4.7: Dominio y rango de una función

Definición: Dominio y Rango de una Función

El dominio de una función son todos los valores posibles de x que se pueden utilizar como entrada a la función, lo que dará como resultado un número real como salida. El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida posibles de una función.

Ejemplo 4.7.1

Encuentra el dominio y el rango de la siguiente función:

\(f(x) = 5x + 3 \)

Solución

Cualquier número real, negativo, positivo o cero puede ser reemplazado por x en la función dada. Por lo tanto, el dominio de la función\(f(x) = 5x + 3 \) es todos los números reales, o como está escrito en notación de intervalos, es:\(D:(−\infty , \infty )\). Debido a que la función\(f(x) = 5x + 3\) es un polinomio de grado 1, es una línea recta (sin roturas ni agujeros).

El rango de cualquier polinomio de grado 1 es todos números reales o escritos en notación de intervalos, es:\(R:(−\infty , \infty )\).

Ejemplo 4.7.2

Encuentra el dominio y el rango de la siguiente función:

\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\)

Solución

Presta atención a la parte de raíz cuadrada de esta función. El radicando (lo que hay dentro de la raíz cuadrada) debe ser no negativo. Establezca el radical mayor o igual a cero para encontrar el dominio:

\(\begin{aligned} x − 4 &\geq 0 && \text{Set the radicand greater than or equal to 0 }\\ x &\geq 4 &&\text{ Solve the inequality } \\ D&:[4, \infty ) &&\text{Write the solution in interval notation }\end{aligned}\)

Por lo tanto, el dominio de la función\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\) es todos los números reales en el intervalo de\([4, \infty )\), que se escribe\(D:[4, \infty )\).

Para encontrar el rango de\(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\), observemos el comportamiento de la función para diferentes valores de x que están en el dominio.

Vamos\(x = 4\),\(g(4) = 2\sqrt{ 4 − 4}\), entonces\(g(4) = 0\).

Vamos\(x = 5\),\(g(5) = 2\sqrt{ 5 − 4}\), entonces\(g(5) = 2\).

Vamos\(x = 8\),\(g(8) = 2\sqrt{ 8 − 4}\), entonces\(g(8) = 4\).

Cualquier valor no negativo elegido para x dará como resultado un valor no negativo para\(g(x)\). Los valores de función para el rango (la salida de la función\(g(x)\)) son números no negativos, escritos como\(R:[0, \infty )\).

Ejemplo 4.7.3

Encuentra el dominio y el rango de la siguiente función:

\(h(x) = −2x^2 + 4x − 9\)

Solución

Cualquier número real, negativo, positivo o cero puede reemplazar x en la función dada.

Por lo tanto, el dominio de la función\(h(x) = 2x^2 + 4x − 9\) es todos los números reales, o como está escrito en notación de intervalos, es:\(D:(−\infty , \infty )\).

Debido a que la función\(h(x) = 2x^2 + 4x − 9\) es una cuadrática de grado 2, cuando se grafica, es una parábola (sin roturas ni agujeros). Identifica dos cosas sobre esta parábola:

1. ¿De qué manera se abre, arriba o abajo? y
2. ¿Dónde está el vértice?

El signo del coeficiente del término principal de la función cuadrática (\(2x^2\)) muestra en qué dirección se abre la parábola. El coeficiente es 2, y como es positivo, la función cuadrática se abre hacia arriba.

Ahora encuentra el vértice. El valor y del par ordenado de vértices mostrará dónde comienza el rango.

El vértice es\(\left(−\dfrac{b}{2a} , f\left( −\dfrac{b}{2a} \right)\right)\), con\(a = 2\) y\(b = 4\).

El vértice es\(\left(− \dfrac{4 }{2∗2} , f \left(− \dfrac{4 }{2∗2}\right)\right)\)

El vértice es\((− 1, f(− 1))\), que es\((− 1, 2 ∗ (−1)^2 − 9))\) o\((− 1, −11)\)

El rango comenzará en −11, y continuará aumentando, ya que la parábola se abre hacia arriba. \(R:[-11, \infty)\)

Ejemplo 4.7.4

Encuentra el dominio y el rango de la siguiente función:

\(j(x) = \vert z − 6 \vert − 3\)

Solución

Esta función contiene un valor absoluto. Se puede elegir cualquier valor para\(z\), por lo que el dominio de la función es todo números reales, o como está escrito en notación de intervalo, es:\(D:(−\infty , \infty )\)

Para encontrar el rango, examine dentro de los símbolos de valor absoluto. Esta cantidad, siempre\(\vert z−6 \vert\) será 0 o un número positivo, para cualquier valor de z. Primero, encuentra lo que hace que la expresión z−6 sea igual a cero, que es el número 6.

