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7.3: División en otras Bases

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    Necesitarás: Bloques Base (Tarjetas de Material 3 - 15)

    Ahora trabajaremos en dividir en otras bases. Primero, dividiremos usando resta repetida con los bloques base reales. Posteriormente, emplearemos el mismo algoritmo que hicimos en el conjunto de ejercicios anterior para hacer los problemas usando resta repetida con la tabla de multiplicación parcial, y el andamio.

    Saca tus bloques base Base Tres. Los vamos a utilizar con el método de resta repetida para dividir\(221_{\text{three}} \div 21_{\text{three}}\). El dividendo es\(221_{\text{three}}\), que consta de 2 pisos, 2 largos y 1 unidad. Tenemos que averiguar cuántas veces podemos restar repetidamente el divisor,\(21_{\text{three}}\), del dividendo. Para ello, podemos convertir el dividendo en solo longs y unidades haciendo algunos intercambios, para luego formar tantos subconjuntos que contengan 1 largo y 2 unidades como sea posible. El número de subconjuntos formados es cuántas veces se podría restar el divisor del dividendo. Saca tus cuadras para hacer este problema conmigo.

    Paso 1: Formar el dividendo en base tres. En realidad deberías sacar tu base tres cuadras y hacer los problemas con los bloques. Estaré usando las iniciales para los bloques base (U, L, F, B, etc.) para mostrar lo que está pasando. El dividendo se puede mostrar así:

    F F L U

    Paso 2: Hacer intercambios para que sea posible formar tantos subconjuntos como sea posible, cada uno conteniendo el divisor, que es 2 largos y 1 unidad. Cada piso se puede cambiar por 3 largos para obtener:

    L L L L L L U

    Entonces, uno de los largos se puede cambiar por 3 unidades para obtener L L L L L L L U U U U U. Veamos si podemos restar algunos subconjuntos iguales de 2 largos y 1 unidad del dividendo. Al sacar cada 2 largos y una unidad, formarlos en un subconjunto.

    Puedo sacar y formar 3 subconjuntos iguales de 2 largos y 1 unidad cada uno del dividendo. En el dividendo queda una larga y 1 unidad. Los subconjuntos formados se ven así:

    LLU LLU LLU

    La parte que queda en el dividendo, que es el resto se ve así:

    LU

    Paso 3: Cada subconjunto igual de 2 largos y 1 unidad que se restó del dividendo cuenta como 1 para el cociente. Date una unidad por cada subconjunto igual que formaste este es el cociente. El largo y la unidad sobrante son el resto porque es menor que el divisor.

    Cociente: U U U Resto: L U

    Paso 4: En el cociente y/o resto, realizar los intercambios necesarios para que el cociente y el resto puedan escribirse en la base tres.

    Cociente: L Resto: L U

    Paso 5: Escribir el cociente y el resto en la base tres:\(10_{\text{three}}r. 11_{\text{three}}\).

    Por lo tanto,\(221_{\text{three}} \div 21_{\text{three}} = 10_{\text{three}}r. 11_{\text{three}}\)

    Paso 6: Revisa la respuesta. Esto se muestra a la derecha.

    Ejercicio 1

    Siguiendo el ejemplo de la página anterior, haz la siguiente división paso a paso. Usa tres bloques base para hacer este ejercicio. Puedes usar iniciales, o dibujar imágenes de los bloques para mostrar cómo haces la división.

