4.6: Funciones polinomiales
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Una Función Polinómica es una función que se puede escribir en la forma general:
\(f(x) = a_n x^n + a_{n−1} x^{n−1 }+ ... + a_1x + a_0\)
para\(n\) un entero no negativo, llamado el grado del polinomio. Los coeficientes\(a_0\),\(a_1\),\(\ldots\), an son números reales con coeficiente principal an\(a_n \neq 0\). El dominio de una Función Polinómica es\((−\infty , \infty )\). La gráfica de una función polinómica de grado\(n\) puede intersectar el eje x en la mayoría de los\(n\) casos. Estas son las raíces de la función polinómica.
No hay ejemplos ni tareas en esta sección.
Funciones cuadráticas
\(f(x) = ax^2 + bx + c\)donde\(a\neq 0\)
es una función cuadrática en forma estándar, y su gráfica es una parábola. Cuando el coeficiente inicial,\(a\), es positivo, la gráfica de la Función Cuadrática se abre hacia arriba. Cuando el coeficiente inicial,\(a\), es negativo, la gráfica de la Función Cuadrática se abre hacia abajo.
Esboce una gráfica de\(f(x) = −x^2 + 5x + 3\) en un sistema de coordenadas rectangular. Encuentra el vértice, la (s) intersección (s) x y la intersección y algebraicamente.
Solución
Encuentra el vértice calculando\(\left(\dfrac{-b}{2 a}, f\left(\dfrac{-b}{2 a}\right)\right)\) con\(a = −1\),\(b = 5\) y\(c = 3\).
\ (\ begin {aligned}
\ left (\ dfrac {-b} {2 a}, f\ left (\ dfrac {-b} {2 a}\ right)\ right) &=&&\ text {Encuentra el vértice de la parábola}\
\ dfrac {-5} {2 (-1)} &=\
\ dfrac {5} {2} &=2.5 &&\ text {Simplificar}\\
\ dfrac {-5} {2 (-1)} &=2.5\\
f (2.5) &=- (2.5) ^ {2} +5 (2.5) +3=9.25=&& f\ left (\ dfrac {-b} {2 a}\ derecha) =9.25\\ izquierda (\ dfrac {-b} {2 a}, f\ izquierda (\ dfrac {-b} {2 a}\ derecha)\ derecha) & =( 2.5,9.25) &&\ text {Vértice de la parábola}
\ end {alineado}\)
Para encontrar las intercepciones:
\ (\ begin {aligned} 0&=-x^ {2} +5 x+3 &&\ text {x-intercept, set} f (x) =0\\ 0&=-x^ {2} +5 x+3 &&\ text {Usa la Fórmula Cuadrática para resolver esta ecuación (no se puede factorizar). Vamos} a=-1, b=5, c=3\\ x&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {(5) ^ {2} -4 (-1) (3)}} {2 (-1)} &&\ text {Fórmula Cuadrática
}\\ x&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {37}} {-2} &&\ text {Simplificar}\\
x&=-0.54\ text {or} x=5.54 &&\ text {Esta función cuadrática tiene dos raíces (intercepciones x). }\\ f (0) &=-0^ {2} +5 (0) +3 &&\ text {y-intercept, set} x=0\\ f (0) &=3 &&\ text {y-intercept}\ end {alineado}\)
Grafique los cuatro pares ordenados, y calcule más pares ordenados si es necesario:\((2.5, 9.25)\),\((−.54, 0)\),\((5.54, 0)\),\((0, 3)\).