\(\begin{aligned} j(x) &= \vert z − 6 \vert − 3 &&\text{ Original function } \\ j(x) &= \vert 6 − 6 \vert − 3 && \text{Replace z with 6 } \\j(x) &= \vert 0 \vert − 3 && \text{Simplify } \\ j(x) &= −3 && j(x) \text{ is } −3 \end{aligned}\)

Por lo tanto, el rango de la función\(j(x) = \vert z − 6 \vert − 3\) es −3 o superior, o como está escrito en notación de intervalo, es:\(R:[-3, \infty)\)

Algunos tipos de funciones son más difíciles de trabajar. Aquí hay algunos ejemplos de funciones donde se puede encontrar el dominio pero el rango sería demasiado difícil de encontrar, y fuera del alcance de este curso:

Ejemplo 4.7.5

Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

\(f(x) = \dfrac{x − 4 }{x^2 − 2x − 15 }\)

Solución

Con cualquier función racional (un cociente de polinomios), ser conscientes de la división por 0. Establecer el polinomio denominador igual a 0 y resolver.

\(\begin{aligned} x^2 − 2x − 15 &= 0 &&\text{Set the denominator function equal to } 0 \\ (x − 5)(x + 3) &= 0 &&\text{Factor the quadratic equation } \\ x − 5 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ x &= 5 &&\text{Solve the first binomial factor } \\ x + 3 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ x &= −3 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)

Hay dos soluciones a la ecuación cuadrática, 5 y −3.

Estos valores deben ser excluidos del dominio, ya que si\(x\) es 5 o −3, el denominador será igual a cero.

La división por cero no está definida. El dominio de la función\(f(x) = x − 4 x^2 − 2x − 15\) es\((−\infty , −3) \cup (−3, −5) \cup (−5, \infty )\).

Ejemplo 4.7.6

Encuentra el dominio de la siguiente función:

\(g(x) = \dfrac{x }{x^2 − 9}\)

Solución

Una vez más esta es una función racional, y la preocupación es evitar la división por 0. Establezca la función denominador igual a 0 y resuelva.

\(\begin{aligned} x^{2}-9&=0 && \text { Set the denominator function equal to } 0 \\ (x-3)(x+3)&=0 &&\text{Factor the quadratic equation} \\ x-3&=0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero} \\ x&=3 &&\text{Solve the first binomial factor}\\ x+3&=0 && \text{Set the second binomial factor equal to zero} \\ x&=-3 && \text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)

Hay dos soluciones a la ecuación cuadrática, 3 y −3. Estos valores deben ser excluidos del dominio, ya que si\(x\) es 3 o −3, el denominador será igual a cero. La división por cero no está definida. El dominio de la función\(g(x) =\dfrac{ x}{ x^2 − 9 }\) es\((−\infty , −3) \cup (−3, 3) \cup (3, \infty )\).

Ejemplo 4.7.7

Encuentra el dominio de la siguiente función:

\(g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}\)

Solución

El radicando de esta función de raíz cuadrada debe ser no negativo. Establezca el radicand mayor o igual a 0 y resuelva.

\(\begin{aligned} 6 + t − t^2 &\geq 0 &&\text{Set the radicand equal to }0 \\ −t^2 + t + 6 &\geq 0 &&\text{Rewrite the function with the leading term first } \\ (−t + 3)(t + 2) &= 0 && \text{Factor the quadratic equation } \\−t + 3 &= 0 && \text{Set the first binomial factor equal to zero } \\ t &= 3 && \text{Solve the first binomial factor } \\ t + 2 &= 0 &&\text{Set the second binomial factor equal to zero } \\ t &= −2 &&\text{Solve the second binomial factor} \end{aligned}\)

Hay dos valores que harán que el radicando de esta raíz cuadrada funcione como cero, 3 y −2.

Dado que el radicando debe ser no negativo, pruebe las regiones entre las soluciones encontradas.

Si\(x < −2\), por ejemplo, −4,\(g(−4) = \sqrt{6 + (−4) − (−4)^2}\) es negativo, lo cual no está permitido para el radicando.

Si\(x\) está entre −2 y 3, por ejemplo, 0,\(g(0) = \sqrt{6 + (0) − (0)^2}\) es positivo. Esta región entre −2 y 3 estará en el dominio de la función.

Hay una región más para verificar, donde\(x > 3\). Vamos\(x = 4\). \(g(4) = \sqrt{ 6 + (4) − (4)^2}\)es negativo, lo que no está permitido para el radicando. El dominio de la función\(g(t) = \sqrt{6 + t − t^2}\) es\([−2, 3]\)

Ejercicio 4.7.1

Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones:

1. \(f(x) = x ^2 − 8x + 12\)
2. \(g(x) = \sqrt{x + 10}\)
3. \(h(x) = \vert − 2x + 1\vert\)

Ejercicio 4.7.2

Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

1. \(f(x) = \dfrac{6x + 7 }{5x + 2}\)
2. \(f(x) = \dfrac{2x }{2x^2 + 3x − 20}\)
3. \(f(x) =\dfrac{ 4x + 11 }{x^2 + 6x + 9}\)
4. \(f(x) = \dfrac{3x }{x^2 − 5x − 14}\)
5. \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{ 6x^2 − x − 2}\)
6. \(f(x) = \dfrac{−6 }{25x^2 − 4}\)