t}=\beta S I-(d+c+\gamma) I, \quad \frac{d R}{d t}=\gamma I-d R \nonumber$

con $N=S+I+R$ . En nuestro modelo de enfermedad endémica, satisface $N$ por separado la ecuación diferencial

$d N / d t=(b-d) N-c I \nonumber$

y no es necesariamente constante.

Una enfermedad puede volverse endémica en una población si $d I / d t$ permanece no negativa; es decir,

$\frac{\beta S(t)}{d+c+\gamma} \geq 1 \nonumber$

Para que una enfermedad se vuelva endémica, los recién nacidos deben introducir un suministro interminable de nuevos susceptibles en una población.

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