3.6: Matrices Aumentadas
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En esta sección, veremos cómo usar matrices para resolver sistemas de ecuaciones. Tanto en el método gráfico como en el método del valor esperado, se ha tenido que resolver un sistema de ecuaciones. En el método gráfico, tenías sistemas que constaban de dos líneas como Ejemplo\(3.6.1\).
Un ejemplo de un sistema de dos líneas:
\(\begin{array} sy &= \dfrac{3}{5}x-\dfrac{1}{5}\\ y &= -x+3. \end{array}\)
En el método del valor esperado tuvimos sistemas de tres ecuaciones como Ejemplo\(3.6.2\).
Un ejemplo de un sistema de tres ecuaciones donde las variables son\(E_1(A), E_1(B), P_2(C), P_2(D)\text{:}\)
\( \begin{array}sE_1(A) &= P_2(C)-P_2(D)\\ E_1(B) &= 2P_2(D)\\ 1 &= P_2(C)+P_2(D). \end{array}\)
En Ejemplo\(3.6.2\), incluso después de establecer\(E_1(A)=E_1(B)\) para que solo hubiera\(2\) variables, el álgebra comenzó a ponerse engorroso. ¿Y si quisiéramos resolver un juego mucho más grande, como un\(5 \times 5\) juego?
Hemos utilizado matrices para representar nuestros juegos, pero ahora queremos utilizarlos como una herramienta matemática que nos ayude a resolver sistemas de ecuaciones. Para usar matrices para resolver nuestros sistemas de ecuaciones, queremos escribir todas nuestras ecuaciones de la misma forma: tendremos todos los términos variables a la izquierda del signo igual y todas las constantes a la derecha.
Así, en Ejemplo\(3.6.1\) podemos escribir el sistema como
De hecho, podemos simplificar la primera ecuación multiplicando ambos lados por\(5\):
Podemos usar los coeficientes y constantes para crear una matriz:
En esta matriz, se tiene una columna para los coeficientes de cada variable. Entonces los coeficientes de\(x\) están en la primera columna, los coeficientes de\(y\) están en la segunda. Los términos constantes están siempre en la última columna. Cada fila corresponde a una ecuación. Esta matriz se llama matriz aumentada. Realmente es solo una matriz, pero la llamamos aumentada si incluimos información de ambos lados de la ecuación (los coeficientes y las constantes).
El método algebraico para resolver el sistema de ecuaciones (encontrar los\(y\) valores\(x\) y que satisfacen ambas ecuaciones) se llama reducción de filas. Se basa en el método de eliminación que quizás hayas visto en un curso de precálculo o álgebra universitaria. Aquí no vamos a pasar por el álgebra, ya que realmente no lo necesitamos. Dado que nuestro objetivo es poder resolver fácilmente sistemas de ecuaciones más grandes, confiaremos en la tecnología para hacer el álgebra.
Los sistemas informáticos de álgebra como Sage, Mathematica y Maple, así como las calculadoras gráficas, pueden hacer fácilmente la reducción de filas por nosotros.
En una calculadora gráfica, use la función matrix para ingresar a la matriz. Luego use la función “rref” (esto significa “forma de escalón de fila reducida”). El resultado será la siguiente matriz:
Podemos resolver esto aún más directamente usando Sage.
Recordemos que la primera columna es para\(x\) y la segunda es para\(y\text{.}\) Cada fila representa una ecuación. Entonces, al traducir cada fila de nuevo a ecuaciones, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
o
Al volver a conectar estos valores a las ecuaciones originales, puede verificar que esta es de hecho la solución.
Dado que la tecnología hace todo el álgebra por nosotros, nuestro trabajo es traducir las ecuaciones en una matriz apropiada y luego traducir la matriz final de nuevo en la solución al sistema de ecuaciones. Recuerda, al usar una matriz para resolver un juego, la matriz es solo una herramienta, no es la solución al juego.
Ahora, probemos las ecuaciones para el método del valor esperado usando Example\(3.6.2\). Tal y como se presenta, ¿cuántas variables tiene el sistema?
Tiene\(4\):\(E_1(A), E_1(B), P_2(C)\) y\(P_2(D)\text{.}\) Pero cuando resolvimos estas ecuaciones, establecemos iguales los valores esperados. Esto nos da las dos ecuaciones
Ahora bien, si ponemos estos en la forma con todas las variables a la izquierda y constantes a la derecha, obtenemos
Poner estas ecuaciones en una matriz aumentada, nos da
\[\begin{bmatrix} 1 & -3 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}. \nonumber \]
donde corresponde la primera columna\(P_2(C)\) y la segunda columna corresponde a\(P_2(D)\text{.}\)
Usando la reducción de filas, obtenemos
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dfrac{3}{4}\\ 0 & 1 & \dfrac{1}{4} \end{bmatrix}. \nonumber \]
Por lo tanto, recordar la Columna 1 es para\(P_2(C)\) y la Columna 2 es para\(P_2(D)\text{,}\) nuestra solución es\(P_2(C)= \dfrac{3}{4} \text{,}\) y\(P_2(D)= \dfrac{1}{4} \text{.}\)
Aquí hay algunos sistemas más de ecuaciones para practicar la resolución usando matrices aumentadas. Si quieres usar las celdas Sage anteriores solo edita los valores para cada fila en la celda.
Resolver el sistema de ecuaciones.
\(\begin{array} s2x-2y &=6 \\ x+3y &=7 \end{array}.\)
Resolver el sistema de ecuaciones.
\(\begin{array} s4p_1-2p_2&=0 \\ p_1+p_2&=1 \end{array}.\)
Para matrices más grandes, puede editar la celda Sage agregando términos adicionales en cada fila y agregando más filas. Por ejemplo, se puede reemplazar\([3,-5,1],[1,1,3]\) con\([4,8,-4,4],[3,8,5,-11],[-2,1,12,-17]\text{.}\)
Considerar el sistema de ecuaciones
\(\begin{array} s4x+8y-4z&=4\\3x+8y+5z&=-11\\-2x+y+12z&=-17. \end{array}\)
- Configura la matriz aumentada para este sistema.
- Utilice la reducción de filas para encontrar la solución.
Considerar el sistema de ecuaciones
\(\begin{array}s2x+y-4z&=10\\3x+5z&=-5\\y+2z&=7. \end{array}\)
- Configura la matriz aumentada para este sistema.
- Utilice la reducción de filas para encontrar la solución.
Considerar el sistema de ecuaciones
\(\begin{array}sa+b-5c&=0\\-4a-b+6c&=0\\a+b+c&=1. \end{array}\)
- Configura la matriz aumentada para este sistema.
- Utilice la reducción de filas para encontrar la solución.
Considerar el sistema de ecuaciones
\(\begin{array}s3x+2y-w-v&=0\\2x-y+3z+w+5v&=0\\x+2y+6z-w&=0\\ -y+z-3w+v&=0\\x+y+z+w+v&=1. \end{array}\)
- Configura la matriz aumentada para este sistema.
- Utilice la reducción de filas para encontrar la solución.
¡Ahora estamos listos para aplicar todo lo que hemos aprendido sobre la resolución de juegos repetidos de suma cero a un juego mucho más desafiante en la siguiente sección!