7.3: Líneas perpendiculares

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

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Definición: Líneas perpendiculares

Dos líneas distintas\(l\) y\(q\) son perpendiculares, escritas\(l ⊥ q\), si su intersección forman cuatro ángulos rectos o ángulos con la medida\(90^{\circ}\). Las pendientes de las líneas perpendiculares\(l\) y\(q\) son recíprocas negativas. Es decir,

\[m_l = −\dfrac{1}{m_q} \nonumber \]

\[m_q = − \dfrac{1}{m_l} \nonumber \]

Ejemplo 7.3.1

Determinar si las líneas dadas son perpendiculares. La línea\(l\) que pasa por los puntos\((0, 1)\) y\((1, 3)\), y la línea\(q\) que pasa por los puntos\((−1, 4)\) y\((5, 1)\).

Solución

Para determinar si las líneas son perpendiculares, primero encuentra sus pendientes usando la pendiente de la fórmula de línea. La pendiente de línea\(l\),\(m_l\), que pasa por los puntos\((0, 1)\) y\((1, 3)\) es,

\(\begin{array}s m_l &= \dfrac{3 − 1}{1 − 0} \\ &= \dfrac{2}{1} \\ &= 2 \end{array}\)

La pendiente de línea\(q\),\(m_q\), que pasa por los puntos\((−1, 4)\) y\((5, 1)\), es

\(\begin{array}s m_q &= \dfrac{1 − 4}{5 − (-1)} \\ &= \dfrac{-3}{6} \\ &= \dfrac{-1}{2} \end{array}\)

Ahora, las líneas\(l\) y\(q\) son perpendiculares si y solo si:

\(m_l = −\dfrac{1}{m_q} \text{ and } m_q = −\dfrac{1}{m_l}\)

\(m_l = 2\)y\(m_q = −\dfrac{1}{m_l} = −\dfrac{1}{2}\). De ahí que las pendientes de las líneas sean recíprocas negativas por lo que se puede concluir que las líneas\(l\) y\(q\) son líneas perpendiculares.

Ejemplo 7.3.2

Encuentra la pendiente de una línea perpendicular a la línea\(l\) que pasa por los puntos\((−3, 0)\) y\((3, 4)\).

Solución

Comience por encontrar el talud de la línea\(l\) que pasa por los puntos\((−3, 0)\) y\((3, 4)\), utilizando la pendiente de la fórmula de línea. Por lo tanto,

\(\begin{array} s m_l &= \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \\ &= \dfrac{4 − 0}{3 − (−3)} \\ &= \dfrac{4}{6} \\ &= \dfrac{2}{3} \end{array}\)

Cualquier línea perpendicular a la línea\(l\) debe tener una pendiente que sea recíproca negativa de su pendiente. Desde\(m_l = \dfrac{2}{3}\) entonces la pendiente de la línea perpendicular a la línea\(l\) debe ser\(m = −\dfrac{3}{2}\)

Ejercicio 7.3.1

Determinar si las líneas dadas son perpendiculares.

La línea\(l\) que pasa por los puntos\((0, 4)\) y\((5, 3)\) y la línea\(q\) que pasa por los puntos\((1, 5)\) y\((−1, −5)\).
La línea\(l\) que pasa por los puntos\((−2, −5)\) y\((1, 7)\) y la línea\(q\) que pasa por los puntos\((−4, 1)\) y\((−3, −3)\).

Ejercicio 7.3.2

Encuentra la pendiente de una línea perpendicular a:

Línea\(l\) que pasa por los puntos\((4, 2)\) y\((−1, −2)\).
Línea\(q\) que pasa por los puntos\((7, −8)\) y\((9, 1)\).