- \(f(x) = 2x ^2 − 5x − 5\)
- \(f(x) = 0.5x ^2 − 6x + 21\)
- \(f(x) = −4x ^2 − 8x − 3\)
- \(f(x) = −4x^ 2 + 16x − 15\)
- \(f(x) = x^ 2 − 8x + 12\)
- \(f(x) = −7x^ 2 + 100x − 10\)
Funciones cúbicas y de orden superior
Una función cúbica es una función polinómica de tercer grado que se puede escribir en la forma general:
\(f(x) = a_3x^ 3 + a_2x^2 + a_1x + a_0\)
con 3 como el grado de la función cúbica. Los coeficientes\(a_0\),\(a_1\),\(a_2\),\(a_3\) son números reales con coeficiente inicial\(a_3 \neq 0\). El dominio de una función cúbica es\((−\infty , \infty )\).
Factorizar si es posible y grafica la función creando una tabla de soluciones:
\(f(x) = x^3 − 4x^2 + 6x − 1\)
Solución
Este polinomio es de grado 3, y es difícil de factorizar. Crear una tabla de soluciones para graficar.
| Tabla de soluciones para\(f(x) = x^3 − 4x^2 + 6x − 1\) | |
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -2 | \(f(−2) = (−2)^3 − 4(−2)^2 + 6(−2) − 1 = −37\) |
| -1 | \(f(−1) = (−1)^3 − 4(−1)^2 + 6(−1) − 1 = −12\) |
| 0 | \(f(0) = (0)^3 − 4(0)^2 + 6(0) − 1 = −1\) |
| 1 | \(f(1) = (1)^3 − 4(1)^2 + 6(1) − 1 = 2\) |
| 2 | \(f(2) = (2)^3 − 4(2)^2 + 6(2) − 1 = 3\) |
Factorizar si es posible y grafica la función creando una tabla de soluciones:
\(g(x)=x^4-16\)
Solución
Este polinomio es de grado 4, y debido a que es una diferencia de cuadrados, se puede factorizar en un producto de binomios para encontrar los ceros del polinomio. Crear una tabla de soluciones para graficar.
\(\begin{aligned} g(x)&=\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right) && \text{Factoring into the sum and difference of binomials.} \\ g(x)&=(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right) && \text{Further factoring. Set each binomial equal to zero to find the real number zeroes of the polynomial.} \\ x-2&=0, x=2 && \text{The first real number zero of the polynomial, }(2,0) \\ x+2&=0, x=-2 &&\text{The second real number zero of the polynomial, } (2,0) \\ x^{2}+4&=0, x^{2}=-4 && \text{The third binomial factor does not produce real number zeroes, } \\ & &&\text{because no number squared can result in a negative value.} \end{aligned}\)
| Tabla de soluciones para\(g(x)=x^4-16\) | |
| \(x\) | \(g(x)\) |
| -2 | \(g(−2) = (−2)^4 − 16 = 16 − 16 = 0\) |
| -1 | \(g(−1) = (−1)^4 − 16 = 1 − 16 = −15\) |
| 0 | \(g(0) = (0)^4 − 16 = 0 − 16 = −16\) |
| 1 | \(g(1) = g(1) = (1)^4 − 16 = 1 − 16 = −15\) |
| 2 | \(g(2) = g(2) = (2)^4 − 16 = 16 − 16 = 0\) |
Factorizar si es posible y grafica la función creando una tabla de soluciones:
\(f(x) = x ^6 − 5x ^2 + 3\)
Solución
Este polinomio es de grado 6, y es difícil de factorizar. Crear una tabla de soluciones para graficar.
| Tabla de soluciones para\(f(x) = x ^6 − 5x ^2 + 3\) | |
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -2 | \(f(−2) = (−2)^6 − 5(−2)^2 + 3 = 47\) |
| -1 | \(f(−1) = (−1)^6 − 5(−1)^2 + 3 = −1\) |
| 0 | \(f(0) = (0)^6 − 5(0)^2 + 3 = 3\) |
| 1 | \(f(1) = (1)^6 − 5(1)^2 + 3 = −1\) |
| 2 | \(f(2) = (2)^6 − 5(2)^2 + 3 = 47\) |
- \(f(x) = x^3 − 27\)
- \(g(x) = 81x ^4 − 16\)
- \(h(x) = 2x ^5 − 4x ^2 − 6x + 3\)
- \(f(x) = 5x ^6 − 6x ^4 + 5\)
Funciones racionales
Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de polinomios.