    Haga la siguiente división:\(222_{\text{three}} \div 12_{\text{three}}\)

    a. Formar el dividendo en base tres. Haz una imagen de cómo se ve el dividendo:

    b. realizar intercambios para que sea posible formar tantos subconjuntos como sea posible, cada uno conteniendo el divisor, que es 1 largo y 2 unidades. Restar algunos subconjuntos iguales de 1 largo y 2 unidades del dividendo. Al sacar cada largo y 2 unidades, formarlas en un subconjunto.Dibuja una imagen de todos los subconjuntos iguales que pudiste formar restando del dividendo, luego dibuja una imagen separada de lo que quedó en el dividendo, que será el resto (esto debe ser menos de 1 largo y 2 unidades).

    i) Mostrar todos los subconjuntos iguales formados:

    ii) Resto:

    c. Por cada uno de los subconjuntos iguales de 1 largo y 2 unidades que se restaron del dividendo y se formaron (mostrados en b.i.), dese una unidad —este es el cociente. Dibuja un cuadro del cociente en términos de unidades:

    d. En el cociente (parte c) y/o resto (parte b.ii), realizar los intercambios necesarios para que el cociente y resto puedan escribirse en la base tres. Dibuja una imagen de cómo se ve el cociente y el resto después de hacer posibles todos y cada uno de los intercambios.

    Cociente: Resto:

    Comprobar:\(\begin{aligned} 21_{\text{three}} \\ \underline{\times 10_{\text{three}}} \\ 210_{\text{three}} \\ \underline{+ 11_{\text{three}}} \\ 221_{\text{three}} \end{aligned}\)

    e. Escriba el cociente y el resto en la base tres: ________________________

    f. verificar la respuesta.

    Ejercicio 2

    Use bloques base en las bases indicadas para encontrar el cociente y resto para cada problema. Entonces revisa tu respuesta en la base dada. Muestra tu trabajo. Puedes multiplicar usando cualquier algoritmo de multiplicación que prefieras; tal vez quieras probar la celosía.

    a.\(1204_{\text{five}} \div 42_{\text{five}}\) =

    Comprobar:

    c.\(1345_{\text{six}} \div 25_{\text{six}}\) =

    Comprobar:

    b.\(323_{\text{four}} \div 23_{\text{four}}\) =

    Comprobar:

    d.\(11111_{\text{two}} \div 101_{\text{two}}\) =

    Comprobar:

    Es posible que hayas notado en las partes c y d que tenías que hacer muchas pilas, y que la resta repetida era algo tediosa cuando solo podías restar un subconjunto de divisor del dividendo a la vez. Aquí es donde es útil utilizar la idea de que un largo tiempo el divisor es similar a multiplicar por 10 en base diez. Recuerda que 10b es un largo para alguna base, b. Por ejemplo, cuando multiplicas 25 por 10, obtienes 250. En base seis,\(25_{\text{six}}\) significa 2 largos y 5 unidades. Cuando multiplicas esto por un long (\(10_{\text{six}}\)), obtienes\(250_{\text{six}}\) que son 2 pisos y 5 largos: cada pieza sube un valor posicional. Podemos usar esto en el ejercicio 2c para hacer que la resta vaya más rápido. Haremos el ejercicio 2c usando esta idea en la página siguiente.

    El ejercicio 2c\(1345_{\text{six}} \div 25_{\text{six}}\),, se puede hacer usando un método más eficiente. Estos son los pasos:

    Dibuja una imagen del dividendo,\(1345_{\text{six}}\), usando bloques Base Seis.

    F F F L L L U U U U U U U U U

    Quieres restar tantos subconjuntos del divisor,\(25_{\text{six}}\), del dividendo como puedas. Esto tomaría muchos pasos. Tendrías que descomponer la cuadra y tres pisos en muchos largos y unidades. Ahora,\(25_{\text{six}}\), significa 2 largos y 5 unidades. Si multiplicaste esto por un largo, lo habrías hecho\(250_{\text{six}}\), que son 2 pisos y 5 largos. Si restaste 2 pisos y 5 largos del dividendo a la vez, ¡sería lo mismo que restar 2 largos y 5 unidades del dividendo seis veces! Y es posible restar 2 pisos y 5 largos a la vez.

