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4.9: Composición de la función

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    El siguiente gráfico es una vez más del libro de texto REA Cálculo empresarial de Calaway, Hoffman y Lippman, 2013 y se utiliza con permiso (Creative Commons Attribution 3.0 United States License).

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    Figura 4.9.1

    La notación\(f(g(x))\) y\(g(f(x))\) puede ser más fácil de entender que usar el operador de composición. Pues\(f(g(x))\), piensa en envolver un paquete. El regalo se pone en la caja (el regalo es\(g(x)\), la caja es\(f(x)\)) y el regalo envuelto,\(f(x)\), contiene el regalo\(g(x)\).

    Ejemplo 4.9.1

    Si\(f(x) = x^2 − 2\) y\(g(x) =\sqrt{x}\), encuentra:

    1. \(f(g(x))\)y el dominio de la función compuesta
    2. \(g(f(x))\)y el dominio de la función compuesta
    Solución
    1. La composición de las funciones,\(f(g(x))\) es:

    \(\begin{aligned} f(g(x)) &&\text{ Function composition, }f \text{ of }g\text{ of }x \\ f(\sqrt{x}) &&\text{ Replace } g(x)\text{ with }\sqrt{x} \\ ( \sqrt{x})^2 − 2 && \text{ In the function } f(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } g(x) =\sqrt{x} \\ x − 2 && f(g(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}\)

    El dominio de la función compuesta contiene las restricciones del dominio de la función interna, así como las restricciones de la función compuesta.

    El dominio de la función interna,\(g(x) = \sqrt{x}\) es que\(x\) debe ser no negativo, o en notación de intervalo\([0, \infty )\)

    El dominio de la función compuesta,\(x − 2\) es todo números reales,\((−\infty , \infty )\)

    Por lo tanto, el dominio de\(f(g(x))\) es\([0, \infty )\).

    1. La composición de las funciones,\(g(f(x))\) es:

    \(\begin{aligned} g(f(x)) &&\text{ Function composition, }g \text{ of } f \text{ of } x \\ g(x^2 − 2)&& \text{ Replace }f(x)\text{ with } x^2 − 2 \\ \sqrt{x^2 − 2} &&\text{ In the function } g(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } f(x) = x^2−2 \\ x^2 − 2 && g(f(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}\)

    El dominio de la función compuesta contiene las restricciones del dominio de la función interna, así como la función compuesta.

    El dominio de la función interna,\(f(x) = x^2 − 2\) es todos los números reales, o en notación de intervalos\((−\infty , \infty )\)

    El dominio de la función compuesta,\(\sqrt{x^2} − 2\) es que la cantidad\(x^2 −2\) debe ser no negativa, o\(x^2 −2 \geq 0\).

    Resolviendo\(x^2 − 2 \geq 0\) para\(x\),\(x \geq 2\) y\(x \leq −2\). En notación de intervalos,\((−\infty , −2] \cup [2, \infty )\)

    Por lo tanto, el dominio de la función compuesta, g (f (x)) es el dominio más restrictivo,\((−\infty , −2] \cup [2, \infty )\).

    Ejemplo 4.9.2

    Si\(f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}\) y\(g(x) = \dfrac{5 }{x} + 4\), encuentra:

    1. \(f(g(x))\)y el dominio de la función compuesta
    2. \(g(f(x))\)y el dominio de la función compuesta
    Solución
    1. La composición de las funciones,\(f(g(x))\) es:

    \(\begin{aligned} f(g(x)) \text{ Function composition, } f\text{ of }g \text{ of }x\\ f\left( \dfrac{5}{ x} + 4\right) && \text{ Replace }g(x)\text{ with }\dfrac{5 }{x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\left(5 x + 4\right)− 4} && \text{ In the function } f(x)\text{, every x is replaced with } g(x) = \dfrac{5}{ x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\dfrac{5 }{x}}&&\text{ Simplify} \\ \dfrac{x }{5} && f(g(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}\)

    El dominio de la función compuesta contiene las restricciones del dominio de la función interna, así como las restricciones de la función compuesta.

    El dominio de la función interna,\(g(x) = 5 x + 4\) es todos los valores de\(x\) tal que no\(x\) deben ser 0, o en notación de intervalo\((−\infty , 0) \cup (0, \infty )\)

    El dominio de la función compuesta,\(\dfrac{x }{5}\) es todo números reales,\((−\infty , \infty )\) Por lo tanto, el dominio de\(f(g(x))\) es\((−\infty , 0) \cup (0, \infty )\)

    1. La composición de las funciones,\(g(f(x))\) es

    \(\begin{aligned} g(f(x))&&\text{Function composition, } g \text{ of } f\text{ of }x \\ g\left( \dfrac{1 }{x −4}\right) &&\text{Replace } f(x) \text{ with }\dfrac{1}{ x − 4}\\ \dfrac{5 }{\dfrac{1 }{x − 4}} + 4 &&\text{In the function } g(x)\text{, every x is replaced with } f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}\\ 5(x − 4) + 4 && \text{ Simplify the fraction} \\ 5x − 20 + 4 &&\text{ Simplify more}\\ 5x − 16 && g(f(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}\)

    El dominio de la función compuesta contiene las restricciones del dominio de la función interna, así como la función compuesta.

    El dominio de la función interna,\(f(x) = \dfrac{1}{ x − 4 }\) es eso\(x\neq 4\), o en notación de intervalo\((−\infty , 4) \cup (4, \infty )\)

    El dominio de la función compuesta,\(5x − 16\) es todo números reales,\((−\infty , \infty )\).

    Por lo tanto, el dominio de la función compuesta,\(g(f(x))\) es el dominio más restrictivo,\((−\infty , 4) \cup (4, \infty)\).

    Ejercicio 4.9.1

    Para las funciones dadas, encontrar ambos\(f(g(x))\) y\(g(f(x))\), y encontrar el dominio de la función compuesta.

    1. \(f(x) = 3x^ 2 + x − 10\),\(g(x) = 1 − 20x\)
    2. \(f(x) = 3x − 2\),\(g(x) = \dfrac{1}{ 3} x + \dfrac{2 }{3}\)
    3. \(f(x) = 4x − 1\),\(g(x) = \sqrt{6 + 7x}\)
    4. \(f(x) = 5x + 2\),\(g(x) = x^2 − 14x\)
    5. \(f(x) = x^ 2 − 2x + 1\),\(g(x) = 8 − 3x ^2\)
    6. \(f(x) = x ^2 + 3\),\(g(x) = \sqrt{5 + x^2} \)

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