\(f(x) = \dfrac{P (x) }{Q(x) }\),\(Q(x) \neq 0\)
donde\(P(x)\) y\(Q(x)\) son polinomios en una variable\(x\). El dominio es el conjunto de todos los números reales tales que\(Q(x) \neq 0\).
Para la función,\(f(x) = \dfrac{9 }{x − 3}\):
- Graficar la función
- Evaluar la función para\(x = 0\) y\(x = 2\)
Solución
Preste atención al dominio de esta función. La división por cero es indefinida, por lo que el (los) número (s) que hará el denominador 0 deben ser excluidos del dominio.
En este problema,\(x − 3\) está en el denominador de la función. Establecer\(x − 3 = 0\) y resolver para\(x\). Si\(x = 3\) la división es indefinida, entonces excluye el número 3 del dominio de la función. Piense en ello como siempre comenzando con todos los números reales\((−\infty , \infty )\) y luego eliminando los valores que provocarán una división indefinida.
El dominio de esta función es\((−\infty , 3) \cup (3, \infty )\).
Las funciones racionales suelen tener asíntotas, una línea que se aproxima continuamente a una curva dada pero que no la encuentra a ninguna distancia finita. Aprenderás sobre las asíntotas en la sección Croquizado de Curvas de Matemáticas 162.
La gráfica de esta función se puede encontrar haciendo una tabla de soluciones:
| Tabla de soluciones para\(f(x) = \dfrac{9 }{x − 3}\) | Dominio:\((−\infty , 3) \cup (3, \infty )\) |
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -4 | \(-\dfrac{9}{7}\) |
| -3 | \(-\dfrac{3}{2}\) |
| -2 | \(-\dfrac{9}{5}\) |
| -1 | \(-\dfrac{9}{4}\) |
| 0 | \(-3\) |
| 1 | \(-\dfrac{9}{2}\) |
| 2 | \(-9\) |
Para la función,\(f(x) = \dfrac{100x}{ x^2 − 3x − 4}\)
- Graficar la función
- Evaluar la función para\(x = −1\) y\(x = 3\)
Solución
Preste atención al dominio de esta función. La división por cero es indefinida, por lo que el (los) número (s) que hará el denominador 0 deben ser excluidos del dominio.
En este problema,\(x^2 − 3x − 4\) está en el denominador de la función. Factorizar la expresión cuadrática para obtener\((x − 4)(x + 1)\) y establecer cada factor igual a cero y resolver para\(x\):\(x − 4 = 0\), so\(x = 4\);\(x + 1 = 0\), so\(x = −1\). Si\(x = 4\) o\(x = −1\), la división es indefinida, así que excluye los números 4 y −1 del dominio de la función. Piense en ello como siempre comenzando con todos los números reales\((−\infty , \infty )\) y luego eliminando los valores que resultarán en una división indefinida.
El dominio de esta función es\((−\infty , −1) \cup (−1, 4) \cup (4, \infty )\). La gráfica de esta función se puede encontrar haciendo una tabla de soluciones:
| Tabla de soluciones para\(f(x) = \dfrac{100x}{ x^2 − 3x − 4}\) | Dominio:\((−\infty , −1) \cup (−1, 4) \cup (4, \infty )\) |
| \(x\) | \(f(x)\) |
| -4 | −16.667 |
| -3 | −21.429 |
| -2 | −33.333 |
| -1 | undefined |
| 0 | 0 |
| 1 | −16.667 |
| 2 | −33.333 |
| 3 | -75 |
| 4 | undefined |
- \(f(x) = \dfrac{3x + 6 }{x − 1}\)
- \(f(x) = \dfrac{9 }{x^2 − 9}\)
- \(f(x) = \dfrac{x^ 2 − 4 }{x^2 − 4x}\)