    Cambiemos algunas de las piezas del dividendo por piezas más pequeñas, así es posible tomar restar y hacer subconjuntos de 2 pisos y 5 largos. Empecé intercambiando el bloque por 6 pisos y dos de los pisos por 12 largos:

    F F F F F F F L L L L L L L L L L L L L L U U U U U U U

    Ahora, formaré tantos subconjuntos de 2 pisos y 5 largos como sea posible.

    F L L L L L F L L L L L F L L L L L

    Todavía me queda F L U U U U U U en el dividendo, y no puedo tomar más subconjuntos de 2 pisos y 5 longs out. Entonces ahora, trato de restar los restos del divisor de lo que queda en el dividendo. De nuevo, necesito hacer algunas operaciones. Cambiaré el piso por 5 largos y 6 unidades, así que tengo:

    L L L L L U U U U U U U U U U U U U U U

    Se pueden formar dos subconjuntos:

    L U U U U U U L U U U U U U

    Todo lo que queda en el dividendo es una unidad y 2 largos, que es menor que el divisor, y es el resto. Entonces el resto, LLU, lo es\(21_{\text{six}}\).

    Ahora, tenemos que averiguar el cociente. Los primeros 3 subconjuntos que formé fueron cada uno un largo tiempo el divisor, así que para el cociente, puse en un largo para cada uno de los subconjuntos formados. Puse una unidad para cada uno de los dos subconjuntos siguientes que formé. Entonces tengo 3 largos y 2 unidades para el cociente, y no es necesario realizar intercambios.

    El cociente es L L L U U, o\(32_{\text{six}}\), y el resto es\(21_{\text{six}}\).

    Por lo tanto,\(1345_{\text{six}} \div 25_{\text{six}} = 32_{\text{six}}\) r.\(21_{\text{six}}\)

    Deberías haber obtenido la misma respuesta cuando hiciste ejercicio 2c, pero habrías restado y formado 13 subconjuntos del divisor, y luego cambiaste 13 unidades por la respuesta en base seis.

    (Por cierto, si el divisor,\(25_{\text{six}}\), se multiplicara por un piso, tendrías 2 cuadras y 5 pisos, que es más grande que el dividendo, así que no podemos quitarle esa cantidad del divisor a la vez. Entonces comenzamos restando subconjuntos de tiempos largos el divisor, uno a la vez.)

    Ejercicio 3

    Divida lo siguiente usando bloques base. Puede utilizar el método descrito en la página anterior, o restar un subconjunto del divisor a la vez. Explica o haz dibujos con los bloques para mostrar cómo hiciste el problema. Comprueba tus respuestas usando cualquier algoritmo de multiplicación.

    a.\(1046_{\text{seven}} \div 31_{\text{seven}}\) = _________________________________________________

    Comprobar:

    b.\(10021_{\text{three}} \div 22_{\text{three}}\) = _________________________________________________

    Comprobar:

    Ahora vamos a trabajar en hacer división en diferentes bases usando el mismo algoritmo de resta repetida que hicimos en el Conjunto de ejercicios 2. Dado que la mayoría, si no todos, no estamos lo suficientemente familiarizados con diferentes bases para estimar en nuestra cabeza, componer una tabla de multiplicación parcial se vuelve extremadamente útil para estos problemas.

    Debido a que cada base tiene un número diferente de dígitos, podemos optar por hacer el método de duplicación o alguna tabla parcial para bases más grandes como base 11, 12 y 13. Para bases más pequeñas, podrías considerar hacer una mesa completa. En base cinco, solo tendrías que calcular 2, 3 y 4 veces el divisor (ya que 4 es el dígito más alto en la base cinco). Estudiar los siguientes ejemplos de uso del método de andamiaje en otras bases.

    Ejemplo 1

    Problema de división en base cinco:\(200_{\text{five}} \div 24_{\text{five}}\). Dejo escribir “cinco” a excepción de la respuesta (en caja) y el cheque. Hay que tener mucho cuidado para recordar que estás en la base cinco cuando estás sumando (el trabajo de preparación al principio, y la suma al final del cheque cuando agregas el resto), restando (haciendo la resta repetida) y multiplicando (en el cheque). Para la comprobación, podrías usar el método de celosía, o cualquier otro método que prefieras.

    Screen Shot 2021-05-30 a las 6.12.15 PM.png

    Ejemplo 2

    Problema de división en la base dos:\(1001011_{\text{two}} \div 111_{\text{two}}\). Realmente no hay trabajo de preparación aquí, porque los únicos dígitos en la base dos son 0 y 1.

    Screen Shot 2021-05-30 at 6.12.53 PM.png

    Para los ejemplos 3 y 4, elegí hacer un tipo diferente de tabla de multiplicación parcial para cada uno.

    Ejemplo 3

    Problema de división en la base ocho:\(2155_{\text{eight}} \div 61_{\text{eight}}\). Dado que esto es un problema en la base ocho, decidí hacer una tabla parcial para averiguar el divisor por 1, 2, 4 y 6. Otra persona podría optar por hacer una mesa por solo 1, 2 y 4. Recuerda que 7 es el dígito más alto en base ocho. Otro estudiante podría hacer una tabla completa para todos los dígitos en la base ocho: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

    Screen Shot 2021-06-01 al 1.07.15 AM.png

    Ejemplo 4

    Problema de división en base trece:\(1046_{\text{thirteen}} \div T2_{\text{thirteen}}\). Dado que esto es un problema en la base trece, decidí hacer una tabla parcial para averiguar el divisor por 1, 2, 4 y 8. Recuerda que W es el dígito más alto en base ocho. Otra persona podría optar por hacer una tabla para 1, 2, 4, 6, 8, T y W. Recuerda que W es el dígito más alto en la base trece. Otro estudiante podría hacer una tabla completa para todos los dígitos en la base trece, pero eso es mucho trabajo de preparación que generalmente no da sus frutos.

    Screen Shot 2021-06-01 al 1.07.33 AM.png

    Asegúrate de practicar los cuatro ejemplos anteriores antes de hacer los ejercicios que siguen en las páginas siguientes.

    Para cada uno de los problemas de división en el resto de esta sección, muestre su trabajo, utilizando un modelo similar a los últimos cuatro ejemplos. Primero conforman una tabla de multiplicación parcial o completa (preparación para la división usando resta repetida). Luego, divida usando el método de andamio con el método de resta repetida. Escribe tu respuesta en una caja encima del andamio. Después, comprueba tu respuesta multiplicando el divisor por el cociente y sumando el resto. Asegúrate de prestar mucha atención a la base en la que estás trabajando al sumar, restar y/o multiplicar en esa base. Recuerda escribir la base cuando escribas el cociente y el resto.

    Ejercicio 4

    \(222_{\text{three}} \div 12_{\text{three}}\)

    Ejercicio 5

    \(1204_{\text{five}} \div 42_{\text{five}}\)

    Ejercicio 6

    \(323_{\text{four}} \div 23_{\text{four}}\)

    Ejercicio 7

    \(1345_{\text{six}} \div 25_{\text{six}}\)

    Ejercicio 8

    \(11111_{\text{two}} \div 101_{\text{two}}\)

    Ejercicio 9

    \(1046_{\text{seven}} \div 31_{\text{seven}}\)

    Ejercicio 10

    \(10021_{\text{three}} \div 22_{\text{three}}\)

    Ejercicio 11

    \(200_{\text{five}} \div 3_{\text{five}}\)

    Ejercicio 12

    \(1001011_{\text{two}} \div 1010_{\text{two}}\)

    Ejercicio 13

    \(2155_{\text{eight}} \div 27_{\text{eight}}\)

    Ejercicio 14

    \(1046_{\text{thirteen}} \div 14_{\text{thirteen}}\)

    Ejercicio 15

    \(101\text{E}_{\text{twelve}} \div 54_{\text{twelve}}\)


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